Esercizi Riepilogativi Svolti. = 1 = Or(v, w)
|
|
- Irma Bellini
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia FORMULE DI GEOMETRIA IN R TRASFORMAZIONI DI R CIRCONFERENZE Docente: Prof F Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio Sia R il piano vettoriale euclideo, munito di base canonica e, e prodotto scalare standard Siano v = (, e w = (, due vettori espressi in componenti rispetto alla base canonica e (i Calcolare l orientazione della coppia ordinata {v, w}, ie Or(v, w; (ii Sia S 0 la riflessione rispetto all asse x Calcolare Or(S 0 (v, S 0 (w; (iii Sia S ϕ la riflessione rispetto alla retta vettoriale passante per l origine e formante un angolo convesso ϕ con l asse x Calcolare Or(S ϕ (v, S ϕ (w; (iv Sia R ψ la rotazione di centro l origine e angolo ψ Calcolare Or(R ψ (v, R ψ (w Svolgimento (i Osserviamo che ( det = = Or(v, w percio la coppia ordinata e orientata positivamente (ii Or(S 0 (v, S 0 (w = det(s 0 Or(v, w = = Or(v, w (iii Come prima Or(S ϕ (v, S ϕ (w = det(s ϕ = = Or(v, w (iv Or(R ψ (v, R ψ (w = det(r ψ = = Or(v, w Esercizio Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale (O; x, x, siano assegnati i punti P = (,, Q = (,, R = (, 0, le cui coordinate sono scritte per comodita per riga Trovare il punto Q simmetrico di Q rispetto a P e la retta r simmetrica rispetto a P della retta r RQ Svolgimento Il punto Q e il punto, diverso da Q, che giace sulla retta per P e Q e che e a distanza pari a d(p, Q da P La retta r e la retta parallela alla retta per R e Q e che passa per Q trovato precedentemente
2 Esercizio 3 Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortonormale (O; x, x, sia Q il trapezio di vertici: (,, (6,, (, 3, (3, 3 (i Disegnare l immagine di Q dopo la traslazione T p, dove il vettore p = (0, ; (ii Disegnare l immagine di Q dopo la riflessione S 0 rispetto all asse x ; (iii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π di angolo π Svolgimento: (i Si tratta del trapezio Q di vertici (, 0, (6, 0, (,, (3, (ii La matrice di S 0 e data da ( 0 A := 0 Percio A(Q e il trapezio di vertici (,, (6,, (, 3, (3, 3 (iii La matrice di R π e data da ( 0 B := 0 Percio B(Q e il trapezio di vertici (,, ( 6,, (, 3, ( 3, 3 Esercizio 4 Sia Q il quadrato in R di vertici: (,, (,, (,, (, (i Per quali angoli ϕ la rotazione R ϕ manda il quadrato Q in se stesso? (ii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π/4 Svolgimento (i Sono tutti gli angoli della forma ϕ = k π, con k un numero intero (ii La matrice della rotazione R π/4 e data da: ( / / A := / / Percio A(Q e il quadrato di vertici (, 0, (0,, (0,, (, 0 Esercizio 5 Sia R il piano cartesiano con riferimento cartesiano ortonormale (O; x, x (i Scrivere le equazioni della rotazione R P0,π/6 di centro il punto P 0 = (, ed angolo π/6; (ii Scrivere le equazioni della simmetria S r rispetto alla retta r : x x + = 0;
3 3 (iii Verificare che la retta s, passante per P 0 e di equazione cartesiana ( 3x x + 3 = 0 e tale che S r S s = R P0,π/6 Svolgimento: (i La matrice della rotazione di angolo π/6 attorno all origine e : ( 3/ / A = / 3/ Percio, le formule di rotazione sono, in forma vettoriale, date da equivalentemente in forma cartesiana x = A(x + P 0 A(P 0, x = /( 3x x x = /(x + 3x (ii Sia P = (α, β La retta n passante per P e perpendicolare a r ha equazione cartesiana x + x = α + β Sia N = r n, che ha coordinate N = ( (α + β, (α + β + Allora P sara il simmetrico di P rispetto a r se e solo se P = N P = (β, α+ Questo significa che le equazioni della simmetria sono x = x x = x + (iii Se deve essere S r S s = R P0,π/6, allora S s = Sr perche S r = Sr Le equazioni di S s sono quindi: R P0,π/6 = S r R P0,π/6, x = /( 3x + x 3/ x = /(x 3x Mediante questa trasformazione, notiamo che il luogo fissato da S s e proprio la retta s, come volevasi dimostrare Esercizio 6 Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano standard RC(O; x, x, sia data la retta r : X + X 3 = 0 (i Determinare le formule di riflessione rispetto a r
4 4 (ii Determinare l equazione cartesiana della( circonferenza C ottenuta per riflessione rispetto a r della circonferenza di centro C = e raggio Svolgimento (i Sia P = (a, b il punto generico di R La retta perpendicolare a r passante per P ha equazioni parametriche L intersezione con r determina X = a + t, X = b + t t = 5 a 4 5 b Pertanto le formule di riflessione sono ( ( ( x 3/5 4/5 f = 4/5 3/5 x x x + ( 6/5 /5 (ii Poiche una riflessione e un isometria, e sufficiente conoscere le coordinate ( del riflesso di C, visto che il raggio rimarra invariato Pertanto, poiche f(c = 36/5 /5, l equazione cartesiana della riflessa di C e (X + 36/5 + (X /5 = 4 Esercizio 7 Nel piano cartesiano R, con( riferimento cartesiano standard RC(O; ( x, x, 3 6+ sia data la circonferenza C di centro C = e raggio Sia inoltre P = + C (i Determinare l equazione cartesiana della retta l tangente alla circonferenza ( C in P (ii Scrivere l equazione del fascio (proprio di rette di centro Q = 4 3 e determinare l unica retta del fascio parallela a l (iii Data l affinita ( ( ( ( f = 0 x , disegnare nel piano f(c x x x
5 Svolgimento (i Un vettore normale a C in P e dato dal vettore P a C = In altre parole, un equazione cartesiana per l e data da ( 5 (X ( (X ( + = 0 che fornisce X + X 4 = 0 (ii L equazione del fascio di rette e λ(x 4 + µ(x 3 = 0, cioe ( λx + µx λ 4λ + 3µ = 0 La condizione di parallelismo con l fornisce che µ ( deve essere proporzionale a, ie λ = µ, che determina X + X 7 = 0 ( (iii Notiamo che f(c non e altro che l ellisse con centro di simmetria 7 8 e semiassi rispettivamente e 3 Esercizio 8: Siano r ed r due rette passanti ambedue per il punto p 0 = (, e rispettivamente per q = (8/5, /5 la prima e per q = (, la seconda Assumiamo che tali rette siano tangenti ad una circonferenza C rispettivamente in q ed in q (i Determinare il centro C, il raggio r e l equazione cartesiana di C; (ii Disegnare la circonferenza C Svolgimento (i Denotiamo con n i la retta perependicolare alla retta r i e passante per il punto q i, i Allora, il centro C sara determinato dall intersezione n n mentre il raggio sara dato dalla distanza d(c, q i, per uno qualsiasi dei due punti q i, i Un vettore direttore di r e (4, 3, percio la retta n ha equazione cartesiana 4x + 3x 5 = 0 Un vettore direttore di r e (0,, percio la retta n ha equazione cartesiana x = 0 Allora C = (3, mentre r = d(c, q = d(c, q = L equazione cartesiana della circonferenza C e data da (x 3 + (x =, cioe : x + x 6x x + 9 = 0 (ii Per disegnare la circonferenza, basta considerare C e r
6 6 Esercizio 9: Nel piano cartesiano R sono dati i tre punti non allineati di coordinate: ( ( ( P = Q = R = (i Determinare l equazione cartesiana dell unica circonferenza C passante per i tre punti dati (ii Disegnare la circonferenza C (iii Determinare l equazione cartesiana della retta tangente a C nel punto P C Svolgimento (i Il centro della circonferenza da determinare e il punto C intersezione degli assi delle due corde P Q e QR ( Percio, il punto ( medio di P Q e M P Q = 3/, mentre il punto medio di QR e M QR = Invece, la direzione 3/ / del vettore P Q= (,, mentre la direzione del vettore QR= (0, 3 = (0, Quindi, l asse del segmento P Q e la retta per M P Q con parametri direttori determinati da un vettore normale a P Q, per esempio (, Un equazione cartesiana di tale asse e quindi: x x = 0 Analogamente, l asse del segmento QR e la retta per M QR con parametri direttori determinati da un vettore normale a QR, per esempio (, 0 Un equazione cartesiana di tale asse e : x = 0 Il loro punto di intersezione e il punto C di coordinate C = della circonferenza e dato da r = d(c, P = 0/ Percio, l equazione della circonferenza voluta si determina con (x / + (x / = 0/4 ( / / Il raggio (ii Per disegnare la circonferenza, basta considerare il centro ed il raggio determinati al punto (i
7 7 (iii L equazione della tangente a C in P e data dalla formula ( /(x + ( /(x = 0 cioe : 3x + x 7 = 0
Esercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile-Architettura e dell Edilizia SPAZI EUCLIDEI. TRASFORMAZIONI. ORIENTAZIONI. FORMULE DI GEOMETRIA IN R. Docente:
Dettagli(i) Determinare l equazione cartesiana dell unica circonferenza C passante per i tre punti dati.
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Edile/Architettura Esercizi per il corso di GEOMETRIA - a.a. 7/8 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore: Dott. M. Paganin FOGLIO - Esercizi
DettagliVETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) PRODOTTO VETTORIALE E PRODOTTO MISTO. PIANI E RETTE DI R 3. FASCI E STELLE. FORMULE
DettagliGEOMETRIA /2009 II
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti Esercizio 1: Si consideri R 3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) - a.a. 00/0 I Semestre Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliEsercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
DettagliEsercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nel piano Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi Correzione 1. Scrivere le equazioni parametriche delle rette r e s di equazioni cartesiane r : 2x y + = 0
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
Dettagli1 Esercizi di ripasso 4
Esercizi di ripasso 4. Determinare k in modo che il piano kx + 2y 6z + = 0 sia parallelo al piano x + y z + = 0. Soluzione. La condizione di parallelismo richiede che ( ) k 2 6 rg = Ne segue che k = e
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P
Dettagli(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x).
Trasformazioni geometriche di R In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche del piano R Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R R Le trasformazioni
DettagliNegli esercizi che seguono ci sono alcune cose da specificare:
DISCLAIMER Negli esercizi che seguono ci sono alcune cose da specificare: ) voi dovete interpretare i simboli V e A (R) sempre come R. Questo oggetto sarà chiamato alle volte piano affine e alle volte
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Corsi dei Proff. M. BORDONI, A.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL -- Corsi dei Proff. M. BORDONI, A. FOSCHI Esercizio. E data l applicazione lineare L : R 4 R 3 definita dalla matrice A = 3
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A. 202-203 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 8-02-3 Compito A Corso del Prof. Manlio BORDONI Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Esercizio. x = 0 x = Date le rette r : y = t e s : y = t, si verifichi che sono sghembe e si scrivano le equazioni z = t z = t parametriche di una retta r ortogonale ed
DettagliFormulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2
Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x 1 2 + (y 2 y 1 2 Coordinate del punto
DettagliPiano euclideo. In E 2 (R) fissiamo un riferimento cartesiano ortonormale [O, B], con B = ( e 1, e 2 ).
Definizione Si dice spazio (affine) euclideo di dimensione n sul campo reale, uno spazio affine A[A, (V n (R), ), a] in cui il prodotto scalare è definito positivo. Lo si indica con E n (R). In E 2 (R)
DettagliEsercizi su Rette e Piani
Esercizi su Rette e Piani Raffaella Di Nardo dinardo@calvino.polito.it 1 aprile 2004 Esercizio 1. In R 2, determinare l equazione dellal retta per P 0 e parallela al vettore u = 3i j. Esercizio 2. Data
DettagliLezione 5 Geometria Analitica 1
Lezione 5 Geometria Analitica 1 Donato A Ciampa In questa lezione richiameremo alcune nozioni della geometria analitica, quali le trasformazioni del piano in se stesso e le varie equazioni relative alla
DettagliCorso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni
Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione
DettagliNote di geometria analitica nel piano
Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - CCS Edilizia ed Edile/Architettura IV Appello corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 3/7/ NORME SVOLGIMENTO Scrivere negli appositi
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017
PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017 La prova orale deve essere sostenuta entro il 28 Febbraio 2017 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadriche Q di equazione
DettagliI Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio.
I Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio. A [8] Sono date le matrici A M 34 (IR) e b M 31 (IR) A = 1 0 2 2 0 k 1 k, b = 1
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
Dettagli2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le
PROBLEMA. Raccolta di problemi sulla circonferenza Scritta l equazione della circonferenza con centro in ( ) C e passante per l origine O, si conducano per O la retta a di equazione + y indicando con A
DettagliI FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica
I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio
DettagliSoluzioni dello scritto di Geometria del 28 Maggio 2009
Soluzioni dello scritto di Geometria del 8 Maggio 9 1) Trovare le equazioni del sottospazio V(w, x, y, z) R 4 generato dalle quaterne c 1 = (,,, 1) e c = (, 1, 1, ). ) Trovare una base per OGNI autospazio
DettagliEsercizi di Geometria Affine
Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione
DettagliEsercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio
Esercizi di Geometria Affine ed Euclidea del Piano e dello Spazio Sansonetto Nicola 15 aprile 2016 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A 2 (R) dotato del riferimento canonico,
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata CCS - STM
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata CCS - STM I Esonero II Modulo - a.a. 2016/2017 Geometria - a.a. 2016/17 Docente I e II Modulo: F. Flamini - Codocente II Modulo: M. Picardello NORME SVOLGIMENTO
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 10
Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi Esercizio 1. Data la retta r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di
Dettagli(c) Calcolare il vettore P W (v) proiezione ortogonale su W del vettore v = Soluzione.
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso del Prof. Manlio BORDONI A.A - PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 8-- Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R rappresentato dal sistema lineare omogeneo
Dettaglia) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene
Esercizi svolti Esercizio 1. Dati i punti: A(1, 1, 0), B( 1, 1, 4), C(1, 1, 3), D(2, 2, 8) dello spazio R 3 a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene
DettagliCORSO DI LAUREA in Ingegneria Informatica (Vecchio Ordinamento)
CORSO D LAUREA in ngegneria nformatica (Vecchio Ordinamento) Prova scritta di Geometria assegnata il 19/3/2002 Sia f : R 3 R 4 l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alle basi canoniche
DettagliCorso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?
A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni
DettagliEsercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016
Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 10
Geometria BAER Canale I Esercizi 10 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
Dettagli21 settembre Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliCommenti ad alcuni degli esercizi proposti 13. Uso del prodotto scalare: condizioni di perpendicolarità, angoli, distanze.
Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 13. Uso del prodotto scalare: condizioni di perpendicolarità, angoli, distanze. Risposte agli esercizi iniziali. Nello spazio vettoriale euclideo R 2 3, dotato
Dettagli1 Esercizi 19. 2(3) 5( 2) + k = 0 (1) da cui ricaviamo k = 16 e la retta desiderata è 2x 5y 16 = 0.
Esercizi 9. Scrivere l equazione cartesiana della retta per P (3, 2) parallela alla retta 2x y + 4 = 0. Soluzione. La retta cercata deve essere della forma 2x y + k = 0 con k da determinarsi imponendo
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 11
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi Esercizio. Scrivere la matrice delle seguenti trasformazioni ortogonali del piano (a Proiezione ortogonale sulla retta x + y = (b Rotazione di π/4 seguita da riflessione
DettagliGli esercizi assegnati all esame saranno varianti di alcuni degli esercizi seguenti
Gli esercizi assegnati all esame saranno varianti di alcuni degli esercizi seguenti 1.1) Su un piano α (trasparente) sia tracciato un triangolo equilatero. Si consideri un piano β parallelo ad α e raggi
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) QUADRICHE DI R 3. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliF x 1 = x 1 + x 2. 2x 1 x 2 Determinare la matrice C associata a F rispetto alla base canonica (equivalentemente,
Corso di Laurea in Fisica. Geometria 1. a.a. 2006-07. Gruppo B. Prof. P. Piazza Esonero del 1/12/06 con soluzione Esercizio. Spazio vettoriale R 2 con base canonica fissata e coordinate associate (x 1,
DettagliGeometria analitica - Testo pagina 1 di 5 67
Geometria analitica - Testo pagina di 5 67 5. GEOMETRI NLITI: Geometria lineare nel piano È fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxy. 50. 502. 503. 504. Scrivere
Dettagli, 3x y = a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α.
Esercizi. Soluzioni. (.A ) Siano x = e y =. 2 (i) Calcolare e disegnare i vettori x, 2x, x, 0x. (ii) Calcolare e disegnare i vettori x + y, x y, y e x y. (iii) Calcolare x, y, x + y e x y. Sol. 2 0 (i)
DettagliGeometria analitica pagina 1 di 5
Geometria analitica pagina 1 di 5 GEOMETRIA LINEARE NEL PIANO È fissato nel piano un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche Oxy. 01. Scrivere due diverse rappresentazioni parametriche
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale
Dettagli1 Distanza di un punto da una retta (nel piano)
Esercizi 26/10/2007 1 Distanza di un punto da una retta (nel piano) Sia r = {ax + by + c = 0} una retta. Sia P = (p 1, p 2 ) R 2 un punto che non sta sulla retta r. Vogliamo vedere se si può parlare di
DettagliPiano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (2)
Piano passante per un punto e ortogonale a un vettore (1) Equazione vettoriale del piano passante per un punto e ortogonale a un vettore Un punto X appartiene al piano P passante per il punto X 0 e ortogonale
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 9: soluzioni Esercizio 1. Nello spazio sono dati i punti A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 5), C = (1, 1, 4). a) Scrivere equazioni parametriche della retta r 1 passante
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 9
Geometria BAER 2016-2017 Canale A-K Esercizi 9 Esercizio 1. Si considerino i punti del piano A (1, 1), B (4, 1), C ( 1/2, 2) (a) Si determini se i punti A, B, C sono allineati e, in caso affermativo, si
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente.
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) versione: 4 maggio 26 In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente Autovettori e autovalori Esercizio Trova gli autovalori
DettagliX = x + 1. X = x + 1
CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y
DettagliEsercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica
Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e strofisica Foglio 5 - Soluzioni Esercizio 1. Nello spazio R 3, si considerino i punti (1,0,0), (1,0,2), (0, 1,0), D (2, 1,2), E (2,1, 0), F (0, 1,2), G (3,2,0),
Dettagli11 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliG.01. Esame di Matematica 3 2 febbraio 2007 A =
Cognome Esame di Matematica 3 2 febbraio 2007 3 A È data la matrice A M 44 (IR) Nome Parte di Geometria. Testo composto da un foglio (due pagine). Rispondere alle domande su questi fogli negli appositi
DettagliAlgebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013
Diario delle esercitazioni e lezioni per il corso di Algebra Lineare e Geometria, a.a. 2012/2013 (solo la parte per Fisici e Matematici, non ci sono le lezioni del Modulo B) Lidia Stoppino Lezione 1 9
Dettagli15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI
15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliGEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry)
GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO (3D Geometry) SISTEMA DI RIFERIMENTO NELLO SPAZIO La geometria analitica dello spazio è molto simile alla geometria analitica del piano. Per questo motivo le formule sono
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003
Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,
DettagliStudio di rette sghembe
Studio di rette sghembe V. Alberini, M. Buzzi, L. Cantoni, L. Grignaffini, G. Montis, G. Palù gennaio 17 Problema Stabilisci se le due rette r e s di equazioni: x = 1 + t x = r : y = t e s : z = z = t
DettagliEsercizi di geometria affine in 3 dimensioni
Esercizi di geometria affine in 3 dimensioni Nicola Sansonetto febbraio 009 Esercizio 1. Si consideri nel piano affine A (R) un riferimento cartesiano, la retta τ di equazione affine y + x = 1 e il triangolo
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
DettagliAnno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A
del 13 febbraio 007 COMPITO A 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + y = 1 x + y = x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x + 3y + 3 = 0
Dettagli4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1).
Geometria Complementi ed esercizi sulle coniche 1 (a) Scrivere l equazione dell ellisse Γ che ha fuochi F 1 ( 1, 1), F (1, 1) e che passa per il punto P (1, 1) (b) Determinare il centro, gli assi e i vertici
DettagliProva scritta di Algebra lineare e Geometria- 8 Settembre 2010
CdL in Ingegneria d(el Recupero Edilizio ed Ambientale - - Ingegneria Edile-Architettura (A-L),(M-Z)- Ingegneria delle Telecomunicazioni - - Ingegneria Informatica (A-F), (R-Z) Prova scritta di Algebra
DettagliSullo svolgimento di una delle quattro versioni della prova scritta di Geometria analitica e algebra lineare del giorno 11 febbraio 2013.
Sullo svolgimento di una delle quattro versioni della prova scritta di Geometria analitica e algebra lineare del giorno febbraio 0 x + y + z = 0 Stabilire se le due rette r, di equazioni cartesiane ed
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 11
Geometria BAER Canale I Esercizi 11 Esercizio 1. Data la retta x = t r : y = t z = 1 si trovi il punto A di r tale che l angolo di r con il vettore AO sia π/2, e il punto B di r tale che l angolo di r
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002
Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
DettagliEsercizi di Geometria e Algebra Lineare
Esercizi di Geometria e Algebra Lineare 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}) 2) Nello spazio vettoriale R 3 sul campo R, sia
DettagliLe risposte vanno giustificate con chiarezza. 1) Nello spazio vettoriale V delle matrici 2 2 a coefficienti reali, considera le matrici A 1 = , A 4 =
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica Esame di Geometria 1 con Elementi di Storia Prof. F. Tovena 30 gennaio 2015 Le risposte vanno giustificate con chiarezza. 1 Nello
Dettagli22 Novembre Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non
Primo esonero di GEOMETRIA 3 - C. L. Matematica 22 Novembre 2013 1. Sia T α : RP 1 RP 1 la trasformazione proiettiva determinata dalla matrice non singolare ( ) α 2. 1 0 (a) Si determini, al variare del
Dettagli1. conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio
Terzo modulo: Geometria analitica Obiettivi 1 conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio interpretare geometricamente equazioni e sistemi algebrici di primo e
DettagliGeometria 2. Università degli Studi di Trento Corso di Laurea in Matematica A.A. 2011/ luglio 2012
Geometria Università degli Studi di Trento Corso di Laurea in Matematica A.A. 011/01 0 luglio 01 Si svolgano i seguenti esercizi. Esercizio 1. Sia E il -spazio euclideo dotato del riferimento cartesiano
DettagliPolitecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte
Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro
DettagliPiano cartesiano e Retta
Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L
DettagliTrasformazioni - II. Classificazione delle trasformazioni in R 3. Rotazioni in R 3. Lezione 6 Maggio Lezione 6 maggio 2003
Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 6 maggio Trasformazioni - II F. Caliò Classificazione delle trasformazioni in R (TITOLO) Rotazioni in R (TITOLO) Rotazione
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliCirconferenze del piano
Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della
DettagliRette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1
ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio
DettagliDomanda Risposta
Esame di Geometria 18 Maggio 010 Cognome e Nome: Matricola: Corso di Laurea Regolamento della prova. La prova consiste in 7 Domande a risposta multipla chiusa (di cui una soltanto è corretta) e di Esercizi.
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate
DettagliGeometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)
Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo
DettagliSoluzione facsimile 2 d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a ISTRUZIONI
Soluzione facsimile d esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 00-004 COGNOME......................................... NOME......................................... N. MATRICOLA................
DettagliH precedente. Procedendo come sopra, si costruisce la matrice del cambiamento di base
Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 9/1 Commenti ad alcuni esercizi 17 Diagonalizzazione di matrici simmetriche Coniche Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 17 Diagonalizzazione
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliProva scritta di Geometria - 16 Gennaio 2019
Prova scritta di Geometria - 16 Gennaio 2019 COGNOME e NOME(stampatello): 1. Supponiamo di sapere che l invariante cubico di una conica è A 24, quello quadratico è α 00 3, e quello lineare è I 4. (a) Classificare
Dettagli1 Cambiamenti di riferimento nel piano
1 Cambiamenti di riferimento nel piano Siano date due basi ortonormali ordinate di V : B = ( i, j) e B = ( i, j ) e supponiamo che i = a i + b j j = c i + d j allora per un generico vettore v V abbiamo
Dettagli