Albero semantico. Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni.

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1 Albero semantico Albero che mette in corrispondenza ogni formula con tutte le sue possibili interpretazioni. A differenza dell albero sintattico (che analizza la formula da un punto di vista puramente formale), l albero semantico si occupa di scandagliare tutte le possibili interpretazioni. È un albero binario dove ogni livello viene etichettato (solo la radice non viene etichettata e il suo livello è 0). Per tutti gli altri livelli, ogni nodo è etichettato da una lettera proposizionale e l etichettatura avviene nel seguente modo: etichettiamo ogni nodo di un livello con una lettera proposizionale o con la sua negazione. 1

2 Albero semantico Ad ogni ramo θ associamo una valutazione booleana v θ. Considerato θ come un insieme di nodi θ = {L 1,...,L n,...} (letterali), possiamo costruire una valutazione booleana v θ che, per ogni n, è definita: v θ (P n ) = t se L n = P n v θ (P n ) = f se L n = P n viceversa, per ogni i, L i = P i se v θ (P i ) = t L i = P i se v θ (P i ) = f 2

3 Insiemi di clausole saturi Sia C un insieme di clausole. C è saturo (o chiuso) per risoluzione se comunque applico la regola di risoluzione ottengo una clausola ancora in C. Teorema. Sia C un insieme di clausole, C saturo per risoluzione. Se C è insoddisfacibile allora [ ] C. 3

4 Alcune definizioni Un cammino sull albero semantico è un percorso dalla radice fino ad un certo nodo segnato oppure sino all infinito. Un cammino θ contraddice c se per ogni L c si ha che L θ θ è C-chiuso se esiste c C tale che θ contraddice c Sia N un nodo, N è fallimentare se il cammino θ N da esso individuato è C-chiuso 4

5 Insiemi di Robinson Un insieme di disgiunzioni R è di Robinson se 1. per ogni D R, se D non è una clausola, esiste D R ottenibile da D mediante applicazione di una regola di espansione per risoluzione 2. R è saturo per risoluzione 3. [ ] / R Teorema di Robinson. Ogni insieme di Robinson è soddisfacibile. Applicazione del teorema di Robinson: completezza del sistema di Risoluzione con ipotesi di strettezza. 5

6 Conseguenza logica X è conseguenza logica proposizionale di S (con S Prop, S non necessariamente finito) se per ogni valutazione booleana v, se v soddisfa S, allora v soddisfa X (scriviamo S = p X) Teorema S = p X esiste S 0 S, S 0 finito, tale che S 0 = p X 6

7 Algoritmo per verificare se X è conseguenza logica di S I metodo: generare tutti i possibili sottoinsiemi finiti di S e applicare il teorema precedente a tali sottoinsiemi Osserviamo che se X non è conseguenza logica di S la procedura non avrà termine II metodo: Utilizzare la regola di S-introduzione 7

8 Regola di S-introduzione Regola di S-introduzione per tableaux: Sia S l insieme delle premesse. In qualunque momento posso introdurre nel tableau una formula Y S. Regola di S-introduzione per la risoluzione: Sia S l insieme delle premesse. In qualunque momento posso introdurre nell espansione una disgiunzione Y S. Scriviamo S pt X per indicare X è derivabile da S nel sistema dei tableaux Scriviamo S pr X per indicare X è derivabile da S nel sistema della risoluzione 8

9 Alcune definizioni Sia R Prop. R è S-soddisfacibile se R S è soddisfacibile Un ramo di un tableau è S-soddisfacibile se l insieme delle formule che lo compongono è S-soddisfacibile Un tableau è S-soddisfacibile se almeno uno dei suoi rami è S-soddisfacibile La S-soddisfacibilità è un invariante del sistema dei tableaux e anche della risoluzione. 9

10 Sistema di Hilbert Un sistema di Hilbert è caratterizzato da due componenti 1. Assiomi 2. Regole di inferenza Dimostrazione in un sistema di Hilbert È una sequenza di formule X 1,...,X n, detta anche dimostrazione di X n, tale che tutte le X i, i = 1,...,n sono: Assiomi Risultano dall applicazione di una regola di inferenza del sistema a formule che precedono X i nella sequenza In particolare X 1 è un assioma 10

11 Sistema di Hilbert Derivazione da un insieme S Sia S un insieme di formule di Prop. Una derivazione da S in un sistema di Hilbert è una sequenza X 1,...,X n tale che ogni X i è un assioma, oppure è ottenuto mediante applicazione di regole di inferenza, oppure è un elemento di S. Diciamo allora che X n è derivabile da S nel sistema di Hilbert proposizionale (e scriviamo S ph X n ). 11

12 Requisiti di un sistema di Hilbert Gli assiomi devono essere specificati da un numero finito di schemi di assiomi Le regole di inferenza devono essere specificate da un numero finito di schemi di regole 12

13 Assiomi 1. X (Y X) 2. (X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)) 3. X 4. X 5. X X 6. X ( X Y ) 7. α α 1 8. α α 2 9. (β 1 X) ((β 2 X) (β X)) 13

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