TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI
|
|
- Ambra Giorgi
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI 2
2 Direttore Beatrice VENTURI Università degli Studi di Cagliari Comitato scientifico Umberto NERI University of Maryland Russel Allan JOHNSON Università degli Studi di Firenze Gian Italo BISCHI Università degli Studi di Urbino Giuseppe ARCA Università degli Studi di Cagliari
3 TEMPUS PECUNIA EST COLLANA DI MATEMATICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE FINANZIARIE E AZIENDALI Al suo livello più profondo la realtà è la matematica della natura. P Questa collana nasce dall esigenza di offrire al lettore dei trattati che aiutino la comprensione e l approfondimento dei concetti matematici che caratterizzano le discipline dei corsi proposti nelle facoltà di Scienze economiche, finanziarie e aziendali.
4
5 Clara Viola La matematica degli economisti Prefazione di Bruno Barigelli
6 Copyright MMXIV ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 2014
7 Indice 9 Prefazione Parte I Algebra lineare 13 Capitolo I Matrici 39 Capitolo II Equazione caratteristica. Autovalori e autovettori. Forme quadratiche 49 Capitolo III Sistemi lineari 53 Capitolo IV Metodi di calcolo Parte II Le differenze finite e l elasticità di una funzione 73 Capitolo I Le differenze finite 83 Capitolo II Le equazioni alle differenze finite 117 Capitolo III Sistemi di equazioni alle differenze finite 7
8 8 Indice 129 Capitolo IV Equazioni alle differenze finite ed equazioni differenziali 135 Capitolo V Elasticità di una funzione 163 Capitolo I Funzioni omogenee Parte III Complementi di analisi 167 Capitolo II Curve di livello (o di indifferenza) 169 Bibliografia
9 Prefazione Attualmente lo Stato italiano si trova in cattive acque ed è per facilitare gli studiosi di Economia che l autrice si è accinta a scrivere questo libro. In generale, i testi di matematica per economisti trattano l analisi dalla A alla Z. Frequentando, nella Facoltà di Economia di Ancona, i colleghi economisti, l autrice si è convinta (e lo sono pure io) che essi conoscano abbastanza bene le basi dell Analisi (che vengono affrontati in tutti i corsi di Matematica generale) e necessitano principalmente di quelli specifici per i loro interessi. Questo, quindi, deve essere un libro di consultazione : è interessante anche il fatto che si sia dato parecchio spazio ai problemi nell ambito del discreto come avviene nello studio delle matrici e delle differenze finite anche confrontate con i casi continui a cui l autrice ha dedicato ampio spazio. Il testo è corredato di molti esempi ed esercizi che aiutano la comprensione dei concetti e dei teoremi (che, per chi non è uno studioso di matematica, non sono sempre facili). Il fatto di non aver riportato esempi di natura economica credo sia voluto, per lasciare ai competenti questo compito. La bibliografia è divisa in argomenti e quindi più facilmente consultabile; è ampia e contiene, prevalentemente, testi classici, molti dei quali sono di economia e quindi utili per le applicazioni che costituiscono il maggiore interesse per gli economisti. Bruno BARIGELLI 9
10
11 PARTE I ALGEBRA LINEARE
12
13 Capitolo I Matrici 1.1. Definizione di matrice Matrice ad m righe ed n colonne è un ente definito mediante mn numeri (reali o complessi) scritti sotto forma di una tabella rettangolare se m n, quadrata se m =n: a a 1n a m1... a mn Se m = n, n prende il nome di ordine della matrice. Quando m = 1, la matrice prende il nome di vettore riga ad n componenti; se n = 1 la matrice prende il nome di vettore colonna ad m componenti. Una matrice mn può essere considerata una m-pla ordinata di vettori riga ad n componenti o una n-pla ordinata di vettori colonna ad m componenti. In generale, indicheremo una matrice con le seguenti notazioni: A mn oppure [a ij ] : i = 1,2,..., n ; j = 1,2,..., m, o, più genericamente, A, quando non interessa il numero di righe e/o di colonne. Indicheremo invece i vettori con la lettera in grassetto: v. Se la matrice è quadrata, gli elementi a ii si dicono elementi principali (o diagonali) e il loro insieme si dirà diagonale principale; l insieme degli elementi a i,n+1 i costituisce la diagonale secondaria; a rs e a sr si dicono elementi coniugati. Esempi 1) è una matrice con due righe e tre colonne;
14 14 La matematica degli economisti 2) è una matrice quadrata di ordine 3. Gli elementi 5, -3, 0 sono gli elementi principali ed il loro insieme è la diagonale principale; gli elementi 4, -3, -1 formano la diagonale secondaria. Le coppie di elementi {1, 2 }, {-1, 4}, {-4, -2} sono gli elementi coniugati Matrici particolari Matrice nulla. Matrice con tutti gli elementi nulli. Matrice triangolare. Matrice quadrata in cui tutti gli elementi a destra (a sinistra) della diagonale principale, cioè tutti gli a ij con i > j (i < j), sono nulli. La matrice si dice più propriamente bassa o inferiore (alta o superiore). Matrice simmetrica rispetto alla diagonale principale. Matrice quadrata nella quale gli elementi coniugati sono uguali: a ij = a ji. Matrice diagonale. Matrice quadrata nella quale a ij = 0 se i j e a ii = λ i con i λ i non tutti nulli. Se i λ i sono tutti uguali (λ i = λ =costante) la matrice si dice scalare. Una matrice scalare in cui λ i = 1 si dice matrice unità. Esistono infinite matrici unità, a seconda dell ordine della matrice. Una matrice diagonale è ovviamente simmetrica. Esempio 3) Le seguenti matrici: a) b) c)
15 d) e) I. Matrici 15 sono rispettivamente: a) triangolare, b) simmetrica, c) diagonale, d) scalare, e) unità Matrici associate ad una matrice data. Matrice opposta di una matrice A: è la matrice i cui elementi sono gli opposti di quelli della matrice data ; si indica con A. Matrice trasposta di una matrice A: è la matrice che si ottiene scambiando i vettori riga con i vettori colonna ; si indica con A. Si osservi che: a) la trasposta della trasposta è la matrice data; b) una matrice simmetrica coincide con la sua trasposta. Esempi 4) Data la matrice le matrici e , A = A sono rispettivamente l opposta e la trasposta.
16 16 La matematica degli economisti 1.4. Uguaglianza di matrici ed operazioni Matrici uguali: sono due matrici A e B in cui a ij = b ij per ogni coppia di i e j. Somma o differenza di due matrici A e B. La somma o differenza tra due matrici si può eseguire solo se esse hanno lo stesso numero di righe e di colonne. La somma o differenza A ± B è una matrice i cui elementi sono a ij ± b ij. La somma gode delle proprietà commutativa ed associativa. Esempio 5) Siano A = e B = due matrici. La loro somma sarà: A + B = = Prodotto del vettore riga x per il vettore colonna y, entrambi ad n componenti, n è il numero a = x i y i. i=1 Prodotto del vettore colonna x per il vettore riga y, entrambi ad n componenti è la matrice A quadrata di ordine n i cui elementi sono a ij = x i y j, con i, j = 1,2,..., n. Esempio 6) Siano dati i due vettori: x = 1 2 3, 2 y = 1 1
17 I. Matrici 17 Si avrà: x y = ( 1) + ( 3) 1 = = 3 ; y x = Prodotto di una matrice A m,n per un vettore colonna x n,1 è il vettore colonna n b m,1 i cui elementi sono b i = a ij x j (i = 1,2,...,m). j=1 Si noti che un sistema di equazioni lineari di m equazioni ad n incognite (vedi capitolo III): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m si può scrivere in forma matriciale Ax = b, con: Esempi a 11 a a 1n x 1 b 1 a A = 21 a a 2n......, x = x 2..., b = b 2... a m1 a m2... a mn x n b m 7) Il prodotto tra la matrice A = 1 x = è: 2 Ax = 3 1 ed il vettore = ( 2.2) 3
18 18 La matematica degli economisti 8) Il sistema 2x y + z = 4 x + y 3z = 1 può essere scritto nella seguente forma matriciale: x y =. 1 z Prodotto di un vettore riga y 1,m per una matrice A m,n è il vettore riga c 1,n i m cui elementi sono: c i = y i a ij (i = 1,2,...,n). Esempio i=1 9) Il prodotto tra il vettore y = e la matrice A = sarà: 3 1 y A = = ( 2) = 2 1. Prodotto di due matrici. Per effettuare il prodotto di due matrici è necessario e sufficiente che il numero di colonne di A sia uguale al numero di righe di B (in questo caso si dirà che le due matrici sono conformabili), quindi esse dovranno essere del tipo A mn e B np. Il prodotto sarà una matrice C mp ed i suoi elementi saranno c ij = n a ik b kj, k=1 i = 1,2,...,m; j = 1,2,...,p.
19 I. Matrici 19 Il prodotto, come si desume dalla definizione, non gode della proprietà commutativa: se A mn B np = C mp con m p, B np A mn non si può eseguire. Se A mn B nm = C mm (con m n) risulta B nm A mn = D nn C mm. Se A mm B mm = C mm risulta B mm A mm = D mm C mm (salvo casi particolari). Quando si moltiplica una matrice per un altra è opportuno dire se il prodotto è a destra o a sinistra. Data la matrice A, moltiplicando per B a destra si ha AB, moltiplicando a sinistra si ha BA. Esempio 10) Date le matrici A = 3 1 2, B = , C = 2 1, volendo eseguire i prodotti AB, AC, BA, CA si può notare che i prodotti AB, AC, CA sono possibili mentre BA no: A B = ( 1) ( 1) = ( 1) ( 1) = A C = ( 2) = ( 2) = 1 1
20 20 La matematica degli economisti C A = ( 1) = ( 1) ( 1) = Come si vede, i prodotti AC e CA sono diversi. Prodotto di una matrice per uno scalare: è la matrice che si ottiene moltiplicando ogni elemento della matrice data per lo scalare. Se A = [a i,j ] sarà ka = [ka i,j ]. Dalla definizione di prodotto tra matrici segue che, detta D una matrice scalare con d i,i = k, si avrà: D mm A mn = A mn D nn = ka. La matrice D si comporta quindi come uno scalare; è quindi giustificato il nome che le è stato dato. Proprietà della matrice unità. Il prodotto di una matrice per la matrice unità lascia inalterata la matrice stessa: A mn I nn = I mm A mn = A mn Si noti che, a seconda che la matrice unità sia a destra o a sinistra della matrice A, essa cambia ordine. Esempio 11) Sia data la matrice 1 3 A =
21 I. Matrici 21 Moltiplicando la matrice A per la matrice unità sia a destra che a sinistra si avrà AI = 2 2 = IA = = Si noti che nella prima moltiplicazione abbiamo usato una matrice unità 2 2 mentre nella seconda una matrice 3 3. Matrice inversa. La matrice inversa A 1 di una matrice A ove esista è quella matrice che, moltiplicata a destra o a sinistra per A, dà come risultato la matrice unità: AA 1 = A 1 A = I. La matrice inversa, se esiste, è unica. Esempio 12) Sia data la matrice A = 3 1. Si ha: 5 2 AA = = La sua inversa sarà A = 3 1 = A A = = Dalle ultime uguaglianze tenendo presente la regola del prodotto tra matrici si deduce che condizione necessaria (ma non sufficiente) perchè esista la matrice inversa è che la matrice A sia quadrata; la matrice inversa se esiste sarà anche essa quadrata e dello stesso ordine di A.
Le matrici. Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1.
Le matrici Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1. Siano m, n N\{0}. Una matrice m n a coefficienti in K è una tabella di m n elementi di K disposti
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
DettagliRichiami di algebra delle matrici a valori reali
Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o
DettagliElementi di Algebra Matriciale. (richiami)
Elementi di Algebra Matriciale Definizione di matrice (richiami) Matrice quadrata, diagonale, identità, triangolare, simmetrica Matrice trasposta Principali operazioni su matrici e vettori: somma, sottrazione,
DettagliCorso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
DettagliMatrici e sistemi. Geometria. Matrici e operazioni tra matrici. Operazioni elementari e riduzione Sistemi lineari Matrici invertibili Determinante
Geometria Matrici e sistemi Operazioni elementari e riduzione Sistemi lineari Matrici invertibili Determinante 2 2006 Politecnico di Torino 1 Matrici e sistemi Matrici: definizione e notazioni Somma e
DettagliAlgebra lineare. Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica. Pierluigi Amodio
Algebra lineare Laboratorio di programmazione e calcolo CdL in Chimica Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari pierluigi.amodio@uniba.it http://dm.uniba.it/ amodio A.A. 2016/17 P.
Dettagli( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1
. Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo
DettagliPreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z
PreCorso di Matematica - PCM Corso M-Z DOCENTE: M. Auteri Outline Docente: Auteri PreCorso di Matematica 2016 2 Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti
DettagliVettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Vettori e matrici Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utentiunifeit/lorenzopareschi/ lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi Univ Ferrara
DettagliAPPLICAZIONI. Im f = {b B a A tale che f (a) = b}.
APPLICAZIONI Diremo applicazione (o funzione) da un insieme A ad un insieme B una legge f che associa ad ogni elemento a A uno ed un solo elemento b B. Scriviamo f : A B e il corrispondente o immagine
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
MATRICI E SISTEMI LINEARI - PARTE I - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 27 Febbraio 2006 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Matrici e Sistemi lineari 27/02/2006 1 / 1 Definizione
DettagliSi noti che la matrice trasposta A ha lo stesso determinante. Questa proprietà è generale;
Ottavio Serra Matrici e determinanti In questa nota estenderemo a matrici quadrate di ordine n qualsiasi il concetto di determinante introdotto nelle scuole secondarie per matrici di ordine 2 come tecnica
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito
DettagliEsercitazioni di Algebra e Geometria
Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2011 2012 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.00
DettagliElementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari
Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare
DettagliOperazioni tra matrici. Moltiplicazione per uno Scalare Moltiplicare ogni elemento della matrice per lo scalare. Sia c = 3
Operazioni tra matrici Definizione di matrice a ij è un elemento di A a ij è detto l elemento ij-esimo di A Moltiplicazione per uno Scalare Moltiplicare ogni elemento della matrice per lo scalare. Sia
DettagliVETTORI E MATRICI. Ing. Nicola Cappuccio 2014 U.F.5 ELEMENTI SCIENTIFICI ED ELETTRONICI APPLICATI AI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato
DettagliAPPUNTI DI ALGEBRA LINEARE
APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e
DettagliNote per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni
Note per il corso di Geometria e algebra lineare 009-0 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Spazi di n-uple e matrici. I prodotti cartesiani RR R e RRR R 3, costituiti dalle coppie
Dettaglix n i sima pos. x, y = x T y = x i y i R. i=1
1 Elementi di Algebra Lineare In questo capitolo introduttivo al corso di Calcolo Numerico per la laurea triennale in Informatica, saranno presentate una serie di definizioni e proprietà di matrici e dei
DettagliTerminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI)
Terminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Esempi Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI) Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A M n (K) è possibile definire ricorsivamente
DettagliEsercizi di Fondamenti di Sistemi Dinamici
Giuseppe Fusco Esercizi di Fondamenti di Sistemi Dinamici ARACNE Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 a/b 00173 Roma (06 93781065
DettagliFerruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1
A01 102 Ferruccio Orecchia esercizi di GEOMETRIA 1 Copyright MCMXCIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Richiami di Algebra Lineare Eduardo Rossi Università degli Studi di Pavia Corso di Econometria Marzo 2012 Rossi Algebra Lineare 2012 1 / 59 Vettori Prodotto interno a : (n 1) b : (n 1) a b = a 1 b 1 +
DettagliAlgebra delle matrici
Algebra delle matrici Metodo di Gauss-Jordan per l inversione di una matrice. Nella lezione scorsa abbiamo visto che un modo per determinare l eventuale inversa di una matrice quadrata A consiste nel risolvere
Dettagli= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione
DettagliCapitolo 3 Matrici. Marco Robutti. Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia. Anno accademico
Capitolo 3 Matrici Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare Definizione (Matrice) Una matrice A M R (k, n) è
DettagliMATRICI E OPERAZIONI
MATRICI E SISTEMI MATRICI E OPERAZIONI Matrici, somma e prodotto (definizioni, esempi, non commutatività del prodotto, legge di annullamento del prodotto Potenze e inverse di matrici quadrate (definizioni
DettagliMatematica II
Matematica II 29..0. Somma di due matrici. Siano m ed n due interi positivi fissati. Date due matrici A, B R m n di tipo m n, sommando a ciascun elemento di A il corrispondente elemento di B, si ottiene
DettagliMATRICI e DETERMINANTI. Prof.ssa Maddalena Dominijanni
MATRICI e DETERMINANTI Le matrici non sono altro che tabelle di elementi ordinati per righe e colonne. Se m = n la matrice si dice quadrata Matrice quadrata di ordine 3 Matrice rettangolare di tipo 2 3
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Richiami di Algebra Lineare Eduardo Rossi Università degli Studi di Pavia Corso di Econometria Marzo 2015 Rossi Algebra Lineare 2015 1 / 41 Vettori Prodotto interno a : (n 1) b : (n 1) a b = a 1 b 1 +
DettagliEttore Panella Algebra delle matrici e Sistemi lineari 1 MATRICI. Si definisce matrice un insieme ordinato di numeri disposti su righe e colonne.
Ettore Panella Algebra delle matrici e Sistemi lineari 1 MATRICI Si definisce matrice un insieme ordinato di numeri disposti su righe e colonne. 1-3 4 5 7 0 La precedente è una matrice 2 3 costituita da
DettagliVETTORI E MATRICI. De nizione 1 Chiamiamo vettore x una n-pla ordinata di numeri reali. x 1 x 2. x n
VETTORI E MATRICI De nizione 1 Chiamiamo vettore x una n-pla ordinata di numeri reali x 1 x. x n 5 L insieme di tutti i vettori con n componenti reali si indica con R n :I numeri reali si possono pensare
DettagliALGEBRA DELLE MATRICI
ALGEBRA DELLE MATRICI March 8, 2015 1 Definizioni e notazioni Una matrice è una tabella rettangolare le cui entrate sono numeri organizzati in righe orizzontali e colonne verticali. Esempio 1 2 A = 4 0
DettagliMATRICI. Matrici Una matrice A con n-righe e m-colonne, ad elementi reali, è una tabella con la seguente forma: a 2 m. a n m) i j R, 1 i n, 1 j m.
MATRICI Matrici Una matrice A con n-righe e m-colonne, ad elementi reali, è una tabella con la seguente forma: 11 a 12 a 1 3 a 1m A=(a a 21 a 2 3 a 2m con a a n1 a n2 a n 3 a nm i j R, 1 i n, 1 j m. per
DettagliLEZIONE 1 C =
LEZIONE 1 11 Matrici a coefficienti in R Definizione 111 Siano m, n Z positivi Una matrice m n a coefficienti in R è un insieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi
DettagliEsercitazioni di Algebra e Geometria
Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 2011 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.30
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Università di Pavia Richiami di Algebra Lineare Eduardo Rossi Vettori a : (n 1) b : (n 1) Prodotto interno a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n Modulo (lunghezza): a = a 2 1 +... + a2 n Vettori ortogonali:
DettagliMATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI
MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione:
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
DettagliIl prodotto tra matrici non è commutativo. Nelle notazioni precedenti, ponendo n = p e m = q si hanno:
L anello delle matrici Esempio. Siano A = [ ] 0 1 3 0 2 1, B = 1 2 0 0 1 2 3 4, 1 0 calcolare AB e BA. Osservazioni Siano A Mat m,n (K) e B Mat p,q (K). Il prodotto AB è definito se n = p. Si ha AB Mat
DettagliIntroduzione all algebra delle matrici. Appunti a cura di Lara Ercoli
Introduzione all algebra delle matrici ppunti a cura di Lara Ercoli Indice Definizioni 3. Matrici particolari............................ 4 2 Operazioni con le matrici 8 2. Somma di matrici.............................
DettagliIntroduzione allo Scilab Parte 4: matrici; esempi.
Introduzione allo Scilab Parte 4: matrici; esempi. Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari http://dm.uniba.it/ iavernaro felix@dm.uniba.it 20 Giugno 2007 Felice Iavernaro (Univ.
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
DettagliEsercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 19 Ottobre
Esercizi Di Geometria (BAER Canale Da consegnare Lunedi 9 Ottobre SETTIMANA 3 (2 8 Ottobre Moltiplicazione di matrici Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang Esercizio
DettagliDIARIO DEL CORSO DI MATHEMATICS FOR DATA SCIENCE TRENTO, A.A. 2018/19 DOCENTI: ANDREA CARANTI, SIMONE UGOLINI
DIARIO DEL CORSO DI MATHEMATICS FOR DATA SCIENCE TRENTO, A.A. 2018/19 DOCENTI: ANDREA CARANTI, SIMONE UGOLINI Nota. La descrizione di lezioni non ancora svolte si deve intendere come una previsione/pianificazione.
Dettagliossia può anche essere localizzato univocamente sul piano complesso con la sua forma polare.
ALGEBRA COMPLESSA Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi per rispondere all esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi I numeri complessi sono
DettagliRICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI LUCIA GASTALDI 1. Matrici. Operazioni fondamentali. Una matrice A è un insieme di m n numeri reali (o complessi) ordinati, rappresentato nella tabella
DettagliLezione 11. Somma di matrici Prodotto di una matrice per uno scalare Prodotto di matrici Determinante Sistemi lineari in forma matriciale
Lezione Somma di matrici Prodotto di una matrice per uno scalare Prodotto di matrici Determinante Sistemi lineari in forma matriciale Matrici. Somma Date due matrici n x m, A = A ij e B = B ij, con i =,,,
DettagliCorso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof. Fabio Perroni 2. MATRICI
Corso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof Fabio Perroni 2 MATRICI Siano m, n N \ {0}, sia K un campo Una matrice m n a coefficienti in K è una
DettagliAlgebra matriciale. Un algebra è un sistema di segni in cui sono definite delle operazioni Algebra scalare Algebra dei vettori Algebra matriciale
Algebra matriciale Algebra Un algebra è un sistema di segni in cui sono definite delle operazioni Algebra scalare Algebra dei vettori Algebra matriciale In algebra matriciale un numero è chiamato scalare
DettagliDefinizioni e operazioni fondamentali
MATRICI Definizioni e operazioni fondamentali Autovalori e autovettori Potenza Esponenziale Limiti, derivate e integrali Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 1 DEFINIZIONI
DettagliSISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Date le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 quanti punti hanno in comune? Per rispondere devo risolvere il sistema ax + by + c = 0 ቊ a x + b y + c = 0 e
DettagliArgomento 12 Matrici
Argomento 2 Matrici 2 Vettori di R n eoperazioni I Vettore di R n : x =(x i ) i=n =(x i ) n i=,conx i R componenti di x I R n = spazio dei vettori reali a n componenti = spazio vettoriale reale n-dimensionale
DettagliRICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn
RICHIAMI DI ALGEBRA LINEARE E NORME DI MATRICI E VETTORI LUCIA GASTALDI 1. Matrici. Operazioni fondamentali. Una matrice A è un insieme di m n numeri reali (o complessi) ordinati, rappresentato nella tabella
DettagliRichiami di algebra delle matrici
Richiami di algebra delle matrici (S. Terzi) 1. SPAZI VETTORIALI I. ALCUNE DEFINIZIONI 1) Definizione di spazio vettoriale Sia S un insieme di vettori di ordine n. S è detto spazio lineare se e' un insieme
DettagliPiccola rassegna di Algebra delle Matrici
Piccola rassegna di Algebra delle Matrici 1 Introduzione Questa nota va intesa semplicemente come un brevissimo sommario di alcuni concetti relativi alle Matrici, che dovete utilizzare nell ambito dello
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
Dettagli1.1 Matrici a coefficienti in R. Vi sono alcuni casi particolari che vale la pena evidenziare:
Lezione Matrici a coefficienti in R Definizione Siano m, n Z numeri interi positivi Una matrice m n acoefficientiinrèuninsiemedimn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi
DettagliGrazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof.
A01 179 Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. S.M. Salamon per tanti utili suggerimenti e
DettagliCorso di Matematica per la Chimica. Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Spazio dei vettori Il primo oggetto matematico che definiamo sarà il vettore. Partendo dai numeri reali come rappresentazione dei punti della retta reale R,
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 7 - CALCOLO NUMERICO CON MATRICI Richiami teorici Operazioni fondamentali Siano A = {a ij } e B = {b ij }, i = 1,..., m, j = 1,..., n due
DettagliLezione del dove a 1, a n e b sono numeri reali assegnati, detti coefficienti e termine noto dell equazione;
Le lezioni del 60 e 010 si riferiscono al Capitolo 1 Introduzione ai sistemi lineari Di seguito si elencano gli argomenti svolti, descrivendoli sinteticamente dando i riferimenti a tale capitolo, oppure
Dettagli25 - Funzioni di più Variabili Introduzione
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Statistica per l Analisi dei Dati Appunti del corso di Matematica 25 - Funzioni di più Variabili Introduzione Anno Accademico 2013/2014 M. Tumminello
DettagliAutovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)
Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)
Dettaglia.a MATEMATICA GENERALE: SISTEMI LINEARI E MATRICI
aa 2012-2013 MATEMATICA GENERALE: SISTEMI LINEARI E MATRICI 1 Sistemi di equazioni lineari Definizione 11 i Un equazione lineare nelle indeterminate (o incognite X 1,, X 1 m a coefficienti interi (o razionali,
DettagliALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5. Indice. 2. Esercizi 5
ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA: ESERCIZI 5 Indice 1. Principali definizioni 1 2. Esercizi 5 Operazioni con le matrici 1. Principali definizioni Ricordiamo le principali definizioni legate alle matrici a coefficienti
DettagliMetodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B
Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/
Dettagli3. Elementi di Algebra Lineare.
CALCOLO NUMERICO Francesca Mazzia Dipartimento Interuniversitario di Matematica Università di Bari 3. Elementi di Algebra Lineare. 1 Sistemi lineari Sia A IR m n, x IR n di n Ax = b è un vettore di m componenti.
DettagliMatrici. Prof. Walter Pugliese
Matrici Prof. Walter Pugliese Le matrici Una matrice è un insieme di numeri reali organizzati in righe e colonne. Se n è il numero delle righe e m e il numero delle colonne si dice che la matrice è di
DettagliEsercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre
Esercizi Di Geometria 1 (BAER) Canale 1 Da consegnare Lunedi 26 Ottobre SETTIMANA 4 (19 25 Ottobre) Matrici elementari Gli esercizi sono presi dal libro Intorduction to Linear Algebra di Serge Lang. Esercizio
DettagliOperazioni tra matrici e n-uple
CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,
DettagliIl determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di
DettagliCorso di Analisi Numerica
con pivoting Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 6 - METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche con pivoting 1 Introduzione algebrica
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
Dettagliottenuta scambiando in A, le righe con le colonne, così, ad esempio, posto
MATRICI Si chiama matrice di m righe ed n colonne una tabella costituita da m n numeri (detti elementi), disposti in m righe orizzontali ed in n colonne verticali, racchiusi tra due parentesi tonde. (1)
DettagliNote per il corso di Geometria Corso di laurea in Ing. Edile/Architettura. 4 Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss Jordan
Note per il corso di Geometria 2006-07 Corso di laurea in Ing. Edile/Architettura Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss Jordan.1 Operazioni elementari Abbiamo visto che un sistema di m equazioni
DettagliSommario lezioni di geometria
Sommario lezioni di geometria C. Franchetti November 12, 2006 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 ) indica
Dettagliè una matrice 2 righe e 3 colonne, brevemente 2 3 ad elementi in R. a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34
Capitolo 10 Matrici e vettori 10.1 Le matrici Chiamiamo matrici delle tabelle finite di elementi di un insieme N (in genere, ma non sempre, un insieme di numeri posti su righe e colonne. Nel seguito, fino
DettagliElementi di Algebra Lineare
Elementi di Algebra Lineare Corso di Calcolo Numerico, a.a. 2009/2010 Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari 13 Marzo 2006 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Elementi di Algebra Lineare
DettagliNORMA DI UN VETTORE. Una NORMA VETTORIALE su R n è una funzione. : R n R +
NORMA DI UN VETTORE Una NORMA VETTORIALE su R n è una funzione. : R n R + {0}, che associa ad ogni vettore x R n di componenti x i, i = 1,..., n, uno scalare in modo che valgano le seguenti proprietà:
DettagliRIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1
MATRICI E SISTEMI RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan). 3 4 Esercizio Ridurre per
DettagliDiagonalizzabilità di endomorfismi
Capitolo 16 Diagonalizzabilità di endomorfismi 16.1 Introduzione Nei capitoli precedenti abbiamo definito gli endomorfismi su uno spazio vettoriale E. Abbiamo visto che, dato un endomorfismo η di E, se
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari
MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliMatematica II, aa
Matematica II, aa 2011-2012 Il corso si e svolto su cinque temi principali: sistemi lineari, algebra delle matrici, determinati, spazio vettoriale R n, spazio euclideo R n ; per ogni tema descrivo gli
DettagliRichiami di Algebra Lineare
Richiami di Algebra Lineare Fabrizio Silvestri December 14, 010 Matrice Sia R il campo dei numeri reali. Si indica con R m n l insieme delle matrici ad elementi reali con m righe ed n colonne. Se A R n
DettagliSottospazi vettoriali
Capitolo 6 Sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Riprendiamo un argomento già studiato ampiamente nel corso di Geometria, i sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale. Ci limiteremo a darne la definizione,
DettagliIn generale, la moltiplicazione di una matrice A R m n per uno scalare r puo essere realizzata come la premoltiplicazione di A per la matrice
Matematica II, 5.11.11 Matrici scalari. Matrici diagonali 1. Matrici scalari Data una matrice A R m n di tipo m n, e dato uno scalare r in R, moltiplicando ciascun elemento di A per lo scalare r si ottiene
Dettagli3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici
3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliALGEBRA LINEARE PARTE II
DIEM sez. Matematica Finanziaria Marina Resta Università degli studi di Genova Dicembre 005 Indice PREMESSA INVERSA DI UNA MATRICE DETERMINANTE. DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI................. MATRICI
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
Dettagliil determinante che si ottiene da A, sopprimendo la i - esima riga e la j - esima colonna. Si definisce complemento algebrico dell'elemento a ij
Determinanti Sia data la matrice quadrata a... a n a a n =...... a... a n nn Chiamiamo determinante di il numero det o che ad essa viene associato. det = a a... a... a... a n n n... a nn Un generico elemento
Dettagli