29. Mezzi elastici RELAZIONE SFORZO-DEFORMAZIONE

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1 29. Mezzi elastici I mezzi continui solidi sono caratterizzati da piccole deformazioni, che consentono di stabilire una relazione lineare tra sforzo e deformazione nota come legge di Hook. Linearizzando le equazioni del moto, che danno l evoluzione di una deformazione iniziale del mezzo, si ottengono le equazioni delle onde elastiche. Si hanno due tipi onde: trasversali, in cui lo spostamento è normale alla direzione di propagazione, longitudinali, in cui lo spostamento è parallelo alla direzione di propagazione. Questi due tipi di onde si distinguono anche per avere velocità di propagazione diverse RELAZIONE SFORZO-DEFORMAZIONE Se le deformazioni cui è soggetto il mezzo continuo elastico sono piccole è lecito sviluppare la densità di energia U(F) attorno allo stato indeformato, che corrisponde alla configurazione di equilibrio. Si fa quindi l ipotesi che F I 1 che implica piccoli gradienti di deformazione E 1 e si considera lo sviluppo di Taylor di U arrestato al secondo ordine U(F) = U(I) + B ij (F I) ij C ijkl(f I) ij (F I) kl + O( F I 2 ) (29.1.1) dove B e C sono definiti da B ij = U F ij F=I, C ijkl = 2 U F ij F kl F=I (29.1.2) Lo sforzo in assenza di deformazione è nullo, per l ipotesi fatta che lo stato indeformato sia uno stato di equilibrio, e si ha quindi B ij = 0. Da ( ) e (29.1.1) si desume la

2 Mezzi elastici c relazione sforzo-deformazione al primo ordine in F I. Se C è simmetrica nei primi due indici τ ij = 1 2 (C ijkl + C jikl )(F I) kl (29.1.3) tenendo conto che le derivate seconde miste di U sono uguali risulta simmetrica anche negli ultimi due indici C ijkl = C jikl (29.1.4) C ijkl = C klij (29.1.5) C ijkl = C ijlk (29.1.6) Così da una matrice a 4 indici e con 3 4 = 81 componenti si passa a ad una matrice con sole 21 componenti indipendenti. Infatti la simmetria nello scambio (ij) (ji) impone che la coppia assume solo 6 valori indipendenti. Associando alle coppie (ij) indipendenti un solo indice questo varia tra 1 e 6. Data l invarianza nello scambio (ij) e (kl) le componenti indipendenti di C sono quelle di una matrice 6 6 simmetrica, vale a dire (6 2 6)/2+6 = 21. Se le deformazioni sono piccole F I = E +Ω e ricordando che Ω è antisimmetrica si ottiene la relazione sforzo-deformazione τ ij = C ijkl E kl (29.1.7) Corpi isotropi Un corpo si dice isotropo se le sue proprietà sono invarianti per rotazione. Per rotazione una matrice A si trasforma in A = RA R ossia A ij = R ik R jl A kl (29.1.8) ed è invariante se A = A. Una matrice a quattro indici (che rappresenta un tensore del quarto ordine) si trasforma in C ijkl = R im R jn R kp R lq C mnpq (29.1.9) Una matrice a due indici è invariante per rotazione A = A se e solo se è un multiplo dell identità. A ij = αδ ij ( ) Una matrice a quattro indici è invariante C = C, se e solo se C ijkl = λδ ij δ kl + µδ ik δ jl + νδ il δ jk ( )

3 c Equazioni linearizzate 545 La simmetria (29.1.4) impone che µ = ν e la relazione costitutiva per un mezzo elastico, nota come legge di Hook, si scrive τ ij = λδ ij E kk + 2µE ij ( ) dove λ, µ sono noti come coefficienti di Lamé. Una forma equivalente è data da τ ij = 2µ (E ij 13 ) E kkδ ij + B E kk δ ij ( ) dove B = λ µ è detto coefficiente di compressione. La relazione sforzo-deformazione può essere facilmente invertita valutando la traccia della matrice degli sforzi τ kk = 3BE kk. Sostituendo in ( ) si ottiene E ij = 1 (τ ij 13 ) 2µ τ kkδ ij + 1 9B τ kk δ ij ( ) Esaminiamo la relazione sforzo-deformazione nel caso in cui lo sforzo abbia una sola componente τ zz non nulla, come accade per una barra verticale soggetta alla forza peso. Prendendo gli elementi diagonali in ( ) si trova E xx = σ Y τ zz, E yy = σ Y τ zz, E zz = 1 Y τ zz, ( ) dove Y, detto modulo di Young e σ, detto coefficiente di Poisson son definiti da Y = 9µB 3B + µ, σ = 1 2 3B 2µ 3B + µ ( ) Si noti che un coefficiente di Poisson σ non nullo, consente di avere spostamenti orizzontali, anche se lo sforzo è verticale e che E xx = σe zz, E yy = σe zz EQUAZIONI LINEARIZZATE Per i continui elastici si usa scrivere la forma lagrangiana delle equazioni del moto, ottenuta da (28.5.2) ponendo (X) = ρ(x)detf e riesprimendo le derivate rispetto a x i attraverso le derivate rispetto a X i 2 u i t 2 = detf (F 1 ) kj τ ij X k + g i (29.2.1) dove = ρ(x, 0) e u i = u i (X, t). Le forze esterne sono espresse da f i = ρg i dove g x = g y = 0, g z = g nel caso della forza peso. Tenendo solo i termini del primo ordine

4 Mezzi elastici c nello spostamento ed usando la legge di Hook (29.1.7), la forma lagrangiana e quella euleriana delle equazioni del moto coincidono. Le equazioni linearizzate, in assenza di forze esterne, sono date da 2 u i t 2 = X j (C ijkl E kl ) (29.2.2) e per corpo isotropo, la cui legge di Hook è data da ( ), diventano 2 u i t 2 = X i (λe kk ) + 2 X j (µe ij ) (29.2.3) Forze esterne Se ci sono forze esterne la configurazione di equilibrio è caratterizzata da un campo u (X) e le equazioni del moto si scrivono per gli spostamenti u rispetto all equilibrio. Decomponendo lo spostamento u = u +u ed il suo gradiente E = E +E, dove u è lo spostamento all equilibrio, si scrive x = X + u (X) + u (X, t) (29.2.4) Nell ipotesi di piccoli gradienti di deformazione l equazione per l equilibrio è g i (X + u ) + X j (C ijkl E kl) = 0 (29.2.5) Facendo la differenza tra dove u = u +u e (29.2.5) si ottiene per u l equazione del moto, che per un mezzo uniforme diventa (X) 2 u i t 2 = C ijkl (E X kl) + g i (X + u + u ) g i (X + u ) (29.2.6) j e coincide con (29.2.2) nel caso della la forza peso, perché g i è costante. Come esempio consideriamo una barra verticale di altezza L, soggetta al suo peso e scaliamo u e X con L per renderli adimensionali. L unica componente del tensore degli sforzi è τ zz e se λ = 0, sicché il il modulo di Poisson è nullo e Y = 2µ, l unica componente del gradiente dello spostamento è E zz = du/dz. La equazione per l equilibrio z (YE zz) = g diventa d 2 u dz 2 = ǫ ǫ = gl Y (29.2.7) che ha soluzione u = ǫ( 1 2 Z2 Z) se l estremo superiore Z = 1 è libero, cioè soggetto a sforzo nullo du /dz = 0. Se invece l estremo Z = 1 è fisso u(1) = 0, la soluzione diventa u = 1 2 ǫ(z2 Z). Nel caso generico in cui sia λ 0 e quindi σ 0 il i gradienti di

5 c Onde elastiche 547 deformazione orizzontale E xx, E yy non sono nulli. Risolviamo prima la equazione per lo sforzo supponendo libero l estremo superiore dτ zz dz = gl, τ zz = gl (Z 1) (29.2.8) Scriviamo quindi per gli spostamenti u le equazioni ( ) e E ij = 0 per i j u x X = u y Y = σǫ(z 1), u z Z = ǫ(z 1), (29.2.9) u x Y = u y X, u x Z = u z X, u z Y = u y Z la cui soluzione è data da u x = σǫx(z 1), u y = σǫy (Z 1), ( Z u 2 z = ǫ 2 Z + Y 2 ) σx2 2 ( ) ONDE ELASTICHE Quando il mezzo è omogeneo oltreché isotropo e non vi sono forze esterne, le equazioni del moto diventano 2 u i u k = (λ + µ) + µ u i (29.3.1) t2 X i X k X j X j oppure usando la notazione vettoriale 2 u = (λ + µ) grad divu + µ u (29.3.2) t2 Y X Figura Onde longitudinali.

6 Mezzi elastici c Si considera dapprima la soluzione delle equazioni del moto nel caso di un mezzo semiinfinito X 1 0 soggetto ad uno spostamento assegnato f(t) sul piano X 1 = 0 in direzione normale al piano stesso. Assumendo che il mezzo sia inizialmente in quiete il campo di spostamenti è dato da u 1 = u(x, t), u 2 = u 3 = 0 (29.3.3) dove si è posto X = X 1, e u soddisfa l equazione 2 u t 2 = (λ + µ) 2 u X2, u(0, t) = f(t) (29.3.4) La soluzione è un onda longitudinale, che si propaga con velocità v L, vedi figura ( ) 1/2 λ + 2µ v L = (29.3.5) (lo spostamento è parallelo alla direzione di propagazione) e si scrive esplicitamente { f(t X/vL ) se X v u(x, t) = L t (29.3.6) 0 se X > v L t Se lo spostamento f(t) sul piano X 1 = 0 è parallelo al piano stesso, la soluzione è data da dove u soddisfa l equazione u 2 = u(x, t), u 1 = u 3 = 0 (29.3.7) 2 u t 2 = µ 2 u X2, u(0, t) = f(t) (29.3.8) La soluzione (29.3.6), dove v L è sostituito da v T, rappresenta un onda trasversale, vedi figura , che si propaga con velocità v T dove ( ) 1/2 µ v T = (29.3.9) ρ Y X Figura Onde trasversali.

7 c Onde elastiche 549 Nel caso generale si hanno ancora onde longitudinali e trasversali che si propagano con velocità v L e v T. Introducendo un potenziale scalare φ e vettore w come per onde elettromagnetiche u = grad φ + rotw ( ) e sostituendo nella (29.3.2) si ottiene grad ( 2 ) φ (λ + 2µ) φ + rot t2 ( 2 ) w t 2 µ w = 0 ( ) La equazione delle onde per u è soddisfatta se φ e w sono soluzione delle equazioni seguenti φ 1 v 2 L 2 φ 1 = 0, w t2 v 2 T 2 w t 2 = 0 ( ) Se il mezzo è incompressibile si hanno solo onde trasversali ma in generale si ha sovrapposizione di onde longitudinali e trasversali, che sono più lente delle prime. Soluzioni monocromatiche delle equazioni ( ) sono date da φ = φ 0 sin(k L X ωt), w = w 0 sin(k T X ωt) ( ) dove, se n è la direzione di propagazione dell onda, si ha k L = ω v L n, k T = ω v T n ( ) Il vettore spostamento è espresso da u = φ 0 k L cos(k L X ωt) + k T w 0 cos(k T X ωt) ( )