COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 25 Giugno 2007
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- Saverio Bianchini
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1 COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof.... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 25 Giugno 2007 A ESERCIZIO 1. (6 punti) Data la funzione reale di due variabili reali f(x, y) = ln x 3y + 3y x 1 (a) determinare il dominio D di f e rappresentarlo graficamente; si chiede di: (b) determinare gli eventuali punti stazionari di f;
2 (c) determinare la natura dei punti stazionari di f trovati al punto (b). ESERCIZIO 2. (4 punti) Sia T il sottoinsieme del piano definito da e sia f(x, y) una funzione continua su T. a) Si rappresenti graficamente la regione T. T = {(x, y) : 0 x 2, x 2 y x} b) Si imposti per verticali il calcolo dell integrale doppio f(x, y) dxdy. T
3 c) Si imposti per orizzontali il calcolo dell integrale doppio del punto precedente ESERCIZIO 3. (5 punti) Disegnare e determinare il volume di E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 4, x 2 + y 2 z 8 (x 2 + y 2 )}.
4 ESERCIZIO 4. (6 punti) Data la serie di potenze n=1 ( k n ln ) x 2n, n (a) Determinare il parametro reale k in modo che la serie di potenze abbia raggio di convergenza R = 1/2. (b) Studiare il comportamento agli estremi della serie ottenuta al punto (a).
5 ESERCIZIO 5. (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = (t 2)p 6 (t + 1). ESERCIZIO 6. (6 punti) Cauchy: Mediante la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di x = 3y y = x + 2y + e 2t x(0) = 3 y(0) = 0
6 ESERCIZIO 7. (4 punti) Svolgere uno dei seguenti esercizi a scelta. ESERCIZIO 7A. (a) Enunciare la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. (b) Sia n=0 a n una serie a termini positivi convergente. Che cosa si può dire della serie n=0 a2 n? ESERCIZIO 7B. Si consideri la funzione x 3 3x 2 y f(x, y) = 3x 2 + y 2 se(x, y) (0, 0) 0 se(x, y) = (0, 0) (a) Dimostrare che f(x, y) è continua in R 2. (b) Calcolare la derivata direzionale di f(x, y) in (0, 0) lungo la direzione di v = (1, 1). (c) Dire se f(x, y) è differenziabile in (0, 0).
7 COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof.... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 25 Giugno 2007 C ESERCIZIO 1. (6 punti) Data la funzione reale di due variabili reali f(x, y) = ln x 6y + 6y x 1 (a) determinare il dominio D di f e rappresentarlo graficamente; si chiede di: (b) determinare gli eventuali punti stazionari di f;
8 (c) determinare la natura dei punti stazionari di f trovati al punto (b). ESERCIZIO 2. (4 punti) Sia T il sottoinsieme del piano definito da e sia f(x, y) una funzione continua su T. a) Si rappresenti graficamente la regione T. T = {(x, y) : 0 x 4, x 4 y x} b) Si imposti per verticali il calcolo dell integrale doppio f(x, y) dxdy. T
9 c) Si imposti per orizzontali il calcolo dell integrale doppio del punto precedente ESERCIZIO 3. (5 punti) Disegnare e determinare il volume di E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 4, x 2 + y 2 z 8 (x 2 + y 2 )}.
10 ESERCIZIO 4. (6 punti) Data la serie di potenze n=1 ( k n ln ) x 2n, n (a) Determinare il parametro reale k in modo che la serie di potenze abbia raggio di convergenza R = 1/2. (b) Studiare il comportamento agli estremi della serie ottenuta al punto (a).
11 ESERCIZIO 5. (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = (t 2)p 6 (t + 1). ESERCIZIO 6. (6 punti) Cauchy: Mediante la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di x = 3y y = x + 2y + e 2t x(0) = 3 y(0) = 0
12 ESERCIZIO 7. (4 punti) Svolgere uno dei seguenti esercizi a scelta. ESERCIZIO 7A. (a) Enunciare la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. (b) Sia n=0 a n una serie a termini positivi convergente. Che cosa si può dire della serie n=0 a2 n? ESERCIZIO 7B. Si consideri la funzione x 3 3x 2 y f(x, y) = 3x 2 + y 2 se(x, y) (0, 0) 0 se(x, y) = (0, 0) (a) Dimostrare che f(x, y) è continua in R 2. (b) Calcolare la derivata direzionale di f(x, y) in (0, 0) lungo la direzione di v = (1, 1). (c) Dire se f(x, y) è differenziabile in (0, 0).
13 COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof.... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 25 Giugno 2007 B ESERCIZIO 1. (6 punti) Data la funzione reale di due variabili reali f(x, y) = ln y 6x + 6x y 1 (a) determinare il dominio D di f e rappresentarlo graficamente; si chiede di: (b) determinare gli eventuali punti stazionari di f;
14 (c) determinare la natura dei punti stazionari di f trovati al punto (b). ESERCIZIO 2. (4 punti) Sia T il sottoinsieme del piano definito da e sia f(x, y) una funzione continua su T. a) Si rappresenti graficamente la regione T. T = {(x, y) : 0 x 3, x y 3 x} b) Si imposti per verticali il calcolo dell integrale doppio f(x, y) dxdy. T
15 c) Si imposti per orizzontali il calcolo dell integrale doppio del punto precedente ESERCIZIO 3. (5 punti) Disegnare e determinare il volume di E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 z 5 (x 2 + y 2 )}.
16 ESERCIZIO 4. (6 punti) Data la serie di potenze n=1 ( k n ln ) x 4n, n (a) Determinare il parametro reale k in modo che la serie di potenze abbia raggio di convergenza R = 1/2. (b) Studiare il comportamento agli estremi della serie ottenuta al punto (a).
17 ESERCIZIO 5. (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = (t 1)p 4 (t + 2). ESERCIZIO 6. (6 punti) Cauchy: Mediante la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di x = 2x + y + e 2t y = 3x x(0) = 0 y(0) = 3
18 ESERCIZIO 7. (4 punti) Svolgere uno dei seguenti esercizi a scelta. ESERCIZIO 7A. (a) Enunciare la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. (b) Sia n=0 a n una serie a termini positivi convergente. Che cosa si può dire della serie n=0 a3 n? ESERCIZIO 7B. Si consideri la funzione y 3 3xy 2 f(x, y) = x 2 + 3y 2 se(x, y) (0, 0) 0 se(x, y) = (0, 0) (a) Dimostrare che f(x, y) è continua in R 2. (b) Calcolare la derivata direzionale di f(x, y) in (0, 0) lungo la direzione di v = (1, 1). (c) Dire se f(x, y) è differenziabile in (0, 0).
19 COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof.... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 25 Giugno 2007 D ESERCIZIO 1. (6 punti) Data la funzione reale di due variabili reali f(x, y) = ln y 3x + 3x y 1 (a) determinare il dominio D di f e rappresentarlo graficamente; si chiede di: (b) determinare gli eventuali punti stazionari di f;
20 (c) determinare la natura dei punti stazionari di f trovati al punto (b). ESERCIZIO 2. (4 punti) Sia T il sottoinsieme del piano definito da e sia f(x, y) una funzione continua su T. a) Si rappresenti graficamente la regione T. T = {(x, y) : 0 x 1, x y 1 x} b) Si imposti per verticali il calcolo dell integrale doppio f(x, y) dxdy. T
21 c) Si imposti per orizzontali il calcolo dell integrale doppio del punto precedente ESERCIZIO 3. (5 punti) Disegnare e determinare il volume di E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 z 5 (x 2 + y 2 )}.
22 ESERCIZIO 4. (6 punti) Data la serie di potenze n=1 ( k n ln ) x 4n, n (a) Determinare il parametro reale k in modo che la serie di potenze abbia raggio di convergenza R = 1/2. (b) Studiare il comportamento agli estremi della serie ottenuta al punto (a).
23 ESERCIZIO 5. (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = (t 1)p 4 (t + 2). ESERCIZIO 6. (6 punti) Cauchy: Mediante la trasformata di Laplace, determinare la soluzione del seguente problema di x = 2x + y + e 2t y = 3x x(0) = 0 y(0) = 3
24 ESERCIZIO 7. (4 punti) Svolgere uno dei seguenti esercizi a scelta. ESERCIZIO 7A. (a) Enunciare la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica. (b) Sia n=0 a n una serie a termini positivi convergente. Che cosa si può dire della serie n=0 a3 n? ESERCIZIO 7B. Si consideri la funzione y 3 3xy 2 f(x, y) = x 2 + 3y 2 se(x, y) (0, 0) 0 se(x, y) = (0, 0) (a) Dimostrare che f(x, y) è continua in R 2. (b) Calcolare la derivata direzionale di f(x, y) in (0, 0) lungo la direzione di v = (1, 1). (c) Dire se f(x, y) è differenziabile in (0, 0).
b) Dimostrare che se f(x) è differenziabile in x 0, allora è continua in x 0.
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