a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni

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1 Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32) nel pianofc e sullo stesso grafico disegnare la retta C = F. esiste una temperatura per la quale C e F sono uguali? 3) Trovare l intercetta y della retta passante per i punti (2,1) e (3,-1). 4) Trovare i punti di intersezione delle rette 3x + 4y = -6 e 2x 3y = 13. 5) Trovare le equazioni delle rette passanti per P(2,1) che siano a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni 1) x = x 2 - x 1 = -2 x 1 = -5 x 1 = 3, y = y 2 y 1 = 2 y 1 =1 y 1 = 1 Quindi la particella è partita dal punto A(3,1). 2) F C=F = ,8 C -40 3) m = = -2, y = -2x + q 1= q q= 5 4) 3x + 4y = -6 2x - 3y = 13, 4 6 x = - y x - 3y = 13, x = 2( y - 3 y - 2) - 3y = 13, 4 6 x = - y y = 3, x= 2

2 Verifica : (-3) = - 6, 6 12 = -6 5) y-y 1 = m (x- x 1 ) y- 1 = x-2 y = x 1 y 1 = - x + 2 y = -x +3 I Vettori nel Piano Distinguiamo tra grandezze scalari e grandezze vettoriali. Le prime sono caratterizzate da un numero reale, es. la temperatura di un corpo umano 36 C, le seconde sono individuate da tre elementi: 1) un numero reale non negativo che esprime la sua lunghezza (o modulo, o intesità). 2) Una retta che individua la sua direzione. 3) Un verso. Ad esempio il moto di un'auto : non basta dire che si muove ad una velocità di 40Km/ora, per esempio, ma occorre anche dire in che direzione e in che verso si muove. Notazione : v = AB vettore con origine nel punto A A(a, b), B(c, d) due punti nel piano cartesiano direzione: retta passante per i punti A e B verso: da A a B intensità : lunghezza del segmento AB

3 Componenti di un vettore AB : v x = componente lungo l'asse x = lunghezza (c a) v y = componente lungo l'asse y = lunghezza (d b) Modulo di un vettore: v = AB = lunghezza del segmento AB = distanza tra i punti A e B = (c a) 2 + (d b) 2 = Pendenza di v = pendenza della retta su cui giace v, m = d - b c - a v + v 2 x 2 y E quindi risulta anche : v x = ABcosΦ = c-a, dove Φ è l'angolo che la retta per A e B forma con la direzione positiva dell'asse x (inclinazione della retta). Analogamente : v y = ABsenΦ = d-b Somma di 2 Vettori I caso II caso

4 Nel primo caso il vettore somma u + v è il vettore che unisce l origine di u con la punta della freccia di v (metodo punta-coda). Nel secondo caso u + v ha origine nell origine comune e punta su vertice opposto del parallelogramma di lati v e u, cioè è la diagonale di tale parallelogramma (metodo del parallelogramma). Somma di più vettori (metodo punta-coda) PRODOTTO DI UN NUMERO REALE PER UN VETTORE t = numero reale t v = u vettore parallelo a v concorde se t > 0 ( stesso verso) discorde se t < 0 ( verso opposto) il modulo di u è tvolte il modulo di v cioè u = tv = t v nota: t = valore assoluto del numero reale t Come si trasformano le componenti : Somma di 2 vettori v e u : sia v x = a 1, la componente x, v y = b 1 la componente y di v, a 2 la componente x e b 2 la componente y di u:

5 v ( a 1, b 1 ), u (a 2, b 2 ) allora v + u = w w x = a 1 + a 2, w y = b 1 + b 2 verificatelo graficamente! Prodotto t v: v(a, b), tv = u (ta, tb) Versori degli assi cartesiani: nel piano cartesiano si definiscono due vettori particolari, molto importanti, 1) il vettore i che unisce l origine degli assi, punto O (0,0), con il punto di coordinate (1,0) sull asse x e quindi risulta i = (1 0) = 1, modulo unitario. 2) il vettore j che unisce l origine O(0,0) con il punto di coordinate (0,1) sull asse y e quindi, analogamente, j =1, modulo unitario i(1,0), j(0,1) i, j versori degli assi (vettori di modulo unitario)

6 Rappresentazione cartesiana di un vettore Consideriamo un vettore v di componenti (a,b) con origine in O. Sia u 1 = ai il vettore parallelo a i e con origine in O e u 2 = bj parallelo a j sempre con la stessa origine i O, come in figura sopra, allora, per il metodo del Parallelogramma, risulta: v = ai + bj rappresentazione cartesiana di v Nota Bene : ai è il vettore componente di v lungo la direzione x a è la componente v x di v lungo la direzione x e analogamente lungo la direzione dell'asse y. Inoltre, indicando con Φ l'inclinazione di v, risulta v x = v cosφ = a e v y = v senφ = b Esempi. Siano A( -1, 2), B(2, 0) due punti del piano cartesiano, scrivere in forma cartesiana il vettore AB = v e BA = u Calcoliamo le componenti: v x = 2- (-1) = 3, v y = 0 2 = -2 v = 3i 2j analogamente per u, si ha u = - 3i + 2j cioè u = - v sono vettori opposti. u = - v = = 13

7 3i AB sulla diagonale del rettangolo dei vettori 2j e 3i A 2 con origine in A 2j BA sulla diagonale del rettangolo dei vettori 2j e 3 i -2j con origine in B B -1-3i 2 x Esempio: A(2,-1), B(-1,4) scriviamo in forma cartesiana il vettore v = AB Soluzione: Se u = i 2j soluzione: il vettore w v = -3i + 5j scrivere w = v + u in forma cartesiana ha come componenti la somma delle componenti cioè: w x = = -2 w y = +5-2 = +3 Quindi: w = v + u = -2i + 3j

8 Prodotto scalare tra due vettori v e u v u = v u cost commutativo v u = u v In particolare, risulta per i versori i, j i i = i i cos0 = = 1 1) i j = i j cos 2 π = = 0 Nota che il prodotto scalare tra vettori ortogonali è nullo. QUINDI In base a 1) risulta che dati due vettori v(a,b) = ai +b j, u(c,d)= ci + d j v u = (ai + b j) (ci + d j) = ai ci + ai d j + b j ci + b j d j = ac bd = ac + bd Cioè il prodotto scalare tra vettori è un numero reale dato dalla somma dei prodotti delle rispettive componenti.

9 Esempi: 1) u + v = 2i 2) v u = -2j 3) u = 1+ 1 = 2 = v u = i + j, v = i j 4) u v = (i + j) (i j) = 1-1 = 0 u e v sono perpendicolari cioè l angolo compreso tra u e v è 2 π

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