K x. m v P. II Compitino di Fisica Generale di Ingegneria CIVILE 2008.

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1 II Compitino di Fisica Generale di Ingegneria CIVIL 008. sercizio 1: Un cilindro omogeneo di massa Μ = 500 g e raggio R = 6 cm e' appoggiato su un pavimento orizzontale. L'asse del cilindro è collegato ad una molla di costante elastica K = 100 N/m come mostrato schematicamente in igura ed è libero di ruotare. L'altra estremità della molla è issata ad una parete verticale. La molla viene allungata inizialmente di una quantità x = cm. Ad un dato istante, il sistema viene lasciato libero di muoversi. y K x Supponendo che il moto del cilindro sia di rotolamento puro, si trovi la massima velocità raggiunta dal cilindro. ( punteggio: ) 1. - Sapendo che il coeiciente di attrito statico ra pavimento e disco è pari a µ = 0.5, si dica per quali valori dell'allungamento iniziale della molla x, il cilindro scivola invece di rotolare. (punteggio 4) sercizio : Un disco di massa = 00 g e raggio R = 10 cm è appoggiato su un pavimento orizzontale e può ruotare liberamente attorno ad un asse di sezione trascurabile passante per il centro del disco e issato verticalmente sul pavimento. Un proiettile di massa m = / viaggia con velocità v o = 50 m/s e urta il disco coniccandosi nel bordo del disco nel punto P individuato dall'angolo θ = 45 come mostrato schematicamente in igura. L'urto avviene in un tempo trascurabile. m v P θ y x.1 - Si trovi la velocità angolare acquistata dal disco dopo l'urto. (punteggio ).- Si trovino le componenti x ed y ( vedi assi x ed y in igura) dell'impulso I della orza che deve essere esercitata dalll'asse sul disco durante il breve intervallo di tempo in cui dura l'urto. ( punteggio 4)

2 sercizio : Un tavolo ha orma quadrata e i vertici consecutivi del piano quadrato di massa = 50 kg sono A,B,C e D. Il tavolo possiede solamente tre gambe di massa m = kg ciacuna poste nei tre vertici consecutivi A,B,C. D C A B.1- Si trovi la reazione normale R del pavimento sulla gamba posta in contatto con il vertice A. ( suggerimento: si tenga conto della simmetria del problema). (punteggio 4) sercizio 4:Un palloncino serico di massa m =5 g viene riempito con lio in presenza dell'atmosera a temperatura ambiente T =5 C e a pressione p = Atm ino a raggiungere un raggio R = 0 cm. Il palloncino è collegato con una lunga cordicella. Si osserva che il palloncino si solleva da terra ino ad arrivare ad un'altezza h =10 m. Quale è la massa per unità di lunghezza λ della cordicella nell'ipotesi che l'lio si comporti come un gas peretto? ( per la densità dell'aria si assuma ρ A = 1.9 kg/m mentre per la massa molecolare dell'lio di assuma = 4 g). ( punteggio 4) sercizio 5: La condotta principale di acqua in uno stabile si trova parallela al suolo ed è costituita da un tubo di raggio R = 5cm. L'acqua viene portata nei vari appartamenti per mezzo di tubi di raggio r = 1 cm. Se la pressione presente nel condotto principale è p = 5 Atm, quanta acqua ( litri al secondo) esce da un rubineto aperto ad un altezzza h = 10 m dal suolo. Si supponga che tutti gli altri rubinetti dello stabile siano chiusi e che l'acqua si comporti come luido ideale. Si assuma, inoltre, per la densità dell'acqua il valore ρ = 1000 Kg/m e per la pressione atmoserica il valore di 1 Atm. ( punteggio 4) sercizio 6: Una bacinella, di capacità termica trascurabile, contiene un litro di acqua a temperatura T a = 50 C. Nell'acqua viene immerso un cubetto di marmo di capacità termica C m =00 cal/ K a temperatura T m = -1 C e un blocchetto di rame a temperatura T r = 7 C e di capacità termica C r = 50 cal/ K. Tutto il sistema è isolato termicamente. Si calcoli la temperatura inale raggiunta dall'acqua. (punteggio ) (si assuma ρ = 1000 Kg/m per la densità dell'acqua, c = 1000 cal/ Kg K per il calore speciico dell'acqua) sercizio 7: Un gas peretto biatomico con n = moli compie un ciclo reversibile. Inizialmente il gas si trova a volume V i = 1 litro e alla temperatura T i =100 C ( stato A). Quindi, il gas viene atto espandere in modo isotermo ino a raggiungere il volume inale V = V i ( stato B). Quindi, il gas viene portato ad una temperatura T = 5 C mantenendo costante il suo volume ( stato C). Dopodichè, il gas viene compresso a temperatura costante ino a tornare al volume iniziale V i ( stato D). Inine, la temperatura viene riportata al valore iniziale T i mantenendo il volume costante. Si determini il calore complessivo assorbito dal gas durante l'intero ciclo. (punteggio 4) (Nei vari esercizi si assuma per la costante dei Gas il valore R = 8.1 J mol-1 K-1 e la conversione 1 Atm = Pa. )

3 Soluzione s Poichè il moto è di rotolamento puro, l'energia meccanica si conserva. L'energia cinetica e, quindi, la velocità è massima nel punto in cui l'energia potenziale della molla è nulla ( punto di riposo della molla). L'energia iniziale è tutta potenziale ed è pari a: 1 i = K x mentre quella inale è 1 1 R = v + = v ω () 4 dove abbiamo utilizzato la condizione di rotolamento v = ω R. Imponendo l'uguaglianza delle energie si trova: K v = x = 0.1 m/s () 1. - Il cilindro scivola se il modulo della orza di attrito statico F necessaria per arlo rotolare è superiore alla massima orza di attrito statico µg. Per calcolare il valore di F necessario per il rotolamento, bisogna scrivere le equazioni Cardinali della Dinamica per le orze e per i momenti di orza. Scriviamo le equazioni utilizzando come Polo il centro di massa. La I equazione (equazione delle orze lungo l'asse x in igura) è: K x + F = a (4) dove F ed a sono le componenti x della orza e dell'accelerazione. La II equazione Cardinale per il momento lungo l'asse passante per il C.. è R R a FR = α = a F = (5) dove i segni - derivano dall'esecuzione del prodotto vettoriale a = α x R dove R indica il vettore che collega il punto di contatto del cilindro sul pavimento con il C.. Sostituendo la (5) nella (4) si trova, dopo semplici passaggi algebrici: K x F = (6) Il cilindro scivola se F > µg, cioè se: µ g x > = 7.5 cm (7) K Soluzione s..1 - Nell'urto, l'unica orza impulsiva che agisce sul sistema dei due corpi è la orza esercitata dall'asse. Poichè tale orza ha momento nullo rispetto all'asse, durante l'urto si conserva il momento della q.m. del sistema. Dunque: mv o Rsin( 45 ) = mr + R ω = mr ω da cui si deduce: v ω = o = 177 rad/s () R. - L'unica orza impulsiva agente sul sistema dei due corpi è quella esercitata dall'asse. Dunque, l'impulso di tale orza è anche uguale alla variazione di quantità di moto (q.m.) del sistema.

4 Inizialmente, la q.m. del disco è nulla e, quindi, la q.m. totale è dovuta solamente alla q.m. del proiettile. Dunque, la q.m. iniziale è p i = ( mv o, 0) () Dopo l'urto, il centro di massa del disco è ancora ermo, dunque anche la sua q.m. è ancora nulla e la q.m. totale è solo quella del proiettile che, ora, si trova sulla supericie del disco nel punto individuato dall'angolo θ e ruota con la velocità angolare del disco. Dunque: mωr mωr mvo mvo p =, =, (4) 4 4 L'impulso della orza è I = p -p i, cioè: = mv o mv I, o = ( -.75 Ns, 1.5 Ns) (5) 4 4 Soluzione s. - La risposta al quesito si trova imponendo l'equilibrio delle orze e dei momenti. Per la simmetria del problema, le reazioni normali sulle gambe in A e C sono uguali e, perciò, le indichiamo con lo stesso simbolo R, mentre la reazione sulla gamba B si indicherà con R B. L'equilibrio delle orze si scrive: R B + R = ( + m)g Un'altra equazione si ottiene imponendo che una componente del momento di orza totale sia uguale a zero. Prendiamo come polo il punto di contatto ra la gamba posta in B e il pavimento e consideriamo la componente del momento di orza lungo l'asse parallelo a BC. Le uniche orze che danno un contributo a tale momento sono: la orza peso del piano applicata al centro del piano, la orza peso della gamba in A e la reazione vincolare R della gamba in A. L'equilibrio delle componenti dei momenti lungo BC si scrive, perciò: gl + mgl = RL R = m + g = 74 N () sostituendo nella si deduce R B = mg. Soluzione s.4 - Il palloncino si erma quando la orza di Archimede equilibria la orza peso dovuta alla massa del palloncino, a quella dell'elio e a quella della corda di lunghezza h. Dunque: 4π 4π ρ Ag R = ρ g R + mg + λgh da cui si deduce: 4π ( ρ A ρ ) R m λ = () h Resta da calcolare la densità dell'lio ρ. Dalla legge dei gas peretti: pv = RT () dove = massa dell'lio. Dunque, la densità dell'lio è p ρ = = = 0.4 Kg/m (4) V RT Sostituendo la (4) nella () si trova λ = kg/m = 0.7 g/m (5)

5 Soluzione sercizio 5 - La pressione all'uscita del rubinetto è quella atmoserica p o. Dunque, per il Teorema di Bernulli: 1 1 p + ρ v = ρvo + po + ρgh dove v è la velocità nel tubo principale e v o quella nella cannella.per la conservazione della massa: R v o = v = 5v () r Dunque, dopo semplici passaggi algebrici, si trova: ( p po ρgh) v = = 1.4 m/s () 4 R 1 ρ 4 r Dunque, la portata nella condotta, che è uguale a quella in uscita dal rubinetto è: q = πr v = m /s = 11 litri/s (4) Soluzione s.6 - Indicando con T la temperatura inale, si deve imporre che la somma dei calori assorbiti da tutti i corpi per raggiungere la temperatura inale sia uguale a zero ( il sistema è isolato termicamente). I calori assorbiti dall'acqua,dal rame e dal marmo sono dati da Q a = c a (T -T a ) Q r = C r (T -T r ) () Q m = C m (T -T m ) () Imponendo che la somma sia nulla si ricava acilmente: c ata + CmTm + CrTr T = = 41 C (4) c + C + C a m r Soluzione s.7 - Il calore totale assobito durante l'intero ciclo è pari al lavoro atto nel ciclo. Poichè il lavoro atto nei tratti isocori (BC e CA) è nullo, il lavoro è pari solamente alla somma dei lavori atti nei tratti isotermi (AB e CD), cioè: Vi L = nr( Ti T ) ln = J V dunque, Q Totale = L = J ()