Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia

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1 Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia dott.ssa Marilena Ligabò November 24, Esercizi sulla notazione scientifica Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando la notazione scientifica Esercizio 1.2. Eseguire il seguente calcolo utilizzando la notazione scientifica Esercizio 1.3. Eseguire il seguente calcolo utilizzando la notazione scientifica Esercizi sulle equazioni di secondo grado Esercizio 2.1. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 2x 2 + 3x 20 = 0 Esercizio 2.2. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 1 9 x x + 1 = 0 Esercizio 2.3. Risolvere la seguente equazione di secondo grado x 2 3x + 4 = 0 Esercizio 2.4. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 2 3 = x 1 x x

2 Esercizio 2.5. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 7x 2 14x = 0 Esercizio 2.6. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 11x 2 + x = 0 Esercizio 2.7. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 9 2 x2 5x = 0 Esercizio 2.8. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 3x = 0 Esercizio 2.9. Risolvere la seguente equazione di secondo grado 3 Esercizi sui sistemi lineari x = 0 Esercizio 3.1. Risolvere il seguente sistema lineare { x + y = 24 x y = 6 Esercizio 3.2. Risolvere il seguente sistema lineare { 2x + 5y 3 = 0 3x 4y + 7 = 0 Esercizio 3.3. Risolvere il seguente sistema lineare { 2x y = 0 x y = 1 Esercizio 3.4. Risolvere il seguente sistema lineare { 3x + y = 1 2x 2y = 1 Esercizio 3.5. Risolvere il seguente sistema lineare { x+1 3 x = y + 1 y 2 = 2x Esercizio 3.6. Risolvere il seguente sistema lineare { x + 5y = 1 3x 15y = 3 Esercizio 3.7. Risolvere il seguente sistema lineare { 4x 3y = 1 2x 3 2 y = 1 2

3 4 Esercizi di geometria analitica Esercizio 4.1. Rappresentare nel piano cartesiano i punti A(1, 3), B(2, 4) e determinare la retta passante per A e B. Calcolare la lunghezza del segmento AB. Esercizio 4.2. Rappresentare nel piano cartesiano i punti A(1, 3), B(3, 1) e determinare la retta passante per C( 2, 2) parallela alla retta passante per A e B. Determinare la retta passante per D(1, 1) perpendicolare alla retta passante per A e B. Calcolare la lunghezza del segmento CD. Esercizio 4.3. Rappresentare nel piano cartesiano i punti A(1, 5), B(3, 5) e determinare la retta passante per C(1, 2) parallela alla retta passante per A e B. Calcolare la lunghezza del segmento BC. Esercizio 4.4. Rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione y = 2x 2 + 3x 20 disegnando il vertice, il fuoco e le eventuali intersezioni con l asse X. Esercizio 4.5. Rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione y = x 2 x 1 disegnando il vertice, il fuoco e le eventuali intersezioni con l asse X. Esercizio 4.6. Rappresentare nel piano cartesiano la parabola di equazione y = 4x x + 9 disegnando il vertice, il fuoco e le eventuali intersezioni con l asse X. Esercizio 4.7. Determinare l equazione della parabola di vertice V (1, 0) e passante per P (0, 1). Esercizio 4.8. Determinare l equazione della retta tangente alla parabola di equazione y = x 2 4x nel punto A(1, 3). Esercizio 4.9. Determinare l equazione della retta tangente alla parabola y = x 2 + 2x + 1 e parallela alla retta di equazione 4x + y + 4 = 0. Esercizio Trovare l equazione della parabola avente per vertice V (2, 4) e per fuoco F (2, 3). Esercizio Trovare le intersezioni della retta di equazione y = x + 4 con la parabola di equazione y = x 2 + 6x. Esercizio Una parabola con asse parallelo all asse Y, passa per il punto G(1, 0) ed ha vertice V (4, 9). Scriverne l equazione e rappresentarla graficamente. La retta passante per P (0, 3), e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in due punti A e B. Determinare le coordinate dei punti A e B. Da A e B si conducono le perpendicolari all asse X che intersecano l asse X in D e C. Calcolare la misura del perimetro e l area del quadrilatero ABCD (sapendo che l unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro). Esercizio In un piano cartesiano rappresenta i punti di coordinate: A( 7, 1), B(5, 1), C(5, 9) e D( 1, 9). Congiungi nell ordine i punti dati, indica il nome della figura ottenuta. Calcola la misura del perimetro e l area del quadrilatero. Rappresenta nello stesso piano cartesiano la retta di equazione y = x 4 e verifica graficamente e algebricamente che la retta interseca il poligono in uno dei suoi vertici. Scrivi l equazione della retta parallela alla retta data passante per l origine 3

4 A B C Figure 1: Triangolo Esercizio 5.1 degli assi e rappresentala nello stesso piano cartesiano. Determina l area totale e il volume di un prisma retto avente per base il poligono dato e l altezza uguale ai 7/12 del perimetro di base (sapendo che l unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro). Esercizio Disegna in un piano cartesiano il triangolo avente per vertici i seguenti punti A(2, 3), B(5, 1), C( 1, 1). Individua i punti medi dei segmenti AB, BC e AC e indicali con D, E, F. Disegna il triangolo DEF avente per vertici i punti medi del triangolo ABC e verifica che il suo perimetro è la metà di quello del triangolo ABC. Calcola le aree dei due poligoni (sapendo che l unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro). Esercizio Disegna in un piano cartesiano il poligono avente per vertici i seguenti punti A(2, 0), B(8, 0), C(8, 4), D(2, 4). Descrivi le proprietà della figura ABCD e determina il suo perimetro e la sua area (sapendo che l unità di misura sugli assi X e Y è il centimetro). Fissa il punto E(11, 0) e considera il poligono AECD. Di quale figura si tratta? Descrivi le sue proprietà. Fai ruotare il poligono AECD di una rotazione completa attorno alla base maggiore. Descrivi il solido ottenuto e calcolane il volume ed la massa sapendo che la sua densità è di 1500 kg/m 3. 5 Esercizi di trigonometria Esercizio 5.1. Determinare i lati e gli angoli del triangolo rettangolo in Figura 1 sapendo che AB = 13 cm e che γ = π/6. Esercizio 5.2. Determinare il perimetro e l area del triangolo in Figura 2 sapendo che AH = 17 cm e che sin γ = 1/2 e che sin β = 2/2. Esercizio 5.3. Determinare l altezza di un palazzo che proietta un ombra orizzontale di 12 m quando l altezza del sole sull orizzonte è di π/6. Esercizio 5.4. Un osservatore si trova ai piedi di una torre di altezza h ad una distanza L dalla sua base e vede la cima della torre con un angolo α. Avvicinandosi di 5 m alla torre l osservatore vede la cima con un angolo β. Determinare l altezza h della torre e la distanza iniziale L dell osservatore sapendo che α = 50 e che β = 60. 4

5 A B H C Figure 2: Triangolo Esercizio 5.2 Esercizio 5.5. Una bandiera alta 7.3 m è posizionata sulla cima di un edificio. Un osservatore che si trova ad una distanza L dalla base dell edificio vede la cima dell edificio con un angolo di 35 e la punta della bandiera con un angolo di 40. Determinare l altezza dell edificio e la distanza dell osservatore dalla base. 6 Esercizi sulle coordinate polari Esercizio 6.1. Determinare le coordinate cartesiane di un punto P sapendo che le sue coordinate polari sono r = 2 e θ = 30 e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.2. Determinare le coordinate cartesiane di un punto P sapendo che le sue coordinate polari sono r = 3 e θ = 120 e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.3. Determinare le coordinate cartesiane di un punto P sapendo che le sue coordinate polari sono r = 5 e θ = 300 e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.4. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate cartesiane sono P (2, 0) e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.5. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate cartesiane sono P ( 3, 0) e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.6. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate cartesiane sono P (1, 1) e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.7. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate cartesiane sono P ( 1, 1) e disegnare il punto nel piano cartesiano. Esercizio 6.8. Determinare le coordinate polari di un punto P sapendo che le sue coordinate cartesiane sono P ( 1, 1) e disegnare il punto nel piano cartesiano. 5

6 7 Esercizi sulle equazioni esponenziali Esercizio 7.1. Risolvere la seguente equazione esponenziale 5 2x+1 = 1 25 Esercizio 7.2. Risolvere la seguente equazione esponenziale 8 5x 4 x+2 = 1 16 Esercizio 7.3. Risolvere la seguente equazione esponenziale 3 x x = 7 3 x Esercizio 7.4. Risolvere la seguente equazione esponenziale 3 2x 3 x 6 = 0 Esercizio 7.5. Risolvere la seguente equazione esponenziale 4 x x 7 = 0 8 Esercizi sui logaritmi Esercizio 8.1. Esegui il seguente calcolo log Esercizio 8.2. Esegui il seguente calcolo ln e 11 e 6 e e 1 Esercizio 8.3. Risolvere la seguente equazione logaritmica ln(x 2) ln(x 3) = ln 4 Esercizio 8.4. Risolvere la seguente equazione logaritmica log 3 (x + 1) 2 log 3 (x 1) = 0 Risultato x = 3. Esercizio 8.5. Risolvere la seguente equazione logaritmica log 2 (x + 1) = log 4 (2x + 5) Risultato x = 2. Esercizio 8.6. Risolvere la seguente equazione logaritmica 4 Log 2 x + 2 Logx = 0 Risultato x = 1/100 e x = 1/10. 6

7 v u Figure 3: Vettori Esercizio Esercizi sui vettori Esercizio 9.1. Dati i vettori u e v in Figura 3 determinare graficamente u + v e i vettori 2 u e 3 u. Esercizio 9.2. Dati i vettori u e v in Figura 4 calcolare u v sapendo che v = 3, u = 5 e che α = π/3. Esercizio 9.3. Dati i vettori u= 3 i + j e v = i +7 j applicati nell origine del piano cartesiano. (a) Determinare l angolo compreso tra u e l asse X; (b) Determinare l angolo compreso tra v e l asse X; (c) Determinare analiticamente e graficamente u + v esplicitando il modulo e la direzione; (d) Determinare analiticamente e graficamente v u esplicitando il modulo e la direzione; (e) Rappresentare graficamente il vettore w= u 2 v e determinarne il modulo e la direzione; (f) Calcolare i prodotti scalari w u e u v. 7

8 v u Figure 4: Vettori Esercizio 9.2 Esercizio 9.4. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è u = 4 e che u forma un angolo di 30 con l asse X. Determinare le componenti cartesiane di u. Esercizio 9.5. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è u = 2 e che u forma un angolo di 150 con l asse X. Determinare le componenti cartesiane di u. Esercizio 9.6. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è u = 5 e che u punta nel verso negativo dell asse Y. Determinare le componenti cartesiane di u. Esercizio 9.7. Determinare il vettore u sapendo che il suo modulo è u = 5 e che u punta nel verso negativo dell asse X. Determinare le componenti cartesiane di u. Esercizio 9.8. Dati i vettori u= 3 i 5 j e v = 4 i +6 j applicati nell origine del piano cartesiano. (a) Determinare l angolo compreso tra u e l asse X; (b) Determinare l angolo compreso tra v e l asse X; (c) Determinare analiticamente e graficamente u + v esplicitando il modulo e la direzione; (d) Determinare analiticamente e graficamente u v esplicitando il modulo e la direzione; (e) Rappresentare graficamente il vettore w= 2 u v e determinarne il modulo e la direzione; (f) Calcolare i prodotti scalari w u e u v. Esercizio 9.9. Dati i vettori u e v in Figura 5 determinare il modulo la direzione ed il verso di u v e di v u sapendo che v = 2, u = 5 e che α = π/6. Esercizio Dati i vettori u e v in Figura 6 determinare il modulo la direzione ed il verso di u v e di v u sapendo che v = 3, u = 7 e che α = 120. Esercizio Dati i vettori u= 3 i +7 j e v = 5 i j, calcolare u v. 8

9 v u Figure 5: Vettori Esercizio 9.9 v u Figure 6: Vettori Esercizio 9.10 Esercizio Dati i vettori u= i 2 j + k e v = 2 i 3 j k, calcolare u v. Esercizio Dati i vettori u= 3 2 i 2 j k e v = i + k, calcolare v u. 9

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