Indice. Produzione e impresa. Tecnologia. Impresa. Tecnologia. Corso di Microeconomia progredito

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1 Indice Produzione e impresa Corso di Microeconomia progredito 1 Produzione e tecnologia Proprietà della tecnologia Parte I Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 1 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 2 / 20 Impresa L attività di produzione è svolta da imprese Impresa: unità decisionale minima decide cosa, come e quanto produrre Non si considera l organizzazione interna. L impresa è una black box Input = Impresa = Output Il comportamento dell impresa è vincolato dalla tecnologia Tutti i modi, disponibili in un determinato momento del tempo, di trasformare input in output Vettore di netput: y R L, è un piano di produzione Input: y i < 0 Output: y i > 0 y = (,,..., y L ) Esempi. L = 5, y = ( 5, 2, 3, 1, 0) L = 4, y = (8, 0, 0, 5), (grano, aratri, mietitrici, lavoratori) Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 3 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 4 / 20

2 Descrizione della tecnologia Insieme di produzione: Y R L, insieme dei piani di produzione realizzabili La tecnologia è descritta dall insieme di produzione L insieme di produzione è determinato dalle conoscenze tecniche e da vincoli giuridici e legali Per rappresentare la tecnologia si può usare Funzione di trasformazione La funzione F : R L R è la funzione di trasformazione dell insieme di produzione Y se { } Y = y R L F (y) 0 Funzione di trasformazione Y = {y R L F (y) 0} Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 5 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 6 / 20 Frontiera di trasformazione Descrizione della tecnologia {y R L F (y) = 0} Frontiera di trasformazione { } y R L F (y) = 0 Pendenza della frontiera di produzione... Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 7 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 8 / 20

3 Pendenza della frontiera F (y) Saggio marginale di trasformazione y Se ȳ è sulla frontiera di produzione, cioè F (ȳ) = 0, il saggio marginale di trasformazione tra il bene k e il bene l è SMT k,l (ȳ) = F (ȳ)/ y k F (ȳ)/ y l Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 9 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 10 / 20 Consideriamo una semplice tecnologia gli input sono distinti dagli output zk > 0, input qk 0, output quindi y = ( z 1, z 2,..., z m, q 1,... q L m ) si produce un singolo output, q R +, quindi m = L 1 y = ( z 1, z 2,..., z L 1, q) Funzione di produzione: f : R L 1 + R f (z) è la massima quantità di output che si può produrre con gli input z. Ponendo y L = z e y L = q, la funzione di trasformazione si può scrivere L insieme di produzione è dato da oppure F (y) = y L f ( y L ) Y = {( z 1,..., z L 1, q) q f (z) 0} Y = {(,..., y L ) y L f (,..., y L 1 ) 0} Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 11 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 12 / 20

4 Esempio: funzione di produzione Cobb-Douglas con α > 0, β > 0. f è omogenea di grado α + β. f (z 1, z 2 ) = z α 1 z β 2 Isoquanti di produzione: Insiemi di livello della funzione di produzione I ( q) = {(z 1,..., z m ) f (z 1,..., z m ) = q} Saggio marginale di sostituzione tecnica tra due input k e l è la pendenza dell isoquanto SMST k,l (z) = f (z)/ z k f (z)/ z l Le più importanti proprietà che la tecnologia può presentare sono le seguenti: Y è non vuoto e chiuso: contiene i punti sulla frontiera No free lunch : senza input non si produce alcun output, Y R L + {0} Inattività, 0 Y Importante la dimensione temporale - sunk costs Free disposal, se y Y e y y allora y Y È possibile assorbire un ulteriore quantità di input senza ridurre la quantità dell output o aumentare la quantità di altri input Esempio smaltimento rifiuti Esercizio Cobb-Douglas Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 13 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 14 / 20 Irreversibilità, se y Y allora y Y Non è possibile ritrasformare l output in input Rendimenti di scala decrescenti (RSD) Se y Y e 0 < α 1 allora αy Y È possibile replicare i piani di produzione su scala ridotta Nel caso di tecnologia con singolo output e funzione di produzione omogenea si ha il seguente risultato RSD e omogeneità Sia f una funzione di produzione omogenea. La tecnologia rappresentata da f esibisce RSD se e solo la funzione di produzione è omogenea di grado minore o uguale a 1 Dimostrazione 1) Se vi sono RSD allora f è omogenea di grado k 1 Sia y = ( z, q) sulla frontiera, quindi F (y) = 0. RSD implica αy Y, per 0 α 1, quindi F (αy) 0, cioè Poiché f è omogenea si ha f (αz) αq f (αz) = α k f (z) Supponiamo, per assurdo che k > otteniamo una contraddizione f (αz) < αq Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 15 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 16 / 20

5 2) Se f è omogenea di grado k 1 la tecnologia ha RSD Sia y = ( z, q) sulla frontiera, quindi q = f (z). Per l omogeneità si ha f (αz) = α k f (z), 0 α 1 quindi f (αz) = α k f (z) = α k 1 (αq) (αq) poiché α k 1 1 Quindi, αy = ( αz, αq) Y e la tecnologia ha RSD Esempio Cobb-Douglas Se α + β 1, la tecnologia ha rendimenti di scala decrescenti Rendimenti di scala crescenti (RSC). Se y Y e α > 1 allora αy Y È possibile replicare i piani di produzione su scala aumentata RSC e omogeneità La tecnologia esibisce RSC se e solo la funzione di produzione è omogenea di grado maggiore o uguale a 1 Esempio Cobb-Douglas Se α + β 1, la tecnologia ha rendimenti di scala crescenti Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 17 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 18 / 20 Rendimenti di scala costanti (RSCo). Se y Y e α R + allora αy Y Y è un cono (per definizione) Esempio Cobb-Douglas, α + β = 1 Additività. Se y Y e y Y allora y + y Y Piani di produzione distinti non interferiscono tra loro Libertà di entrata Convessità. Se y e y Y allora αy + (1 α)y Y con 0 α 1 Implica RSD (si prenda y Y e y = 0) Caso con un singolo output Se la tecnologia è convessa la funzione di produzione è concava Dimostrazione Siano y = ( z, q) e y = ( z, q ) sulla frontiera. Per la convessità ŷ = ( αz (1 α)z, αq + (1 α)q) con 0 α 1 appartiene a Y. Quindi f (αz + (1 α)z αf (z) + (1 α)f (z ) Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 19 / 20 Corso di Microeconomia progredito () Produzione e impresa Parte I 20 / 20