CORSO DI GEOMETRIA. Esercizi su Numeri Complessi. Es. n. 1: Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi:

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1 Esercizi di algebra lineare e geometria, relativi ai corsi della 1 a Facolta di Ingegneria, nuovo ordinanento. ( Curati da: P.Valabrega, C. Massaza, D. Giublesi) Gli esercizi indicati con (*) richiedono un maggior impegno. CORSO DI GEOMETRIA Esercizi su Numeri Complessi Es. n. 1: Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi: z=(2+3i) 2 +(1+i) 3 z=(1+2i) / (1+3i) z=(1+i) 18 z=(1-i) 18 z= 2 /(1-i) 3 Es. n. 2: a) Calcolare e rappresentare sul piano di Gauss le soluzioni di: (1+2i) 2 z = i b) z 3 = (24+8i)/(1-3i) c) Re (z 2 ) =1, Im(3z+1) =7 d) z < Re(z+5) e) z 4 = cos(4/3π) + i sin(4/3π) Es. n. 3: Rappresentare sul piano complesso, senza calcolarle esplicitamente, le soluzioni di: a) z 4 = (1+2i) 4 b) z 4 =1+2i c) z 4 = (1+2i) 3 Es. n. 4: Verificare che z=4+2i è radice del polinomio P(z) = z 2-4z+4-8i. Trovare l'altra radice.

2 Es. n. 5: Determinare a,b C in modo che il polinomio: P(z) = z 4-2(1+i)z 3 +(4+2i)z 2 +az+b abbia 1+i come radice doppia. Trovare le altre radici di P(z). Es. n. 6: Determinare tutti i polinomi P(z), a coefficienti reali, che soddisfano le condizioni seguenti: a) sono di secondo grado ed hanno 2+3i come radice; b) sono di quarto grado, hanno 2+3i come radice doppia, P(1) = 3; c) sono di terzo grado ed hanno 2+3i come radice; d) sono di terzo grado ed hanno 2+3i come radice doppia; e) sono di primo grado ed hanno 2+3i come radice. Es. n. 7: Rispondere alle stesse domande dell'esercizio precedente, richiedendo che P(z) sia a coefficienti complessi.

3 CORSO DI GEOMETRIA Esercizi sui Vettori nello Spazio Ordinario Es. n. 1: Dato il vettore v = i + 2j - k, trovare: a) il versore di v; b) i vettori paralleli a v c) i vettori paralleli a v aventi modulo 3. Es. n. 2: Dati i vettori v = i + j - k, u = 2i + j +k, trovare: a) le componenti di 2v + 3u; b) il loro angolo; c) un vettore parallelo alla bisettrice del loro angolo; d) la misura del segmento proiezione ortogonale di u su v; e) il vettore proiezione ortogonale di u (oppure -u) su v; f) i vettori paralleli a v la cui proiezione ortogonale su u ha modulo 2. Es. n. 3: Trovare i vettori di modulo a fissato, la cui proiezione ortogonale sul piano xy è i + 3j (discutere al variare di a). Es. n. 4: Dati i vettori u = i +2j e v = 2costi + 2sintj, trovare i valori di t per cui: a) v è perpendicolare ad u; b) v è parallelo ad u. Rispondere alle stesse domande dopo aver sostituito v con v = 2costi + 2sintj + k. Es. n. 5: Dati i vettori u = ti + tj + (1 - t)k, v = i +tj + 2k, w = j + k, a) trovare i valori di t per i quali sono complanari; b) posto t = 1 : calcolare il volume del parallelepipedo avente u, v, w come spigoli; calcolare le componenti di i + j + k rispetto alla base u, v, w.

4 Calcolare l angolo formato da u e v sapendo che u = 1, v = 3, u-2v = a (discutere al variare di a). Es. n. 7: Calcolare u v sapendo che u = 1, v = 2, u v = 1. Es. n. 8: Dati i vettori u e v, trovare x tale che risulti: a) u x = v (discutere la risolubilità dell esercizio al variare della coppia u, v); b) u x = v x ; c) u x = u v. Es. n. 9 Trovare i vettori complanari sia con la coppia u = i - j, u = i + k, che con la coppia v = i + j + k, v = i - k. Es. n. 10: Trovare la proiezione ortogonale di v = i + j - 2k sul piano di u 1 = i - k ed u 2 = i + 2j - k. Es. n. 11: Dati i vettori u = i - j - k, v= i - 2j + k, decomporre v nella somma di un vettore parallelo e uno perpendicolare ad u. Es. n. 12: Dimostrare le seguenti identità: a) (u+v) 2 = u u v + v 2. Dedurne il teorema di Carnot e quello di Pitagora (per u perpendicolare a v); b) (u + v) (u - v ) = u 2 - v 2. Dedurne una caratterizzazione del rombo; c) u v = 0 (u + v ) 2 = (u - v) 2. Dedurne una caratterizzazione del rettangolo. Es. n. 13: Nel triangolo ABC, si indichino con M ed N i punti medi dei lati AB ed AC rispettivamente. Verificare che M - N = B - C /2. Es. n. 14: Consideriamo un triangolo ABC. Dimostrare che: a) Esiste ed è unico il punto G (baricentro del triangolo) che soddisfa la relazione: (G - A) + (G - B) + (G - C) = 0; b) G è il punto di incontro delle tre mediane del triangolo.

5 CORSO DI GEOMETRIA Esercizi su Spazi Vettoriali e Sottospazi Es. n. 1: Sia V lo spazio dei vettori ordinari: a) Provare che i vettori u = i + j e v = i - j non costituiscono un sottospazio e trovare il minimo sottospazio che li contiene; b) Fissato u, i vettori w =a u, con a reale positivo, costituiscono un sottospazio? In caso negativo, trovare il minimo sottospazio che li contiene; c) Provare che l unione insiemistica dei vettori di due rette per l origine non è un sottospazio vettoriale e trovare il minimo sottospazio che le contiene; d) Provare che l insieme dei vettori, applicati in O, il cui secondo estremo descrive una retta non passante per O, non è un sottospazio e trovare il minimo sottospazio che lo contiene. e) Trovare la somma di tre rette per l origine e dire se si tratta di una somma diretta (distinguere i vari casi, a seconda della posizione reciproca delle rette). f) Trovare la somma di tre piani per l origine: puo succedere che tale somma sia diretta? g) Trovare la somma di un piano e di una retta per l origine ; quando succede che questa somma sia diretta? Es. n. 2: In R 3 si considerino i seguenti sottoinsiemi:

6 W = {(x,y,z): x+y+z = 0} T = {(x,y,z): x+y = 0, x+z = 0}. a) Verificare che V,W,T sono sottospazi; b) Calcolare V W c) Calcolare V+W e verificare che non si tratta di una somma diretta; d) Calcolare V T; e) Calcolare V+T e verificare che la somma è diretta. Ripetere lo stesso esercizio sostituendo R 3 con C 3. Es.n.3: Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi: a) R + R + R +, dove R + indica l insieme dei reali non negativi. b) Z Z Z c) R R {0} f) R R {1} g) {(t, 2t, -3t)}, t R h) {(u, u+v, u-2v)}, u,v R i) {(u, u 2, u+v)}, u,v R j) {(t, 2t+1, t 3 -t)}, t R Es.n.4: Verificare che i seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi e calcolarne somma e intersezione: V = {(u+2v, u-v, 2u+3v)}, u,v R, W ={(u-v, u, u+v)}, u,v R. Dire se la somma e diretta. Es.n.5: Verificare che i seguenti sottoinsiemi di R 4 sono sottospazi e calcolarne somma e intersezione: V = {(x 1, x 2, x 3, x 4): x 1 +2 x 2 + x 3 = 0, x 3 - x 4 =0} W ={( x 1, x 2, x 3, x 4 ) : x 1 + x 2 + x 4 = 0, x 3 + x 4 =0 Dire se la somma e diretta. Es. n. 6: Verificare che l'insieme S (risp.a) delle matrici simmetriche (risp. antisimmetriche) di ordine n è un sottospazio di R n,n e che risulta R n,n = S A. Es. n. 7: In R 2 si definiscano le seguenti operazioni: somma: (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ) prodotto: a(x, y) = (x a, y a ). Si dimostri che, con questa somma e questo prodotto, R 2 non è uno spazio vettoriale.

7 somma: prodotto: (x, y) + (x, y ) = (x - x, y - y ) a(x, y) = (ax, ay). Es. n. 8: Dimostrare che ogni spazio vettoriale su C si può pensare come spazio vettoriale su R, restringendo l operazione di prodotto alle coppie (numero reale, vettore). (Attenzione: l affermazione non è vera se si scambiano R e C). CORSO DI GEOMETRIA Esercizi su Sistemi di Generatori, Basi, Matrici. Es. n.1: In R 4 si consideri il sottospazio S = L(v 1, v 2, v 3, v 4 ), dove v 1 = (1,0,1,1), v 2 =(0,1,-1,2), v 3 =(2,1,1,4), v 4 =(1,2,-1,5). Si trovi una base di S e si calcolino le componenti di u = (1,1,1,1) rispetto a tale base. Es. n. 2: Fissati v 1, v 2, v n in uno spazio vettoriale V, si verifichi che L(v 1, v 2,,v n ) = L(av 1 +bv 2, v 2,, v n ) b, purché sia a? 0. Es. n. 3: Si trovi la dimensione di C 2 come R-spazio.

8 Es. n. 4: Nel C-spazio vettoriale C 3 si consideri il sottospazio V generato dai vettori v 1 = (1,i,-1), v 2 = (i,i 2,i 3 ). Si calcoli la dimensione di V. Si calcoli la dimensione dell R-spazio generato da v 1 e v 2. Si risponda alle stesse domande sostituendo v 2 con u 2 =(i, i 2, i). Es. n. 5: In R 4 si considerino i vettori: v 1 =(1, 1, 1, 1), v 2 =(1, 0, 0, 1), v 3 =(0, 0, 1, 1), v 4 =(1, 1, 0, -1), v 5 =(0, 1, 0, 0). Si provi che la somma L(v 1, v 2 ) + L(v 3, v 4 ) è diretta e se ne trovi una base, Si provi che v 1, v 2, v 5 sono l.i. e si completi il loro insieme ad una base di R 4. Es. n. 6: Sono dati i seguenti vettori di R 3 : v 1 =(1, 2, 3), v 2 =(-1, 1, 1), v 3 =(0, 3, k), v 4 =(-1, k, 5), v 5 =(-1, 10, 13). Trovare una base di L(v 1,, v 5 ), al variare di k. Es. n. 7 (*): Si consideri lo spazio R n, n delle matrici quadrate di ordine n. a) Sia Eij la matrice costituita da tutti zeri tranne che al posto (i, j), dove c è 1. Si provi che EijA, dove A R n,p, è la matrice con tutte le righe nulle, tranne la i-esima, che coincide con la j-esima di A. Analogamente si provi che BE ij, dove B R q, n, è la matrice con tutte le colonne nulle, tranne la j-esima, che coincide con la i-esima di B. b) Si provi che (I + ae ij )A è la matrice che si ottiene da A con la sostituzione R i? R i + ar j c) Sia S A il sottoinsieme di R nn così definito: S A = {X: AX=0}. Si verifichi che S A è un 1 sottospazio. Nel caso particolare n=2, A= 2 2, si trovi una base di S A. d) Sia S il sottoinsieme di R n,n così definito: S = {X: AX=XA, A R n,n }. Si verifichi che S è un sottospazio. Nel caso particolare n=2, si trovi una base di S. e) Sia S A il sottoinsieme di R n,n così definito: S A = {X: AX=XA }, con A matrice fissata. Si 1 verifichi che S A è un sottospazio. Nel caso particolare n=2, A= 2 2, si trovi una base di S A. f) Sia S A il sottoinsieme di K n,n così definito: S A = {X: AX=XA}. Si verifichi che S A è un 1 sottospazio. Nel caso particolare n=2, A= 2 2, si trovi una base di S A. Es.n.8: In R 5 si consideri il sottoinsieme V = {(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ): 2x 1 -x 3 =0, x 2 +2x 4 +x 5 = 0}. Si verifichi che V e un sottospazio e se ne calcoli la dimensione. Es. n.9

9 Nello spazio R 2,2 delle matrici, si consideri il sottoinsieme S costituito dalle matrici A soddisfacenti la relazione : A + 2 t A = 0. Si verifichi che S e un sottospazio e se ne trovi una base. Es.10: Nello spazio R 2,2 si fissi una matrice A. Nello spazio R 2,2 si consideri il sottoinsieme S delle soluzioni dell equazione AX = 0. Si verifichi che S e un sottospazio e si controlli, dando esempi, che dim S dipende dalla scelta di A. CORSO DI GEOMETRIA Riduzione di Matrici, Sistemi Lineari, Determinanti Es. n. 1: Studiare il rango della matrice seguente al variare di k in R:

10 k 1 2 A k = k 1 1 k 2k Es. n. 2: Ridurre per righe la matrice a 0 0 b 1 0 c 0 e calcolarne il rango. 1 Es. n. 3: Trovare una base del sottospazio di R 4 generato dai vettori (1,1,2,0), (2,-1,1,3), (0,5,5,-5) e completarla ad una base di R 4. Es. n. 4: Costruire un sistema lineare di 5 equazioni in 4 incognite avente: a) 1 soluzioni; b) 2 soluzioni; c) 1 soluzione; d) nessuna soluzione; e) 4 soluzioni; f) 5 soluzioni. Es. n. 5: Trovare una base per lo spazio delle soluzioni dei seguenti sistemi lineari: a) x+y+z =0, x+y-3z = 0 b) x+y+z-t = 0, x-y+z+t = 0, 3x+y+3z-t = 0. c), x-y-2z+t = 0, x+λy-2z-λt = 0, λ(x+y)+2λz-λt = 0, al variare di λ R. Es. n. 6: Discutere la risolubilità e, se possibile, risolvere i sistemi non omogenei ottenuti da quelli omogenei dell'esercizio 5 con la seguente scelta di termini noti : a) (1,2) oppure (1,1); b) (1,2,4) oppure (1,1,1); c) (1,1,1) oppure (1,1,-1), oppure (a,b,c) al variare di a,b,c in R. Es. n. 7: Calcolare A = 2 λ 0 A 1, per i valori di λ per cui esiste, essendo λ Es. n. 8: Determinare una base dello spazio delle soluzioni di AX=0 con:

11 A= i 1 i i k i al variare di k in C. 1 0 k Es. n. 9: Verificare che le equazioni matriciali AX=B, XA=B con: A = e B = sono risolubili entrambe, con soluzioni X 1 (rispettivamente X 2 ) uniche, con X 1? X 2. Es. n. 10: Verificare che la matrice 1 2 A = è un divisore di 0 in R 3, 3, cioè X? 0 tale che AX= Es. n. 11 (*): Risolvere le seguenti equazioni matriciali: AXA 1 =I, AXA 1 =A, con: 2 π π e 2 A = 0 π Es. n. 12 (*): 2 è data la matrice A = 2 3 R 2, 2 a) Verificare che le matrici X permutabili con A formano un sottospazio vettoriale V di R 2, 2, avente dimensione 2; b) Dedurre che le matrici I, A, A 2 sono l.d. tra loro ed esprimere A 2 come c.l. di I e di A; 1 c) Provare che A è invertibile, che A V e scrivere A 1 come c.l. di I e A; d) Trovare una base di V contenente A 3. Es. n. 13 (*): Sia data una matrice rettangolare A. Verificare che le due equazioni matriciali AX=I, XA=I non si possono mai risolvere entrambe. Qual è la condizione affinché se ne possa risolvere una?

12 CORSO DI GEOMETRIA Applicazioni Lineari Es. n. 1: Sia f : R 2, 2 R 2, 2 2 così definito: f(x) = AX-XA dove A = 2 3, a) verificare che f è lineare; b) trovarne il nucleo; 1 c) verificare che M = 1 1 non sta nel nucleo; 0 d) verificare che N = 0 1 Imf. Es. n. 2: Provare che, nell insieme degli endomorfismi di R 2, a) non esiste alcun elemento f per cui f (1,2) = (2,3), f (2,3) = (3,4), f (3,4) = (1,1); b) esiste uno ed un solo elemento f per cui f (1,2) =(2,3), f (2,3) = (3,4); c) esistono infiniti elementi f per cui f (1,2) = (2,3); d) esiste uno ed un solo elemento f per cui f (1,2) = (2,3), f (2,3) = (3,4), f (3,3) = (3,3); e) esistono infiniti elementi f per cui f (1,2) = (2,3), f (2,4) = (4,6). Es. n. 3: Verificare che, u e v R 3, non esistono endomorfismi iniettivi f di R 3 soddisfacenti la condizione (*): f (2,3,1) = u, f (2,1,0) = v, f (3,0,0,) = u+v. Esistono endomorfismi suriettivi per cui (*) è soddisfatta? Quanti sono gli endomorfismi soddisfacenti (*) per u e v fissati? Es. n. 4: Sia f l endomorfismo di R 3 associato alla matrice seguente rispetto alle basi canoniche: 3 2 M = Provare che kerf Imf Es. n. 5: Determinare uno spazio vettoriale V ed una funzione lineare f : R 2, 2 V in modo che a) f sia suriettiva; b) kerf sia lo spazio delle matrici simmetriche.

13 Es. n. 6 Data la funzione lineare f : R 3???? R 3, avente come matrice rispetto alla base canonica: 2 1 M = , a) trovare, se possibile, una funzione lineare g: R 3???? R 3, tale che gf sia suriettiva; b) trovare, se possibile, una funzione lineare g: R 3???? R 2, tale che Im(gf) abbia dimensione 1; c) trovare, se possibile, una funzione lineare g: R 3???? R 3, tale che f+g sia l identità di R 3. Es. n. 7: Nello spazio V dei vettori ordinari è data la funzione f così definita: f(v) = a v - b v, (a? b). a) Verificare che f è lineare e trovare kerf ed Imf; b) Posto a=(1,1,1) e b=(1,0,-1), calcolare la matrice di f rispetto alla base (i, j, k). Completare a ad una base B di V e determinare M B f.

14 CORSO DI GEOMETRIA Autovalori e Autovettori Es. n. 1: Provare che le seguenti matrici A e B hanno gli stessi autovalori, ma che gli endomorfismi f e g ad esse associati relativamente alle basi canoniche hanno autovettori diversi A = B = Es. n. 2 (*): Risolvere lo stesso esercizio del n.1, dove : A = 0 0 3, B = A Provare che l'autospazio relativo ad A è contenuto in quello relativo ad A 2. Più in generale, provare che, se λ è un autovalore di A con autospazio V, allora λ 2 è autovettore di A 2 con autospazio W V. Es. n. 3: 3 Provare che l'endomorfismo f di R per cui (1,0,2), (1,1,1), (2,1,2) sono autovettori relativi agli autovalori 1, 2, 3 rispettivamente, esiste, è unico ed è un isomorfismo. Quali sono gli autovettori di f 1?. Es. n. 4: Provare che le seguenti matrici A e B hanno autovalori reali, mentre non ne ha la loro somma: 1 A = 1 4 B = Es. n. 5: Trovare autovalori e autovettori dell'endomorfismo di R 2,2 dato da f(x) = t X (trasposta di X) (tenere conto che R 2,2 = S A, dove S = sottospazio delle matrici simmetriche, A = sottospazio

15 Es. n. 6: Sono dati i sottospazi di R 3 : V 1 ={(x,y,z): x+y+z=0}, V 2 ={ (x,y,z): x=t, y=2t, z=kt}. Per quali valori di k esiste un endomorfismo di R 3 avente V 1 come autospazio relativo all autovalore 4 e V 2 come autospazio relativo all autovalore -1? Fissato uno di tali k, trovare il corrispondente endomorfismo. Es. n. 7: In R 3 si considerino i vettori v 1 (1,1,1), v 2 =(1,0,-1) e v 3 =(k,2,2,). Studiare, al variare di k, l esistenza di endomorfismi soddisfacenti queste condizioni: a) v 1 e v 2 sono autovettori relativi all autovalore 1 e v 3 è autovettore relativo all autovalore 2; b) v 1 e v 3 sono autovettori relativi all autovalore 1 ed f non è iniettivo; c) v 1 e v 3 sono autovettori relativi all autovalore 1 e dim Imf =1; d) v 1 e v 2 sono autovettori relativi all autovalore 1. Es. n. 8: Costruire gli endomorfismi f di R 3 soddisfacenti queste condizioni: a) Kerf={(x,y,z): x=t, y=2t, z=t}, v 1 =(1,1,1) è autovettore relativo a λ = -1, v 2 =(2,3,0) è autovettore relativo a λ =3; b) Kerf=(x,y,z): x=t+1, y=-t, z=t+2, v 1 e v 2 come in a); c) Come in b) con v 2 =(2,3,2). Es. n. 9: a b E data la matrice A R 4,4 0 1 : A = diagonalizzabile? Per tali valori, diagonalizzarla Per quali valori di a e b la matrice è 0 1 Es. n. 10: Verificare che non esistono endomorfismi di R 2,2 che abbiano come autospazi i seguenti sottospazi: V V 1 formato dalle matrici simmetriche e V 2 formato dalle matrici con traccia nulla. Sostituire V 2 con suo opportuno sottospazio V 2, in modo che esista qualche endomorfismo con autospazi V 1, V 2. Es. n. 11: Scrivere una matrice A R 3,3, non diagonalizzabile, che abbia come polinomio caratteristico t 3 +3t 2. Es. n. 12: Scrivere due matrici 4 4 a elementi reali con lo stesso polinomio caratteristico, una diagonalizzabile e l'altra no. Es. n. 13:

16 Es. n. 14: E' data la matrice quadrata A. Come deve essere scelta A perché l'insieme delle matrici ad essa simili contenga un solo elemento? Es. n. 15: Sia f l'endomorfismo di V (spazio dei vettori ordinari) dato da f(v) = a v (a vettore fisso non nullo). Provare che due qualsiasi autovettori sono paralleli tra loro. Es. n. 16(*): Sia f l endomorfismo di V, spazio dei vettori ordinari, dato da f(v) = a v, dove a è un vettore fisso, non nullo. Verificare che f non è semplice. Sia A=M EE (f ) con E={i,j,k}. Provare che A non è diagonalizzabile come matrice reale, ma lo è come matrice complessa. In generale provare che, se A R 3,3 ha un autovalore complesso, allora essa è diagonalizzabile su C. CORSO DI GEOMETRIA Geometria Analitica nel Piano: Cambiamenti di Riferimento, Rette, Circonferenze. Es. n. 1: Considerato il cambiamento di riferimento, R(O,i,j) R(O, I,J ), con O =(1,-2)e I = (-3/5, 4/5):: a) Determinare J. b) Scrivere le coordinate (x,y) di un punto P in funzione delle sue coordinate (X,Y) nel nuovo riferimento e viceversa. c) Quali sono le nuove coordinate di A(1,2)? d) Che equazione ha nel nuovo riferimento la retta r: x+y-5 = 0? Es. n. 2: Sono date le rette r: x+2y-2 = 0, s: 4x-2y-8 = 0. a) Verificare che r ed s sono ortogonali. b) Trovare la formula di tutti i possibili cambiamenti di riferimento per cui r ed s diventano i nuovi assi cartesiani c) Qual è la nuova origine degli assi? Trovare un vettore u parallelo ad r ed uno v parallelo ad s. d) Utilizzando il metodo del fascio di rette determinare le bisettrici degli angoli formati dalle due rette. e) Verificare che l'unione delle due bisettrici è il luogo dei punti equidistanti da r ed s. Es. n. 3: Verificare che se le tre rette: r: ax+by+c = 0, s: a x+b y +c =0, t: a x+b y+c =0

17 a b c hanno un punto in comune, allora det a' b' c' = 0. Vale il viceversa? a'' b'' c'' Es. n. 4 (*): Provare che le tre rette: r:x+y-2 = 0, s: 2x+y-3 = 0, t: x-3y = 0 sono a due a due non parallele e sono i lati di un triangolo T (usare l'esercizio 3). Senza determinare i vertici di T, trovare le equazioni delle sue "altezze" ("altezza" = retta per un vertice e perpendicolare al lato opposto) e provare che esse passano per uno stesso punto. Es. n.5: Sono dati il punto P(1,-2) e la retta r: x+3y+1=0. Calcolare: le rette uscenti da P che formano un angolo di π/6 radianti con r; la retta per P parallela ad r; la retta per P perpendicolare ad r. Es. n. 6: Scrivere in almeno due modi diversi le equazioni parametriche della retta r: x-3y+1=0. Es. n. 7: Trovare la distanza di P(1,2) dalla retta r: x=6+t, y=-1+t, dopo aver verificato che P r. Calcolare inoltre: le rette uscenti da P che formano un angolo di π/6 radianti con r; la retta per P parallela ad r; la retta per P perpendicolare ad r. Es. n. 8: Date le rette r: 2x-y+1 = 0 ed s: 6x-3y = 0; a) trovare la distanza tra r ed s; b) trovare le rette ad esse parallele, aventi distanza 3 da r; c) trovare l equazione della retta mediana della striscia da esse determinata. Es. n.9: Determinare le circonferenze passanti per i punti A(2,-1) e B(2,4) e tangenti all asse y, trovando le coordinate del loro punto di tangenza. Es. n.10(*): Trovare la famiglia di tutte le circonferenze passanti per i punti A(1,1), B(3,-1). Scrivere l'equazione del luogo dei loro centri. Determinare l'equazione delle circonferenze della famiglia tangenti alla retta x+y+1 = 0. Es. n. 11: Trovare l equazione della circonferenza tangente alla retta x+y-2 = 0 in P(1,1) e passante per Q(2,1). Scrivere le equazioni delle tangenti ad essa condotte da. A(5,5). Es. n. 12:

18 Date le circonferenze: C 1 : x 2 +y 2-2x+4y = 0, C 2 :x 2 +y 2-6x-2y = 0, trovare: le circonferenze di raggio 10 che passano per i loro punti comuni; la retta che congiunge i loro punti di intersezione; l angolo tra le loro tangenti in uno dei punti di intersezione. Es.n.13: Determinare il quadrato inscritto nella circonferenza di equazione: x 2 + y 2-2x-6y =0, che ha un vertice nel punto A(0,0). Es.n.14: Determinare i triangoli inscritti nella circonferenza di equazione : x 2 +y 2 4x +6y = 0, aventi un lato parallelo al vettore v = (2,0). CORSO DI GEOMETRIA Coniche Es. n.1: Studiare la famiglia di coniche:x 2 +2xy+ty 2 +4x-6y+t = 0, riconoscendo: le coniche degeneri, le parabole, le iperboli, le ellissi (reali o immaginarie). Scrivere le equazioni canoniche per le coniche corrispondenti a t = 1, t=-1 e disegnarle nel piano xy. Es. n. 2: Scrivere l'equazione dell'ellisse di centro C(1,-1),di semiassi a=3, b=2, avente l'asse maggiore sulla retta x+2y+1 = 0.

19 Es. n. 3: Scrivere l'equazione della conica costituita dalle due rette x+y = 0, x-3y+5 = 0.. Trovare l'equazione di almeno una iperbole avente le due rette come asintoti. Es. n. 4: Studiare il fascio di iperboli di equazione x 2 +xy+ty = 0 (t 0), mettendo in evidenza eventuali elementi comuni (centro, assi, asintoti, tangenti,...). Ripetere la stessa cosa per il fascio : x 2 +xy+y+k = 0 (k -1). Che cosa rappresentano le equazioni nei casi t=0, k=-1? Es. n. 5(*): Verificare che le due coniche C) x 2 +2y 2-4 = 0 e C ) x = y 2-1 si intersecano in due punti reali P 1 ep 2 e in due punti complessi. Provare che tutte le coniche del fascio individuato da C e C' passano per P 1 e P 2. Ci sono coniche degeneri nel fascio? Ci sono parabole? Es. n. 6: Verificare che la conica C) x 2-2xy+y 2 +y = 0 è una parabola. Trovarne: il vertice, l'asse, la tangente nel vertice, una forma canonica, un cambiamento di riferimento che realizzi tale riduzione a forma canonica. Trovare l'equazione di una circonferenza di raggio 1 e tangente a C nel punto P(-2,-1). CORSO DI GEOMETRIA Piani, Rette, Sfere Es. n. 1:

20 Date le rette: r = {x+y-2=0, x-y-2z=0}, s ={x-2y+1=0, 2x-2z-2=0}, trovare le equazioni di tutti i piani paralleli sia ad r che ad s. Esiste un piano tra questi che contenga r? Ne esiste uno che contenga sia r che s? Rispondere alle stesse domande con: r ={x=1, y=2}, s ={x=-t, y=2t, z=3t}. Es. n. 2: Dire come si intersecano i tre piani:α: x+y+2z+1=0, β:2x-y+3z=0, γ:x-y+cz+d=0, al variare dei parametri c e d. Es. n. 3: Verificare che i quattro piani seguenti si incontrano in un punto: π 1 : x+3y-3z=0, π 2 : x-y+4z-4=0, π 3 : -2y+z+1=0, π 4 : 2x+2z-3=0; utilizzarli per costruire delle rette incidenti; verificare che tre qualunque tra essi non formano fascio. Trovare una rappresentazione parametrica della retta intersezione di π 1 e π 2. Es. n. 4: Sono dati i due fasci di piani: Φ 1 :λ (x+2y+z-5)+ µ (2x-y)=0, Φ 2 : λ (x-1)+µ (x+y+z-3)=0. Verificare che le due rette assi dei fasci sono incidenti e trovare le bisettrici degli angoli che esse formano. Provare che esiste un piano comune ai due fasci. Costruire una coppia di fasci che non abbiano alcun piano in comune. Es. n. 5(*): Date le rette: r :x=1, z=y-2, s :2x+y-z=0, y+z-2=0, a) verificare che r ed s sono sghembe, trovarne la minima distanza e la perpendicolare comune; b) trovare, se c è, una retta per A(2,1,0) incidente entrambe; c) trovare tutte le rette incidenti r, s e la seguente retta t:x+y=0, z=1 (in alternativa: t:x+y=0, z=-3). Es. n. 6: E dato il piano π: x+2y+2z-1=0. Nella simmetria ortogonale rispetto a π, trovare: a) il simmetrico di P(1,2,3); b) la retta simmetrica di r ={x=t, y=t, z=1}; c) il piano simmetrico di x-y+1=0. Es. n. 7: Sono dati il piano π) x+z-1 = 0 e la retta r: x=t, y=2t, z=t. Determinare i piani per r che formano un dato angolo α con il piano π. Discutere il problema al variare di α. Ripetere l'esercizio sostituendo r con r : x = 1+t, y=1, z = 3+t. Es. n. 8: Provare che i piani α: x+y = 0, β: x-y+2z+1 = 0, γ: x-y-z-1 = 0 sono a due a due ortogonali e trovare un cambiamento di riferimento per cui α, β, γ diventino rispettivamente i piani X = 0, Y = 0, Z = 0. Es. n. 9:

21 a) la sfera di centro C e tangente a r ; b) la circonferenza di centro C e tangente a r ; c) le sfere tangenti ad r in A (1,1,2 ) e passanti per C. Es. n. 10: Sono date le rette r ) x + y = 0, x + y + 2z + 2 = 0 ed s ) x y = 0, z = 1. Verificare che non esistono circonferenze tangenti ad r e ad s. Trovare le sfere di raggio R, aventi centro su r e tangenti ad s : discutere al variare di R. Es. n. 11: Verificare che le due superfici sferiche: S )x + y + z + x + 2 y + z = 0 ed S' )x + y + z + x + y + z = 0 si tagliano lungo una circonferenza C. Provare che esistono due rette tangenti a C e passanti per A(1,0, 2 ) e trovarne le equazioni. Es. n. 12: Provare che non è possibile trovare una superficie sferica che passi per i punti A ( 2,0,0 ),B( 1,1,0 ),C( 0,1,1), D( 3, 1,0 ). Provare che esistono infinite sfere passanti per A,B,C,E( 2, 1,1). Giustificare tali risultati esaminando la posizione dei punti. Scrivere le equazioni della circonferenza per A,B, C e trovarne centro, raggio e retta tangente in A.

22 CORSO DI GEOMETRIA Coni, Cilindri. Es. n. 1: Data la circonferenza C: { x + y + z = 4; x y z = 0 }, a) scrivere l equazione cartesiana dei due cilindri che la proiettano parallelamente alla retta {x+y=0; x-z=0}, ovvero perpendicolarmente al piano xy. Determinare la curva C, proiezione ortogonale di C sul piano xy; b) scrivere l equazione cartesiana del cono che la proietta dal punto P(1,2,1). Determinare la curva C proiezione di C da P sul piano xy. Es. n. 2: 2 2 Data la curva L di equazioni: x = t + t, y = 2t + 1, z = t + 2, a) provare che L è piana; b) studiare la proiezione ortogonale di L sul piano xy; c) scrivere l equazione cartesiana del cono che proietta L dall origine.