Psicometria. 9-Analisi fattoriale confermativa vers. 1.0

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1 Psicometria 9-Analisi fattoriale confermativa vers. 1.0 Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it Giovanni Battista Flebus 1 giovannibattista.flebus@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

2 Analisi fattoriale confermativa Matrice fattoriale ruotata Assi principali Fattore 1 2 x x8.946 x3.926 x x5.843 x6.929 x7.895 x x1.890 x2.872 Questa è una soluzione fattoriale ottenuta nelle analisi fattoriali (esplorative) precedenti, da cui abbiamo eliminato i valori inferiori a.30 L analisi fattoriale confermativa si chiede se, eliminando le influenze molto basse del fattore sugli item, riusciamo a spiegare abbastanza varianza da confermare il modello teorico Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

3 Analisi fattoriale confermativa Matrice fattoriale ruotata Assi principali Fattore 1 2 x x8.946 x3.926 x x5.843 x6.929 x7.895 x x1.890 x2.872 Che anche questa sia un analisi fattoriale, viene dal fatto che: X 1 = λ 11 F 2 + δ 1 X 2 = λ 21 F 2 + δ 2 X 10 = λ 10,1 F 1 + δ 10 e se passiamo al matriciale: X = ΛF + δ la cui formula è simile alla formula fondamentale (salvo i simboli usati) X = FA + U Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

4 Procedimento di conferma L analisi fattoriale esplorativa parte da una matrice di correlazione (o di associazione) Il procedimento esplorativo stima il parametro di regressione ( saturazione ) con cui il fattore influenza l item Tramite queste saturazioni possiamo: 1 Ricostruire la matrice di correlazione a partire dalle saturazioni (se soluzione ortogonale ˆR = AA + U 2, se obliqua ˆR = PΦP + U 2 ) 2 Confrontare la matrice osservata (R) con quella ricostruita ( ˆR) 3 Fare un inferenza statistica usando H 0 : R = ˆR 4 Decidere se il modello da noi ipotizzato sia giustificato statisticamente Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

5 I modelli di equazioni strutturali (MES o SEM) I modelli di equazioni strutturali sono una generalizzazione dei modelli che analizzano le relazioni lineari fra variabili. Alla base dei MES c è l approccio della regressione Includono la regressione lineare semplice e multipla, le regressioni lineari multivariate, la path analysis, l analisi fattoriale esplorativa e confermativa, e modelli ancora più complessi Le relazioni possibili fra due variabili sono la covariazione e la causazione La covariazione è indicata da una covarianza (o correlazione) e significa che siamo a conoscenza che esiste un legame fra le 2 variabili, ma non sappiamo esattamente quale sia La causazione significa che una variabile è responsabile dei cambiamenti nell altra ed è indicata dal parametro di regressione Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

6 Tipi di relazione La relazione più semplice è quella diretta: il suo valore standardizzato coincide con la correlazione (r) β 1 X Y Y = β1x + ε rxy = β1 Un altra relazione è quella indiretta: il suo valore standardizzato coincide con il prodotto delle correlazioni X Y β 1 β 2 Y = β 1 X + β 2 Z + ε r xy = β 1 β 2 Z Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

7 Percorsi causali/relazionali Z b a c Y X Influenza diretta = percorso semplice (Z Y = a, Z X = b, X Y = c) Influenza indiretta = percorso composto (Z X Y = bc) con anche le covarianze Il valore di un influenza indiretta è pari al prodotto delle influenze semplici Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

12 Percorsi causali/relazionali r=.65 Uso 1 anziché X 1 e 2 anziché X 2 r=.50 X 1 β 1.40 Y r 1y = β 1 + β 2 r 12 r 2y = β 2 + β 1 r β2 X 2 β 1 = r 1y r 12 β 2 =.65.50β 2 β 2 = r 2y r 12 β 1 =.70.50β 1 r=.70 La correlazione fra 2 variabili è la somma di tutte le influenze dirette e indirette tra le due variabili Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

13 Percorsi causali/relazionali r=.65 Uso 1 anziché X 1 e 2 anziché X 2 r=.50 X 1 β 1.40 Y r 1y = β 1 + β 2 r 12 r 2y = β 2 + β 1 r β2 X 2 β 1 = r 1y r 12 β 2 =.65.50β 2 β 2 = r 2y r 12 β 1 =.70.50β 1 r=.70 La correlazione fra 2 variabili è la somma di tutte le influenze dirette e indirette tra le due variabili Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

14 Ricostruzione della matrice R X 1 X 2 Y X 1 1 X Y X 1 X 2 Y X 1 1 X Y β 1 + β 2 r 12 β 2 + β 1 r 12 1 La matrice di correlazione R fra 3 variabili (X 1, X 2 e Y ), usabile per una regressione multipla (le X spiegano la Y), può essere ricostruita usando i percorsi diretti e indiretti. I percorsi indiretti tengono in considerazione anche le correlazioni non spiegate. Al cambiare di X 1, cambia anche X 2 e quindi la correlazione fra X 1 e Y deve tener conto anche di questo cambiamento. Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

15 Ricostruzione della matrice R X 1 X 2 X 3 λ 11 λ 12 λ 23 F 1 X 4 F 2 λ 24 φ 21 X 1 X 2... X 1 1 X 2 λ 11 λ 12 1 X 3 λ 11 φ 21 λ 23 λ 12 φ 21 λ 23 1 X 4 λ 11 φ 21 λ 24 λ 12 φ 21 λ Usiamo un modello semplificato (corrispondente ad una confermativa) Anche in un analisi fattoriale le correlazioni fra le variabili possono essere ricostruite tramite i percorsi diretti e indiretti che legano le variabili φ 21 indica la correlazione fra le latenti La correlazione fra X 1 e X 2 dipende solo da F 1 La correlazione fra X 1 e X 3 dipende anche da F 2 Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

16 Ricostruzione della matrice R il modello completo dell esplorativa sarebbe: δ 1 X 1 λ 11 F 1 δ 2 X 2 λ 12 φ 21 δ 3 X 3 λ 23 δ 4 X 4 F 2 λ 24 Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

17 Confronto fra R e ˆR Nel ricostruire R dobbiamo considerare anche la parte non spiegata dei singoli item (ε i nella regressione, δ 1 nell analisi fattoriale) che va aggiunta. Una volta ricostruita la matrice delle correlazioni ( ˆR) delle osservate sulla base dei percorsi diretti e indiretti previsti dal modello confermativo e degli errori (o residui), si può fare un confronto con la matrice dei dati originale (R) Si utilizza una χ 2 con R come valori osservati e ˆR come valori attesi Il χ 2 sarà tanto più grande quanto maggiore sarà la discrepanza fra R e ˆR Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

18 Bontà dell adattamento Il χ 2 calcolato si confronta con quello critico per gl = (n k)2 (n + k) 2 dove n è il numero delle variabili e k il numero dei fattori La formula esatta per il calcolo del χ 2 cambia in base al metodo di estrazione, ed è basato anche sul numero dei casi statistici. Per questo motivo tende ad essere significativo (cioè molto alto) L analisi fattoriale confermativa usa metodi diversi, in quanto usa una funzione di fitting (adattamento) specifica per ogni metodo di approssimazione/iterazione Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

19 Bontà dell adattamento Sono stati sviluppati diversi indici per ovviare a questo problema. Molti sono stati sviluppati nell ambito dell AFC e poi adottano in AFE, altri il contrario. Possono essere divisi in 3 categorie: Misure di adeguamento assoluto: indicano l abilità del modello di riprodurre i dati osservati Misure di adeguamento per il confronto o comparativi: permettono di confrontare fra loro 2 o più modelli e di scegliere il migliore (statisticamente) Misure di adeguamento parsimonioso: indici aggiustati in base ai gradi di libertà Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

20 Goodness of Fit Index Sviluppato da Jöreskog e Sörbom (1984): GFI = 1 tr( ˆR 1 R I) 2 tr( ˆR 1 R) 2 varia da 0 a 1 e valuta la quantità di R che viene spiegata da ˆR Valori superiori a.9 indicano un buon adattamento. Nel caso di AFE, valori inferiori indicano di estrarre altri fattori l Adjusted Goodness of Fit Index è l indice precedente ponderato sul totale delle variabili (q) e i gradi di libertà (gl): AGFI = 1 q(q + 1) (1 GF I) 2gl Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

21 Root mean squared residual Sempre proposto da Jöreskog e Sörbom (1984), questo indice calcola il valore medio della correlazione non spiegata dal modello (q è il numero di variabili) 2 i j RMR = (r ij ˆr ij ) 2 q(q + 1) un buon adattamento quando è inferiore a.05 Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

22 Tucker-Lewis Index Proposto da Tucker e Lewis (1973) è un indice che confronta un χ 2 calcolato sul modello in esame (target) con un χ 2 calcolato ipotizzando che non ci siano relazioni fra le variabili (modello nullo) espresso come rapporto (quindi proporzione) sul modello nullo TLI = χ 2 nullo gl nullo χ2 target gl target χ 2 nullo gl nullo un buon adattamento dovrebbe avvicinarsi a 1 (accettabile se >.09), ma TLI può anche essere superiore a 1. è una misura valida per qualsiasi ampiezza del campione TLI coincide con il Non-normed Fit Index (NNFI) Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

23 Comparative Fit Index Anche CFI (Bentler, 1990) è basato su un confronto con il modello nullo e stima l adattamento in riferimento alla popolazione max(χ 2 target gl target, 0) CFI = 1 max(χ 2 nullo gl nullo, χ 2 target gl target, 0) un buon adattamento dovrebbe avvicinarsi a 1 (accettabile se >.09) è una misura valida per qualsiasi ampiezza del campione Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

24 Root mean squared error of approximation Proposto da Steiger (1980), RMSEA è una stima dell errore di approssimazione nello stimare ˆR χ RMSEA = 2 gl N gl con N uguale all ampiezza del campione Anche in questo caso è una stima dell adattamento nella popolazione Sono ritenuti ottimi, valori inferiori a.05, accettabili se inferiori a.08 (qualcuno li accetta anche se inferiori a.10) È molto utilizzata Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

25 Indici di adattamento e AFE Nell analisi fattoriale esplorativa effettuata con SPSS/PASW gli unici indici che si possono calcolare sono il χ 2 e l RMSEA. PASW stampa l indice χ 2 quando si usano i metodi di estrazione Minimi quadrati non ponderati o generalizzati e Massima verosimiglianza. Usando il χ 2 stampato da PASW si può calcolare a mano l RMSEA Test di bontà di adattamento Chi-quadrato df Sig. 66,422 51,072 con N=143 66, RMSEA = = 0, Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

26 Indici di adeguamento assoluto gamma obiet. CHI-QUADRO dev essere non significativo 0 p >.05 RMR Root mean squared residual 0 0 SRMR Standardized RMR 0 1 <.05 RMSEA Root mean squared accettabile <.10 error of approximation buono <.08 molto buono <.05 Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

27 Indici di adeguamento per il confronto gamma obiet. NFI Normed fit index 0 1 >.9 NNFI Non normed fit index 0 >.9 IFI Incremental fit index CFI Comparative fit index 0 1 >.9 RFI Relative fit index 0 1 >.9 ECVI Expected value of cross-validation 0 0 Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

28 Indici di adeguamento parsimonioso Si usano per confrontare fra loro due modelli che differiscono su un solo parametro gamma scelta PNFI Parsimonious normed fit index 0-> il maggiore PGFI Parsimonious GFI 0->1 minore AIC Akaike Information Criterion minore CAIC Consistent AIC minore Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24

29 Funzione di discrepanza Sotto determinate condizioni, la funzione di discrepanza F(S, (θ)) si distribuisce come un χ 2 con gradi di libertà: gl = o(o + 1) 2 Rossi, Flebus (Dip. Psicologia) Psicometria / 24