Analisi Matematica e Geometria 1

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1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e Geometria 1 per Ingegneria Industriale, Facoltà di Ingegneria, Università del Salento

2 1 sede di Brindisi 18 gennaio 2016, A sin f() = 2 sin 1 2) Risolvere la seguente equazione: zz 1 + i = 0 3) () Calcolare il seguente ite π arctan + log 4) () Si discutano le soluzioni del sistema lineare: + y z = 1, 2 + 3y + kz = 3, + ky + 3z = 2 3) () Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + ( 1) n n3 + 1 n 2 + n! n=0 4) () Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 cos 2 7 sin 3 d

3 2 sede di Brindisi 18 gennaio 2016, B cos f() = 2 cos 1 2) Risolvere la seguente equazione: z 2 + zz 9 + 3i = 0 3) () Calcolare il seguente ite 1 arccos log log(1 ) 4) () Si discutano le soluzioni del sistema lineare: + y z = 1, 3 + 2y + kz = 3, k + y + 3z = 2 3) () Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + ( 1) n n4 + 2n 3 n n n=0 4) () Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 3 d

4 3 sede di Lecce 19 gennaio 2016, A f() = log 1 2) Risolvere la seguente equazione: zz + z 1 + i = 0 3) () Calcolare il seguente ite e (cos 1) 2 4) () Si discutano le soluzioni del sistema lineare: + y + 2z = 4, 2 + 2y + 4z = k, 3 + y + z = k 3) () Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + ( 1) n 2n + n + 3 n 3 + n n=0 4) () Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 cos 3 d

5 4 sede di Lecce 19 gennaio 2016, B f() = log 1 2) Risolvere la seguente equazione: zz + 2z 4i = 0 3) () Calcolare il seguente ite log(1 + ) 0 e 3 1 4) () Si discutano le soluzioni del sistema lineare: + z = 1, k + y + z = 1 k, y + (1 k)y = 1 3) () Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + ( 1) n en n! n=0 4) () Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 2 8 cos 3 d

6 5 sede di Brindisi 1 febbraio 2016, A f() = 1 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z + z i z 2 = 1 i 3) Calcolare il seguente ite (1 + sin 2 ) 3/2 1 0 log(1 + ) 4) Si considerino le matrici: A = , B = Si calcoli la matrice prodotto A B e se ne determini il rango 4) Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 2 2 cos 2 d

7 6 sede di Brindisi 1 febbraio 2016, B f() = ) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z z + 2 z 2 = 1 + i 3) Calcolare il seguente ite (1 + tan 3 ) 1/2 1 0 tan 4) Si considerino le matrici: A = , B = Si calcoli la matrice prodotto A B e se ne determini il rango 4) Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 2 2 sin 2 d

8 7 sede di Lecce 2 febbraio 2016, A f() = 2 2 2) Calcolare il seguente ite e 2 1 3) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } una base di V Determinare dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori: v 1 = b 4 b 3 + b 1, v 2 = 2b 2 + b 3 b 4, v 3 = 2b 1 + 2b 2 + b 4 b 3 Completare poi la base trovata ad una base di V 4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice: A = ) Si determinino i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z z 4 1 = 0 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=0 n (n + 1) sin n ( 1) n ) Calcolare il seguente integrale definito: π/2 0 sin 2 sin d

9 8 sede di Lecce 2 febbraio 2016, B f() = ) Calcolare il seguente ite sin( 4 ) 3) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 4 e sia B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } una base di V Determinare dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori: v 1 = b 4 b 3 + b 1, v 2 = 2b 2 + b 3 b 4, v 3 = 2b 1 + 2b 2 + b 4 b 3 Completare poi la base trovata ad una base di V 4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice: A = ) Si determinino i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 4 z 1 = 0 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + ( 1) n n2 cos n n n=0 4) Calcolare il seguente integrale definito: e 1 log log d

10 9 sede di Brindisi 22 febbraio 2016, A f() = ) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: ( z i + i ) (z 3 i ) = 0 z 3) Calcolare il seguente ite 0 e cos cos 1 4) Si considerino le matrici: A = , B = Si calcoli la matrice prodotto A B e se ne determini il rango 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 2 cos 5 d

11 10 sede di Brindisi 22 febbraio 2016, B f() = 1 3 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: ( z i + i ) (z 3 + i ) = 0 z 3) Calcolare il seguente ite e e cos 1 4) Si considerino le matrici: A = , B = Si calcoli la matrice prodotto A B e se ne determini il rango 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 5 cos 2 d

12 11 sede di Lecce 23 febbraio 2016, A f() = e /(2 +1) 2) Calcolare il seguente ite e log(e + ) cos 0 sin 3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: + y z = 1, 2 + 3y + az = 3, + ay + 3z = 2 4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice: A = ) Si determinino i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 2 5z + 6 = 0 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=1 ( 1) n log n n ) Calcolare il seguente integrale indefinito: log 1 log d

13 12 sede di Lecce 23 febbraio 2016, B f() = e /(2 1) 2) Calcolare il seguente ite e cos log(e + ) 0 tan 3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: y + z = 1, 2 + ay + 3z = 3, + 3y + az = 2 4) Si determinino autovalori ed autovettori della matrice: A = ) Si determinino i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 2 7z + 6 = 0 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=1 ( 1) n n log n n ) Calcolare il seguente integrale indefinito: log 2 1 log 3 1 d

14 13 - Brindisi per studenti fuori corso) 12 aprile 2016, A ( 1) f() = + 2 2) Calcolare il seguente ite e (2) cos 0 sin 3) Calcolare il seguente integrale indefinito: e e 3 d e2

15 14 sede di Brindisi 7 giugno 2016, A f() = arcsin 2 2 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 2 z + 1 = 0 3) Calcolare il seguente ite log(1 + ) sin cos 4) Discutere il seguente sistema lineare: y + z = 0, + y + 2z = 0, 2y + 3z = 0, 3 + y + 5z = 5 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: 3 ( 2 + 1) d

16 15 sede di Brindisi 7 giugno 2016, B f() = arcsin 2 2 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 2 z + 1 = 0 3) Calcolare il seguente ite sin log(1 + ) 2 0 tan 2 4) Discutere il seguente sistema lineare: y + z = 0, + y + 2z = 0, 2y + 3z = 0, 3 + y + 5z = 7 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: 3 ( 2 1) d

17 16 sede di Lecce 8 giugno 2016, A f() = 2 1 2) Calcolare il seguente ite e cos 2 0 3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: + ky + 2z = 1 + y + 3z = ky + z = ky + 3z = 2 4) Determinare i valori di k per cui l applicazione lineare f : R 3 R 3 ammetta inversa f(, y, z) = ( + 2y, 2 + ky + z, + 2y + kz), 2) Si determinino i numeri complessi z C che soddisfano il seguente sistema di equazioni: { Re ( z(z + i)) 2 Im (z) 0 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 n sin 1/n ( 1) n log n 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: 2 ( + 1)( 2 + 1) d

18 17 sede di Lecce 8 giugno 2016, B f() = 2 1 2) Calcolare il seguente ite 1 + cos e 0 3) Si discutano le soluzioni del sistema lineare: k + 2y + (k + 1)z = 0 + (k + 3)y = 0 (k 1) (k + 5)y (k + 1)z = 0 4) Determinare i valori di k per cui l applicazione lineare f : R 3 R 2 non é suriettiva f(, y, z) = (k 2 + y, k + y (k 1)z), 2) Si determinino i numeri complessi z C che soddisfano il seguente sistema di equazioni: { Re ( z(z + i)) 2 Im (z) 0 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n n + 1 (n 3 + 1) log n 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: d

19 18 sede di Brindisi 21 giugno 2016, A f() = arctan 1 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: Re (z 2 ) Im (z 2 ) = 0 3) Calcolare il seguente ite arctan 1 4) Discutere il seguente sistema lineare: (k 1)y + 3z = 1, k 21y 2z = 4, + 5y + z = 1 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: sin sin sin 3 d

20 19 sede di Brindisi 21 giugno 2016, B 1 f() = arctan 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 2 + (Im z) 2 = 0 3) Calcolare il seguente ite log ( ) 4) Discutere il seguente sistema lineare: (k 1)y + 3z = 1, k 21y 2z = 4, + 5y + z = 1 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: cos cos sin 3 d

21 20 sede di Lecce 22 giugno 2016, A f() = log 2 1 2) Calcolare il seguente ite ( arctan π ) ) Determinare i valori del parametro reale k tali che il sistema + y + kz = y + 2z = k 2 + 3y z = 1 abbia, rispettivamente, una unica soluzione, nessuna soluzione o piú di una soluzione ) Determinare autovalori e autospazi della matrice: A = ) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n log n log ( ) n 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: 2 ( + 1) 2 ( 2 + 1) d

22 21 sede di Lecce 22 giugno 2016, B f() = log 2 1 2) Calcolare il seguente ite arccos + 1 3) Discutere l esistenza di soluzioni per il seguente sistema lineare, al variare del parametro reale k Determinare, ove esistano, le soluzioni + y + kz = 1 + ky + z = 1 k + y + z = ) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B = ) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n log n log 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: ( ) n 2 ( + 1) 2 ( 2 + 1) d

23 22 sede di Brindisi 5 luglio 2016, A f() = e 1 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: z 2 + Re z = 20 3) Discutere il seguente sistema lineare: (k 1) + 3z = 9, 25 ky + 2z = 9, 5 y + z = 8 3) Calcolare il seguente integrale indefinito: log 2 (log 3 + 1) d

24 23 sede di Lecce 20 luglio 2016, A f() = log(1 + arctan ) 2) Calcolare il seguente ite cos 4 3) Sia f : R 4 R 3 f(, y, z, w) = ( + ky + w, k + 4y + 2w, + z + w) Si determini il sotto spazio nucleo di f, e se ne calcoli una base ) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B = ) Si determinino le radici terze del numero complesso: z = (i + 1)3 ( 3 + 1) 6 i 1 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n 1 log n arctan 1 n 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: log log 3 1 d

25 24 sede di Lecce 20 luglio 2016, B f() = log( 1 + arctan ) 2) Calcolare il seguente ite 2 log(e(1 + 2 )) cos( 2) 0 4 3) Sia f : R 4 R 3 f(, y, z, w) = ( + ky + w, k + 4y + 3w, + z + w) Si determini il sotto spazio nucleo di f, e se ne calcoli una base ) Determinare autovalori e autospazi della matrice: B = ) Si determinino le radici terze del numero complesso: z = (i + 1)3 ( 3 + 1) 6 i 1 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n 1 log n arctan 1 n 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: log log 3 1 d

26 25 sede di Brindisi 2 settembre 2016, A f() = 3 ( + 1) 2 ( 1) 2) Determinare i numeri complessi z C che soddisfano la seguente equazione: i(im z) 2 + z 2 = 4(1 + i) 3) Calcolare il rango della matrice: ) Calcolare il seguente integrale indefinito: sin 3 cos 6 d

27 26 sede di Lecce 6 settembre 2016, A f() = arctan 2 1 2) Calcolare il seguente ite ( + 2 log ) arctan 1 log 3) Si considerino i sottospazi di R 3 : V 1 = (1, 2, 4), V 2 = ( 2, 0, 1) a) Determinare i sottospazi V 1 V 2 e V 1 + V 2 b) Si dica se il vettore e 2 = (0, 1, 0) appartiene a V 1 + V 2 c) Si dica se il vettore 4e 1 4e 2 + 9e 3 appartiene a V 1 + V 2 4) Si consideri la matrice reale: k k 1 k A = 0 2k k 1 2 k a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k b) Si determinino i valori di k per cui A è invertibile 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n log3 n n 2 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 3 sin 5 d

28 27 Cenni sulla soluzione 6 settembre 2016, A 1) La funzione è definita in R \ {1} e non presenta simmetrie né periodicità Si ha f() 0 ( > 1) ( = 0), f() 0 ( < 1) Vi è una sola intersezione con gli assi nel punto (0, 0) La funzione è continua e inoltre f() = π 1 2, f() = π 1 + 2, f() = π + 2, f() = π 2 Quindi non vi sono asintoti verticali mentre vi sono un asintoto orizzontale a destra di equazione y = π/2 e un asintoto orizzontale a sinistra di equazione y = π/2 La funzione è derivabile infinite volte in R \ {1} e si ha f () = ( 2) 4 + ( 1) 2, f () = 2( ) ( 4 + ( 1) 2 ) 2 La derivata prima è positiva in ], 0] [2, + [ ed è negativa in [0, 1[ ]1, 2] Quindi f è strettamente crescente negli intervalli ], 0] e [2, + [ ed è strettamente decrescente negli intervalli [0, 1[ e ]1, 2] Il punto 0 è di massimo relativo e il punto 2 è di minimo relativo con f(2) = arctan 4 Viene evitato lo studio del segno della derivata seconda in quanto più complesso 2) Utilizzando i iti notevoli si ha ( + 2 log ) arctan 1 log ( ) log = 2 + = log = arctan log log = + + 3) I vettori v 1 = (1, 2, 4) e v 2 = ( 2, 0, 1) sono linearmente indipendenti in quanto la matrice ( )

29 28 y Π Π 2 Figura 1: Grafico di f() = arctan 2 1 ha rango 2 Quindi V 1 V 2 = {0} Poichè v 1 e v 2 sono linearmente indipendenti e devono appartenere entrambi a V 1 +V 2 allora V 1 +V 2 = v 1, v 2 Conseguentemente un vettore v appartiene a V 1 +V 2 se e solo si esprime come combinazione lineare di v 1 e v 2 e quindi se e solo se la matrice v 1 v 2 ha rango minore di 3, cioè il suo determinante è uguale a 0 v Per quanto riguarda il vettore e 2 = (0, 1, 0), il determinante della matrice è 7 e quindi tale vettore non appartiene a V 1 + V 2 Per quanto riguarda il vettore 4e 1 4e 2 + 9e 3 determinante della matrice è 0 e quindi tale vettore appartiene a V 1 + V 2 4) Il determinante della matrice: k k 1 k A = 0 2k k 1 2 k = ( 4, 4, 9), il

30 29 è 2k(k 1) 2 e quindi è diverso da 0 se e solo se k 0 e k 1 Segue che se k 0 e k 1 la matrice è invertibile e il suo rango è 3 Se k = 0 si ottiene la matrice A = che non è invertibile ed ha rango 2 Infine se k = 1 si ottiene la matrice A = che non è invertibile ed ha rango 1

31 30 sede di Lecce 6 settembre 2016, B f() = arctan 1 2 2) Calcolare il seguente ite ( + 2 log cos 1 ) log 3) Si considerino i sottospazi di R 3 : V 1 = (1, 2, 4), V 2 = ( 2, 0, 1) a) Determinare i sottospazi V 1 V 2 e V 1 + V 2 b) Si dica se il vettore e 2 = (0, 1, 0) appartiene a V 1 + V 2 c) Si dica se il vettore 4e 1 4e 2 + 9e 3 appartiene a V 1 + V 2 4) Si consideri la matrice reale: k k 1 k A = 0 2k k 1 2 k a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k b) Si determinino i valori di k per cui A è invertibile 3) Studiare la convergenza della seguente serie numerica: + n=2 ( 1) n log3 n n 2 4) Calcolare il seguente integrale indefinito: cos 3 sin 5 d

32 31 Cenni sulla soluzione 6 settembre 2016, B 1) La funzione è definita in R \ {0} e non presenta simmetrie né periodicità Si ha f() 0 ( 1), f() 0 ( < 0) (0 < 1) Vi è una sola intersezione con gli assi nel punto (1, 0) La funzione è continua e inoltre f() = π 0 2, f() = π + 2, f() = π 2 Quindi non vi sono asintoti verticali (il punto 0 è una singolarità einabile mentre vi è un asintoto orizzontale a destra e sinistra di equazione y = 0 La funzione è derivabile infinite volte in R \ {1} e si ha f ( 2) () = 4 + ( 1) 2, f () = 2( ) ( 4 + ( 1) 2 ) 2 La derivata prima è positiva in ]0, 2] ed è negativa in ], 0[ [2, + [ Quindi f è strettamente crescente nell intervallo [0, 2] ed è strettamente decrescente negli intervalli ], 0[ e [2, + [ Il punto 2 è di massimo relativo (e anche assoluto) con f(2) = arctan 1/4 Viene evitato lo studio del segno della derivata seconda in quanto più complesso y arrctan Π 2 Figura 2: Grafico di f() = arctan 1 2

33 32 2) Utilizzando i iti notevoli si ha ( + 2 log cos 1 ) log log = 2 + = 1 2 log = + ( ( 1 + cos 1 1)) cos 1 1 cos log 3) Vedasi la soluzione della traccia A 4) Vedasi la soluzione della traccia A

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