LEZIONI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

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1 Paolo Podio Guidugli LEZIONI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Parte I. Travi e travature ARACNE

2 Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 A/B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: settembre 2008

3 All ingegner Adriano Guidugli, mio padre, in memoriam.

4 Presentazione. Queste mie Lezioni hanno radici remote, in primis nel libro di Scienza delle Costruzioni di Letterio F. Donato sul quale ho penato da studente a Pisa (dopo che, ai suoi tempi, ci aveva penato mio padre). Non sarebbero come sono se la fortuna non avesse portato a Pisa, dove ho cominciato la mia carriera accademica, Piero Villaggio e Gianpietro Del Piero: con il secondo ho condiviso l onore e l onere delle esercitazioni che accompagnavano il corso di lezioni del primo; da entrambi ho imparato molto. Ho tenuto per la prima volta io stesso un corso completo di Scienza delle Costruzioni da professore di prima nomina nell Università di Ancona, nel 1975; lì anzi, sul treno che mi ci portava da Pisa queste note hanno cominciato a prender forma; tornato dopo un paio d anni a Pisa, ne ho redatto una seconda versione. Si trattava di documenti manoscritti, distribuiti ai miei studenti al prezzo della carta sulla quale erano fotocopiati; l intenzione era di dar loro prima o poi l aspetto formale di un manuale a stampa. Trasferitomi all Università diroma TorVergata nel 1983, non ho avuto occasione di insegnare di nuovo Scienza delle Costruzioni che vent anni dopo, a valle della rivoluzione del 3+2. Malgrado fossi ormai un moschettiere non più giovane, questo fatto mi ha indotto a concepire un piano didattico ambizioso, che includesse anche la redazione di un corso di lezioni di Meccanica dei Solidi; in tutto, quattro svelti libretti, due di Meccanica e due di Scienza, coerenti per linguaggio e notazioni e privi di ripetizioni, ad uso degli studenti di ingegneria del secondo e terz anno del corso di laurea triennale. Questo è il terzo di quei libretti; gli altri seguiranno tra breve. Dei molti che in questi anni mi hanno aiutato, specie per l esecuzione delle figure ma non solo, devo ringraziare in particolare Antonino Favata, Paola Isabella Valenzi, Andrea Micheletti, Vincenzo Nicotra e Giuseppe Tomassetti. Roma, 22 settembre 2008

5 Indice Parte I Travi e Travature 9 1 Un Esempio di Ricapitolazione Esistenza di soluzioni del problema di equilibrio La configurazione assunta sotto l azione del carico Il principio di bilancio delle potenze I principi energetici Esercizi La Trave: Geometria, Cinematica, Forze e Sforzi Nozione di trave Geometria Cinematica Carichi applicati Azioni interne in una trave Esempi di calcolo Caratteristiche di sollecitazione Diagrammi Equilibrio puntuale di travi piane ad asse rettilineo Travature Giunzioni e sconnessioni Esercizi Simmetrie ed equilibrio Esempi

6 6 INDICE 4 Equilibrio di Travi Piane ad Asse Curvilineo Equilibrio puntuale Condizioni differenziali Condizioni di salto Esercizio Equilibrio per parti: l Equazione dei Lavori Virtuali In assenza di carichi concentrati In presenza di carichi concentrati L arco a tre cerniere La forma di un arco soggetto solo a forza normale La descrizione analitica di una curva piana Lo sforzo normale nelle sezioni in chiave e d imposta Esercizi Deformazioni di Travi ad Asse Rettilineo La soluzione elastica dei problemi di equilibrio Deformazioni estensionali Deformazioni estensionali di origine meccanica Esercizi Deformazioni estensionali di origine termica Esercizi Deformazioniestensionalidovuteadistorsioni Deformazioni flessionali Il modello di Bernoulli-Navier L equazione della linea elastica Esercizi Deformazioniflessionalidioriginetermica Deformazioni flessionali dovute a distorsioni Esercizi Deformazioni torsionali Impieghi del Principio dei Lavori virtuali Il Principio dei Lavori Virtuali per travature ad asse rettilineo Esercizi Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche Esempi Esercizio Digressione: Elementi della teoria lineare delle travature elastiche ad asse rettilineo Principio di Sovrapposizione Energia elastica. Teorema del Lavoro e dell Energia Teorema di Reciprocità

7 INDICE Teorema di Unicità Calcolo di incognite iperstatiche Esercizio La scelta del sistema principale Le equazioni di elasticità Esempi Cedimenti anelastici Altri esempi Sistemi reticolari Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature iperstatiche Esempio Instabilità dell Equilibrio Elastico Il carico critico Deformabilità flessionale concentrata Deformabilità flessionale diffusa Il carico critico dal punto di vista del progettista di strutture Effetto delle condizioni di vincolo Cause di instabilitàdiversedaicarichi applicati Variazioni di temperatura Distorsioni Effetto delle imperfezioni Imperfezioni geometriche Imperfezioni di carico Travature con porzioni rigide Esercizi

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9 Parte I Travi e Travature Questa prima parte del nostro corso di lezioni ha per oggetto la teoria lineare delle travature elastiche. Nel svilupparla, avremo cura di sottolineare come la struttura concettuale di questa teoria sia la stessa della teoria delle travature consistenti di travi rigide ed elementi elastici, che è stata presentata nel corso di Meccanica dei Solidi. Vi saranno, come è naturale quando si costruisce una teoria di generalità maggiore di un altra, delle inevitabili complicazioni tecniche, la principale delle quali sarà l impiego del calcolo differenziale in luogo o a complemento dei semplici sviluppi algebrici che bastano per trattare le travature a deformabilità concentrata; serviranno anche conoscenze di base relative alla rappresentazione analitica di curve, piane e non, all integrazione e differenziazione su curve e alla risoluzione di problemi al contorno retti da equazioni differenziali ordinarie.

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11 Capitolo 1 Un Esempio di Ricapitolazione 1 Cominciamo il nostro percorso ricapitolando per mezzo di un esempio alcuni caposaldi della teoria delle travature rigide con elementi elastici a risposta lineare. Si consideri la travatura piana in Fig. 1.1, che consiste di tre travi rigide Figura 1.1 connesse tra loro da due cerniere; nella configurazione antecedente all applicazione del carico, gli assi delle travi CB e BF formano un angolo di 90 o e la molla rotazionale, di rigidezza λ, interposta tra le sezioni estreme delle due travi è scarica, così come lo è la molla estensionale, di rigidezza κ, posta in corrispondenza del vincolo esterno in A. Le domande cui risponde la teoria delle travi con capacità deformative diffuse sono le stesse che si pongono quando si considera il modello più semplice di travatura costituita da una catena cinematica di membrature rigide con elementi

12 12 Un Esempio di Ricapitolazione elastici. Poniamoci di nuovo quelle domande in modo ordinato, utilizzando questo esempio semplice di travatura a deformabilità concentrata per richiamare tipi di problemi, principi e metodi di risoluzione che ritroveremo più avanti in un contesto più generale. 1.1 Esistenza di soluzioni del problema di equilibrio Il primo quesito che ci poniamo è: Q1. Quando la travatura è assoggettata al carico indicato in figura, c è una configurazione di equilibrio prossima a quella assegnata? Per rispondere, occorre analizzare il funzionamento dei vincoli e delle connessioni interne tra gli elementi che compongono la travatura (Fig. 1.2). Si trova che la Figura 1.2 lista di incognite statiche che descrivono il sistema di forze e coppie (esterne e interne, attive e reattive) agente sulla travatura consiste di 5 parametri scalari: a, b, c, d, em; e che la lista delle 5 equazioni scalari a disposizione consiste di: 2 equazioni che esprimono l annullarsi del risultante del sistema; 1 equazione che esprime l annullarsi del momento risultante del sistema; 2 equazioni di sconnessione, indotte dalla presenza delle cerniere in F e B. Se la matrice 5 5 che esprime l equilibrio della travatura risulterà dirango massimo, un applicazione del teorema di Rouché-Capelli ci permetterà dicon- cludere che il problema di equilibrio che abbiamo posto possiede una soluzione soltanto. Ora, di ogni sistema algebrico di equazioni lineari si possono dare infinite versioni equivalenti per contenuto di informazioni sulle incognite, alcune delle quali possono consentirne un calcolo spedito. Spesso versioni astute di