(MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.

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2 Queste schede raccolgono i testi degli esercizi svolti e proposti durante le esercitazioni del Corso A5 di Analisi Matematica tenuto nell'anno accademico 05/06 presso il Politecnico di Torino. Alla pagine web fulviodisciullo.wordpress.com è possibile trovare le schede delle singole esercitazioni corredate da materiale interattivo. Un sentito ringraziamento per i consigli e la condivisione della scelta degli esercizi va alla dottoressa Chiara Ravazzi. Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati: (RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 03. (Q) G. G. Quelali, Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 04. (MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.

3 Indice Trasformazioni geometriche 5 Funzioni (prime proprietà) 7 3 Sottoinsiemi di R e di R 9 4 Estremi e Funzioni (composizione) 5 Funzioni (periodiche, inversa, monotonia) 3 6 Limiti (verica, funzioni razionali, confronto) 5 7 Limiti (successioni, funzioni irrazionali) 7 8 Limiti (funzioni continue e non) 9 9 Limiti (iti notevoli) 0 Continuità (funzioni e parametri) 4 Continuità (punti di discontinuità) 5 Comportamento asintotico 7 3 Limiti (simboli di Landau) 9 4 Asintoti e derivate 3 5 Derivabilità 33 6 Primitive (elementare e per parti 35 7 Primitive (funzioni razionali) 37 8 Primitive (sostituzione) e studio di funzione 38 9 Studio del graco di funzione 39 0 Approssimazione di funzioni 40 Applicazioni delle formule di Taylor e di McLaurin 43 Numeri complessi (operazioni) 46 3 Numeri complessi (equazioni e disequazioni) 48

4 4 Complementi su funzioni e integrali deniti 50 5 Integrazione denita e media integrale 5 6 Integrazione impropria, prima parte 54 7 Integrazione impropria, seconda parte 56 8 Simulazione Test 58 9 Simulazione Scritto 6 4

5 Trasformazioni geometriche Esercitazione del 0/0/05 Trasformazioni geometriche e disequazioni in modo graco Richiami sulle trasformazioni del graco di y = f ().. Traslazioni orizzontali: y = f ( a). Traslazioni verticali: y = f () + b 3. riessioni orizzontali: y = f ( ) 4. riessioni verticali: y = f () 5. dilatazioni orizzontali: y = f (α) 6. dilatazioni verticali: y = βf () 7. ripiegamenti orizzontali: y = f ( ) 8. ripiegamenti verticali: y = f () Esercizio.. Rappresentare il graco delle seguenti funzioni individuando la funzione elementare di partenza e la relativa trasformazione. y = ( ) (b) y = log() + (c) y = e (d) y = (e) y = sin() (f) y = 3 cos() (g) y = (h) y = e Esercizio.. Rappresentare il graco delle seguenti funzioni sfruttando una o più trasformazioni geometriche. y = log( ) + (b) y = + (c) y = (d) y = cos ( ) + Esercizio.3. Risolvere le seguenti disequazioni in modo graco. + > 0 (b) + > + (c) log() 5 (d) 3 > 3 (e) > 0 (f) 3 (g) (h) + 3 < 5 (i) + 3 (j) + (k) sin() < 5

6 Quiz.4 (Q). L'equazione = 3 ha le stesse soluzioni di: A) log( 3) = sin(π) D) e = e B) = C) sin() = cos(π) Quiz.5 (Q). L'equazione 4e = sin(3) E) 3 = A) ha innite soluzioni B) ha una ed una sola soluzione D) ha soluzioni periodiche E) non ha soluzioni C) ha due soluzioni Quiz.6 (Q). Data l'equazione k k + = 0, quale delle seguenti aermazioni è errata? A) se k = l'equazione ha due soluzioni intere B) se k = 8 l'equazione ha una soluzione intera C) l'equazione ha una soluzione per k = 8 D) l'equazione ha due soluzioni reali per k < 0 o k > 8 E) l'equazione ha soluzioni non reali per 0 < k < 8 Per una rapida visualizzazione online delle rappresentazioni grache, si segnala il pratico e intuitivo calcolatore graco Si consiglia inoltre l'esplorazione esplicita delle relazioni tra parametri nelle trasformazioni ed eetto graco grazie al graco interattivo in jznr8cpde. 6

7 Funzioni (prime proprietà) Esercitazione del 07/0/05 Immagine, controimmagine, suriettività e iniettività Richiami sulle denizioni e considerazioni sul relativi graci. Esercizio.. Data la funzione f () =, determinare f ( (, ] ) (b) f ( (, 4] ) (c) f ( (, ) ) (d) f ( (, ] ) Osservare che: ˆ per ogni A dom(f ) si ha A f (f (A)); ˆ per ogni B codom(f ) si ha f (f (B)) B. Esercizio.. Data la funzione f () = +, determinare dom(f ) (b) im(f ) (c) discutere l'iniettività, la suriettività e la monotonia di f () (d) f ( (, 0) ) (e) f ( [, ] ) (f) f ( (, ) ) (g) f ( (, 0] ) Esercizio.3. Date le seguenti funzioni f () = + (b) g() = (c) h() = + 3 (d) i() = e ˆ determinare il dominio ˆ determinare l'insieme immagine ˆ rappresentare il graco e discutere eventuali simmetrie ˆ discutere l'iniettivià, la suriettività e l'eventuale biettività ˆ discutere la monotonia 7

8 Esercizio.4 (Q). Discutere iniettività, la suriettività e l'eventuale biettività, le simmetrie e la monotonia al variare di a R della funzione a( + ) se < f () = + se < 0 e a se 0 Quiz.5 (Q). Date le due funzioni ( ) e f () = arcsin + e A) dom(f ) = (, e) (e, + ) B) dom(g) = (, π) (π, + ) g() = arccos ( ) + π π D) dom(f ) dom(g) = R E) dom(f ) dom(g) = C) entrambe hanno dominio [0, + ) Quiz.6 (Q). Il graco in gura rappresenta A) f () = + 4 B) f () = + C) f () = + D) f () = + 4 E) f () = Quiz.7 (RR). Sia data f : dom(f ) R A) se per ogni A dom(f ) si ha f (f (A)) A, allora la funzione f è iniettiva B) se per ogni B R si ha f (f (B)) B, allora la funzione f è suriettiva C) se per ogni A dom(f ) si ha A f (f (A)), allora la funzione f è iniettiva D) se per ogni B im(f ) si ha B f (f (B)), allora la funzione f è suriettiva 8

9 3 Sottoinsiemi di R e di R Esercitazione del 08/0/05 Insiemi e sottoinsiemi di R: estremi Esercizio 3. (Q). Trovare l'estremo superiore/inferiore e l'eventuale massimo/minimo dei seguenti insiemi { } 3 A = R 0 4 (b) B = R (3 + cos()) + 0 Quiz 3. (Q). Sia dato l'insieme B = { R log( 3 0} A) B è itato B) B ammette sia minimo sia massimo D) B = { R > 4 } E) B ammette massimo C) B ammette minimo Caratterizzazione operativa di estremo superiore e inferiore Esercizio 3.3. Mostrare la seguente caratterizzazione operativa. Dato un insieme A R e un elemento µ R, µ = sup(a) se e solo se (i) a µ per ogni a A (ii) per ogni ɛ > 0 esiste a A tale che a > µ ɛ (b) µ = inf(a) se e solo se (i) a µ per ogni a A (ii) per ogni ɛ > 0 esiste a A tale che a < µ + ɛ. Esercizio 3.4. Determinare inf, sup ed eventualmente ma, min per i seguenti insiemi. { } n A = n N n { } n (b) B = n + n Z (c) C = { = n + m } m n, m, n N (d) D = { ( = cos n π 3 π ) } n Z (e) E = { = 3 n n Z} (f) F = { } ( ) n n n n N 9

10 Quiz 3.5 (RR). Siano A e B due insiemi itati non vuoti in R. L'asserto inf(a) inf(b) è equivalente a: A) esiste a A tale che per ogni b B si ha che a b B) per ogni a A esite b B tale che a b C) per ogni b B e per ogni ɛ > 0 esiste a A tale che a < b + ɛ D) per ogni b B e per ogni ɛ > 0 esiste a A tale che a < b ɛ { ( Quiz 3.6 (Q). Sia A = sin n π ) } n + n N. Allora: n A) A non è itato B) A ammette massimo, ma non minimo C) A ammette sia massimo sia minimo D) A ammette minimo, ma non massimo E) A non ammette né minimo né massimo Sottoinsiemi di R Esercizio 3.7. Rappresentare gracamente nel piano R gli insiemi A = {(, y) R + y 0} (b) B = {(, y) R log ( ) + y 0} Quiz 3.8 (RR). La regione di piano rappresentata in gura (linea tratteggiata indica bordo escluso, linea continua indica bordo incluso) corrisponde a: A) (, y) R log ( ) + y B) (, y) R log ( ) + y C) D) { (, y) R log ( ) } + y { (, y) R log ( ) } + y > 0

11 4 Estremi e Funzioni (composizione) Esercitazione del 4/0/05 Sugli argomenti delle esercitazioni precedenti Esercizio 4.. Date le seguenti funzioni, determinare dominio e l'immagine, tracciare il graco, specicare eventuali simmetrie e studiare le proprietà di iniettività, suriettività e biiettività. f () = log( + ) (b) g() = log( + ) (c) h() = log( ) + (d) u() = log( + ) (e) v() = log( + ) (f) w() = log( ) Quiz 4. (RR). Sia A l'insieme denito da n N ( n, ). n Quale delle seguenti aermazioni è necessariamente vera? A) sup(a) = B) ma(a) = 0 C) per ogni ε > 0 esiste A tale che + ε D) per ogni ε > 0 esiste A tale che ε < < 0 Quiz 4.3 (RR). Sia Ω R tale che inf(ω) = 3 e sup(ω) = 0; allora A) per ogni ε > 0 e per ogni ω Ω si ha che ω > 3 + ε B) per ogni ω Ω si ha che 3 < ω < 0 C) esiste ω Ω tale che ω < 5 D) Ω = [3, 0] Funzioni elementari e composizione di funzioni Esercizio 4.4 (RR). Date le funzioni f () e g(), scrivere l'espressione algebrica delle funzioni f g e g f, determinare dominio e insieme immagine. f () = log( ), g() = (b) f () = e, g() = log( )

12 Esercizio 4.5. Disegnare e determinare l'insieme immagine delle seguenti funzioni: f () = [sin()] (b) g() = sgn(sin()) (c) h() = M(sin()) (d) u() = M(sin()) [sin()] Quiz 4.6 (RR). Siano f : dom(f ) R e g : dom(g) R. Allora la funzione g f ha come insieme di denizione A) dom(f ) dom(g) B) dom(f ) im(g) C) g (dom(f ) im(g)) D) f (dom(g) im(f )) Esercizio 4.7. Determinare il dominio di f () = log + sin(π) (b) g() = 5 (c) h() = ( + log( + 5) ( ) (d) u() = log 4 4 (e) v() = 4 e (f) w() = Quiz 4.8. L'immagine della funzione f () = sin ( π ) sgn( + ) è A) R B) [, ] C) {} D) {0} E) {0, } Quiz 4.9 (RR). Siano f () = e +3, g() = 3 + log() e i() =, allora A) f g = g f B) f g = i C) g(f ()) = i() (0, + ) D) g(f ()) = f (g()), (0, + )

13 5 Funzioni (periodiche, inversa, monotonia) Esercitazione del 5/0/05 Funzioni periodiche Esercizio 5.. Risolvere le seguenti disequazioni cos() < 3 (b) sin() (c) cos() sin() > (d) tan () 3 tan() < 0 Esercizio 5.. Dire se le seguenti funzioni sono periodiche ed eventualmente specicarne il periodo minimo f () = sin() (b) f () = sin( ) (c) f 3 () = e tan() (d) f 4 () = sin(3) + cos(5) (e) f 5 () = 3(cos()) (f) f 6 () = 3 tan(/ + π) Quiz 5.3 (RR). Siano f () = sin( π/) e g() = []; allora A) im(g f ) = im(sgn()) B) f g è una funzione periodica di periodo π C) f (g()) è una funzione pari D) im(f g) = {kπ, k Z} Funzioni inverse Esercizio 5.4. Stabilire se le seguenti funzioni sono invertibili e, in caso, determinare l'espressione della funzione inversa. f () = + 8 e (b) g() = arctan e + Funzioni monotone ln( + ) 0 (c) h() = < 0 Esercizio 5.5. Studiare la monotonia di g() = sapendo che f () è monotona crescente. f () Studiare inoltre la monotonia della funzione f () = sin() cos(). Esercizio 5.6. Dimostrare che se f () e g() sono entrambe monotone (crescenti o decrescenti), allora f g è monotona crescente. 3

14 Quiz 5.7 (RR). Siano f e g due funzioni monotone strettamente crescenti. Allora A) la funzione prodotto f g è monotona strettamente crescente sul proprio dominio B) la composizione f g è monotona strettamente crescente sul proprio dominio C) le funzioni inverse f e g sono monotone strettamente decrescenti sul proprio dominio D) la funzione (g f ) è monotona decrescente sul proprio dominio Sugli argomenti delle esercitazioni precedenti Esercizio 5.8 (RR). Date le funzioni f () e g(), scrivere l'espressione algebrica delle funzioni f g e g f, determinare dominio e insieme immagine. f () = +, g() = log() + (b) f () = log, g() = log() Esercizio 5.9. Determinare il dominio, l'insieme immagine e disegnare il graco di: f () = (b) g() = [e ] [sin()] (c) h() = M(e ) (d) u() = M(cos()) [cos()] Esercizio 5.0 (MS). Date le funzioni g : X Y e f : Y Z, h = f g, dimostrare che se h è iniettiva allora anche g è iniettiva; (b) se h è iniettiva e g è suriettiva, allora f è iniettiva. 4

15 6 Limiti (verica, funzioni razionali, confronto) Esercitazione del /0/05 Denizione di ite e verica Richiami sulle denizioni di ite di funzione e successione, interpretazione graca. Richiami per i iti di funzioni elementari agli estremi del dominio di denizione. Esercizio 6. (Q). Scrivere, secondo la denizione, che cosa signicano i seguenti iti, rappresentarli gracamente e vericare la correttezza utilizzando la denizione. + = (b) arctan() = π + Esercizio 6.. Vericare, attraverso la denizione, che (b) + = + + = (c) (d) +3 = 5 log() = +0 + Limiti di funzioni razionali per Esercizio 6.3. Calcolare i seguenti iti. (b) (c) ± ± ± (d) (e) (f) ± ± ± 3 Considerazioni generali, divisione di polinomi e andamento asintotico. Teorema del confronto. Siano f, g funzioni denite in un medesimo insieme A e sia α un punto di accumulazione per A. Se α f () = + e in un intorno bucato di α vale g() f (), allora α g() = +. Siano f, g, h funzioni denite in un medesimo insieme A e sia α un punto di accumulazione per A. Se α f () = α h() = l e in un intorno bucato di α vale f () g() h(), allora α g() = l 5

16 Esercizio 6.4. Utilizzando il teorema del confronto, calcolare i seguenti iti (b) (c) (d) 3 + sin() + + cos() sin() + + [ ] (e) (f) (g) (h) + + M() sin() + M() + cos() sin() (e sin() ) Esercizio 6.5. Calcolare i seguenti iti di successioni (b) n 3 + n + + n + ( )n ( 3 ) n (c) (Q) + (d) (Q) n cos(n + 4n) 3n! 5n 3 + arctan(6 n ) n + 4n 3 + 7n 6

17 7 Limiti (successioni, funzioni irrazionali) Esercitazione del /0/05 Limiti di funzioni e di successioni Esercizio 7.. Si verichino, mediante la denizione, i seguenti iti di successioni. n + e n = 0 + n (b) = + n n Esercizio 7.. Calcolare i seguenti iti (b) (c) (d) 3 sin() cos() π/ (e) (f) (g) (h) ( 5) arctan 0 + ( + ) Esercizio 7.3. Si calcoli, al variare di p, q N: Esercizio 7.4. Calcolare i seguenti iti p q (b) (c) ( ) (d) (e) + + ( ) Esercizio 7.5. Determinare λ R in modo tale che ( + λ ) = + Quiz 7.6 (RR). Sia f : R R continua con f (0) =, allora necessariamente: A) esiste R tale che f ( ) > B) esiste > 0 tale che f ( ) < 0 C) esiste < 0 tale che f ( ) > 0 D) per ogni R si ha che f () < 7

18 Limiti notevoli (b) (c) (d) sin() = 0 cos() 0 = ( + ) = e + log a ( + ) = log 0 a (e) (e) (f) (g) (h) a = log 0 ( + ) a = a 0 + e = +, a R a log() + a = 0, a R Esercizio 7.7 (RR). Si calcolino i seguenti iti + ( ) sin + sin (b) sin Esercizio 7.8. Calcolare i seguenti iti al variare del parametro α R α sin() (b) α ( cos())

19 8 Limiti (funzioni continue e non) Esercitazione del 7/0/05 Limiti di successioni Esercizio 8.. Calcolare, se esistono, i iti delle seguenti successioni (b) (c) (d) (e) (f) n + n n n n 6n 4 + n + n 4 ( π )) n n n ( sin n ( )n (0, ) n n ( )n n ( ) n 3 n n (g) (h) (i) (j) (k) ( n ) n n n n ( ) n + ( ) n+ (3n)! n (n!) 3 ( + ) n+00 n n n n n n! Esercizio 8.. Sia (a n ) n N una successione tale che a n 0 per ogni n N e n a n = l. Si dimostri che n an = l. Esercizio 8.3. Stabilire se è vera o falsa la seguente proposizione: Sia (a n ) n N una successione tale che n a n =. Allora necessariamente n an = Limiti di funzioni Esercizio 8.4. Stabilire se esistono i seguenti iti e se vale la seguente uguaglianza: [ ] [ ] π arctan() = π arctan() Esercizio 8.5 (RR, Esercizio Guidato, Capitolo ). Calcolare, se esistono, i seguenti iti (b) (c) (d) ( ) + ( + ) + 0 [ 3 ] 0 [ ] 0 (e) (f) (g) (h) ( ) M cos n + + (e e sin()) ( ( ) n n + sin() ) n π 9

20 (i) sgn(f ()) 0 Esercizi da svolgere Esercizio 8.6 (RR, Guidato e Proposto, Capitolo ). Calcolare, se esistono, i iti delle seguenti successioni: (b) (c) (d) (e) n n + n + 3 n + n3 cos n + n i= ( π n ) n + i n + n + n + n n + n + n 4n (f) (g) (h) (i) (j) ( ) n 3 n + ( ) n + 3 n + ( )n ( 4 3 ) n n + n cos(nπ/) n( n n n + n + n 3 ( ) 3n 3 Esercizio 8.7 (MS, Esercizio ). Stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false Sia (a n ) n N una successione convergente, allora a n+ a n = 0 n (b) Sia (a n ) n N una successione tale che a n+ a n = 0, n allora la successione (a n ) n N è convergente (c) Sia (a n ) n N una successione convergente a un numero reale non nullo, a n+ allora = n a n (d) Sia (a n ) n N una successione tale che a n+ (e) Sia (a n ) n N una successione tale che = n a n allora se (a n ) n N convergente allora il ite è nullo a n+ = allora (a n ) n N è convergente n a n Quiz 8.8 (RR, Quiz, Capitolo ). Se (a n ) è una successione a termini positivi tale che n a n+ /a n = allora A) n a n = l R B) n a n = + C) se n a n = l R allora l = 0 D) esiste N tale che n > N implica a n+ > a n / 0

21 Quiz 8.9 (RR, Quiz, Capitolo ). Sia f () = (arctan(/)). Allora si ha che A) 0 f () = π /4 B) 0 f () = + C) 0 f () = 0 D) non esiste 0 f () Quiz 8.0 (RR, Quiz 9, Capitolo ). Se (a n ) e (b n ) sono due successioni tali che allora a n + b n = 0, n A) n a n b n = 0 B) n a n + b n = 0 C) n a n + b n = 0 D) n a n + b n = 0

22 9 Limiti (iti notevoli) Esercitazione del 9/0/05 Limiti di funzioni con i iti notevoli Esercizio 9.. Calcolare i seguenti iti (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) cos() 0 sin (3) 0 ( tan() sin() sin(5) sin(3) 0 sin(cos()) π/ cos() sin( 4 ) 0 sin ( ) sin(/) + sin( ) arcsin() 0 ) (i) arctan() 0 (j) 0 arccos() π/ (k) (l) (m) (n) (o) (p) (arccos()) π/ sin() (π/ ) cos( π sin()) 0 sin() sin() tan() 0 3 π/ cos() π/ sin() π π Esercizio 9.. Calcolare, se esistono, i seguenti iti (b) (c) (d) (e) (f) 0 log(/) log( + 4) 0 log( cos()) 0 sin () (3/ ) 3 0 (g) (h) (i) ( + ) α 0 + ( ) + (log()) e e (j) 0 sinh() (k) log(cos()) 0

23 Esercizi da svolgere Esercizio 9.3 (RR, Proposto, Capitolo ). Calcolare, se esistono, i iti delle seguenti successioni: (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) M( sin()) [cos()] 0 0 +[ ] M( + ) ( ( )) cos + + ( ) M( ) log + (i) (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) / + ( ) (arccos()) ( ) sin() 3 + log( ) e () log(3+) + log( + 3) 0 sin(6) + /3 cos() cos( )

24 0 Continuità (funzioni e parametri) Esercitazione del 04//05 Esercizio 0.. Dimostrare attraverso la denizione che la funzione f () = è continua su tutto il suo dominio. Esercizio 0.. Determinare, se esistono, i iti seguenti: (b) (log()) e e [log( + ) log( + )] + (c) (d) e + e 0 ( + log( + 3) ) + Esercizio 0.3 (RR, Guidato 3 e Proposto 3, Capitolo ). Determinare per quali valori dei parametri α, β la funzione seguente è continua su R: { α f () = < arccos + α se [, ] (b) f () = se > ( β) se < (c) f () = { min{α, 4 + } se < 3 + se ma{ 4, + α} se 0 (d) f () = 4 0 se = 0 { se < (e) f () = + β se 4

25 Continuità (punti di discontinuità) Esercizio.. Stabilire se esistono valori di γ R tali che la funzione { M() 0 < 3 f () = + γ > 3 abbia estensione continua in = 3. Esercizio.. Dire per quali valori di 0 R si ha ( ) ( ) sign 0 = sign Esercitazione del 05//05 Esercizio.3 (RR, Guidato 4 e Proposto 4, Capitolo ). Stabilire se le funzioni seguenti sono continue su R e classicarne le eventuali discontinuità f () = { se 0 0 se = 0 (c) f () = { e /(+) se > se 3 (b) f () = 4 se / {, } 0 altrimenti (d) f () = [sin ][cos ] (e) f () = e3+ e 6 (f) f () = ( )[] Quiz.4 (RR, Quiz 3, Capitolo ). Se f : R R è una funzione tale che allora: f (k/n) = f (0), per ogni k Z, n A) f è continua in 0 B) f non è continua in 0 C) non esiste 0 f () D) nessuna delle precedenti è sempre vera 5

26 Quiz.5 (RR, Quiz 4, Capitolo ). Sia f () = { sin( + λ) se 0 se > 0 con λ R; allora A) esiste un unico valore di λ per cui f è continua su tutto R B) non esiste alcun valore di λ per cui f sia continua su tutto R C) esistono inniti valori di λ per cui f sia continua su tutto R D) f () + λ è continua su tutto R per ogni λ R Quiz.6 (RR, Quiz 8, Capitolo ). Sia f : R R continua tale che f () = f () = 4, + allora necessariamente A) f è monotona crescente B) Im(f ) = (, 4) C) l'equazione f () = 3 ammette almeno una soluzione D) ɛ > 0, M > 0 : se > M allora 4 < f () < 4 + ɛ Quiz.7 (RR, Quiz 0, Capitolo ). Sia f : R R monotona decrescente su [0, ] allora necessariamente A) f (( + e)/e) > f (5/e) B) im(f ) = [f (), f (0)] C) esiste 0 + f () D) f () = f () 6

27 Comportamento asintotico Esercitazione del //05 Simboli di Landau Richiami sulle denizioni di o piccolo, e di equivalenza asintotica Esercizio.. Vericare che, date due funzioni f () e g() denite in un intorno (eventualmente bucato) di α, f = o(g) per α. f () =, g() = log(), 0. (b) f () = n, g() = a, a >, + (c) f () = log(), g() =, + Esercizio.. Sfruttando i simboli di Landau calcolare, se possibile, i seguenti iti: cos() sin() (b) cos() 0 4 Si discuta il comportamento nel caso (b). Ordine di innito / innitesimo e parte principale Richiami sulle denizioni di ordine di innito / innitesimo e sulle funzioni campione. Esercizio.3. Determina l'ordine di innitesimo / innito e la parte principale nelle seguenti situazioni. f () = sin( ) ( + 3 ), 0 (b) f () = cos(), 0 (c) f () = e , 0 (d) f () = e 3 + e, 0 (e) f () = log( + 9) log(3), 0 (f) f () = 3 + sin, Esercizio.4. Determina l'ordine di innitesimo / innito e la parte principale nelle seguenti situazioni. f () = e , (b) f () = sin(), π cos() (c) f () =, π ( sin ) 3 (d) f () = + cos( ), π + sin sin (e) f () = sin, π (f) f () = log() log(), 7

28 Esercizio.5. Determina l'ordine di innitesimo / innito e la parte principale nelle seguenti situazioni. f () = 3/ , (b) f () = , (c) f () = + +, (d) f () = + +, (e) f () = 3 + 3, 8

29 3 Limiti (simboli di Landau) Esercitazione del //05 Limiti con i simboli di Landau Esercizio 3.. Si calcolino i seguenti iti. (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) log( cos()) 0 sin () log(cos()) 0 log(sin()) 0 log() e e sin() 0 e α 0 sin() tan(sin()) 0 tan() cos( 3 + ) log() 0 + )sin 0 +(tan sin 0 log(tan 4 + ) 0 e sin4 (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) () (y) ( cos ) 0 log( + sin 4 ) 3 sin( ) ( log(( + ) 3 ) log() ) 0 + / 0 log( + ) ( + ) tan() 0 log(( + ) 3 ) 0 sin sin 0 e tan 3 (cos e ) ) log() 0 +(e 0 +(3 ) (log()) log( sin(/3) 0 log() Esercizio 3.. Si calcolino i seguenti iti di funzione. π (tan ) cos() (c) log() e e (b) ( + cos ) tan π (d) tan (e cos ) π 9

30 Esercizio 3.3. Si calcolino i seguenti iti di funzione. (b) (c) ( sin () log() ) e sin(e sin ) + (d) Esercizio 3.4. Si calcolino i seguenti iti di successione. n 3n6 7 n (e) + e sin ( e sin(/) ) log( + e ) + + sin() 30

31 4 Asintoti e derivate Esercitazione del 8//05 Limiti e asintoti Richiami sulle denizioni. Esercizio 4. (RR, Esercizio, Capitolo 4). Determinare eventuali asintoti delle funzioni seguenti. f () = log (b) g() = (c) h() = log( e 3 +) (d) i() = e e Derivate Richiami: denizione e regole di derivazione Esercizio 4.. Calcolare la funzione derivata delle seguenti funzioni. f () = log(sin( + ) ) + e cos(3) (b) g() = e3 sin() tan() log() + (c) h() = (d) i() = sin() ( + ) Esercizio 4.3. Determinare α, β R in modo tale che f () sia derivabile in = 0, con f () = { ( β) 0 α sin() < 0 (b) g() = { e +α cos() 0 β( ) < 0 Esercizio 4.4 (RR, Esercizio, Capitolo 3). Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni seguenti: f () = 3 (b) g() = 3 ( + ) ( ) (c) h() = 3 ( + ) (d) i() = e { min, } (e) l() = R \ {0} 0 = 0 3

32 Esercizio 4.5 (RR, Esercizio 3, Capitolo 3). Stabilire se le funzioni seguenti sono prolungabili con continuità su R. Le funzioni prolungate risultano derivabili su R? f () = e (b) g() = sin( 3 log ) (c) h() = π arctan Esercizio 4.6 (RR, Esercizio 3, Capitolo 3). Stabilire se le funzioni seguenti sono prolungabili con continuità su R. Le funzioni prolungate risultano derivabili su R? f () = e (b) g() = sin( 3 log ) (c) h() = π arctan 3

33 5 Derivabilità Esercitazione del 9//05 Esercizio 5.. Date le funzioni a sin(π) 0 f () = ; g() = + b( + ) > 0, log( + ) { sin 0 b + 3 > 0, ; dire per quali valori dei parametri a e b reali la funzione è continua su tutto R; (b) dire per quali valori dei parametri reali a e b reali la funzione è derivabile su tutto R. Quiz 5. (RR, Quiz 7, Capitolo 4). Si consideri la funzione f : [0, 56 ] π R data da f () = e sin, allora f (): A) ha esattamente un punto critico; B) ha inniti punti stazionari C) ha un punto di minimo assoluto in = 5 6 π D) ha un punto di massimo assoluto in = 5 6 π Quiz 5.3 (RR, Quiz 9, Capitolo 4). Data la funzione f () = A) non esiste la retta tangente nell'origine { sin + 0 = 0 B) la retta tangente nell'origine ha equazione y = 0 C) la retta tangente nell'origine ha equazione y = D) la retta tangente nell'origine ha equazione y = + Esercizio 5.4 (RR, Esercizio 5, Capitolo 3). Si consideri la funzione f () = sinh ; vericare che f è invertibile su R e determinare l'espressione della funzione inversa; (b) vericare che la funzione inversa è derivabile su R e determinare l'espressione (f ) (), R; (c) scrivere l'equazione della retta tangente al graco y = f () in =. 33

34 Esercizio 5.5. Si consideri la funzione g() = ( ) log ; si determini il dominio di g e si rappresenti il graco probabile della funzione; (b) si verichi che esiste y = ĝ() estensione continua a R di g(); (c) si studi la derivabilità di ĝ(); (d) scrivere, se possibile, l'equazione della retta tangente al graco y = ĝ() nei suoi punti di intersezione con l'asse delle ascisse. Quiz 5.6 (RR, Quiz, Capitolo 4). Sia f continua e derivabile su R tale che + f () =, allora A) + f () = l R f () B) = + + f () C) = 0 + f () D) = + 34

35 6 Primitive (elementare e per parti Esercitazione del 5//05 Richiami sulle primitive, denizione, prime proprietà, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Esercizio 6. (MS, Esercizio 4.3). Consideriamo la funzione f () = Si calcoli la derivata f () e si calcoli una primitiva g() di f (); ( + ) per > 0. (b) Si discuta se, e per quale motivo, f () è dierente dalla funzione g(). Esercizio 6.. È data la funzione f () = 4. è una primitiva di f () sull'in- Provare che la funzione F () = 4 + arcsin tervallo (, ). (b) Provare che la funzione G() = 4 + arcsin π ( ) 3 3 sull'intervallo (, ) che passa per P =,. è una primitiva di f () Esercizio 6.3. Provare che le funzioni F () = sin + 7 e G() = cos() sono due primitive di una stessa funzione f () su R; trovare f () e discutere la relazione tra F () e G(). Integrazione elementare Esercizio 6.4. Si determinino le seguenti primitive (casi elementari e generalizzati) d (b) d + (c) (d) (e) (f) tan() d log() d cos() + sin + π d log d (g) (h) (i) (j) (k) (l) a d, a > 0 a + d, a > 0 a + d, a > 0 sin 5 cos d sin() d 3 e d + e 35

36 Quiz 6.5 (RR, Quiz 9, Capitolo 5). Siano f () = sin e g() = cos(), allora: A) g() è una primitiva di f () B) f () è una primitiva di g() C) f () e g() sono due primitive di una stessa funzione D) [f () g()] d = c, con c costante reale Integrazione per parti Esercizio 6.6. Si determinino le seguenti primitive (integrazione per parti). sin d (e) arctan d (b) log( + ) d (f) d (c) log (5) d (g) + a d, a > 0 (d) ( + ) cos() d (h) e sin d 36

37 7 Primitive (funzioni razionali) Esercitazione del 6//05 Richiami sull'integrazione di funzioni razionali. Una guida esauriente al problema può essere scaricata da: Esercizio 7.. Si determinino le seguenti primitive (integrazione di funzioni razionali). (b) (c) (d) d d 3 3 d d (e) (f) (g) (h) d d sin cos + cos 3 d d + 3 Quiz 7. (RR, Quiz 8, Capitolo 5). Siano F e G primitive su J R rispettivamente di f e g, allora per ogni J vale A) [F () G()] = f ()g() d B) [F () G()] = f ()g() C) [F () G()] = f ()g() F ()G() (f g) D) [F () G()] = F () [f ()G() + F ()g()] Esercizio 7.3. Si determinino primitive generalizzate delle seguenti funzioni f () = { 0 se 0 e se > 0 (b) f () = { 0 se 0 se > 0 37

38 8 Primitive (sostituzione) e studio di funzione Esercitazione del 0//05 Integrazione per sostituzione Esercizio 8.. Si determinino le seguenti primitive (integrazione per sostituzione). e e 3 e + d (e) + d (b) (c) (d) + d 5 ( 3 d + ) d (f) (g) (h) d ( + tan ) d 4 sin + 3 cos d Studio del graco di una funzione Esercizio 8.. Si studi il graco della seguente funzione f () = + log() (Dominio, eventuali simmetrie, segno, comportamento agli estremi, derivata prima e studio della derivata prima, derivata seconda e studio della derivata seconda) Esercizio 8.3. Determinare il numero di soluzioni dell'equazione = 0 Si trovi, inoltre, il valore di (f ) (5) e (f ) (3). Esercizio 8.4. Data f () = log log determinare il più grande intervallo contenente in cui f è invertibile (b) scrivere esplicitamente f (c) calcolare (f ) (0) Esercizio 8.5. Si studino le seguenti funzioni: f () = + e (b) g() = log ( + 3 ) + 38

39 9 Studio del graco di funzione Esercizio 9.. Sia data la funzione f () = 3 4. Esercitazione del 03//05 Si studi il graco della funzione f () (dominio, eventuali simmetrie, segno, comportamento agli estremi, derivata prima e studio della derivata prima, derivata seconda e studio della derivata seconda) (b) Si studi, sfruttando il punto precedente dell'esercizio, il graco di g() = e f () Esercizio 9.. Si studino le seguenti funzioni: f () = e + (b) g() = log + Esercizio 9.3 (Q, Esercizio 5..). Scrivere l'equazione della retta tangente al graco delle seguenti funzioni nel punto di ascissa 0 precisato, utilizzando una approssimazione locale. f () = arctan(e5 ) cos(), per 0 = (b) f () = log(4 + ) + e sin(), per 0 = 0 (c) f () = + +3, per 0 = 0 e = Esercizio 9.4. Si studi il graco delle seguenti funzioni (dominio; iti agli estremi del dominio; asintoti verticali, orizzontali e obliqui; calcolo della derivata prima, individuazione dei punti stazionari e degli intervalli di monotonia; calcolo della derivata seconda, discussione su concavità e convessità; graco qualitativo). f () = e (b) f () = ( + ) + log (c) f 3 () = + log (d) f 4 () = ( ) e (e) f 5 () = e + 6 log( ) (f) f 6 () = log( ) + (g) f 7 () = { e < 0 + log(cos()) 0 < π 4 39

40 0 Approssimazione di funzioni Esercitazione del 09//05 Al ne di costruire delle forme polinomiali che approssimano una funzione f () si possono dare le seguenti. Denizione. Data una funzione f () derivabile n volte in un 0, il Polinomio di Taylor associato ad f () in 0 di ordine n è: p n () = n k=0 Fatto. Accade che f () = p n () + o( 0 ) n. f (k) ( 0 ) ( 0 ) k. k! Denizione. Se 0 = 0 il Polinomio di Taylor prende il nome di Polinomio di McLaurin. Polinomio di Taylor e Polinomio di Mc Laurin Esercizio 0.. Calcolare lo sviluppo di McLaurin arrestato all'ordine e quello arrestato all'ordine 3 delle funzioni: f () = (c) f 3 () = (b) f () = Esercizio 0.. Calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in 0 =, arrestato all'ordine 3 per la funzione f () = 3 +. Esercizio 0.3. Calcolare lo sviluppo di McLaurin per la funzione f () = sin() arrestato all'ordine 6. Esercizio 0.4. Calcolare la formula di McLaurin arrestata all'ordine 4 delle funzioni f () = log( sin ) (b) f () = e +. Esercizio 0.5. Calcolare la formula di Taylor nelle seguenti situazioni. f () = sin, centro 0 = π/, ordine 4 (b) f () = e, centro 0 =, ordine generico n (c) f () = log, centro 0 = 3, ordine generico n (d) f () =, centro 0 =, ordine generico n (e) f () = e sin, centro 0 = 0, ordine 5 40

41 Esercizio 0.6. Data la funzione f () = e sin, calcolare f (4) (0) e f (5) (0). Esercizio 0.7. Calcolare la parte principale, per 0 delle seguenti funzioni: f () = cosh +, g() = e cos + sin cos f () e calcolare quindi 0 g(). Numerosi esercizi, svolti e non, possono essere trovati nella sezione Sviluppi di Taylor della pagina web 4

42 Risultano utili in diverse situazioni, gli sviluppi notevoli di McLaurin (per 0) per funzioni elementari. Sviluppi notevoli di McLaurin sin = 3 3! + 5 (b) cos =! + 4 (c) e = + +! + 3 5! + + ( )n (n + )! n+ + o( n+ ) 4! + + ( )n (n)! n + o( n+ ) 3! + + n n! + o( n ) (d) log( + ) = ( )n n + o( n ) n (e) arctan = (f) sinh = + 3 3! + 5 (g) cosh = +! ( )n n + n+ + o( n+ ) 5! + + (n + )! n+ + o( n+ ) 4! + + (n)! n + o( n+ ) (h) = n + o( n ) ( ) ( ) ( ) α α α (i) ( + ) α = + α n + o( n ), 3 n (j) (k) Casi particolari della (i) di uso frequente: = n + o( n ) + = ( ) n n + o( n ) (l) + = (m) = ( / n ( / n ( ) α dove k = α (α ) (α k+) k! ) n + o( n ) ) n + o( n ) 4

43 Applicazioni delle formule di Taylor e di McLaurin Esercitazione del 0//05 Esercizio. (RR, Capitolo 4, Esercizio Guidato 4..6). Si dimostri l'irrazionalità del numero di Nepero e. Esercizio.. Trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione f () = log(4 ) in 0 = no all'ordine 3. Quiz.3. Data la funzione f () = e A) ha come polinomio di McLaurin del secondo ordine T () = + 3 B) ha un punto di critico in 0 = 0 C) f () = o() D) 0 f () = 3 Quiz.4. Data la funzione f () = e. Allora A) f () = o( 3 ) B) non ha punti a tangente orizzontale C) ha un punto di massimo relativo in 0 = 0 D) la tangente al graco di f in O è la retta y = Esercizio.5. Calcolare il polinomio di McLaurin di ordine n = 4 delle seguenti funzioni f () = log( 8 ); g() = 4 +. f () + g() + 4 Sfruttare il risultato ottenuto per calcolare Esercizio.6. Calcolare i seguenti iti. (b) (c) (d) 0 sin 3 (e cos ) log( + sin()) cos + log(cos ) 0 4 e log( + arctan )

44 (e) (f) (g) (h) (i) 0 ( sin ) ( cos( 5 ) + (sinh ) sin ) 4 0 sin( ) log( + ) cos sinh sin 0 3 e sin cos 0 e e 3 (j) 0 ( + cos 3 3 cosh ) 4 log( + (k) e cos Esercizio.7. Trovare parte principale e ordine di innitesimo nelle seguenti situazioni f () = sin cos 3, 0 (b) g() = e e sin, + (c) h() = sin(sinh ) cos, 0 (d) l() = e 4 (cos ), 0 Esercizio.8. Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine massimo possibile della funzione f () = { sin log( + ) 0 e < 0. Osservando lo sviluppo trovato, dire quanto valgono la derivata prima e seconda di f () in 0 = 0 e dire se esiste, in zero, la derivata terza. Esercizio.9. Determinare α e β in modo che esista lo sviluppo di McLaurin no al secondo ordine della funzione f () = { e log( + 4) 0 α + β > 0. Ulteriori esercizi da svolgere Esercizio.0. Studiare la funzione f () = 3 a log(), al variare del parametro a R. Inoltre stabilire per quali valori di a R l'equazione f () = 0 ha due soluzioni distinte; 44

45 (b) per quali valori di a R la funzione f risulta invertibile su tutto il dominio; per tali valori calcolare (f ) (3). Esercizio.. Si sa che una funzione f () soddisfa alla seguente uguaglianza: f () = f (). Si sa inoltre che f (0) = 3. Calcolare f (0), f (0), f (0). Esercizio.. Si sa che la funzione f () soddisfa all'equazione f () = 3 f (). Inoltre si sa che f (0) =. Scrivere il polinomio di McLaurin di f () di ordine 3. Esercizio.3. Si sa che la funzione soddisfa Calcolare la derivata in = 0 delle funzioni e sin() f (), f () = 3f (), f (0) = 3. f (), sin(f ()), f (sin ). cos Esercizio.4. Si sa che, per 0, vale: f () = + + o( ). Calcolare la derivata seconda in = 0 delle funzioni f (sin ), f (e ), e f (). Esercizio.5. Si consideri la funzione { sin π/4 f () = + ( ) ( ) π 4 π 4 > π/4. Scriverne lo sviluppo di Taylor, centrato in 0 = π/4, del massimo ordine possibile e dedurne il massimo ordine di derivabilità in π/4. Esercizio.6. Si sa che, per 0, f () = π o( ). Calcola la derivata prima, nel punto 0 = 0 delle seguenti funzioni. sin(f ()), f ( e ), Esercizio.7. Si sa che vale, per, cos() f (), log(f () f (). f () = + 3( ) + 4( ) + o(( ) ). Calcolare la derivata prima in = delle funzioni ( ) (log f ()) e f () + sin( ) cos, f e la derivata seconda in = delle funzioni cos(f ()), e f. e 45

46 Numeri complessi (operazioni) Esercitazione del 6//05 Aritmetica ed estrazione di radici Esercizio.. Scrivere in forma algebrica il numero complesso z = i 39. Esercizio.. Scrivere in forma algebrica, esponenziale e trigonometrica i seguenti numeri complessi: z = i; z = i( + i); z 3 = ( i + )( i); z 4 = + i i. Esercizio.3. Scrivere in forma algebrica: z = ( + i ) 4 ; z = ( + i)(5 i) + i. Esercizio.4. Rappresentando gracamente le operazioni necessarie, calcolare z z, con ( z = cos π 3 + i sin π ) 3 e z = cos π 6 + i sin π 6. Esercizio.5. Determinare modulo, argomento, parte reale, parte immaginaria e coniugato del numero complesso z = ( + i) 6. Discutere il comportamento graco della successione di numeri complessi data da z n = (+i) n. Esercizio.6. Calcolare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi: ( i)6 ( + i) 7 (d) 3 i ( + i) i (b) + i i (c) i + i i (e) ( ) i 3 i (f) (3 3i) 3 Esercizio.7. Calcolare le radici n esime dei seguenti numeri complessi z =, n = 3 (b) z =, n = 4 (c) z = 3i, n = 5 (d) z = + i, n = 4 (e) z = + 3i, n = (f) z = 8, n = 7 46

47 Quiz.8 (RR, Appendice A, Quiz ). Il numero complesso i 34 coincide con A) + B) +i C) D) i Quiz.9 (RR, Appendice A, Quiz ). Se due numeri complessi z e z sono rappresentati nel piano di Gauss da due punti simmetrici rispetto all'asse reale allora A) z e z sono le radici quadrate di uno stesso numero complesso B) z z è un numero reale puro C) z + z è un numero immaginario puro D) z = /z Preparazione esame scritto Esercizio.0 (Appello 30 gennaio 05). Data la funzione f () = ep trovare il dominio e calcolare i iti agli estremi del dominio; (b) calcolare la derivata prima; (c) determinare gli intervalli di monotonia e i massimi e minimi locali e globali; (d) tracciarne un graco qualitativo. ( ) : 47

48 3 Numeri complessi (equazioni e disequazioni) Esercitazione del 7//05 Polinomi, equazioni e disequazioni Esercizio 3.. Determinare λ R tale che il polinomio p(z) = z 3 z + z + + λ ammetta z = i come radice. Per tale valore, scomporre il polinomio in fattori irriducibili in R e in C. Esercizio 3.. Costruire il polinomio monico a coecienti reali di grado minimo che ha ( + i) per radice doppia e ( i) per radice semplice. Esercizio 3.3. Costruire il polinomio monico di grado minimo che ha ( + i) e ( i) come radici doppie e ed i come radici semplici. Esercizio 3.4. Vericare che (+i) è radice del polinomio p(z) = z 4 5z 3 +0z 0z +4. Trovare inoltre le altre radici di p(z). Quiz 3.5 (RR, Appendice A, Quiz 7). L'insieme dei numeri z C tali che iz + z = è: A) {z = + iy, R, y = 0} B) {z = + iy, = 0, y R} C) D) {z = + iy, R, y R, y = /} Esercizio 3.6. Risolvere le seguenti equazioni in C. i i + z = i i (b) z + z + = 0 (c) z 4 z + = 0 (d) z 6 + z 3 + = 0 (e) z 3 = z (f) z + iz = ( ) 3 (g) (z + i) = 3 + i (h) z + i 5 z + 6 = 0 (i) z (z z) 4 = 8i 4 (j) z z + = 0 (k) (z + ) 3 = 7 (l) z = i 4z 48

49 Esercizio 3.7. Determinare z C tali che: e 8iz = 0 (b) z + e iz = 5 e (Imz), con Re(z) < (c) { z i Arg(z) = π 4 Esercizio 3.8. Risolvi le seguenti disequazioni in C rappresentando gracamente la soluzione nel piano di Gauss. z + < z (b) z i < z + i (c) z < (d) z i + z + i < Preparazione esame scritto Esercizio 3.9. Data la funzione f () = arctan ( ) + : 4 trovare il dominio e calcolare i iti agli estremi del dominio; (b) calcolare la derivata prima; (c) determinare l'equazione della retta tangente al graco della funzione nel suo punto di ascissa 0 = 3/4; (d) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali massimi e minimi locali e globali; (e) determinare gli intervalli di concavità e convessità; (f) tracciarne un graco qualitativo. 49

50 4 Complementi su funzioni e integrali deniti Esercitazione del 3//05 Teoremi di Rolle, di Lagrange, di de L'Hôpital Esercizio 4. (Q). Sia data la funzione ( g() = 3 ) ( + 4 ) e. 4 3 Quante volte (almeno) si annulla la derivata seconda? Esercizio 4. (Q). Dire se la funzione ( ) f () = + arctan soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange sull'intervallo [, ] e, in caso aermativo, calcolare il punto di Lagrange. Esercizio 4.3 (Q e RR). Calcolare i seguenti iti. (b) ( cosh + + ( )) + 4 (c) (d) e sin cos() Confronti Si verichino i iti nella seguente tabella utilizzando (eventualmente ripetutamente) il Teorema di de l'hôpital. (b) + e = +, per α R α α e = 0, per α R (c) (d) + log = 0, per α > 0 α 0 + α log = 0, per α > 0 ( ) Quiz 4.4 (RR, Capitolo 3, Quiz 5). Sia f () = arctan() arcsin ; allora + A) l'equazione f () = 0 ha una unica soluzione B) f () = C) per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che se > δ allora f () > M D) l'equazione f () = 0 ha innite soluzioni 50

51 Quiz 4.5 (RR, Capitolo 3, Quiz ). Sia f una funzione continua e derivabile su R, dispari e tale che f (0) = f () = 0 e sia g() = arctan log( + ). Allora g f A) non ha punti critici B) ha esattamente tre punti critici C) ha almeno 5 punti critici D) ha esattamente 6 punti critici Quiz 4.6 (RR, Capitolo 3, Quiz 0). Sia f derivabile due volte su R e si consideri la funzione g() = e f () ; allora A) se f è convessa in 0 R allora g è concava in 0 B) se è un punto di minimo per f allora è un punto di massimo per g C) i punti critici di f sono i soli punti critici di g D) im(f ) = im(g) Integrali deniti Esercizio 4.7 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 6..). Calcolare gli integrali deniti seguenti 0 e d (b) d Esercizio 4.8 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 6..). Calcolare le aree seguenti area deitata dal graco della funzione f () = arccos π/ e dall'asse delle ascisse, con [, ] (b) area deitata compresa tra il graco della funzione f () = e quello della funzione g() = 4 3, con [0, ] 5

52 5 Integrazione denita e media integrale Esercizio 5.. Calcolare gli integrali deniti seguenti Esercitazione del 07/0/ d (c) log 0 e e + e d (b) 4 d (d) 3 + ( + ) d Che cosa è possibile aermare nel caso? E nel caso (b)? { Esercizio 5.. Data la funzione f () = ( + ) e / > 0, calcolare f () d. Esercizio 5.3. Calcolare l'area della regione di piano: compresa tra il graco di f () = 4 e il graco di g() = 3 ; (b) compresa tra l'asse delle, le rette di equazione y = 4, y = e la funzione h() = (M()), dove M() è la funzione mantissa di ; { } (c) individuata dall'insieme A = (, y) R, 0 y ( log. ) { α [, 0) Esercizio 5.4 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 5). Sia f () = + [0, ]. calcolare la media integrale µ = µ(f,, ) di f () nell'intervallo [, ]; (b) determinare i valori di α per cui esiste [, ] tale che f ( ) = µ. Esercizio 5.5 (RR, Capitolo 6, Esercizio guidato 4). Sia f (t) = t + t + t, calcolare il ite seguente al variare di α > : α + α α f (t) dt + α 5

53 Temi d'esame Esercizio 5.6 (Esercizio, Giugno 04). Sia data la funzione arctan f () = π Determinare il dominio e gli asintoti di f. (b) Studiare i punti di discontinuità di f.. = (c) Calcolare f () e individuare gli eventuali punti di non derivabilità di f. (d) Determinare gli intervalli di monotonia e i punti di estremo relativo di f, specicandone il tipo. (e) Disegnare un graco qualitativo di f. (f) Determinare l'immagine di f. Esercizio 5.7 (Esercizio, Giugno 04). Sia data la funzione e +α < 0 f () = β = 0. sin() + β > 0 Determinare i valori di α e di β per cui la funzione è continua in R. (b) Determinare i valori di α e di β per cui la funzione è derivabile in R. (c) Per i valori di α e di β trovati al punto precedente, scrivere l'equazione della retta tangente al graco di f in 0 = 0. Esercizio 5.8 (Esercizio 3, Giugno 04). Sia data la funzione f () = e ( + 3 ). Calcolare f () d. (b) Studiare il comportamento dell'integrale improprio f () d. 53

54 6 Integrazione impropria, prima parte Esercitazione del /0/06 Esercizio 6.. Dopo aver mostrato la convergenza, calcola, usando la denizione i seguenti integrali impropri. + ( + 5) 3 d (c) 0 + d (b) d (d) + 0 log( + ) 3/ d Esercizio 6.. Dire se i seguenti integrali impropri sono convergenti, esplicitando dapprima le funzioni che si considerano d (e) 0 + d (b) d (f) 0 sin cos d (c) d (g) 0 log( + ) cosh d (d) d (h) 0 d Esercizio 6.3 (Fabio Nicola, Analisi Matematica I, Esempio 3.6). Mostrare che l'integrale (b) Vericare che + + sin d converge. cos d converge. (c) Mostrare, nonostante la funzione integranda non tenda a zero per, che l'integrale di (Fresnel) + sin( ) d converge. Esercizio 6.4 (RR, Esercizio guidato 6..3). Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri + ( ) d (c) π/ 0 cos d ( sin ) 3 (b) + 0 e sinh α d, con α > 0 (d) + sin d, con α > 0 α 54

55 Temi d'esame Esercizio 6.5 (Esercizio, Febbraio 04). Sia data la funzione f () = 3 ( )( + ) +. Determinare il dominio di f. (b) Spiegare perché f non ha asintoti obliqui. (c) Calcolare f () e individuare gli eventuali punti di non derivabilità di f. (d) Determinare gli intervalli di monotonia e i punti di estremo relativo di f, specicandone il tipo. (e) Disegnare un graco qualitativo di f. (f) Dopo aver determinato il dominio e gli eventuali asintoti di g() = log (f () ), disegnarne un graco qualitativo, motivando le risposte. 55

56 7 Integrazione impropria, seconda parte Esercizio 7.. Determinare tutti i valori a, b R per i quali (b) Calcolare + 0 (4 + 9) d + 0 Esercitazione del 3/0/06 a d converge (4 + 9) b+ Esercizio 7.. Discutere, al variare di α R la convergenza dei seguenti integrali impropri + 0 arctan( 7 ) α log( + 3 ) d (c) + 0 (sinh ) α e 3 d (b) 0 ( cos ) /3 e α d (d) / 0 (sin ) + log() α log( + 3 ) d Quiz 7.3 (Q, Quiz 30, Capitolo 6). L'integrale + α ( ( ( + ) + ) 3 + ) 4 d A) converge per α 3 B) converge per α < 4 D) converge per α 4 E) diverge per α < 3 C) converge per α < 3 Quiz 7.4 (Q, Quiz 3, Capitolo 6). Sia data la funzione 4 se < 3 3 f () = 3 + sin + 3 se 3 A) L'integrale improprio + f () d è divergente 3 B) L'integrale improprio f () d è divergente C) L'integrale improprio + 3 f () d è divergente D) L'integrale improprio + f () d è indeterminato E) L'integrale improprio + f () d è convergente 56

57 Quiz 7.5 (Q, Quiz 34, Capitolo 6). L'integrale improprio se e solo se + 0 log(cosh( 5 )) e + 3α d converge A) α 3 B) α C) α < D) α > E) α Esercizio 7.6. Dire per quali valori di a R converge (b) Calcolare l'integrale per a = 6. + a ( ) 3 d. cos Esercizio 7.7. Data la funzione f () =, studiarne il comportamento nell'origine e determinarne la parte principale. Studiare successivamente la convergenza log( + 3 ) dell'integrale improprio + 0 Temi d'esame f () d. Esercizio 7.8 (Esercizio, Febbraio 04). Sia data la funzione f () = ( ) sin 5 α sinh 3 e +3 + sin Al variare di α R, calcolare + f (). (b) Per α = 3, studiare il comportamento dell'integrale improprio + 0 f () 3 Esercizio 7.9 (Esercizio 3, Febbraio 04). Sia data l'equazione dierenziale d. y = 4(y + ) 4 3 (t ) 3 Vericare che ogni soluzione denita in un intorno di t = ha un punto di estremo in t = e stabilirne il tipo. (b) Determinare le soluzioni costanti. (c) Determinare la soluzione che soddisfa alla condizione iniziale y(3) =, determinandone l'intervallo di denizione. 57

58 8 Simulazione Test Esercitazione del 4/0/06 Quiz 8.. Il dominio della funzione f () = log( 3) è: A) [, 3] B) [, + ) C) (5, + ) D) (, + ) E) [3, + ) Quiz 8.. La funzione f () = log( 3) A) è invertibile sull'intervallo [3, + ) B) è invertibile sull'intervallo [4, + ) D) non è invertibile su alcun intervallo E) è invertibile sull'intervallo (3, 5) C) è invertibile sull'intervallo (0, + ) Quiz 8.3. Sia z = i. Allora z + z vale A) B) 8 C) 4 D) 4 E) Quiz 8.4. Il ite vale e + cos + e +3 3 sin A) B) C) D) 0 E) 3 Quiz 8.5. Per 0, sia f () cos e g() e. Allora si ha A) f () 0 g() = + B) 0 f () g() = C) 0 f () g() = 0 Quiz 8.6. Il ite ( ) sin + D) 0 f () g() = + E) 0 f () g() = A) vale B) vale + D) vale sia + sia E) non esiste C) vale 0 58

59 Quiz 8.7. Sia a n una successione itata inferiormente. Allora A) k > 0 n N tale che se n > n a n k B) per ogni n, a n 0 C) k < 0 tale che per ogni n, a n < k D) n N tale che se n > n a n 0 E) k < 0 tale che per ogni n, a n > k Quiz 8.8. Sia f () = (3 cos ) (4 cos ). Allora f (0) vale A) B) 0 C) 3 4 D) log 3 4 E) Quiz 8.9. La funzione f () = A) è di classe C B) è derivabile nell'origine C) è discontinua nell'origine { se 0 se > 0 D) è continua, ma non è derivabile nell'origine E) nessuna delle altre aermazioni è corretta Quiz 8.0. Sia f : R R una funzione derivabile tale che f (0) = 4, f (0) = 3. h() = f (), risulta A) h (0) = 3 6 D) h (0) = 3 6 Posto B) h (0) = 4 3 E) h (0) = 3 C) h (0) = 3 Quiz 8.. Il polinomio di McLaurin di ordine 6 della funzione f () = e cos( 3) è A) + 6 B) e e 6 D) e 6 E) C)

60 Quiz 8.. Se f ha sviluppo di Taylor f () = 4 3( ) 6 + o(( ) 6 ) per, allora A) f ha un esso in = B) f ha un massimo in = 0 D) f ha un minimo in = E) f ha un massimo in = C) f ha un minimo in = 0 Quiz 8.3. Sia f : [0, 3] R una funzione continua e decrescente. Allora si può dedurre che A) f ([0, 3]) = [f (0), f (3)] B) f ((0, 3)) = (f (3), f (0)) D) f ([0, 3]) = [f (3), f (0)] E) nessuna delle altre risposte è corretta C) f ((0, 3]) = (f (3), f (0)] Quiz 8.4. Sia f : R R una funzione derivabile tale che f (0) = f () = 0. g() = f () 4, allora Ponendo A) la derivata g () si annulla almeno tre volte B) la derivata g () si annulla esattamente due volte C) la derivata g () si annulla esattamente tre volte D) la derivata g () non si annulla mai E) la derivata g () si annulla almeno quattro volte Quiz 8.5. La parte principale (rispetto a ϕ() = ) per 0 + di f () = è A) 5 B) 3/ D) 3 E) 3 + o() C) 3/ Quiz 8.6. Una primitiva della funzione f () = 3 + è A) 3 4 log( + ) B) 3 4 arctan() D) 3 4 arctan( + ) E) nessuna delle altre precedenti C) 3 log( + ) 60

61 Quiz 8.7. Dire quale tra i seguenti enunciati è corretto A) se f è integrabile in [a, b], allora c [a, b] tale che f (c) = b a B) se f è continua in [a, b], allora c [a, b] tale che f (c) = b a C) se f è continua in [a, b], allora c [a, b] tale che f (c) = b a D) se f è continua in [a, b], allora c [a, b] tale che f (c) = b f () d a b f () d a b f () d a b f () d a E) se f è integrabile in [a, b], allora c [a, b] tale che f (c) = b f () d a Quiz 8.8. Sia F () = 0 t cosh(t ) dt. Allora A) F è crescente su (0, + ) e decrescente su (, 0) B) F è crescente su R C) F ha un minimo in 0 D) F ha un massimo in 0 E) nessuna delle altre risposte Quiz 8.9. Sia f continua su [0, + ) e tale che f () 0 per ogni 0. + necessariamente l'integrale improprio f () d 0 A) è indeterminato D) converge o diverge a Allora B) diverge a E) nessuna delle risposte precedenti C) converge a un numero negativo Quiz 8.0. L'equazione dierenziale y y = 0 A) ha almeno una soluzione non itata su (0, + ) B) non ha soluzioni itate su (0, + ) C) non ha soluzioni ilitate su (0, + ) D) ha almeno una soluzione che cambia segno innite volte E) ha solo soluzioni positive 6

62 9 Simulazione Scritto Esercitazione del 4/0/06 Esercizio 9.. Data la funzione log se > f () = 4 3 log ( ) se. Determinarne il dominio. (b) Determinarne i punti di discontinuità e classicarli. (c) Determinarne gli asintoti. (d) Determinarne i punti di non derivabilità e classicarli. (e) Determinarne i punti di massimo e di minimo locale e assoluto, e gli intervalli di monotonia. (f) Tracciarne un graco qualitativo. Esercizio 9.. Sia data l'equazione dierenziale = 0. Calcolarne l'integrale generale. (b) Data l'equazione completa = e t sin(t), dire se la funzione (t) = e t cos(t) è soluzione dell'equazione completa assegnata. 6