Ripartizione stati tensionali tra le fasi di un terreno

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1 1 Rpartzone stat tensonal tra le fas d un terreno I carch estern e le forze d massa agent sul mezzo soldo contnuo deale sono eulbrat dalle tenson defnte con t δ F = lm δ A 0 δ A δf Nel terreno (mezzo granulare multfase) uesta defnzone ndvdua le cosddette tenson total [σ] δa t [σ] Queste sono a loro volta rpartte n vara msura tra le dverse fas (scheletro soldo e flud) Analzzando l eulbro a lvello mcromeccanco, al contatto tra le partcelle s svluppano le forze ntergranular δf c u δf c δa c NB: ogn sezone δa nteressa soldo + flud e la somma delle aree d contatto δa c << δa δa

2 2 Sollectazon agent nelle dverse fas d un terreno t u δf c δ A c Nel mezzo granulare multfase s possono defnre: δ Fc Le tenson d contatto tc = lm t δ Ac 0 δ A (molto elevate, dscontnue e crescent con la dmensone de gran) c La pressone nterstzale, u = pressone dell acua (se la fase fluda è contnua) La pressone dell ara, u a = pressone d rfermento (se u a pressone atmosferca) δ F c NB: Flud ncapac d trasmettere sforz d taglo Stato tensonale puramente sferco (cercho d Mohr punto) Tenson (vettor o tensor) presson (scalar)

3 3 Le tenson effcac S consder un volume elementare d terreno saturo sezonato con una superfce pana attraverso contatt ntergranular: Eulbro alla traslazone n drezone normale alla sezone: Posto σ = lm δ A 0 δ N δ A ( ) σ δa= δn + u δa δa δn + u δa coè: δ N σ = + u δ A σ = σ u s ha: c σ = σ + s defnsce tensone effcace (o effettva) u u δa δ N σ δt Per l ncapactà dell acua d trasmettere tenson tangenzal, l eulbro alla traslazone trasversale fornsce nvece: δa = δt coè: = δt δ A In pratca, tenson tangenzal total ed effcac concdono s usa solo

4 4 Il Prncpo delle tenson effcac Tensore delle tenson effcac [ σ '] = [ σ] u [ I] dove [I] = matrce dentca (I =1, I j =0) σ x xy xz σx xy xz σ = yx σ y yz yx σ y yz u = zx zy σ z zx zy σ z [ ] La pressone nterstzale u è detta anche pressone neutra Come enunca Terzagh (1936) ed è ampamente verfcato n pratca: Tutt gl effett msurabl d una varazone dello stato d tensone, come la compressone, la dstorsone, e la varazone d resstenza al taglo, sono esclusvamente dovut a varazon delle tenson effcac

5 5 Fas dello studo de problem d geotecnca 1) descrzone dello stato tensonale totale [σ] che eulbra carch estern con gl strument analtc della Meccanca del contnuo sottosuolo eterogeneo e multfase assmlato a mezzo omogeneo monofase 2) rpartzone delle tenson total tra scheletro soldo (tenson effcac [σ ]) e acua (presson nterstzal u) necesstà d consderare le condzon draulche al contorno e gl effett prodott dal moto dell acua nello scheletro soldo 3) determnazone spermentale del legame costtutvo del terreno n relazone alla combnazone d component normal e tangenzal schem spermental e modello costtutvo con controllo e dsaccoppamento delle component della sollectazone σ

6 6 Effett meccanc d sollectazon d compressone Coppa d partcelle deformabl Sstema d partcelle rgde Relazone sforz-deformazon N σ carco: non lneare! scarco: non reversble! w ε Sforz Meccansm deformatv Legame costtutvo Propretà meccanche Stat lmte Schaccamento gran * Non lneare Normal Scorrment ** a rgdezza Compressbltà Eserczo Varazon d denstà *** crescente

7 7 Effett meccanc d sollectazon d taglo Coppa d partcelle deformabl Sstema d partcelle rgde Relazone sforz-deformazon T carco: non lneare! scarco: non reversble! u γ Sforz Meccansm deformatv Legame costtutvo Propretà meccanche Stat lmte Rottura gran/contatt * Non lneare Deformabltà Eserczo Tangenzal Rotolament ** a rgdezza Varazon d denstà *** decrescente Resstenza Ultmo Scorrment ****

8 8 Percors d sollectazone (stress path) Gl nvarant d tensone meda (o sferca) p e devatorca (e d deformazone volumetrca ε v e dstorsonale ε s ) sono le varabl pù rappresentatve per descrvere grafcamente l comportamento d un elemento d terreno per effetto de dvers process e combnazon d sollectazone a cu vene sottoposto percorso tensonale (stress-path) ESP TSP stato nzale P u P p Per gl nvarant n tenson effcac p e, analogamente alle component σ e, vale: p, p σ 1+ σ 2 + σ 3 σ1+ σ2 + σ3 3u p = = = p u = ( σ σ ) = ( ), j σ σ =, 2 j j 2 j Il percorso delle tenson effcac (Effectve Stress Path, ESP) è und traslato n orzzontale d u (n genere varable) rspetto a uello delle tenson total (Total Stress Path, TSP)

9 9 Percors d sollectazone notevol percorso Δσ 1 Δσ 2 Δσ 3 Δp Δ Schema Compressone sotropa Δσ Δσ 0 p Taglo semplce Δ 0 -Δ 0 3Δ p Compressone clndrca per carco Δσ 0 0 Δσ/3 Δσ 1 3 p Estensone clndrca per scarco -Δσ 0 0 -Δσ/3 Δσ -1 3 p

10 10 Approcco rgoroso nell anals meccanca de terren Nel trattare l mezzo multfase, occorrerebbe a rgore tener conto d caratter ndvdual ed accoppamento d scheletro soldo e flud. Blanco d euazon e ncognte (mezzo bfase): Euazon n. Incognte n. a) eulbro scheletro soldo 3 a) tenson total σ j 6 b) congruenza scheletro soldo 3 b) tenson effcac σ j 6 c) legame costtutvo scheletro soldo 6 c) deformazon scheletro soldo ε j 6 d) legge d moto fludo 3 d) pressone nterstzale u 1 e) euazone d stato fludo 1 e) denstà fludo ρ f 1 f) euazone d contnutà fludo 1 f) component moto fludo v j 3 g) accoppamento fas ( [ σ' ] = [ σ] ) u [ I ] 6 Totale 23 Totale 23 + condzon al contorno (frontera del domno d anals) + condzon nzal (t=0) e/o fnal (t= ) (entrambe espresse n termn d tenson/presson/deformazon/moto fludo) Approcco rgoroso soluzone sstema dfferenzale troppo complesso!

11 11 Approcco ngegnerstco nell anals meccanca de terren Sfrutta lvell d semplfcazone dfferenzat, n relazone agl aspett da trattare caso per caso Euazon n. Incognte n. a) eulbro scheletro soldo 3 a) tenson total σ j 6 b) congruenza scheletro soldo 3 b) tenson effcac σ j 6 c) legame costtutvo scheletro soldo 6 c) deformazon scheletro soldo ε j 6 d) legge d moto fludo 3 d) pressone nterstzale u 1 e) euazone d stato fludo 1 e) denstà fludo ρ f 1 f) euazone d contnutà fludo 1 f) component moto fludo v j 3 g) accoppamento fas ( [ σ' ] = [ σ] ) u [ I ] 6 Totale 23 Totale 23 Ipotes generalmente ntrodotte: Acua ncomprmble Ara nfntamente comprmble elmnazone euazon/ncognte e) Scheletro soldo con legge costtutva semplfcata (p.es. elastco lneare, rgdo-plastco) Dsaccoppamento della soluzone del problema draulco da uello meccanco (p.es.: s determnano le [σ], s rsolvono le d)-f), s applcano le g), s rcavano le ε)

12 12 Semplfcazone legame costtutvo σ Realtà (osservazone spermentale) Azon d compressone σ Idealzzazone (modello costtutvo) ε ε Realtà (osservazone spermentale) Azon d taglo Idealzzazone (modello costtutvo) γ γ

13 13 Ulterore dealzzazone legame costtutvo Anals Stat Lmte d Eserczo (SLE) Anals Stat Lmte Ultm (SLU) γ γ Mezzo elastco lneare Mezzo rgdo - plastco Reversbltà del legame tenso-deformatvo Deformazon non reversbl Soluzone dpendente solo dagl ncrement Applcabltà prncpo sovrapposzone effett Necessaro rsolvere eulbro e congruenza Soluzone dpendente dallo stato nzale Prncpo sovrapposzone effett non valdo Suffcente soluzone eulbro (congruenza ok)

14 14 Il mezzo soldo elastco ε j ε j σ Elastctà = relazone bunvoca [s]:[e] Parametro Caso generale Modulo d Young Coeffcente d Posson ν E j = dσ dε dε j = dε ν j Elastctà lneare E σ ε = = ε σ ε j = = ε ε ε j Ipotes d omogenetà E e ν j non dpendono da P(x, y, z) Ipotes d sotropa E e ν j non dpendono dal sstema d ass (x, y, z) E = E ν j = ν,j Soldo contnuo elastco deale = lneare, omogeneo, sotropo

15 15 Il legame costtutvo elastco deale Il legame costtutvo è espresso dalle relazon d Naver: esprmbl nella forma matrcale: 1 ε x σx ν ( σ y σ ) = z E + 1 εy = σ y ν ( σz + σx) E 1 εz = σz ν ( σx + σ y) E 2(1 + ν ) γ xy = xy E 2(1 + ν ) γ yz = yz E 2(1 + ν ) γ zx = zx E 1 ν ν E E E ν 1 ν εx x E E E σ ε y ν ν 1 σ y ε z E E E σ z = γ xy 2(1 ν ) + xy γ E yz yz γ 2(1 ν ) + zx zx E 2(1 + ν ) E

16 16 Legame elastco deale n termn d nvarant È convenente scrvere le relazon elastche n termn d nvarant: 1 2ν 3(1 2 ν) p εv = εx + εy + εz =... = ( σx + σ y + σz) = p = E E K 1 2 2(1 + ν) 2 2(1 + ν) ε s = E1 3 E2 =... = I1 3I2 = = E 3E 3G avendo posto: p Modulo d rgdezza volumetrca: K = ε v E = ( K per ν 0.5) 3(1 2ν) Modulo d rgdezza tangenzale: G = E = 3ε 2(1 + ν) s E ( G per ν 0.5) 3 Questa formulazone s traduce nel duplce vantaggo d: scrvere la relazone costtutva n forma matrcale compatta: dsaccoppare l anals d fenomen d: - varazon d volume (ε v ), causate da varazon d tensone meda p - varazon d forma (ε s ), causate da varazon d tensone devatorca 1 0 ε v K p = ε s 1 0 3G

17 17 Il terreno come mezzo elastco Nella meccanca de terren (che materal elastc non sono), l uso del legame elastco è applcable secondo due dverse procedure: Applcazone rgorosa del PTE al soldo contnuo poroso (Scheletro soldo) Ignorando la rpartzone tra le fas nell nseme de due contnu sovrappost (Mezzo monofase euvalente) ε σ ε σ σ u σ = σ u σ Anals n tenson effcac (σ ) Parametr elastc con apc (E, ν, K, G ) Anals n tenson total (s) Parametr elastc senza apc (E, ν, K, G)

18 18 Il terreno come mezzo plastco Propretà del mezzo plastco: esste una sogla d sollectazone (tensone d snervamento, σ y ) oltre la uale s manfestano deformazon plastche permanent (ε p ) (non recuperabl non elastche) e ndpendent dalla durata del processo d carco (non vscose) σ σ y Materale duttle: stran hardenng (ncrudmento postvo) Plastctà perfetta Materale fragle: stran softenng (ncrudmento negatvo) ε p ε e ε se l mezzo è perfettamente plastco (non ncrudente): snervamento e rottura concdono non è necessaro mporre condzon d congruenza superato lo snervamento, l ncremento d deformazone plastca è funzone: dello stato tensonale raggunto (sempre) dell ncremento d stato tensonale (se l mezzo è ncrudente)

19 19 Crtero d resstenza a rottura d un terreno Modell meccanc d rfermento Blocco scorrevole per attrto Mezzo granulare elementare Mezzo granulare complesso F Il crtero d resstenza a rottura d un terreno è defnble attraverso una superfce (o curva) lmte = luogo geometrco che separa gl stat tensonal possbl da uell mpossbl (stat mpossbl) (stat possbl) curva lmte N σ

20 20 Rappresentazone del crtero d resstenza d un terreno La superfce lmte (luogo degl stat tensonal d rottura) è, n genere: - ndpendente dalla gactura dell elemento - ben approssmable con un andamento lneare S può esprmere medante un legame analtco tra component d tensone totale o effcace: Crtero d Mohr-Coulomb Crtero d Rankne Teora dello Stato Crtco σ σ σ1σ 1 u σ 3 3 P u P u σ P u P p p component d tensone tangenzale e normale σ (σ ) lungo l pano d rottura tenson prncpal massma σ 1 (σ 1 ) e mnma σ 3 (σ 3 ) + conoscenza del pano d rottura nvarant d tensone devatorca e meda p (p )

21 21 Il crtero d resstenza d Mohr-Coulomb Esprmendo l comportamento a rottura n termn d : σ, la curva lmte generalmente osservable nel pano d Mohr è smmetrca rspetto all asse σ (non è così per gl altr due crter) e caratterzzable dall espressone: ± = c + σ tanϕ ϕ c c σ ϕ Dal punto d vsta fenomenologco, s può dre che: c = coesone = resstenza allo scorrmento n assenza d tenson normal tan ϕ = attrto = ncremento della resstenza allo scorrmento con σ (ϕ = angolo d resstenza al taglo)

22 22 Cas tpc d crtero d resstenza Terreno ncoerente (ϕ 0, c =0) = σ tanϕ Terreno con attrto ϕ e coesone c ϕ σ Mezzo d Coulomb (n T.E.) = c + σ tanϕ ϕ c σ = c c =c u σ Mezzo d Tresca (n T.T.) Terreno coesvo (ϕ=0, c 0)