PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

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1 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE). La prima coordinata è chiamata ASCISSA -- La seconda coordinata è chiamata ORDINATA e solitamente vengono indicate con e 2) Una retta ( una parabola, una curva...) nel piano cartesiano sono un INSIEME DI PUNTI L EQUAZIONE di una retta (di una parabola, di una curva...) nel piano cartesiano rappresenta una relazione tra la e coordinate dei punti della retta cioè tutti i punti della retta hanno coordinate ( e ) i cui valori numerici soddisfano l equazione della retta, quindi se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di e si ottiene una uguaglianza vera. 3) Esempio La mia tariffa telefonica è di 0,10 cent. al minuto più 0,12 cent. di scatto alla risposta. Quanto mi costa una telefonata di 1 minuto? Spesa = 0, ,12= 0,22 cent. Quanto mi costa una telefonata di 2 minuti? Spesa = 0, ,12= 0,32 cent Quanto mi costa una telefonata di 3 minuti? Spesa = 0, ,12= 0,42 cent Quanto mi costa una telefonata di 4 minuti? Spesa = 0, ,12= 0,52 cent Quanto mi costa una telefonata di minuti? (dove è un numero qualunque) Spesa = 0,10 + 0,12=... Chiamato il costo della telefonata e il numero di minuti durata della telefonata, l operazione per calcolare il costo della telefonata è espressa dalla formula =0,10 +0,12 Questa formula, che indica la relazione tra il costo e la durata della telefonata, è una equazione in e e può essere RAPPRESENTATA sul piano cartesiano. Individuando sul piano cartesiano tutti i punti le cui coordinate e sono legate dalla relazione, cioè tutte le coordinate che compaiono nella tabella seguente in cui, noto il valore della posso calcolare, con la formula indicata, il valore della numero dei minuti costo della telefonata =0,10+0,12 1 0,22 2 0,32 3 0,42 4 0,52 5 0,62 6 0, , , ,12 4) RETTA PER L ORIGINE Osserva i punti della retta nel prossimo grafico e considera le loro coordinate. Per il teorema di Talete - oppure considerando la similitudine dei triangoli in figura POA e P OA - si può dimostrare che PA OA = P ' A' OA' cioè P P = P ' P ' Quindi tutti i punti di questa retta hanno coordinate e per cui = valore costante = numero fisso in questo caso = valore costante = 2

2 esempio punto P1 (1,2) punto P2 (3,6) punto P3 (5,10) = 2 1 = 2 = 6 3 = 2 = 10 5 = 2 Se questo rapporto costante viene indicato con la lettera m = m si può scrivere = m Questa è la condizione che soddisfano tutte le coordinate dei punti della retta cioè = m è la EQUAZIONE della RETTA PASSANTE PER L ORIGINE m viene chiamato coefficiente angolare della retta Se un punto appartiene alla retta allora le sue coordinate soddisfano la equazione = m --- se si sostituiscono nella equazione i valori numerici di e si ottiene una uguaglianza vera. Significato geometrico del coefficiente angolare m indica la pendenza della retta, cioè l angolo con cui la retta interseca l asse delle se m>0 la retta è crescente se m<0 la retta è decrescente se m=1 la retta è la bisettrice del I e III quadrante se m=-1 la retta è la bisettrice del II e IV quadrante condizione di parallelismo due rette con lo stesso coefficiente angolare sono parallele condizione di perpendicolarità due rette i cui coefficienti angolari soddisfano la seguente relazione m 1 =! 1 m 2 sono perpendicolari 5) RETTE OBLIQUE non PASSANTI per L ORIGINE La loro equazione sarà del tipo con m e q valori numerici = m + q Il valore di q (detto intercetta ) rappresenta l ordinata ( la ) del punto in cui la retta interseca l asse delle Due rette con lo stesso coefficiente angolare m sono parallele Due rette con la stessa intercetta q si intersecano nel punto (0,q) La retta in figura è la retta di equazione =+2 Nota: il punto in cui interseca l asse delle è (0,2) infatti vale la uguaglianza 2=0+2 il punto in cui interseca l asse delle è (-2,0) infatti vale la uguaglianza 0=1 (-2)+2

3 6) RETTE ORIZZONTALI E RETTE VERTICALI una retta orizzontale è l insieme di tutti i punti che hanno una fissata per es. tutti i punti che hanno la =-1 si trovano sulla retta orizzontale disegnata in figura, quindi =-1 è l equazione di quella retta in generale tutte le rette orizzontali avranno una equazione del tipo =q dove q è un valore numerico le rette orizzontali possono essere pensate come rette del tipo =m+q con coefficiente angolare m=0 una retta verticale è l insieme di tutti i punti che hanno una fissata per es. tutti i punti che hanno la =+1 si trovano sulla retta verticale disegnata in figura, quindi =+1 è l equazione di quella retta in generale tutte le rette verticali avranno una equazione del tipo =k dove k è un valore numerico le rette verticali non possono essere scritte come rette del tipo =m+q 7) ESERCIZI ( esempi di esercizi standard) a) data l equazione disegnare la retta basta trovare una coppia di punti che soddisfino l equazione della retta e poi tracciare la retta per i due punti es. =2+1 =1 ----> =2 1+1=3 =3 ----> =2 3+1=7 Una richiesta che può essere fatta per il rappresentare graficamente una funzione, può essere quella di determinare i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi cartesiani. L intersezione con l asse delle ordinate () si trova dalla condizione =0 L intersezione con l asse delle acsisse () si trova dalla condizione =f()=0 (tali punti si chiamano anche zeri della funzione una funzione lineare avrà al massimo un solo zero) Esempio = 2! 6 se = 0 = -6 se = 0 = 3 es. =2+1 =1 ----> =2 1+1=3 =3 ----> =2 3+1=7 b) dato un punto sapere se appartiene ad una retta di equazione data oppure no basta sostituire le coordinate del punto nella equazione della retta : se si ottiene una uguaglianza vera --> il punto appartiene alla retta se si ottiene una uguaglianza falsa --> il punto NON appartiene alla retta es. =2+1 =1, =3 ----> 3=2 1+1 VERO (1,3) è sulla retta =2, =4 ----> 4=2 2+1 FALSO (2,4) non è sulla retta

4 c) dati due punti del piano determinare la pendenza del segmento che li unisce determinare il coeff. ang. della retta per i due punti Esiste una formula da ricordare, legata alla definizione di m vista nel paragrafo 4 m = 2! 1 dove ( 1, 1 ) e (, 2 ) sono le coordinate dei 2 punti Es. Punto A (=1, =3) Punto B (=2, =4) m = 2! 1 = 4! 3 2!1 = 1 1 = 1 d) dati due punti del piano determinare l equazione della retta per i due punti L equazione della retta ( se i due punti non sono sulla stessa verticale) è del tipo = m + q, per cui, per determinarla, bisogna determinare i valori di m e di q Per trovare m si usa il procedimento di cui all esercizio 3) Si calcola m = 2! 1 dove ( 1, 1 ) e (, 2 ) sono le coordinate dei 2 punti Per trovare q si sfrutta l informazione che la retta passa per uno qualsiasi dei 2 punti (equivalente a dire che i punti appartengono alla retta) per cui deve valere la condizione di cui all esempio 2) Cioè, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta =m+q (dove ora si conosce il valore di m già calcolato) si deve ottenere una uguaglianza vera. Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come incognita. La sua risoluzione permette di trovare q Es. Determinare l equazione della retta = m + q passante per i due punti : Punto A (=1, =3) Punto B (=2, =4) m = 2! 1 = 4! 3 2!1 = 1 1 = 1 Quindi l equazione sarà = 1 + q Dovendo la retta passare per il punto A deve essere verificata l equazione 3 = 1 1+ q ottenuta sostituendo le coordinate (,)=(1,3) nell equazione = 1 + q Da cui si ricava 3 = 1 1+ q 3=1+q 3-1=q q=2 La retta cercata è =+2 NB: come per molti esercizi di geometria analitica esistono più modi per risolvere questo problema. Ne segnaliamo rapidamente tre, che saranno approfonditi nelle lezioni in classe a) uso della formula per determinare l equazione della retta per due punti! 1 2! 1 = b) Scritta l equazione generale della retta =m+q, imporreil passaggio della retta per i due punti, sostituendo le loro coordinate nell equazione, e risolvere il sistema così ottenuto nelle variabili m e q. c) Utilizzare la formula del fascio di rette per un punto (scegliendo uno dei due punti dati come centro del fascio)! 0 = m(! 0 ) e poi imporre il passaggio per l altro punto per determinare il valore di m Soluzione con il metodo C Scrivo l equazione del fascio di rette proprio per il punto A(1,3)! A = m(! A ) "! 3 = m(!1) " = m + 3! m Imporre il passaggio per B(2,4) significa sostituire nella equazione del fascio le coordinate di B = m + 3! m " 4 = 2m + 3- m " m = 1 quindi l equazione della retta cercata sarà = m + 3! m con m=1 " = + 2 e) determinare l equazione di una retta parallela ad una retta nota e passante per un punto Il problema è analogo al precedente. Si tratta di determinare l equazione della retta del tipo = m + q, per cui, per determinarla, bisogna determinare i valori di m e di q Per trovare m si usa la regola per cui due rette parallele hanno lo stesso coeff. angolare, per cui m si ricava subito dalla equazione della retta nota. Per trovare q si fa esattamente come prima Si sfrutta l informazione che la retta passa per il punto indicato (equivalente a dire che il punto appartiene alla retta) per cui deve valere la condizione di cui all esempio 2) Cioè, sostituendo le coordinate del punto nella equazione della retta =m+q (dove ora si conosce il valore di m già calcolato) si deve ottenere una uguaglianza vera. Questa sostituzione conduce ad una equazione con il parametro q come incognita. La sua risoluzione permette di trovare q NB. anche in questo caso si può risolvere l esercizio con altri metodi, ad esempio utilizzando la già citata formula! 0 = m(! 0 ) - in cui m si utilizza m ricavato dalla condizione di parallelismo e il punto dato come centro del fascio Es. Determinare l equazione della retta = m + q parallela alla retta =2-1 e passante per il punto : Punto A (=1, =3) m= coefficiente angolare della retta nota =2-1 cioè m=2 Quindi l equazione sarà = 2 + q Dovendo la retta passare per il punto A deve essere verificata l equazione 3 = 2 1+ q ottenuta sostituendo le coordinate (,)=(1,3) nell equazione = 2 + q Da cui si ricava 3 = 2 1+ q 3=2+q 3-2=q q=1 La retta cercata è =2+1

5 Esercizi da svolgere 1) Disegnare le rette =!2 = 3 2 = 3 2 = =!2!1 2) Stabilire quali dei seguenti punti appartengono alla retta =2-1 A(1,1) B(2,3) C(-1;-1) D( 2; -5) 3) Trovare l equazione della retta che passa per i punti A(0,0) e B(3,2) 4) Trovare l equazione della retta che passa per il punto A(2,3) parallela alla retta =2+1 e l equazione della retta che passa per il punto A(2,3) perpendicolare alla retta =2+1 e 5) Trovare la equazione (la formula, la relazione...) che permette di calcolare il prezzo di una vacanza di n gg al mare, se il viaggio costa 240 e l albergo 50 a notte, dove n è un numero variabile tra 1 e 14 giorni... Disegnare la retta corrispondente nel piano cartesiano avente in ascissa il numero di giorni ed in ordinata il prezzo totale.

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