LA PROBABILITAÁ ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ. richiami della teoria

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1 ALGEBRA IL CALCOLO DELLE PROBABILITAÁ richiami della teoria n un evento E si dice casuale o aleatorio, quando il suo verificarsi dipende unicamente dal caso; n un evento si dice certo quando eá possibile stabilire con assoluta certezza il suo verificarsi; n un evento si dice impossibile quando non potraá mai realizzarsi; n la probabilitaá (definizione classica) p E di un evento E eá data dal rapporto fra il numero f di casi favorevoli all'evento e il numero complessivo n dei casi possibili. In simboli: p E ˆ f n : La probabilitaá di un evento certo eá uguale a, di un evento impossibile eá uguale a 0 e di un evento aleatorio qualsiasi eá un numero compreso tra 0 e, cioeá 0 p ; n la probabilitaá totale di due o piuá eventi incompatibili eá uguale alla somma delle probabilitaá di ciascun evento; n la probabilitaá totale di due eventi compatibili eá uguale alla somma delle probabilitaá di ciascun evento diminuita della probabilitaá comune ai due eventi; n due eventi sono complementari quando il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell'altro ma sicuramente uno dei due eventi si verificheraá; n la probabilitaá di un evento composto E, costituito da due eventi E e E 2 fra loro indipendenti, si ottiene effettuando il prodotto delle probabilitaá di ciascun evento e viene chiamata anche probabilitaá composta; n la probabilitaá di un evento composto E costituito da due eventi E e E 2 fra loro dipendenti, si ottiene effettuando il prodotto della probabilitaá di E per la probabilitaá condizionata di E 2 ; n la probabilitaá (definizione frequentista) di un evento E in un esperimento eá il valore della frequenza relativa di E cioeá p E ˆfrequenza assoluta : n o prove; n la probabilitaá (definizione soggettiva) di un evento E eá il rapporto fra il prezzo P che si eá disposti a pagare e la somma S che si ritiene di dover avere in cambio se l'evento si verifica. COMPRENSIONE DELLA TEORIA Un evento si dice aleatorio se: a. probabilmente si verifica; b. il suo verificarsi dipende solo dal caso; c. si verifica sicuramente. 2 La probabilitaá classica p di un evento E eá data dalla formula: a. p E ˆ f n ) con n casi possibili e f casi favorevoli all'evento; b. p E ˆn f ) con n casi possibili e f casi favorevoli all'evento; c. p E ˆ f ) con f casi favorevoli all'evento.

2 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Completa le seguenti proprietaá: a. la probabilitaá di un evento certo eá sempre uguale a...; b. la probabilitaá di un evento impossibile eá sempre uguale a... 4 Tra quali numeri eá compresa la probabilitaá di un evento aleatorio qualsiasi? Completa le seguenti frasi: a. due eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi del primo... il verificarsi del secondo, ovvero i due eventi... verificarsi...; b. la probabilitaá totale di due o piuá eventi incompatibili eá uguale... delle probabilitaá di ciascun evento. 6 Due eventi si dicono compatibili quando: a. il verificarsi del secondo non esclude il verificarsi del primo; b. il verificarsi del primo esclude il verificarsi del secondo; c. il verificarsi del primo non esclude il verificarsi del secondo. 7 Con quale formula si calcola la probabilitaá totale di due eventi compatibili? a. p t ˆ p p 2 ; b. p t ˆ p p 2 p c ; c. p t ˆ p p 2 p c. 8 Completa le seguenti definizioni: a. due eventi si dicono complementari quando il verificarsi del primo... il verificarsi del secondo, ma sicuramente...; b. la probabilitaá inversa di un evento p eá la probabilitaá che p... 9 La somma delle probabilitaá di due eventi complementari eá sempre uguale a: a. ; b. 0; c. non si puoá sapere. 0 Completa le seguenti frasi: a. due eventi E e E 2 si dicono dipendenti se il verificarsi... modifica la probabilitaá...; b. la probabilitaá composta di due eventi dipendenti si ottiene moltiplicando... per la probabilitaá condizionata...; c. sia n il numero di prove eseguite, tutte uguali e nelle medesime condizioni, ed f il numero degli esiti favorevoli, la probabilitaá frequentista p E di un evento E eá data... fra...; d. se sottoponiamo un evento casuale ad un numero... di prove, mantenendo sempre le condizioni iniziali, otteniamo una frequenza che si... alla...; aumentando il numero di prove, la... tende a coincidere sempre piuá con la...; e. la probabilitaá soggettista p E di un evento E eá il rapporto tra il... P che un individuo eá disposto a pagare e la... S che vuole ricevere nel caso si verifichi l'evento. Con quale formula si calcola la probabilitaá dell'evento composto di due eventi fra loro indipendenti? a. p E ˆp E p E 2 ; b. p E ˆp E : p E 2 ; c. p E ˆp E p E 2. 2 La probabilitaá di due eventi dipendenti eá uguale a: a. p t ˆ p E : pe 2 =E ; b. p t ˆ p E pe 2 =E ; c. p t ˆ p E pe 2 =E. APPLICAZIONE Calcola la probabilitaá che lanciando un dado esca il numero, esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale.

3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Il dado ha sei facce quindi n ˆ 6; l'evento: «esce il numero» ha una sola possibilitaá di verificarsi dunque f ˆ ; pertanto: a. p (valore frazione) ˆ 6 ; b. p (valore decimale) ˆ : 6 ˆ 0,666::::::: ˆ 0,6; c. p (valore percentuale) ˆ 0,66 00% ˆ 6,6%. 4 Calcola la probabilitaá che da un mazzo di carte venga estratto il 2 di denari, esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale. Da un'urna contenente 0 palline rosse, verdi e 2 blu si estrae una pallina. Calcola la probabilitaá che sia rossa esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale Calcola la probabilitaá che da un mazzo di carte venga estratto un re, esprimendola in frazione, valore decimale e valore percentuale. 0 7 Calcola la probabilitaá che da un'urna contenente 0 palline rosse e 4 gialle si estragga una pallina gialla Calcola la probabilitaá che da un mazzo di 4 carte si estragga un jolly. (Suggerimento: ricorda che i jolly sono 2) 27 9 Calcola la probabilitaá totale nei seguenti casi: a. lanciando un dado si verifichi l'evento E : «esce il numero 6» oppure l'evento E 2 : «esce un numero dispari»; b. estraendo una carta da un mazzo di carte si verifichi l'evento E : «esce una carta di coppe» oppure l'evento E 2 : «esce un fante». a. Osserviamo che i due eventi sono incompatibili cioeá non si possono verificare contemporaneamente; infatti il caso favorevole all'evento E eá il numero 6, mentre i casi favorevoli all'evento E 2 sono i numeri, e. La probabilitaá totale di due eventi incompatibili si ottiene come somma delle probabilitaá dei singoli eventi: p E ˆ 6 ; p E 2 ˆ 6 pertanto p t ˆ p E p E 2 ˆ 6 6 ˆ 4 6 ˆ 2. b. Gli eventi sono compatibili cioeá si possono verificare contemporaneamente; infatti il fante di coppe verifica entrambi gli eventi. La probabilitaá totale di due eventi compatibili si ottiene come somma delle probabilitaá dei singoli eventi diminuita della probabilitaá dell'evento comune: p E ˆ0 ; p E 2 ˆ 4 ; p c ˆ ; pertanto p E p E 2 p c ˆ 0 4 ˆ. 20 Calcola la probabilitaá totale nei seguenti casi: a. lanciando un dado si verifichi l'evento E : «esce il numero 2» oppure l'evento E 2 : «esce il un numero pari»; 2 b. estraendo una carta da un mazzo di carte si verifichi l'evento E : «esce un tre» oppure l'evento E 2 : «esce un cinque».

4 4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 2 Calcola la probabilitaá che estraendo una pallina da un'urna contenente 4 palline verdi, rosse e gialle, esca indifferentemente una pallina rossa o gialla Calcola la probabilitaá che lanciando un dado esca un numero divisibile per tre o un numero pari. 2 2 Calcola la probabilitaá che estraendo una carta da un mazzo di carte esca un tre o una carta di denari. 24 In un sacchetto ci sono 20 bussolotti contrassegnati da un numero da a 20. Calcola la probabilitaá che estraendo un bussolotto sia estragga un multiplo di 2 o di Calcola la probabilitaá che lanciando un dado esca un numero divisibile per o un multiplo di Calcola la probabilitaá che estraendo da un mazzo di carte una carta questa sia di coppe o un fante. 27 Qual eá la probabilitaá che nel gioco del Lotto, alla prima estrazione sulla ruota di Roma, si ottenga un numero maggiore di 20 oppure divisibile per Calcola la probabilitaá di estrarre un tre e una figura da un mazzo di carte in successione e rimettendo la prima carta estratta nel mazzo. Come cambia il valore della probabilitaá se si effettua la seconda estrazione senza aver rimesso la prima carta estratta nel mazzo nell'ipotesi che alla prima estrazione non sia uscita una figura? Osserviamo che i due eventi E : «estrarre un tre» ed E 2 : «estrarre una figura» sono indipendenti, cioeá l'aver estratto un tre con la prima estrazione non condiziona l'estrazione di una figura nella seconda visto che la prima carta viene rimessa nel mazzo. La probabilitaá composta si calcola allora come prodotto delle due probabilitaá semplici: p E ˆ 4 ˆ ; p E2 ˆ2 0 ˆ 0 pertanto p c ˆ p E p E 2 ˆ 0 0 ˆ 00. Se non si rimette la prima carta estratta nel mazzo, la probabilitaá dell'evento E 2 risulta condizionata dal fatto che nel mazzo sono rimaste 9 carte: p E ˆ 4 ˆ ; p E2 ˆ2 0 9 ˆ 4 pertanto p c ˆ p E p E 2 ˆ 0 4 ˆ 4 0 ˆ Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di carte, in successione e rimettendo la carta estratta nel mazzo, un cinque di coppe e una carta di picche Calcola la probabilitaá che lanciando due volte un dado esca entrambe le volte un tre. 6 Calcola la probabilitaá che da un mazzo di carte si estraggano in successione e rimettendo le carte estratte nel mazzo prima un re poi una carta di fiori.

5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 2 Calcola la probabilitaá che estraendo da un mazzo di carte due carte, senza rimettere la prima nel mazzo, siano un tre e una figura. 2 6 Da un'urna contenente 0 palline verdi, 6 rosse e gialle si estraggono due palline, rimettendo di volta in volta la pallina nell'urna. Calcola la probabilitaá che le palline estratte siano la prima gialla e la seconda verde Qual eá la probabilitaá di estrarre, nel gioco della tombola, con le prime due estrazioni prima il tre e poi il venti? 800 Si estrae una carta da un mazzo di carte e, dopo averla inserita, si estrae una seconda carta. Calcola la probabilitaá che le carte estratte siano: a. la prima una figura e la seconda un ; b. la prima un re e la seconda un. a: 00 ; b Considera l'esercizio precedente e calcola i valori di probabilitaá se, nei due casi, la carta estratta non viene inserita nel mazzo. a: 0, 2 6 ; b. 0, Calcola la probabilitaá dei seguenti eventi: a. ottenere due numeri pari lanciando due volte il dado; b. estrarre la prima carta di cuori e la seconda di fiori da un mazzo di carte, senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo nell'ipotesi che alla prima estrazione non sia uscita una carta di fiori; c. estrarre due figure senza rimettere la prima carta estratta nel mazzo; d. estrarre due assi uguali rimettendo la prima carta estratta nel mazzo. a: 4 ; b. 78 ; c. 0 ; d. 0 8 Calcola la probabilitaá di estrarre da un sacchetto contenente 0 palline rosse, gialle e 6 verdi, in successione e rimettendo le palline estratte nel mazzo, una pallina rossa, una gialla e una verde. Dobbiamo calcolare la probabilitaá di un evento composto E che eá costituito da tre eventi semplici indipendenti: l estrazione di una pallina rossa da un sacchetto che ne contiene 0 rosse con un totale di 2 palline; l estrazione di una pallina gialla da un sacchetto che ne contiene gialle con un totale di 2 palline; l estrazione di una pallina verde da un sacchetto che ne contiene 6 verdi con un totale di 2 palline. Calcoliamo le probabilitaá di ciascuno dei tre eventi: p r ˆ 0 2 ; p g ˆ p v ˆ Determiniamo la probabilitaá dell'evento composto: p E ˆp r p g p v ˆ ˆ Da un sacchetto contenente i 90 numeri del gioco della tombola si estraggono due numeri, uno di seguito all'altro, rimettendo il primo numero nel sacchetto. Qual eá la probabilitaá che escano, a prescindere dall'ordine, un numero multiplo di e il numero 6? Calcola la probabilitaá di estrarre da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola in successione e rimettendo i numeri estratti nel sacchetto, un numero minore di 0, il 20 e un multiplo di 4. 00

6 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di carte in successione e rimettendo la prima carta estratta nel mazzo, il di denari e una carta di coppe Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di 2 carte in successione e rimettendo le carte estratte nel mazzo, un dieci, una figura e una carta contrassegnata da un numero divisibile per Calcola la probabilitaá che estraendo da un sacchetto contenente 7 palline gialle e 0 blu, due palline, senza rimettere la prima nel sacchetto, siano la prima gialla e l'altra blu. 6 4 Calcola la probabilitaá di estrarre da un mazzo di carte, in successione e senza rimettere la carta estratta nel mazzo, un e una carta di denari nell'ipotesi che la prima carta estratta sia il di denari Supponiamo di estrarre due numeri da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola e, senza rimettere il primo estratto nel sacchetto, estraiamo un secondo numero. Ci domandiamo qual eá la probabilitaá che tutti e due i numeri siano pari. Inizialmente il sacchetto contiene tanti numeri pari quanti dispari, ma poicheâ il numero estratto per primo non viene riposto nel sacchetto, la seconda estrazione dipenderaá dal risultato della prima. Quindi i due eventi sono fra loro dipendenti. In questo caso possiamo utilizzare la formula della probabilitaá condizionata: p E ˆ4 90 ˆ 2 ; pe 2=E ˆ ; p t ˆ p E pe 2 =E ˆ ˆ Esercizio Guidato Supponiamo di estrarre due palline da un sacchetto contenente palline verdi, 0 rosse e 20 blu e, senza rimettere la prima estratta nel sacchetto, estraiamo una seconda pallina. Ci domandiamo qual eá la probabilitaá che tutte e due le palline siano rosse. Inizialmente il sacchetto contiene... palline rosse su un totale di... Dopo aver fatto la prima estrazione il sacchetto conterraá... palline rosse. Quindi i due eventi sono fra loro..., pertanto: p E ˆ:::: 4 ˆ 2 :::: ; p :::::=E ˆ :::: 44 ; p t ˆ ::::::::: p :::::=E ˆ :::::: :::::: :::::: :::::: ˆ Un'urna contiene palline bianche, 0 rosse, 6 verdi e 24 gialle. Qual eá la probabilitaá che, effettuando tre estrazioni successive e non rimettendo la prima e la seconda pallina estratta nell'urna, le tre palline siano tutte rosse Estraendo due numeri da un sacchetto contenente i numeri da a 0, senza rimettere il primo estratto nel sacchetto, qual eá la probabilitaá che il primo numero sia inferiore a e l'altro sia compreso tra 0 e 20 (esclusi il 0 e il 20)? Lucia lancia 8 volte un dado ed ottiene i seguenti risultati: 2,,, 4, 2, 6,,, 4,,, 2, 2, 4, 6, 6,,. Qual eá la probabilitaá che nel prossimo lancio esca un 2? Le prove eseguite sono i 8 lanci e la frequenza assoluta dell'evento «esce 2» eá 4. La nostra aspettativa eá allora che Lucia possa ottenere 2 nel prossimo lancio con probabilitaá pari a p E ˆ 4 8 ˆ 2 9.

7 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 0 Marco lancia 20 volte una moneta ed ottiene i seguenti risultati: T, C, T, C, C, T, C, T, C, C, T, C, T, C, T, C, T, T, C, C. Qual eá la probabilitaá che nel prossimo lancio esca croce? 20 Luca giocando con un videogame ottiene i seguenti punti: 20,,, 4, 20, 4,, 20,, 20, 4,,,, 20, 20, 4,, 20,. Qual eá la probabilitaá che nella prossima partita ottenga un punteggio superiore a 0? Matteo, nel gioco delle freccette, totalizza i seguenti punti: 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0,,, 2, 0,, 2, 0, 0, 0. Qual eá la probabilitaá che nel prossimo lancio totalizzi 2 punti? 8 Da un'urna contenente 0 palline verdi, 0 rosse e 0 blu, si estraggono in successione, rimettendo di volta in volta la pallina nell'urna, 20 palline. I risultati ottenuti sono i seguenti: V; V; B; R; V; B; R; B; V; R; R; R; V; B; B; V; V; R; R; B. Calcola la probabilitaá di estrarre una pallina blu usando sia la definizione classica di probabilitaá sia la definizione frequentista. ; 0 4 Indica quale delle seguenti risposte eá quella che eá piuá probabile che si avvicini alla realtaá. E' stato lanciato 200 volte un dado e l'evento E : «esce il numero 4» si eá ripresentato: a. volte; b. 8 volte; c. 7 volte; d. 0 volte. [a:] Indica quale delle seguenti risposte eá quella che eá piuá probabile che si avvicini alla realtaá. Quante volte sono state lanciate due monete se l'evento E : «esce la doppia testa» si eá ripresentato per 00 volte? a. 20; b. 000; c. ; d. 0. [c:] 6 Una persona scommette E 0 sulla vittoria di un amico in una gara di ciclismo con la speranza di vincere E 20. Qual eá la probabilitaá di vincere che lo scommettitore attribuisce a quell'amico? Applichiamo la definizione di probabilitaá soggettiva: p E ˆP S ˆ 0 20 ˆ 4. Pertanto la probabilitaá di vincere eá 4. 7 Luca scommette E per averne in cambio E 0 nel caso in cui ottenga un ottimo risultato nel compito di italiano. Qual eá la probabilitaá che Luca attribuisce all'evento? 4 8 Paolo scommette E 0 per riceverne in cambio E 0 nel caso in cui un suo amico riesca a saltare un metro e mezzo nel salto in alto. Qual eá la probabilitaá che Paolo attribuisce all'evento? 9 Giulio eá disposto a pagare E per riceverne E 20 nel caso in cui suo padre vinca l'incontro di tennis con suo zio. Qual eá la probabilitaá che Paolo attribuisce all'evento?