4.11 Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili

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1 5. Determinare, al variare del parametro a R, la natura delle seguenti forme quadratiche: (i) Φ(x, y, z) = x 2 + 2axy + y 2 + 2axz + z 2, (ii) Φ(x, y, z, t) = 2x 2 + ay 2 z 2 t 2 + 2xz + 4yt + 2azt Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili Per le funzioni di più variabili la ricerca dei massimi e dei minimi relativi si basa su risultati che sono in stretta analogia con quelli validi per funzioni di una variabile (teorema 4.9.4). Si ha infatti: Teorema Sia f C 2 (A), ove A è un aperto di R m, e sia x 0 A. Valgono i seguenti fatti: (i) se x 0 è un punto di massimo relativo per f, allora f(x 0 ) = 0 e la forma quadratica associata alla matrice Hessiana H(x 0 ) è semidefinita negativa, ma il viceversa è falso; (ii) se x 0 è un punto di minimo relativo per f, allora f(x 0 ) = 0 e la forma quadratica associata alla matrice Hessiana H(x 0 ) è semidefinita positiva, ma il viceversa è falso; (iii) se f(x 0 ) = 0 e se la forma quadratica associata a H(x 0 ) è definita negativa, allora x 0 è punto di massimo relativo per f, ma il viceversa è falso; (iv) se f(x 0 ) = 0 e se la forma quadratica associata a H(x) è definita positiva, allora x 0 è punto di minimo relativo per f, ma il viceversa è falso. Premettiamo alla dimostrazione del teorema due risultati che useremo ripetutamente anche in seguito. Lemma Sia B(x 0, r) una palla di R m e sia f C 2 (B(x 0, r)). Fissato x B(x 0, r), la funzione F : [ 1, 1] R definita da F (t) = f (x 0 + t(x x 0 )) 321

2 è di classe C 2 e F (t) = f (x 0 + t(x x 0 )), x x 0 m t [ 1, 1], F (t) = H (x 0 + t(x x 0 )) (x x 0 ), x x 0 m t [ 1, 1]. Dimostrazione Poiché f è di classe C 2 in A, per il teorema di derivazione delle funzioni composte (teorema 4.1.6) si ha F C 2 [ 1, 1] e F (t) = m i=1 f x i (x 0 + t(x x 0 )) (x i x i 0) = = f (x 0 + t(x x 0 )), x x 0 m, F (t) = m 2 f x i x (x j 0 + t(x x 0 )) (x i x i 0)(x j x j 0) = Ciò prova la tesi. i,j=1 = H (x 0 + t(x x 0 )) (x x 0 ), x x 0 m. Lemma Sia B(x 0, r) una palla di R m e sia f C 2 (B(x 0, r)). Per ogni x B(x 0, r) esiste ξ ]0, 1[ tale che f(x) = f(x 0 ) + f(x 0 ) H(x 0 + ξ(x x 0 ))(x x 0 ), x x 0 m. Dimostrazione definita da Consideriamo nuovamente la funzione F : [ 1, 1] R F (t) = f (x 0 + t(x x 0 )). Per il teorema di Lagrange di grado 2 (osservazione (3)) esiste ξ ]0, 1[ tale che F (1) = F (0) + F (0) F (ξ). Sostituendo in questa espressione i valori di F, F e F forniti dal lemma , si ha la tesi. Dimostrazione del teorema (i) Sia x 0 un punto di massimo relativo per f e sia B(x 0, r) una palla contenuta in A. Fissato arbitrariamente x B(x 0, r), la funzione F (t) = f (x 0 + t(x x 0 )), t [ 1, 1], 322

3 è di classe C 2 e ha massimo nel punto t = 0: per il teorema si ha dunque F (0) = 0, F (0) 0. Dal lemma otteniamo F (0) = f(x 0 ), x x 0 m = 0, F (0) = H(x 0 )(x x 0 ), x x 0 m 0. Dato che x era stato scelto arbitrariamente in B(x 0, r), il vettore v = x x 0 è un arbitrario elemento di B(0, r); scrivendo nuovamente v al posto di x x 0, per omogeneità le due relazioni precedenti equivalgono a f(x 0 ), v m = 0, H(x 0 )v, v M 0 v R m. La prima di queste due condizioni, scelto v = f(x 0 ), dice che f ha gradiente nullo nel punto x 0 ; la seconda condizione dice che la forma quadratica associata a H(x 0 ) è semidefinita negativa. Ciò prova (i). (ii) Analoga a (i). (iii) Sia f(x 0 ) = 0 e H(x 0 )v, v m < 0 per ogni v R m \ {0}. Allora gli autovalori di H(x 0 ) sono tutti negativi ed in particolare, detto δ il massimo di essi, si ha (proposizione ) H(x 0 )v, v m δ v 2 m v R m. Sia r > 0 tale che B(x 0, r) A: proviamo che se r è abbastanza piccolo si ha anche H(x)v, v m δ 2 v 2 m v R m, x B(x 0, r). Infatti se x B(x 0, r) abbiamo H(x)v, v m = [H(x) H(x 0 )]v, v m + H(x 0 )v, v m [H(x) H(x 0 )]v, v m δ v 2 m ; d altra parte, utilizzando l esercizio , si trova [H(x) H(x 0 )]v, v m H(x) H(x0 ) Mm v 2 m, ove si è posto m H(x) H(x 0 ) Mm = D i D j f(x) D i D j f(x 0 ) 2. i,j=1 323

4 Dunque, per la continuità delle derivate seconde di f, l ultimo membro è minore di δ 2 v 2 m se r è sufficientemente piccolo. Fissato ora arbitrariamente x B(x 0, r), per il lemma possiamo scrivere, ricordando che f(x 0 ) = 0, f(x) f(x 0 ) = 1 2 H(x 0 + ξ(x x 0 ))(x x 0 ), x x 0 m, ove ξ è un punto opportuno in ]0, 1[ : dunque x 0 + ξ(x x 0 ) B(x 0, r). Per come abbiamo scelto r si ha allora e pertanto si ottiene H(x 0 + ξ(x x 0 ))(x x 0 ), x x 0 m δ 2 x x 0 2 m, f(x) f(x 0 ) < δ 4 x x 0 2 m < 0 x B(x 0, r). Ciò prova che x 0 è punto di massimo relativo. (iv) Analogo a (iii). Infine, il viceversa di (ii) è falso: infatti la funzione [ f(x, ] y) = x 2 y 4 ha 2 0 gradiente nullo nell origine e Hessiana H(0, 0) =, cosicché la forma 0 0 quadratica associata è semidefinita positiva; tuttavia l origine non è punto di minimo relativo perché f(0, 0) = 0 e f(0, y) < 0 per ogni y R \ {0}. La funzione f rende falso il viceversa di (i). Le funzioni ±(x 4 + y 4 ) rendono falsi i viceversa di (iv) e (iii), in quanto nell origine hanno rispettivamente minimo e massimo assoluto pur avendo le rispettive matrici Hessiane nulle. Osservazione Un punto x 0 tale che f(x 0 ) = 0 si dice punto stazionario per f. Se x 0 è stazionario per f, il piano tangente al grafico di f in (x 0, f(x 0 )) è orizzontale, ossia ortogonale all asse x n+1. Un punto stazionario può non essere né di massimo né di minimo relativo: in tal caso esso si dice punto di sella. Ciò accade se la forma H(x 0 )v, v m è indefinita, ma non solo, come mostra l esempio della funzione f(x, y) = x 2 y 4 visto sopra, in cui la forma è semidefinita. Esempio Sia f(x, y) = 2x 3 + x 2 + y 2, (x, y) R 2. Cerchiamo gli eventuali massimi e minimi relativi di f. I punti stazionari si ottengono dal 324

5 sistema { fx (x, y) = 6x 2 + 2x = 0 f y (x, y) = 2y = 0, le cui soluzioni sono (x, y) = (0, 0) oppure (x, y) = ( 1, 0). Poiché f 3 xx(x, y) = 12x + 2, f xy (x, y) = f yx (x, y) = 0, f yy (x, y) = 2, si ha [ ] 2 0 H(0, 0) =, H ( 13 ) [ ] , 0 = ; 0 2 quindi le rispettive forme quadratiche sono definita positiva la prima e indefinita la seconda. Conclusione: (0, 0) è punto di minimo relativo e ( 1 3, 0) è punto di sella. Esercizi Dato un foglio rettangolare di cartone, ritagliare da esso 4 quadrati in modo da costruire una scatola parallelepipeda di volume massimo. 2. Fra tutti i coni circolari circoscritti ad una sfera, determinare quello di superficie laterale minima. 3. Provare che se A è un aperto di R m, se f : A R è una funzione differenziabile e se f ha un massimo o minimo relativo in x 0 A, allora x 0 è punto stazionario per f, cioè f(x 0 ) = 0; si mostri anche che il viceversa è falso. 4. (Teorema di Rolle multidimensionale) Sia K R m un insieme compatto con parte interna non vuota e sia f continua su K e differenziabile nei punti interni di K. Provare che se f è costante su K allora esiste un punto stazionario per f interno a K. [Traccia: adattare la dimostrazione del teorema di Rolle (teorema 4.3.1).] 5. Determinare, se esistono, i massimi ed i minimi relativi delle seguenti funzioni: (i) f(x, y) = y arctan(xe y ) in A = {(x, y) R 2 : max{ x, y } 1}; (ii) f(x, y) = x 2 y 2 sul chiuso delimitato dal triangolo di vertici (0, 0), (3, 1), (1, 3). 325

6 6. Determinare il triangolo inscritto in un cerchio che ha area massima. 7. Dati tre punti A, B, C ai vertici di un triangolo equilatero, determinare un quarto punto P in modo che la somma delle distanze di P da A, B, C sia minima. 8. Dati k punti (x i, y i ) R 2 con ascisse distinte, trovare una retta y = ax + b tale che l errore quadratico totale E(a, b) = k ax j + b y j 2 j=1 sia minimo. 9. Determinare la minima distanza in R 3 del punto (1, 2, 3) dalla retta r di equazioni x = y 3 = z Determinare la minima distanza fra le rette r 1 e r 2 di R 3 definite rispettivamente da x 1 = y 2 3 = z 2 2, x 4 = y = z Trovare i massimi relativi ed assoluti (se esistono) delle seguenti funzioni: (i) x 2 (x y), (ii) x 4 + y 4 4xy, (iii) (x 2 + y 2 )e x2 y 2, (iv) cos x sinh y, (v) sin(x + y) cos(x y), (vi) x 2 (y 1) 3 (z + 2) 2, (vii) 1 x + 1 y + 1 z + xyz (con x, y, z > 0), (viii) 1 + x y 1 + x2 + y 2, (ix) cos x + cos y + cos(x + y), (x) e x 3y e y+2x, (xi) x + y2 4x + x2 y + 2 z (con x, y, z > 0), (xii) xy 1 x 2 y 2, (xiii) x 2 ln(1 + y) + x 2 y 2, (xiv) (x 2 + 3xy 2 + 2y 4 ) 2, (xv) 2x 4 x 2 e y + e 4y, (xvi) x 2 + 2y x 2 + y