Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 1 febbraio 2017 Testi 1

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1 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione sin(2) Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := e 2 relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. e 4 +. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 0 4 ; b) lim 4. Calcolare l integrale improprio 7 ( ) 4 d. 5. Dire per quali a > 0 vale che 2 log = O( a ) per. log log(log ) ; c) lim cos ( 2 2 ). 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + = 2t 2. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := 2 f() + 2 e risolvere graficamente la disequazione 2 g(). 2 n + n. n! = f () Prima parte, gruppo 2.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione cos(2) Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := e relativamente alla semiretta 4, e in caso affermativo calcolarli. e 4 +. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 0 ; b) lim 4. Calcolare l integrale improprio ( ) d. 5. Dire per quali a > 0 vale che 2 log = o( a ) per 0. log 2 + log ; c) lim cos ( 2 2). 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + 2 = 2t 2. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() e l insieme A dei punti (, ) tali che g() f(). n! 2 n + n. = f () Prima parte, gruppo.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione cos(2) 2.

2 2 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi 2. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := e 2 relativamente alla semiretta 0, e in caso affermativo calcolarli. cos(2 2 ) log (. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim ; c) lim cos Calcolare l integrale improprio 5 ( ) 2 d. 5. Dire per quali a > 0 vale che = O(a ) per. log ). 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ 2 = 4t 2. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f(2) e l insieme A dei punti (, ) tali che f() g(). n (n!) 2. = f () Prima parte, gruppo 4.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione sin(2) Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := e relativamente alla semiretta 2, e in caso affermativo calcolarli. cos(2 2 ) + log ( log ). Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim ; c) lim cos Calcolare l integrale improprio 7 ( ) 5 d. 5. Dire per quali a > 0 vale che log = O( a ) per. 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + = t 2. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := 2 f() + 2 e l insieme A dei punti (, ) tali che f() g(). 2 n + n 4 4 n + n 2 n. = f () Prima parte, gruppo 5.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione cos(2) Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := e 2 relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim 0 e 4 + ; b) lim (2 + ) 4 ; c) lim cos ( ).

3 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi 4. Calcolare l integrale improprio ( ) 4 d. 5. Dire per quali a > 0 vale che log = o( a ) per Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + 2 = t 2. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() e risolvere graficamente la disequazione g() f(). 2 n + n 4 n + 5 n n. = f () Prima parte, gruppo 6.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione cos(2) Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := e relativamente alla semiretta 0, e in caso affermativo calcolarli.. Calcolare i seguenti limiti: a) lim cos(2 2 ) ; b) 4. Calcolare l integrale improprio 5 ( ) d. 5. Dire per quali a > 0 vale che 2 = O(a ) per. lim (4 + ) 4 ; c) lim cos ( ). 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ 2 = 2t 2. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f(2) e risolvere graficamente la disequazione f() g(). 4 n + 5 n 2 n + n n. = f () Seconda parte, gruppo.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 2 ), (*) e indichiamo con (a) la più piccola delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a > 0, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a. c) Determinare la parte principale di (a) L per a. 2. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale a) Disegnare A e calcolarne l area. + ( + 2) 4. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra.

4 4 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi. a) Per ogni a > 0 discutere il comportamento della serie S := n= a (n2 ) n 2 +. b) Calcolare il valore di S per a = /2 con errore inferiore a 0. Seconda parte, gruppo 2.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 2 8), (*) e indichiamo con (a) la più piccola delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a > 0, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a. c) Determinare la parte principale di (a) L per a. 2. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale + ( + 4). a) Disegnare A e calcolarne l area. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra.. a) Per ogni a > 0 discutere il comportamento della serie S := n= a (n2 ) n + 2. b) Calcolare il valore di S per a = /2 con errore inferiore a 0. Seconda parte, gruppo.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 2 ), (*) e indichiamo con (a) la più grande delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a < 0, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a. c) Determinare la parte principale di (a) L per a. 2. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale ( + 2) 4. a) Disegnare A e calcolarne l area. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra.. a) Per ogni a > 0 discutere il comportamento della serie S := n= a (n2 ) n 2 +. b) Calcolare il valore di S per a = /2 con errore inferiore a 0. Seconda parte, gruppo 4.

5 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi 5. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 2 8), (*) e indichiamo con (a) la più grande delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a < 0, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a. c) Determinare la parte principale di (a) L per a. 2. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale ( + 4). a) Disegnare A e calcolarne l area. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra.. a) Per ogni a > 0 discutere il comportamento della serie S := n= a (n2 ) n + 2. b) Calcolare il valore di S per a = /2 con errore inferiore a 0.

6 6 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni Prima parte, gruppo.. Le soluzioni sono 7 2 π 2 π. 2. Il punto di minimo assoluto è = /2; il punto di massimo assoluto non esiste.. I risultati sono: a) non esiste; b) ; c). 4. Utilizzando il cambio di variabile = ottengo 5. I valori di a cercati sono a > R =. 7 ( ) 4 d = d 2 4 = 96 = Cerco tra i polinomi di secondo grado, vale a dire = at 2 + bt + c, e ottengo = 2t 2 4. =g() = 2 soluzioni Prima parte, gruppo 2.. Le soluzioni sono π 2 π. 2. Il punto di minimo assoluto non esiste; il punto di massimo assoluto è = 4.. I risultati sono: a) ; b) 0; c) non esiste. 4. Utilizzando il cambio di variabile = ottengo 5. I valori di a cercati sono 0 < a < R = 0. ( ) d = d 6 = 2 2 = Cerco tra i polinomi di secondo grado, vale a dire = at 2 + bt + c, e ottengo = t 2. 2 A =g() = f ()

7 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni 7 Prima parte, gruppo.. Le soluzioni sono π π. 2. Il punto di minimo assoluto è = /2; il punto di massimo assoluto è = 0.. I risultati sono: a) 0; b) ; c) non esiste. 4. Utilizzando il cambio di variabile = ottengo 5. I valori di a cercati sono a >. 6. R =. 5 ( ) 2 d = d 24 2 = 24 = Cerco tra i polinomi di secondo grado, vale a dire = at 2 + bt + c, e ottengo = t 2 2. = f () A =g() Prima parte, gruppo 4.. Le soluzioni sono 2 π 5 6 π. 2. Il punto di minimo assoluto non esiste; il punto di massimo assoluto è =.. I risultati sono: a) ; b) ; c). 4. Utilizzando il cambio di variabile = ottengo 5. I valori di a cercati sono a >. 6. R = 2. 7 ( ) 5 d = d 2 5 = 28 4 = Cerco tra i polinomi di secondo grado, vale a dire = at 2 + bt + c, e ottengo = t =g() = f () A

8 8 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni Prima parte, gruppo 5.. Le soluzioni sono 5 2 π 7 2 π. 2. Il punto di minimo assoluto è = ; il punto di massimo assoluto non esiste.. I risultati sono: a) ; b) 0; c). 4. Utilizzando il cambio di variabile = ottengo 5. I valori di a cercati sono 0 < a <. 6. R = 5 2. ( ) 4 d = d 6 4 = 48 = Cerco tra i polinomi di secondo grado, vale a dire = at 2 + bt + c, e ottengo = t =g() soluzioni = f () Prima parte, gruppo 6.. Le soluzioni sono π 2 2 π. 2. Il punto di minimo assoluto è = 0; il punto di massimo assoluto è =.. I risultati sono: a) non esiste; b) 0; c) non esiste. 4. Utilizzando il cambio di variabile = ottengo 5. I valori di a cercati sono a > R = ( ) d = d 24 = 48 2 = Cerco tra i polinomi di secondo grado, vale a dire = at 2 + bt + c, e ottengo = t 2. = f () =g() soluzioni

9 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni 9 Seconda parte, gruppo.. Dividendo l equazione (*) per 2 ottengo e 2 = a () (il passaggio è corretto perché 2 vale zero solo per = ±, e queste non sono soluzioni dell equazione). Studio quindi la funzione f() := e 2. Questa funzione è definita per ogni ±, è negativa per < < e positiva altrimenti. Inoltre lim ( ) f() = lim ( f() = ) + lim ( f() = lim ) + ( f() =, ) lim f() = 0. Infine, studiando il segno della derivata f () = e ( 2 ) 2 (2 2 ) lim f() = ottengo che f cresce negli intervalli (, ), (, ] e [, ), e decresce negli intervalli (, ) e (, ]. In particolare è un punto di massimo locale, e f( ) = /(2e), mentre un punto di minimo locale, e f() = e /6. Utilizzando queste informazioni traccio il grafico riportato nella figura sotto. a) Chiamo N il numero di soluzioni dell equazione (*), o equivalentemente dell equazione (). Usando dalla figura sopra si vede subito che per 0 < a < e /6, N = 2 per a = e /6, per a > e /6. b) Sempre dalla figura sopra è evidente che (a) tende a L = per a. c) Devo trovare la parte principale per a di z(a) := (a) L = (a) +. Sostituendo con z l equazione () diventa a = e 2 = e z (z ) 2 = ez z 2 2 z (attenzione, anche se non lo scrivo esplicitamente, sia che z sono funzioni di a). Ora, siccome z(a) 0 per a, ho che e quindi l equazione (2) diventa In conclusione e z z 2 2 z e z = 2 e z a 2 e z ovvero z 2 e a. p.p. ( (a) L ) = p.p.(z(a)) = 2 e a per a. (2)

10 0 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni 2. a) Riscrivo la disequazione che determina i punti di A come ( + 2) }{{ 4 } f () + ( + 2) }{{ 4 } f + () Disegno i grafici delle due funzioni f () e f + () partendo dal grafico (ben noto!) della funzione / 4, e ottengo il disegno sottostante. L area di A è dunque data dall integrale improprio area(a) = = 2 f + () f () d d ( + 2) 4 = 4 0 ( + 2) 4 d = 4 ( + 2) (nel terzo passaggio ho utilizzato che la funzione integranda è pari per passare dall integrale da a all integrale da 0 a ). b) Considero una generica retta verticale di equazione = a con a > 0, e indico con A e A + le parti di A che stanno rispettivamente a sinistra e a destra di questa retta. Devo trovare a in modo tale che A + (la parte più piccola ) soddisfi. 0 = 6 area(a + ) = 8, () così facendo si ottiene infatti che area(a ) = area(a) area(a + ) = /9, e quindi l area di A è il doppio di quella di A +. Poiché l area di A + è data da area(a + ) = 2 a ( + 2) 4 d = 2 ( + 2) imponendo la () ottengo il valore di a cercato: 2 (a + 2) = 8 a = cioè a = 2 2 0,29. 2 (a + 2),. a) Si tratta di una serie a termini positivi, che quindi converge ad un numero finito oppure diverge a. Applico ora il criterio del rapporto: indicando con a n l n-esimo addendo della serie ottengo e quindi / = a((n+) 2 ) a (n 2 ) a n (n + ) 2 + a n+ n 2 + = a2n+ n 2 + n 2 + 2n + 2 a2n+ a n+ lim = n a n se a >, se a =, 0 se 0 < a <. per n, Pertanto la serie converge per a < e diverge per a >. Per a = il criterio del rapporto non permette di determinare il comportamento della serie, ma il criterio del confronto asintotico mostra che la serie si comporta come la serie armonica generalizzata /n 2, e in particolare converge. b) Faccio vedere che la serie S = n= (n 2 + ) 2 (n2 ) è approssimata dalla somma parziale 2 S 2 = (n 2 + ) 2 = (n2 ) = 2 80 = 2,625 n= con errore inferiore a 0, ovvero che S S 2 0. (4)

11 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni Osservo per cominciare che S S 2 = n= (n 2 + ) 2 (n2 ) ; questo dimostra che S S 2 è un numero positivo, e quindi la stima (4) si riduce a S S 2 0. Osservo inoltre che per n si ha n = 0 e n 2 n, e quindi da cui si ottiene infine S S 2 = n= n= (n 2 + ) 2 (n2 ) 0 2 n, (n 2 + ) 2 (n2 ) 0 2 n = 0 n= 8 n = n = 0 8 /8 = = (nella terza riga ho usato la formula per la serie geometrica di base /8). Seconda parte, gruppo 2.. Procedo come per il gruppo e riscrivo l equazione nella forma f() = a con f() := e 2 8. Il grafico di f assomiglia a quello del gruppo, con le seguenti differenze: gli asintoti verticali sono in ± 8; il punto di minimo locale è =, e f() = /(4e 2 ); il punto di massimo locale è = 4, e f(4) = e 4 / a) Partendo dal grafico di f si vede subito che per 0 < a < e 4 /8, N = 2 per a = e 4 /8, per a > e 4 / b) Partendo dal grafico di f si vede subito che L = c) Procedendo come per il gruppo si ottiene p.p. ( (a) L ) = 4 2 e 8 a. 2. Analogo al gruppo. a) area(a) = / b) La retta cercata è quella di equazione = ,90.. a) Simile al gruppo. Usando il criterio del rapporto si vede che la serie S converge per a < e diverge per a >, e diverge anche per a = per confronto asintotico con la serie armonica. b) La serie S si approssima con la somma parziale S 2 = 2 n= (n + 2) 2 = (n2 ) = 0, con errore inferiore a 0. Per dimostrarlo procedo come per il gruppo, partendo dalla stima (n + 2) 2 (n2 ) 5 2 n,

12 2 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni da cui ottengo S S 2 = n= 2 (n2 ) (n 2 + ) 0 n= 8 n = Seconda parte, gruppo.. Procedo come per il gruppo e riscrivo l equazione nella forma f() = a con f() := e 2. La funzione f è la stessa del gruppo (il cui grafico è stato disegnato sopra). a) Partendo dal grafico di f si vede subito che 0 per /(2e) < a < 0, N = per a = /(2e), 2 per a < /(2e). b) Partendo dal grafico di f si vede subito che L = +. c) Procedendo come per il gruppo si ottiene p.p. ( (a) L ) = e 2 a. 2. Analogo al gruppo. a) area(a) = /6. b) La retta cercata è quella di equazione = 2 2 0,29.. Uguale al gruppo. Seconda parte, gruppo 4.. Procedo come per il gruppo e riscrivo l equazione nella forma f() = a con La funzione f è la stessa del gruppo 2. f() := e 2 8. a) Partendo dal grafico di f si vede subito che 0 per /(4e 2 ) < a < 0, N = per a = /(4e 2 ), 2 per a < /(4e 2 ). b) Partendo dal grafico di f si vede subito che L = + c) Procedendo come per il gruppo si ottiene p.p. ( (a) L ) = e a. 2. Analogo al gruppo. a) area(a) = / b) La retta cercata è quella di equazione = ,90.. Uguale al gruppo 2. Commenti

13 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, febbraio 207 Soluzioni Seconda parte, esercizio. La maggior parte dei presenti, pur avendo svolto correttamente il punto a), non ha risolto il punto b) che pure è elementare, e sopratutto analogo ad esercizi già dati in più di un occasione in passato. Seconda parte, esercizio. È possibile affrontare il punto a) in molti altri modi; per esempio, utilizzando il criterio della radice invece che il criterio del rapporto. Inoltre per dimostrare che la serie diverge per a > si può usare che l addendo a n tende a, mentre per dimostrare che converge per a < si può usare il confronto con la serie geometrica a n : vale infatti che a n a n2 a n per ogni n (per tutti i gruppi).