RAPPRESENTAZIONE INSIEMISTICA DEGLI EVENTI Lezione n. 5

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1 RAPPRESENTAZIONE INSIEMISTICA DEGLI EVENTI Lezione n. 5 Finalità: Realizzare grafici che facilitano l organizzazione dei concetti probabilistici utilizzando l insiemistica. Metodo: Compilazione delle schede. Materiali didattici: Schede individuali. La probabilità vista con gli insiemi La rappresentazione ad albero ed il linguaggio della logica delle proposizioni sono serviti ad introdurre alla classe le prime informazioni e definizioni sulla probabilità. Tenuto conto che il lavoro si è sviluppato su una terza classe, che ha ben chiari i concetti fondamentali dell insiemistica, si è proposto agli alunni di analizzare e rappresentare gli eventi mediante la logica degli insiemi. Questa ultima si è prestata a sviluppare alcuni esempi pratici, mettendo in condizione gli alunni di interpretare graficamente le definizioni enunciate in precedenza. Per utilizzare il linguaggio della logica degli insiemi si è svolto un lavoro individuale proponendo alla classe una scheda suddivisa in due moduli. Nel primo modulo si è riportato un esempio in cui si è associato alla forma analitica e grafica di un insieme una definizione probabilistica: Sappiamo che i numeri della tombola sono 90, quindi quando estraiamo un numero dal bussolotto, i casi possibili sono proprio 90. Indico l insieme dei casi possibili con Ω = {1, 2, 3,..., 90} e lo rappresento graficamente, usando la logica degli insiemi, nel seguente modo: Inoltre un qualsiasi evento è un sottoinsieme di Ω.Per esempio l evento E= esce tre è un sottoinsieme di Ω formato dal solo elemento tre, cioè E={3}. Ω Nel secondo modulo sono stati proposti tre esercizi per valutare le capacità del ragazzo ad interpretare le situazioni mediante l insiemistica. 51

2 52 Nei primi due esercizi, si è considerata la situazione del lancio di un dado e si è richiesto la forma analitica e grafica dell insieme dei casi possibili e degli eventi considerati. Nel primo esercizio si è supposto di lanciare il dado e si è puntato sugli eventi A: esce due, B: esce quattro. La correzione delle schede ha mostrato che i ragazzi sono stati in grado di capire che: lo spazio degli eventi di un dado è formato da sei elementi; i singoli eventi sono considerati sottoinsiemi dello spazio degli eventi; gli eventi considerati hanno assunto una certa probabilità di verificarsi e hanno saputo calcolarla; la rappresentazione grafica è stata fondamentale per visualizzare la situazione. Qualche difficoltà si è dimostrata nel definire e calcolare probabilità dell insieme unione. Nel secondo esercizio gli eventi considerati dopo il lancio del dado sono stati A: esce un numero pari, B: esce un numero maggiore di due. Questa volta, nonostante fossero richiesti gli stessi ragionamenti e calcoli in una situazione diversa, si sono verificati molti errori. Infatti gli alunni sono stati capaci di definire numericamente e matematicamente gli insiemi A, B e Ω spazio degli eventi, ma hanno evidenziato alcune difficoltà nella organizzazione grafica delle situazioni e di conseguenza nel calcolo della probabilità degli eventi unione ed intersezione degli insiemi A e B. Pochi hanno saputo dare la giusta rappresentazione analitica e grafica richiesta, la maggior parte ha sbagliato entrambe, mentre tre alunni non hanno completato l esercizio. Ancora una volta delle osservazioni riportate nelle schede si nota la difficoltà degli alunni ad esprimere i concetti matematici utilizzando un linguaggio corretto. Nel terzo esercizio è stato consoderato il lancio di una moneta. In questo caso, essendo l insieme dei casi possibili limitato a solo due elementi, i ragazzi nel risolvere l esercizio non hanno trovato alcuna difficoltà completando la scheda in maniera rapida e precisa. Durante la correzione della scheda, avvenuta in classe, l insegnante ha approfittato per fare altri esempi di situazioni complesse e vedere le reazioni degli alunni. In questa occasione anche i ragazzi che avevano lasciato incompleto l esercizio della scheda precedente sono riusciti a fare giuste osservazioni ed a calcolare in modo corretto la probabilità degli eventi unione ed intersezione di insiemi.

3 Questa situazione ha evidenziato la difficoltà, per questi ragazzi ad organizzare ragionamenti complessi. L insegnante è stata una guida necessaria per l esatto svolgimento degli esercizi e di conseguenza per il buon apprendimento degli alunni. Riflessioni sul lavoro svolto Da questo lavoro diverse e interessanti sono state le osservazioni evinte. Prima di tutto i ragazzi hanno mostrato l esigenza di ripetere la maggior parte dei concetti dell insiemistica: definizione d insieme, sottoinsieme, insieme complementare, unione e intersezione d insiemi. Per quanto riguarda il concetto d insieme vuoto, nonostante fosse chiara la definizione teorica, nella pratica si è evidenziato il bisogno di associare ad esso un valore numerico mostrando la necessità di un riferimento concreto per i ragazzi di questa età. Quindi, data la difficoltà di operare con tale insieme, molti ragazzi nel risolvere l esercizio sull intersezione d insiemi hanno preferito esprimersi con un linguaggio letterario. Nei ragazzi di questa età si è notata una certa pigrizia e fretta nel leggere la traccia dell esercizio, ciò li ha portati a ripetere i procedimenti degli esercizi già svolti conducendoli a soluzioni errate, come spesso accade anche nella risoluzione dei problemi di geometria. La complessità di questa scheda ha mostrato che a questa età i ragazzi con una mente strutturata sono pochi, pertanto i temi considerati hanno richiesto un approfondimento maggiore con esercizi a casa. Esercitazione a casa La diversa denominazione teorica degli eventi si è resa chiara grazie alla rappresentazione insiemistica, che ha permesso agli alunni di familiarizzare con questi nuovi concetti in maniera pratica. Da ciò si è evidenziata l esigenza di proporre alla classe altri esercizi al fine di far sviluppare il giusto senso critico. I sette esercizi proposti sono stati selezionati dal loro libro di testo di G. Flaccavaito Romano Op. cit., pp Si sono assegnati i seguenti esercizi: Scommettiamo che da un mazzo di carte napoletane estraggo una... Su che cosa preferisci puntare? a) una carta di denari; b) un asso; c) una figura. Perché...? 53

4 Stabilisci quali, fra le seguenti coppie di eventi, sono formate da eventi incompatibili: a) lanciando un dado b) estraendo una carta da un mazzo da poker E1: esce il 2; E2: esce il 5; E1: estrarre una carta di cuori; E2: estrarre un asso; c) estraendo un numero nel gioco della tombola E1: estrarre un numero maggiore di 20; E2: estrarre un numero minore di 15. Stabilisci quali, fra le seguenti coppie di eventi, sono formate da eventi compatibili: a) lanciando un dado b) estraendo una cartada un mazzo da poker E1: esce un numero dispari; E2: esce un numero maggiore di 2; E1: estrarre una carta di quadri; E2: estrarre il 3 di picche; c) nell estrazione del numero al lotto sulla ruota di Napoli E1: estrarre un numero pari; E2: estrarre un numero maggiore di 52 Per ogni situazione illustrata negli esercizi seguenti, considera l evento a fianco indicato e scrivi il suo complementare: E1: estrarre una pallina nera E2:. E1: estrarre una pallina blu E2:. E1: esce il numero 6 E2:. E1: estrarre una carta che non sia né cuori né fiori E2:. Nel primo esercizio si è notato che i pareri della classe sono stati diversi, infatti 11 ragazzi hanno puntato correttamente su una figura motivando la scelta: perché il mazzo ne contiene di più (12) rispetto alle carte di denaro (10) e agli assi (4) ; perché ha più probabilità ; invece 8 ragazzi hanno puntato su una carta di denari: perché le carte di denari sono di più ; 54

5 perché mi piace il colore dorato ; preferisco puntare sui denari perché l asso è molto improbabile che esca visto che sono solo quattro carte, ed escludo anche le figure perché ci sono in tutte le carte ; infine solo 2 hanno preferito l asso rispondendo: perché mi porta più fortuna ; perché quando gioco mi capita sempre. La metà della classe ha risposto correttamente perché ha basato la scelta sulla definizione teorica di probabilità mentre la restante parte riferendosi ad una opinione soggettiva ha puntato su un evento meno probabile. Nel secondo e nel terzo esercizio la maggior parte della classe ha risposto correttamente, infatti solo 3 ragazzi hanno sbagliato segnando come risultato i singoli eventi e non le coppie dimostrando di non aver chiaro i concetti teorici. Nei rimanenti esercizi solo la metà della classe ha indicato l evento giusto. Le cause di questi errori sono ancora una volta da imputare alla fretta e alla superficialità degli alunni nello svolgere gli ultimi esercizi. 55

6 Scheda n. 6 Rappresentazione insiemistica degli eventi Possiamo rappresentare la situazione considerata con il lancio di un dado, usando le espressioni tipiche della logica degli insiemi. Sappiamo che i numeri della tombola sono 90, quindi quando estraiamo un numero dal bussolotto, i casi possibili sono proprio 90. Indico l insieme dei casi possibili Ω con Ω = {1,2,3,...,90} e lo rap presento graficamente, usando la logica degli insiemi, nel seguente modo: Inoltre un qualsiasi evento è un sottoinsieme di Ω. Per esempio l evento E = esce tre è un sottoinsieme di Ω formato dal solo elemento tre, cioè E = {3}. 1 Se considero un dado, qual è l insieme dei casi possibili Ω? Supponi di lanciare il dado e punta sui seguenti eventi: Evento A: esce due ; cioè A = Evento B: esce quattro ; cioè B = Sapendo che A e B sono due sottoinsiemi di Ω, cosa puoi notare? Conoscendo la logica degli insiemi come rappresenteresti graficamente A, B e Ω? 56

7 Qual è la probabilità che si verifichi l evento A? Cioè p(a) = Qual è la probabilità che si verifichi l evento B? Cioè p(b) = Qual è la probabilità che si verifichi l evento A unito B? Cioè p(a<b) = Qual è la probabilità che si verifichi l evento A intersecato B? Cioè p(a B) = Supponi di lanciare il dado e punta sui seguenti eventi: 2 Evento A: esce un numero pari ; cioè A = Evento B: esce un numero maggiore di due ; cioè B = Qual è Ω? Sapendo che A e B sono due sottoinsiemi di Ω, cosa puoi notare? Conoscendo la logica degli insiemi come rappresenteresti graficamente A, B e Ω? Qual è p(a)? Qual è p(b)? 57

8 Qual è p(a<b)? Qual è p(a B)? 3 Supponi di lanciare una moneta e punta sui seguenti eventi: Evento A: esce testa ; cioè A = Evento B: esce croce ; cioè B = Qual è Ω? Sapendo che A e B sono due sottoinsiemi di Ω, cosa puoi notare? Conoscendo la logica degli insiemi come rappresenteresti graficamente A, B e Ω? Qual è p(a)? Qual è p(b)? Qual è p(a<b)? Qual è p(a B)? 58

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