1. calcolare la funzione dei costi totali di breve periodo

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Marianna Franco
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1 Domanda 1 Data la funzione di utilità CES U= (x 1 1/3 + x 2 1/3 ) 3, indicando con p 1 il prezzo del bene 1; p 2 il prezzo del bene 2 e I il reddito a) Definire e derivare la domanda Marshalliana b) Derivare le frazioni di reddito spese nell acquisto dei due beni. Commentare. c) Definire e derivare la funzione di utilità indiretta Domanda 2 Data la FP q = 1.3 k l 0.8 dove k 1 è il livello di capitale costante nel b.p., supponendo che w (costo unitario del lavoro) =3; v (costo unitario del capitale) = 5 e k 1 sia fisso a 90: Domanda 3 1. calcolare la funzione dei costi totali di breve periodo 2. calcolare e rappresentare graficamente il costo medio totale (CMeT), il costo medio fisso (CMeF), il costo medio variabile (CMeV) e il costo marginale (CM). Commentare. Ipotizzando di stimare col metodo OLS la seguente funzione di costo (ricavata da una FP Cobb- Douglas): ln (CT/P 3 )= β 0 + β Q ln Q + β 1 ln (P 1 /P 3 )+ β 2 ln (P 2 /P 3 ) +e E di ottenere i seguenti risultati: indicare: ln(ct/p 3 )= ln Q ln (P 1 /P 3 ) ln (P 2 /P 3 ) -i rendimenti di scala (r) - le elasticità di q rispetto ai singoli fattori -le elasticità di costo rispetto ai P dei singoli fattori -la FP stimata Domanda 4 Illustrare le proprietà di una generica funzione di utilità CES, rappresentandola graficamente.

2 Esempio esonero 1 domanda 2 (Breve periodo) Data la FP q = 13k 1.3 k l 0.8 dove k 1 è il livello di capitale costante nel b.p., supponendo che w (costo unitario del lavoro) =3; v (costo unitario del capitale) = 5 e k 1 sia fisso a 90: 1. calcolare la funzione dei costi di breve periodo 2. calcolare e rappresentare graficamente il costo medio totale (CMeT), il costo medio fisso (CMeF), il costo medio variabile (CMeV) e il costo marginale (CM). Commentare.

3 Soluzioni (caso generico con α e β ) Innanzi tutto ricaviamo la domanda di l l = q 1/α k β/ α 1 dalla FP: 1. Funzione di costo totale: SC(v,w,q,k) (,,q, ) = wq 1/α k β/ α 1 + vk 1 2. CMeT: wq (1 α )/α k 1 β/ α +vk 1 /q il primo addendo = CMeV, il secondo= CMeF Costo marginale: MC SC q w α (,,, ) (1 α )/ α β / α v w q k1 = = q k1 3 Graficamente Rappresentiamo le curve di costo in un piano cartesiano in cui sull asse delle ascisse è posto q, su quello delle ordinate i costi. Rappresentiamo dapprima il Costo medio fisso (CMeF), che si riduce all aumentare di q Poi CM e CMeV, entrambi crescenti al crescere di q

4 CM e CMeV Siccome α <1 CM>CMeV per ogni livello di q Per stabilire concavità o convessità delle curve di CM e CMeV basta guardare all esponente di q Se (1 α )/α <1 concave Se (1 α )/α >1 convesse CMeT Infine, il costo medio totale (CMeT) è la somma verticale delle curve CMeF e CMeV. Poiché la curva dlcm del CMeF scende e la curva del dlcmev sale al crescere di q, la curva del costo medio totale è a forma di U (decrescente fino al punto in cui prevale l effetto della riduzione dei costi fissi unitari, crescente quando a prevalere è leffetto l effetto dell aumento dei costi medi variabili). Infine, la curva del CM interseca la curva delcmet nel suo punto di minimo.

5 Domanda 3 Ipotizzando di stimare col metodo OLS la seguente funzione di costo in forma logaritmica (ricavata da una FP Cobb Douglas): ln (CT/P 3 )= β 0 + β Q ln Q + β 1 ln (P 1 /P 3 )+ β 2 ln (P 2 /P 3 ) +e E di ottenere i seguenti risultati: i ln(ct/p 3 )= ln Q ln (P 1 /P 3 ) ln (P 2 /P 3 ) indicare: i rendimenti di scala (r) le elasticità di q rispetto ai singoli fattori le elasticità di costo rispetto ai P dei singoli fattori la FP stimata La funzione di costo sopra indicata deriva da una FP Cobb Douglas con tre fattori produttivi: Q= A x a1 x a2 x a Da cui si ottiene la funzione di costo CT = k Q 1/r P a1/r 1 P a2/r 2 P a3/r 3 dove : P rappresenta il prezzo di un input k= r [A a1 a1 a2 a2 a3 a3 ] 1/r a1+a2+a3=r indica la presenza di rendimenti i di scala costanti (r=1), crescenti (r>1) o decrescenti (r<1) 8

6 Esprimendo l equazione in logaritmi si ottiene: ln CT = ln k + (1/r) ln Q + (a 1 /r) ln P1 + (a 2 /r) ln P2 + (a 3 /r) ln P3 +e Rinominando i parametri si può scrivere : ln CT = β 0 + β Q ln Q + β 1 ln P1 + β 2 ln P2 + β 3 ln P3 +e In cui lnk= β 0, (1/r) = β Q e così via Dividendo tutte le variabili (escluso Q) per P3 si ottiene : n (CT/P 3 )= β 0 + β Q ln Q + β1 ln (P 1 /P 3 )+ β2 ln (P 2 /P 3 ) +e ln CT ln P3= β 0 + β Q ln Q + β 1 (ln P 1 ln P 3 3) )+ β 2 (ln P 2 ln P 3 3) +e ln CT = β 0 + β Q ln Q + β 1 ln P 1 + β 2 ln P 2 + (1 β 1 β 2 ) ln P 3 +e 9 Per cui, i rendimenti di scala e le elasticità dei singoli fattori si ricavano nel modo seguente: r = 1/ β Q a 1 = β 1 / β Q a 2 = β 2 / β Q a 3 = β 3 / β Q = (1 β 1 β 2 ) / β Q Le elasticità di costo rispetto ai P dei singoli fattori sono rappresentate dai coefficienti β1, β2, β3 Per poter scrivere la FP stimata è necessario ricavare anche A, atal fine si ricorda che: k= r [A a1 a1 a2 a2 a3 a3 ] 1/r lnk=lnr (1/r) ln[a a1 a1 a2 a2 a3 a3 ] lna=rlnr rlnk a1lna1 a2lna2 a3lna3

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