FIGURE EQUIVALENTI. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma ABC'D', con

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1 1. FIGURE EQUIVALENTI 1.1 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI TEOREMA: Due parallelogrammi aventi le basi e le altezze congruenti sono equivalenti. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma ABC'D', con D' appartente al lato DC, avente la stessa base AB e la stessa altezza si ha: - i triangoli DAD' e CAC' sono congruenti tra loro per il primo criterio in quanto AD BC perchè lati opposti del parallelogramma ABCD, AD' BC' perchè lati opposti del parallelogramma ABC'D' e, inoltre, paralleli a due a due. D AD' C BC' perchè i lati sono - il parallelogramma ABCD è equivalente alla differenza ABC' D CBC' mentre il parallelogramma ABC'D' è dato dalla differenza ABC' D DAD' ma, essendo equivalenti i due triangoli CBC' DAD', tale differenza è la stessa, per cui i due paralleolgrammi sono equivalenti fra loro. Come volevasi dimostrare. 1

2 Supponiamo ora che il parallologramma ABC''D'' sia tale per cui il vertice D'' non sia compreso nel lato CD, ovvero si trovi o a coincidere con C oppure sul prolungamento di CD dalla parte di D. In questo caso è sufficiente disegnare un paralleogramma ABC'D' equivalente ad ABCD con D' appartenente al lato CD(oppure una seguenza di parallogrammi di cui l'ultimo equivalente ad ABCD) ed un altro ABC''D'' con C'' appartenente al segmento CC', per concludere che, per la proprietà transitiva, anche ABC''D'' è equivalente ad ABCD, ovvero: essendo ABCD ABC' D' e ABC' D' ABC'' D' ' segue anche ABCD ABC'' D' '. 2

3 1.2 EQUIVALENZA TRIANGOLO-PARALLELOGRAMMA TEOREMA: Ogni triangolo è equivalente ad un parallogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente alla metà di quella del triangolo. Dimostrazione: dal punto medio M del lato AB si tracci la retta parallela al lato AC fino ad incontrare nel punto L la retta passante per C e parallela ad AB. CL è congruente ad AM perchè lati opposti del parallelogramma AMLC ed essendo AM congruente ad MB per costruzione, si ha che CL è congruente ad MB. Inoltre, essendo le rette di CL e di MB parallele, sono congruenti le coppie di angoli LCN con NBM e CNL con NMB. Pertanto i due triangoli CNL e MBN sono congruenti ed equivalenti tra loro. Il triangolo ABC è dato dalla somma ABC AMNC + MBN mentre il parallelogramma AMLC è dato dalla somma AMLC AMNC + CNL che è uguale alla precedente somma essendo CNL MBN. Petranto, il parallelogramma AMLC è congruente al triangolo ABC la cui base è congruente al doppio di quella delllo stesso parallogramma. Come volevasi dimostrare. Corollario: Due triangoli che hanno congruenti le basi e le altezze sono equivalenti. Dimostrazione: sono entrambi congruenti allo stesso parallelogramma. 3

4 1.3 EQUIVALENZA TRIANGOLO-TRAPEZIO Teorema: Un trapezio è equivalente ad un triangolo della stessa altezza e base congruente alla somma delle sue basi. Dimostrazione: Dimostrazione: si prolunghi la base AB di un segmento BM CD congiunga il vertice D con M per cui sia N il punto di intersezione tra MD ed il lato BC. I triangoli NCD e BMN sono congruenti per il secondo criterio in quanto: - CD BM per costruzione; - angoli C DN N MB tagliate dalla trasversale DM ; - angoli DC N N BM e si perchè alterni interni delle rette parallele CD e AM perchè alterni interni delle rette parallele CD e AM tagliate dalla trasversale BC ; Il trapezio ABCD equivale alla somma del quadrilatero ABND e del triangolo NCD. Il triangolo AMD è dato dalla somma dello stesso quadrilatero ABND e del triangolo BMN ma, essendo BMN NCD, si ha anche ABCD AMD. L' espressione algebrica dell'area di un trapezio è quindi: B + b A = h. 2 4

5 1.4 EQUIVALENZA TRIANGOLO-POLIGONO CIRCOSCRITTO Teorema: un poligono circoscritto ad un circonferenza equivale ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza. Dimostrazione: dato un qualunque poligono, ad esempio il pentagono ABCDE, si costruisca il triangolo di base AF congruente alla somma dei lati del poligono e tale che i segmenti che la compongano siano congruenti ai lati stessi: A' B' AB, B' C' BC, C'D' CD, D' E' DE, E'F' EA Detto O il centro della circonferenza di raggio OH = r e l'altezza del triangolo congruente al raggio O' H' OH, il triangolo AOF equivale alla somma di triangoli equivalenti a quelli con cui il poligono si scompone poichè hanno congruenti le basi (lati del poligono) e le altezza (raggio del poligono). Resta così dimostrato che il triangolo A'0'F' equivale al poligono circoscritto ABCDE. L'espressione algebrica dell'area (A) del poligono circoscritto è data dal semi prodotto fra il suo perimetro (p) e il raggio (r) della circonferenza iscritta: 1 A = p r 2 5

6 1.5 POLIGONO EQUIVALENTE CON UN LATO IN MENO L'esempio illustrato sopra si riferisce ad un esagono da cui viene ricavato un poligono equivalente con un lato in meno, cioè un pentagono, mediante la costruzione di due triangoli equivalenti (ECD ECD' nella figura) tra loro ottenuti tracciando, prima una diagonale (EC nella figura), poi la parallela DD' a tale diagonale EC passante per il vertice B. Quindi, il prolungamento del lato BC incontra in D' tale parallela. Lo stesso ragionamento vale, ovviamente, per un poligono con un qualunque numero di lati. L'area del poligono equivale alla somma fra l'area interna ABH'EF e l'area del triangolo ECD che è equivalente a ECD'. Pertanto si ha l'equivalenza fra l'esagono ABCDEF e il pentagono. 6

7 1.6 PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE TEOREMA: In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su di un cateto è equivalente al rettangolo avente i lati congruenti all'ipotenusa alla proiezione dello stesso cateto sull'ipotenusa. Ipotesi. Il triangolo ABC è rettangolo con angolo retto nel vertice C. Dimostrazione. Detta AH la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa AB, si tracci il rettangolo AFGH avente il lato AH coincidente con la proiezione di AC su AB ed il lato AF congruente all'ipotenusa AB. Costruiti il quadrato ACDE sul cateto AC e tracciato il prolungamento del lato ED del quadrato, si prolunghino i lati AF e GH fino ad incontrare il prolungamento di ED nei punti rispettivi M e N. 7

8 Notiamo che: - AC AE per costruzione (essendo ACDE un quadrato). - C E in quanto angoli retti. - α α' perchè complementari dello stesso angolo β = C AM : P C AB = α = β = α' = E AM 2 Quindi, i triangoli ABC e AME sono congruenti per il secondo criterio di congruenza e, in particolare, il lati AM e AB conguenti Il rettangolo AFGH è congruente al parallelogramma ACNM in quanto hanno i lati AM e AB congruenti e la stessa altezza AH. Il parallelogramma ACNM ed il quadrato ACDE sono equivalenti avendo in comune la stessa base AC e la stessa altezza AE. Pertanto, essendo AFGH ACNM e ACNM ACDE, per la proprietà transitiva si ha: AFGH ACDE. Come volevasi dimostrare. * * * L'espressione algebrica del primo teorema di Euclide per l'area è: 2 x = p z, y 2 = q z, essendo x=ac, y=bc, z=ab, p=ah, q=hb. 8

9 1.7 TEOREMA DI PITAGORA Teorema: il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. 1.8 SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE Teorema: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza equivale al rettangolo avente i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. 9

10 2. POLIGONI IN FORMA ALGEBRICA * * * * * * 10

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12 * * * Teorema di Pitagora con dimostrazione alternativa 12