Alcune applicazioni della diseguaglianza tra la media geometrica e la media aritmetica
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- Ippolito Negri
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1 Alcue applicazioi della diseguagliaza tra la media geometrica e la media aritmetica Giulio C. Barozzi Uiversità di Bologa barozzi@ciram.uibo.it
2 . Iiziamo co u semplice problema: tra tutti i rettagoli di perimetro assegato, determiare quello di area massima. U po di algebra viee i ostro aiuto. Se x e y soo i lati del rettagolo e p èil semiperimetro, si tratta di determiare il massimo del prodotto xy sotto il vicolo che sia x + y = p. Naturalmete dovrà ache essere x 0ey 0, duque la codizioe x + y = p implica che x e y o superao p: 0 x p, 0 y p. Scrivedo p x al posto di y, sitratta duque di determiare il massimo del prodotto xp x ell itervallo 0 x p. Questa volta ci aiuta u po di geometria aalitica; il grafico della fuzioe x xp x ell itervallo idicato è u arco di parabola co asse di simmetria parallelo all asse delle ordiate e cocavità rivolta verso il basso: duque il massimo corrispode al vertice della parabola, e poiché questa iterseca l asse delle x ei puti di ascissa 0 e p, tale vertice ha ascissa x = p/. Coclusioe: il massimo del prodotto xy si ha quado x e di cosegueza ache y è uguale a p/, cioè quado il rettagolo èuquadrato. Abbiamo duque il risultato p x + y, xy = o ache, estraedo le radici quadrate di etrambi i membri x + y xy, dove il sego di uguagliaza vale se e solo se x = y. A primo membro abbiamo la media geometrica dei umeri x e y a secodo membro la loro media aritmetica: duque la media geometrica o supera la media aritmetica, e l uguagliaza tra le due medie si ha se e solo se i umeri x e y soo tra loro uguali. La media geometrica dei umeri x e y può essere vista come il lato di u quadrato avete lastessa area del rettagolo di lati x e y. Aimazioe. Per attivare il filmato cliccare sull icoa; premere il tasto Escape per uscire... La diseguagliaza ammette ua dimostrazioe diretta assai semplice: possiamo riscriverla successivamete xy x + y = x +xy + y 0 x xy + y =x y, duque essa segue dal fatto che il quadrato di u umero reale è, i ogi caso, u umero o egativo, e l uguagliaza si ha soltato per x y =0,cioè x = y. Altrettato semplice è l iterpretazioe geometrica della diseguagliaza : cosideriamo u triagolo rettagolo, iscritto el semicerchio di diametro p, e siao x e y le misure delle proiezioi dei cateti sull ipoteusa.
3 xy x x + y y Figura Allora l altezza h relativa all ipoteusa è media proporzioale tra le due proiezioi cosiderate Euclide, Elemeti II,, cioè x : h = h.y h = xy, eil massimo valore per h si ha quado il triagolo è rettagolo isoscele, cioè xy p/ =x+y/. 3. Vogliamo ora estedere la validità della al caso di umeri o egativi. Teorema. Se x,x,...,x,, soo umeri o egativi, si ha x x...x x + x x, 3 evale il sego di uguagliaza se e solo se x = x =...= x. Osservazioe. Elevado alla poteza -esima i due membri della 3 abbiamo la diseguagliaza equivalete x + x x. x x...x 3 A parole: il prodotto di umeri o egativi o supera la poteza -esima della loro media aritmetica. Ne segue che tra tutte le -ple di umeri o egativi aveti ua somma assegata, quella per cui il relativo prodotto è massimo èla-pla costituita da umeri uguali tra loro. La 3 può ache scriversi x x...x x + x x. 3 Duque tra tutte le -ple di umeri o egativi aveti u prodotto assegato, quella per cui la relativa somma è miima èla-pla costituita da umeri uguali tra loro. Dimostrazioe. Abbiamo già dimostrato il Teorema per =.Tra i vari metodi per dare ua dimostrazioe geerale, scegliamo quello suggerito da A.L. Cauchy Iazitutto dimostriamo il teorema per =, 8, 6..., i geerale per tutti ivalori di che soo poteze di. Se abbiamo quattro umeri x,x,x 3,x, abbiamo iazitutto, i virtù della, x + x, x3 + x, x x x3 x duque x + x x x x 3 x x3 + x. Il sego di uguagliaza vale se e solo se x = x e x 3 = x.lastessa diseguagliaza applicata ai umeri x + x / ex 3 + x / forisce x + x quidi x + x x3 + x x3 + x x + x + x 3 + x, x + x + x 3 + x, 5
4 dove il sego di uguagliaza vale se e solo se x + x = x 3 + x. Combiado le due diseguagliaze e 5 si ottiee x + x + x 3 + x, x x x 3 x da cui segue la tesi del teorema per =,estraedo le radici quarte di etrambi i membri. Si oti che vale il sego di uguagliaza se e solo se x = x = x 3 = x. Chiaramete possiamo ripetere l argometo precedete per 8, 6,... umeri, cioè per ogi isieme che cotega u umero di termii pari a ua poteza di. Procediamo ora co ua sorta di iduzioe a ritroso. Mostriamo cioè chese la tesi 3 vale per >, allora essa vale ache per. Duque se la tesi vale per =8,essa vale ache per =7,edi cosegueza per 6, 5 ecc., i breve per tutti i valori di compresi tra 8 e. Siao ifatti dati i umeri o egativi x,x,...,x la cui media aritmetica sia A: A = x + x x. Si tratta di dimostrare la 3, cioè x x... x A. 6 Per l ipotesi fatta, la 3 èvalida per gli umeri x, x,..., x e A: x + x x + A ; x x... x A ma x + x x = A, duque la quatità etro paretesi vale A, ela 6 segue subito. Acora ua volta, ell ultima diseguagliaza scritta vale il sego di uguagliaza se e solo se tutti i umeri cosiderati soo uguali tra loro. Per altre dimostrazioi del Teorema precedete, si veda Barozzi [], par..6, Courat-Robbis [], per. 7.6, Hardy-Littlewood-Pólya [3], cap.. Nelle sezioi segueti vogliamo trarre alcue cosegueze dal teorema dimostrato.. Siao x,x,...,x umeri strettamete positivi. Possiamo cosiderare la loro media armoica, defiita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci: H :=. /x +/x +...+/x Applichiamo la diseguagliaza 3 ai umeri /x, /x,...,/x :... = /x +/x +...+/x ; x x x x x...x passado ai reciproci otteiamo x x...x, 6 /x +/x +...+/x cioè lamedia armoica o supera la media geometrica. Se G e A soo la la media geometrica e la media aritmetica dei umeri i esame, abbiamo H G A. Nel caso = abbiamo u risultato più preciso: A : G = G : H G = A H, duque la media geometrica è media proporzioale tra la media aritmetica e la media armoica. Per covicersee basta osservare che H = x x, G = x x, A = x + x. x + x Possiamo iterpretare geometricamete il risultato otteuto se completiamo la figura precedete come è mostrato ella figura.
5 C K A x H O y B Figura Se verifichiamo che CK èlamedia armoica di x e y, allora la relazioe A : G = = G : H segue dalla similitudie dei triagoli rettagoli OCH e CHK. Applicado il cosiddetto primo teorema di Euclide Elemeti II, al triagolo OCH abbiamo CH = CK CO CK = CH CO = xy x + y/ = xy x + y. 5. Ua diseguagliaza dovuta a Jakob Beroulli stabilisce che + x +x, 7 per ogi aturale eper ogi x>. Osserviamo iazitutto che la 7 si riduce a u idetità per =0e =.Per i restati valori di essa è acora ovvia se x è tale che + x 0, cioè <x /, perché ilprimo membro èpositivo metre il secodo membro è egativo. Se duque + x > 0, poiamo x =+x, x =... = x =.Ilprodotto dei umeri cosiderati vale + x, metre la loro media aritmetica vale +x + =+x; la 7 o è altro che la 3 scritta el caso i esame. 6. Vogliamo studiare la successioe a.per fissare le idee, suppoiamo a. Poiamo x = a, x =...= x =.La3 forisce a + a duque =+ a, a + a, da cui segue subito che la successioe i esame tede a per. 7. Vogliamo studiare la successioe. Se procediamo come el puto precedete, poedo x =, x =...= x =,otteiamo la doppia diseguagliaza, che o cosete di valutare il limite della successioe stessa. Possiamo soltato dire che tale limite, se esiste, è compreso tra e. Poiamo allora x = x =, x 3 =... = x =. Il prodotto dei umeri così defiiti vale acora, duque la 3 forisce + =+, da cui segue che la successioe i esame tede a per.
6 8. Ilumero e = , base dei logaritmi aturali, detto umero di Nepero, o, più propriamete, umero di Eulero, dai omi latiizzati dei matematici Joh Napier e Leohard Euler , può essere defiito come il limite comue alle due successioi a := +, b := + +,. Si ha subito a <b ; dimostriamo che la prima successioe è strettamete crescete, la secoda strettamete decrescete Figura 3. A siistra alcui termii della successioe +/,adestra alcui termii della successioe +/ +. Cosideriamo + umeri, di cui il primo uguale a e i restati uguali a +/; illoro prodotto vale + /, metre la loro media aritmetica vale A = +/+ + =+ +. Duque, i virtù della 3, + < + +, + cioè a <a +. Idichiamo u procedimeto aalogo per dimostrare la decresceza della successioe b.possiamo dimostrare la cresceza della successioe dei reciproci c = +. = b + Scegliamo +umeri, di cui il primo uguale a eirestati uguali a /; il loro prodotto vale, = metre la loro media aritmetica è / +. Duque, i virtù della 3, si ha +, < + cioè c <c +. No è difficile ricooscere che la differeza b a tede a 0. Ifatti 0 <b a = b a b a = = b b + +. Possiamo duque cocludere lo studio i esame scrivedo [a,b ]={e}. Per ogi iumeri a e b foriscoo approssimazioi razioali, rispettivamete per difetto e per eccesso, del umero irrazioale e, e tali approssimazioi covergoo al umero stesso per.
7 9. Vogliamo dimostrare che la successioe! diverge positivamete, o, che è lo stesso, vogliamo dimostrare che la successioe /! tede a 0. Ora /! è la media geometrica dei umeri, /,...,/, quidi la 3 forisce +/+/3+...+/.! A umeratore abbiamo la somma parziale -esima della serie armoica o umero armoico di ordie : H = Se si itegra la fuzioe fx = /x sull itervallo [,], è facile ricooscere che < dx = log. x Ifatti a primo membro è scritta ua somma iferiore relativa alla fuzioe f e alla scomposizioe dell itervallo [,] i parti uguali, mediate i puti di ascissa itera. Sommado a etrambi i membri otteiamo H < +log I defiitiva 0 <! < +log e l ultima quatità tede 0 per. Per ricooscere che log / tede a0per, basta applica la regola di L Hôpital alla fuzioe x log x/x per x. 0. Cocludiamo co alcue osservazioi sulle successioi studiate. La successioe a è mootoa decrescete per a >. Ifatti la relazioe a > + a, elevado etrambi i membri alla poteza di espoete +siscrive a + >a, cioè a>. Al cotrario, la successioe x := mostra u adameto crescete ei primi tre termii: x =, x = =...., x 3 = 3 3=...., metre sembra mostrare u adameto decrescete a partire dal terzo termie Figura. A siistra alcui termii della successioe a,pera =,adestra alcui termii della successioe. Dimostriamo che, per ogi 3, si ha x + <x, cioè + +<. Elevado etrambi i membri alla poteza di espoete +, la ostra tesi diveta + < + + = + <.
8 Per quato sappiamo dal puto 8, si ha a = + <e= per ogi, metre si ha ovviamete e<per ogi da 3 i poi.. La diseguagliaza tra medie da cui abbiamo preso le mosse si iquadra, i buoa sostaza, ei problemi di massimo e di miimo trattati seza l uso delle derivate. I proposito rimadiamo al volume di Courat-Robbis [] cap. 7 e alla ota di A. Padoa el secodo dei due volumi a cura di F. Eriques [3]. Rigrazio Erico Potoro e Luigi Tomasi, che hao letto ua prima stesura di questa ota, suggeredo migliorameti e itegrazioi. Bibliografia [] G.C. Barozzi, Primo Corso di Aalisi Matematica, Zaichelli Bologa, 998; [] R. Courat, H. Robbis, Che cos è la Matematica?, Bollati Borighieri Editore Torio, 000 [ edizioe riveduta e ampliata, a cura di I. Stewart, della prima edizioe del 9 ]; [3] F. Eriques a cura di, Questioi riguardati le matematiche elemetari, 3volumi i tomi, Zaichelli Bologa, 983 [ristampa aastatica della prima edizioe degli ai 9-97]; [] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G, Pólya. Iequalities, d ed., Cambridge Uiversity Press, 988 [ la prima edizioe è del 93 ]; [5] R. Youg, Excursios i Calculus, Mathematical Associatio of America, 99.
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