Alcune applicazioni della diseguaglianza tra la media geometrica e la media aritmetica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Alcune applicazioni della diseguaglianza tra la media geometrica e la media aritmetica"

Transcript

1 Alcue applicazioi della diseguagliaza tra la media geometrica e la media aritmetica Giulio C. Barozzi Uiversità di Bologa barozzi@ciram.uibo.it

2 . Iiziamo co u semplice problema: tra tutti i rettagoli di perimetro assegato, determiare quello di area massima. U po di algebra viee i ostro aiuto. Se x e y soo i lati del rettagolo e p èil semiperimetro, si tratta di determiare il massimo del prodotto xy sotto il vicolo che sia x + y = p. Naturalmete dovrà ache essere x 0ey 0, duque la codizioe x + y = p implica che x e y o superao p: 0 x p, 0 y p. Scrivedo p x al posto di y, sitratta duque di determiare il massimo del prodotto xp x ell itervallo 0 x p. Questa volta ci aiuta u po di geometria aalitica; il grafico della fuzioe x xp x ell itervallo idicato è u arco di parabola co asse di simmetria parallelo all asse delle ordiate e cocavità rivolta verso il basso: duque il massimo corrispode al vertice della parabola, e poiché questa iterseca l asse delle x ei puti di ascissa 0 e p, tale vertice ha ascissa x = p/. Coclusioe: il massimo del prodotto xy si ha quado x e di cosegueza ache y è uguale a p/, cioè quado il rettagolo èuquadrato. Abbiamo duque il risultato p x + y, xy = o ache, estraedo le radici quadrate di etrambi i membri x + y xy, dove il sego di uguagliaza vale se e solo se x = y. A primo membro abbiamo la media geometrica dei umeri x e y a secodo membro la loro media aritmetica: duque la media geometrica o supera la media aritmetica, e l uguagliaza tra le due medie si ha se e solo se i umeri x e y soo tra loro uguali. La media geometrica dei umeri x e y può essere vista come il lato di u quadrato avete lastessa area del rettagolo di lati x e y. Aimazioe. Per attivare il filmato cliccare sull icoa; premere il tasto Escape per uscire... La diseguagliaza ammette ua dimostrazioe diretta assai semplice: possiamo riscriverla successivamete xy x + y = x +xy + y 0 x xy + y =x y, duque essa segue dal fatto che il quadrato di u umero reale è, i ogi caso, u umero o egativo, e l uguagliaza si ha soltato per x y =0,cioè x = y. Altrettato semplice è l iterpretazioe geometrica della diseguagliaza : cosideriamo u triagolo rettagolo, iscritto el semicerchio di diametro p, e siao x e y le misure delle proiezioi dei cateti sull ipoteusa.

3 xy x x + y y Figura Allora l altezza h relativa all ipoteusa è media proporzioale tra le due proiezioi cosiderate Euclide, Elemeti II,, cioè x : h = h.y h = xy, eil massimo valore per h si ha quado il triagolo è rettagolo isoscele, cioè xy p/ =x+y/. 3. Vogliamo ora estedere la validità della al caso di umeri o egativi. Teorema. Se x,x,...,x,, soo umeri o egativi, si ha x x...x x + x x, 3 evale il sego di uguagliaza se e solo se x = x =...= x. Osservazioe. Elevado alla poteza -esima i due membri della 3 abbiamo la diseguagliaza equivalete x + x x. x x...x 3 A parole: il prodotto di umeri o egativi o supera la poteza -esima della loro media aritmetica. Ne segue che tra tutte le -ple di umeri o egativi aveti ua somma assegata, quella per cui il relativo prodotto è massimo èla-pla costituita da umeri uguali tra loro. La 3 può ache scriversi x x...x x + x x. 3 Duque tra tutte le -ple di umeri o egativi aveti u prodotto assegato, quella per cui la relativa somma è miima èla-pla costituita da umeri uguali tra loro. Dimostrazioe. Abbiamo già dimostrato il Teorema per =.Tra i vari metodi per dare ua dimostrazioe geerale, scegliamo quello suggerito da A.L. Cauchy Iazitutto dimostriamo il teorema per =, 8, 6..., i geerale per tutti ivalori di che soo poteze di. Se abbiamo quattro umeri x,x,x 3,x, abbiamo iazitutto, i virtù della, x + x, x3 + x, x x x3 x duque x + x x x x 3 x x3 + x. Il sego di uguagliaza vale se e solo se x = x e x 3 = x.lastessa diseguagliaza applicata ai umeri x + x / ex 3 + x / forisce x + x quidi x + x x3 + x x3 + x x + x + x 3 + x, x + x + x 3 + x, 5

4 dove il sego di uguagliaza vale se e solo se x + x = x 3 + x. Combiado le due diseguagliaze e 5 si ottiee x + x + x 3 + x, x x x 3 x da cui segue la tesi del teorema per =,estraedo le radici quarte di etrambi i membri. Si oti che vale il sego di uguagliaza se e solo se x = x = x 3 = x. Chiaramete possiamo ripetere l argometo precedete per 8, 6,... umeri, cioè per ogi isieme che cotega u umero di termii pari a ua poteza di. Procediamo ora co ua sorta di iduzioe a ritroso. Mostriamo cioè chese la tesi 3 vale per >, allora essa vale ache per. Duque se la tesi vale per =8,essa vale ache per =7,edi cosegueza per 6, 5 ecc., i breve per tutti i valori di compresi tra 8 e. Siao ifatti dati i umeri o egativi x,x,...,x la cui media aritmetica sia A: A = x + x x. Si tratta di dimostrare la 3, cioè x x... x A. 6 Per l ipotesi fatta, la 3 èvalida per gli umeri x, x,..., x e A: x + x x + A ; x x... x A ma x + x x = A, duque la quatità etro paretesi vale A, ela 6 segue subito. Acora ua volta, ell ultima diseguagliaza scritta vale il sego di uguagliaza se e solo se tutti i umeri cosiderati soo uguali tra loro. Per altre dimostrazioi del Teorema precedete, si veda Barozzi [], par..6, Courat-Robbis [], per. 7.6, Hardy-Littlewood-Pólya [3], cap.. Nelle sezioi segueti vogliamo trarre alcue cosegueze dal teorema dimostrato.. Siao x,x,...,x umeri strettamete positivi. Possiamo cosiderare la loro media armoica, defiita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci: H :=. /x +/x +...+/x Applichiamo la diseguagliaza 3 ai umeri /x, /x,...,/x :... = /x +/x +...+/x ; x x x x x...x passado ai reciproci otteiamo x x...x, 6 /x +/x +...+/x cioè lamedia armoica o supera la media geometrica. Se G e A soo la la media geometrica e la media aritmetica dei umeri i esame, abbiamo H G A. Nel caso = abbiamo u risultato più preciso: A : G = G : H G = A H, duque la media geometrica è media proporzioale tra la media aritmetica e la media armoica. Per covicersee basta osservare che H = x x, G = x x, A = x + x. x + x Possiamo iterpretare geometricamete il risultato otteuto se completiamo la figura precedete come è mostrato ella figura.

5 C K A x H O y B Figura Se verifichiamo che CK èlamedia armoica di x e y, allora la relazioe A : G = = G : H segue dalla similitudie dei triagoli rettagoli OCH e CHK. Applicado il cosiddetto primo teorema di Euclide Elemeti II, al triagolo OCH abbiamo CH = CK CO CK = CH CO = xy x + y/ = xy x + y. 5. Ua diseguagliaza dovuta a Jakob Beroulli stabilisce che + x +x, 7 per ogi aturale eper ogi x>. Osserviamo iazitutto che la 7 si riduce a u idetità per =0e =.Per i restati valori di essa è acora ovvia se x è tale che + x 0, cioè <x /, perché ilprimo membro èpositivo metre il secodo membro è egativo. Se duque + x > 0, poiamo x =+x, x =... = x =.Ilprodotto dei umeri cosiderati vale + x, metre la loro media aritmetica vale +x + =+x; la 7 o è altro che la 3 scritta el caso i esame. 6. Vogliamo studiare la successioe a.per fissare le idee, suppoiamo a. Poiamo x = a, x =...= x =.La3 forisce a + a duque =+ a, a + a, da cui segue subito che la successioe i esame tede a per. 7. Vogliamo studiare la successioe. Se procediamo come el puto precedete, poedo x =, x =...= x =,otteiamo la doppia diseguagliaza, che o cosete di valutare il limite della successioe stessa. Possiamo soltato dire che tale limite, se esiste, è compreso tra e. Poiamo allora x = x =, x 3 =... = x =. Il prodotto dei umeri così defiiti vale acora, duque la 3 forisce + =+, da cui segue che la successioe i esame tede a per.

6 8. Ilumero e = , base dei logaritmi aturali, detto umero di Nepero, o, più propriamete, umero di Eulero, dai omi latiizzati dei matematici Joh Napier e Leohard Euler , può essere defiito come il limite comue alle due successioi a := +, b := + +,. Si ha subito a <b ; dimostriamo che la prima successioe è strettamete crescete, la secoda strettamete decrescete Figura 3. A siistra alcui termii della successioe +/,adestra alcui termii della successioe +/ +. Cosideriamo + umeri, di cui il primo uguale a e i restati uguali a +/; illoro prodotto vale + /, metre la loro media aritmetica vale A = +/+ + =+ +. Duque, i virtù della 3, + < + +, + cioè a <a +. Idichiamo u procedimeto aalogo per dimostrare la decresceza della successioe b.possiamo dimostrare la cresceza della successioe dei reciproci c = +. = b + Scegliamo +umeri, di cui il primo uguale a eirestati uguali a /; il loro prodotto vale, = metre la loro media aritmetica è / +. Duque, i virtù della 3, si ha +, < + cioè c <c +. No è difficile ricooscere che la differeza b a tede a 0. Ifatti 0 <b a = b a b a = = b b + +. Possiamo duque cocludere lo studio i esame scrivedo [a,b ]={e}. Per ogi iumeri a e b foriscoo approssimazioi razioali, rispettivamete per difetto e per eccesso, del umero irrazioale e, e tali approssimazioi covergoo al umero stesso per.

7 9. Vogliamo dimostrare che la successioe! diverge positivamete, o, che è lo stesso, vogliamo dimostrare che la successioe /! tede a 0. Ora /! è la media geometrica dei umeri, /,...,/, quidi la 3 forisce +/+/3+...+/.! A umeratore abbiamo la somma parziale -esima della serie armoica o umero armoico di ordie : H = Se si itegra la fuzioe fx = /x sull itervallo [,], è facile ricooscere che < dx = log. x Ifatti a primo membro è scritta ua somma iferiore relativa alla fuzioe f e alla scomposizioe dell itervallo [,] i parti uguali, mediate i puti di ascissa itera. Sommado a etrambi i membri otteiamo H < +log I defiitiva 0 <! < +log e l ultima quatità tede 0 per. Per ricooscere che log / tede a0per, basta applica la regola di L Hôpital alla fuzioe x log x/x per x. 0. Cocludiamo co alcue osservazioi sulle successioi studiate. La successioe a è mootoa decrescete per a >. Ifatti la relazioe a > + a, elevado etrambi i membri alla poteza di espoete +siscrive a + >a, cioè a>. Al cotrario, la successioe x := mostra u adameto crescete ei primi tre termii: x =, x = =...., x 3 = 3 3=...., metre sembra mostrare u adameto decrescete a partire dal terzo termie Figura. A siistra alcui termii della successioe a,pera =,adestra alcui termii della successioe. Dimostriamo che, per ogi 3, si ha x + <x, cioè + +<. Elevado etrambi i membri alla poteza di espoete +, la ostra tesi diveta + < + + = + <.

8 Per quato sappiamo dal puto 8, si ha a = + <e= per ogi, metre si ha ovviamete e<per ogi da 3 i poi.. La diseguagliaza tra medie da cui abbiamo preso le mosse si iquadra, i buoa sostaza, ei problemi di massimo e di miimo trattati seza l uso delle derivate. I proposito rimadiamo al volume di Courat-Robbis [] cap. 7 e alla ota di A. Padoa el secodo dei due volumi a cura di F. Eriques [3]. Rigrazio Erico Potoro e Luigi Tomasi, che hao letto ua prima stesura di questa ota, suggeredo migliorameti e itegrazioi. Bibliografia [] G.C. Barozzi, Primo Corso di Aalisi Matematica, Zaichelli Bologa, 998; [] R. Courat, H. Robbis, Che cos è la Matematica?, Bollati Borighieri Editore Torio, 000 [ edizioe riveduta e ampliata, a cura di I. Stewart, della prima edizioe del 9 ]; [3] F. Eriques a cura di, Questioi riguardati le matematiche elemetari, 3volumi i tomi, Zaichelli Bologa, 983 [ristampa aastatica della prima edizioe degli ai 9-97]; [] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G, Pólya. Iequalities, d ed., Cambridge Uiversity Press, 988 [ la prima edizioe è del 93 ]; [5] R. Youg, Excursios i Calculus, Mathematical Associatio of America, 99.

1 Esponenziale e logaritmo.

1 Esponenziale e logaritmo. Espoeziale e logaritmo.. Risultati prelimiari. Lemma a b = a b Lemma Disuguagliaza di Beroulli per ogi α e per ogi ln a k b k. k=0 + α + α Teorema Disuguagliaza delle medie Per ogi ln, per ogi upla {a

Dettagli

Analisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1

Analisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1 Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.

Dettagli

Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN

Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Zaichelli (Bologa), 998, ISBN 88-08-069-0 Capitolo NUMERI REALI Soluzioe dei problemi posti al termie di alcui paragrafi. Numeri aturali, iteri,

Dettagli

2.5 Convergenza assoluta e non

2.5 Convergenza assoluta e non .5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello

Dettagli

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c)

SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. (log α) n, α > 0 c) SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Calcolare la somma delle segueti serie telescopiche: a) b). Verificare utilizzado la codizioe ecessaria per la covergeza) che le segueti serie o covergoo: a) c) ) log

Dettagli

Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.

Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie. SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale

Dettagli

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n. SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....

Dettagli

Esercizi sull estremo superiore ed inferiore

Esercizi sull estremo superiore ed inferiore AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sull estremo superiore ed iferiore Esercizio svolto. Dire se i segueti isiemi soo limitati iferiormete o superiormete ed, i caso affermativo, trovare l estremo

Dettagli

Soluzioni degli esercizi del corso di Analisi Matematica I

Soluzioni degli esercizi del corso di Analisi Matematica I Soluzioi degli esercizi del corso di Aalisi Matematica I Prof. Pierpaolo Natalii Roberta Biachii & Marco Pezzulla ovembre 015 FOGLIO 1 1. Determiare il domiio e il sego della fuzioe ( ) f(x) = arccos x

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare

Dettagli

Esercizi Determinare il dominio di de nizione delle seguenti funzioni: a.

Esercizi Determinare il dominio di de nizione delle seguenti funzioni: a. Esercizi -. Determiare il domiio di deizioe delle segueti fuzioi a. () = log jj p (jj ) b. () = µ 5 c. d. e. f. g. h. i. j. () =log jj () = 4p j j! Ã () =arcsi () = log 3 + () =log(jj ) p jj () =log(jcos

Dettagli

a n (x x 0 ) n. (1.1) n=0

a n (x x 0 ) n. (1.1) n=0 Serie di poteze. Defiizioi Assegati ua successioe {a } di umeri reali e u puto x dell asse reale si dice serie di poteze u espressioe del tipo a (x x ). (.) Il puto x viee detto cetro della serie e i umeri

Dettagli

1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.

1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge. Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):

Dettagli

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioni cap3b.pdf 1

SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioni cap3b.pdf 1 SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 2018/19 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X =

Dettagli

Esercizi sulle Serie numeriche

Esercizi sulle Serie numeriche AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Serie umeriche Esercizio svolto. Discutere il comportameto delle segueti serie umeriche: a +! b [ ] log c log+ d log + e arcta f g h i l log log! 3! 4

Dettagli

ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22/11/2013. = a 24 24! log(1 + x) = ( 1) = (24!) 1 24 = 23!. e x2 dx. x 2n

ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22/11/2013. = a 24 24! log(1 + x) = ( 1) = (24!) 1 24 = 23!. e x2 dx. x 2n ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22//23 Esercizio Calcolare la 2esima derivata del logaritmo el puto. Risposta Si tratta di calcolare d 2 dx 2 log( + x) x= = a 2 2! dove a 2 è il termie di idice

Dettagli

Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN

Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Analisi Matematica Zanichelli (Bologna), 1998, ISBN Giulio Cesare Barozzi: Primo Corso di Aalisi Matematica Zaichelli (Bologa), 998, ISBN 88-8-69- Capitolo 3 LIMITI E CONTINUITÀ Soluzioe dei problemi posti al termie di alcui paragrafi 3. Fuzioi umeriche

Dettagli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli Uiversità di Treto - Corso di Laurea i Igegeria Civile e Igegeria per l Ambiete e il Territorio - 07/8 Corso di Aalisi Matematica - professore Alberto Valli 8 foglio di esercizi - 5 ovembre 07 Taylor,

Dettagli

( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) )

( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) ) Esercizi di Aalisi - Alberto Valli - AA 05/06 - Foglio 8. Fatevi veire u idea per calcolare log48 alla secoda cifra decimale. Lo sviluppo di Taylor di log( + ) è covergete per solo per (,]. Duque bisoga

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico

Dettagli

(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni.

(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni. Lezioe del 26 settembre. 1. Successioi. Defiizioe 1 Ua successioe di umeri reali e ua legge che associa a ogi umero aturale = 0, 1, 2,... u umero reale - i breve: e ua fuzioe N R; si scrive ella forma

Dettagli

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma

x n (1.1) n=0 1 x La serie geometrica è un esempio di serie di potenze. Definizione 1 Chiamiamo serie di potenze ogni serie della forma 1 Serie di poteze È stato dimostrato che la serie geometrica x (1.1) coverge se e solo se la ragioe x soddisfa la disuguagliaza 1 < x < 1. I realtà c è covergeza assoluta i ] 1, 1[. Per x 1 la serie diverge

Dettagli

1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n

1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e

Dettagli

AM110 - ESERCITAZIONI V - VI. Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogni insieme finito ha un massimo ed un minimo.

AM110 - ESERCITAZIONI V - VI. Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogni insieme finito ha un massimo ed un minimo. AM110 - ESERCITAZIONI V - VI 16-18 OTTOBRE 2012 Esercizio svolto 1. Dimostrare che ogi isieme fiito ha u massimo ed u miimo. Sia A = {a 1,..., a } R. Dimostriamo che A ha u massimo si procede i maiera

Dettagli

(x log x) n2. (14) n + log n

(x log x) n2. (14) n + log n Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali- Aalisi Matematica A (c.l.t. i Fisica) Prova parziale del 8 Novembre 20 Svolgere gli esercizi segueti. Studiare il domiio ed il comportameto della serie

Dettagli

Cosa vogliamo imparare?

Cosa vogliamo imparare? Cosa vogliamo imparare? risolvere i modo approssimato equazioi del tipo f()=0 che o solo risolubili i maiera esatta ed elemetare tramite formule risolutive. Esempio: log( ) 1= 0 Iterpretazioe grafica Come

Dettagli

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi)

Algoritmi e Strutture Dati (Elementi) Algoritmi e Strutture Dati (Elemeti Esercizi sulle ricorreze Proff. Paola Boizzoi / Giacarlo Mauri / Claudio Zadro Ao Accademico 00/003 Apputi scritti da Alberto Leporati e Rosalba Zizza Esercizio 1 Posti

Dettagli

Esercizi di Analisi II

Esercizi di Analisi II Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57 Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo 42-57 4. Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu

Dettagli

06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI

06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI 06 LE SUCCESSIONI DI NUMERI REALI Ua successioe è ua fuzioe defiita i. I simboli ua f : A tale che f ( ) è ua successioe di elemeti di A. Se poiamo f ( i) ai co i,...,,..., ua successioe può essere rappresetata

Dettagli

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti 6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo

Dettagli

Analisi Matematica I Soluzioni del tutorato 2

Analisi Matematica I Soluzioni del tutorato 2 Corso di laurea i Fisica - Ao Accademico 07/08 Aalisi Matematica I Soluzioi del tutorato A cura di Davide Macera Esercizio Abbiamo che x 3 + si(log(x)) + cosh(x) x3 + si(log(x)) + e x ( + x 6 ) / + log(e

Dettagli

1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE

1. DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE . DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE (SOLUZIONI) POTENZE E RADICI Siao m, N, a b 0, allora valgoo: a m b m, b m a m, e si ha l uguagliaza se e solo se a = b oppure m = 0. Esercizio. Dimostra che per ogi coppia

Dettagli

Le successioni: intro

Le successioni: intro Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!

Dettagli

Serie di potenze / Esercizi svolti

Serie di potenze / Esercizi svolti MGuida, SRolado, 204 Serie di poteze / Esercizi svolti Si cosideri la serie di poteze (a) Determiare il raggio di covergeza 2 + x (b) Determiare l itervallo I di covergeza putuale (c) Dire se la serie

Dettagli

Risoluzione del compito n. 3 (Febbraio 2018/2)

Risoluzione del compito n. 3 (Febbraio 2018/2) Risoluzioe del compito. 3 (Febbraio 08/ PROBLEMA a Determiate le soluzioi τ C dell equazioe τ iτ +=0. { αβ =4 b Determiate le soluzioi (α, β, co α, β C,delsistema α + β =i. c Determiate tutte le soluzioi

Dettagli

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe

Dettagli

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5. 60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta

Dettagli

Corso Propedeutico di Matematica

Corso Propedeutico di Matematica POLINOMI RICHIAMI DI TEORIA Defiizioe: u poliomio ( o fuzioe poliomiale) ella variabile x di grado a coefficieti reali ha la forma A = a0 + a1x + + a 1 x, dove a 0, a 1,..., a soo umeri reali assegati

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessioe ordiaria Tema di MATEMATICA - 3 giugo 005 Svolgimeto a cura del prof. Luigi Tomasi (luigi.tomasi@libero.it) RISPOSTE AI QUESITI DEL

Dettagli

Precorso di Matematica, aa , (IV)

Precorso di Matematica, aa , (IV) Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe

Dettagli

A.S ABSTRACT

A.S ABSTRACT ILLUSIONI GEOMETRICHE E NUMERI DI IBONACCI A.S. 00-0 GUGLIELMO SACCO (C) ENRICO IZZO (C) ABSTRACT I questo articolo vegoo messe i luce alcue "illusioi" geometriche elle quali giocao u ruolo chiave le proprietà

Dettagli

Esercizi su successioni, progressioni e principio di induzione

Esercizi su successioni, progressioni e principio di induzione Esercizi su successioi, progressioi e pricipio di iduzioe Cosidera le successioi di termii geerali a = i, = a Dimostra che risulta: i, b j= j, c = i i, = ; i a = 4, b =, c = b Calcola il più grade valore

Dettagli

(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali.

(1 2 3) (1 2) Lezione 10. I gruppi diedrali. Lezioe 0 Prerequisiti: Simmetrie di poligoi regolari. Gruppi di permutazioi. Cetro di u gruppo. Cetralizzate di u elemeto di u gruppo. Riferimeto al testo: [PC] Sezioe 5.4 I gruppi diedrali. Ogi simmetria

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 20 ottobre 2015 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Itroduzioe

Dettagli

1 Successioni numeriche

1 Successioni numeriche Aalisi Matematica 2 Successioi umeriche CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 5 SERIE NUMERICHE Chiamiamo successioe di umeri reali ua fuzioe a valori reali defiita su N oppure

Dettagli

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4 Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee

Dettagli

Esercizi sui limiti di successioni

Esercizi sui limiti di successioni AM0 - AA 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sui iti di successioi Esercizio svolto a) Usado la defiizioe di ite, dimostare che: + 3 si π cos e ) e b) 0 Soluzioe Comiciamo da a) Vogliamo dimostrare che: ε

Dettagli

Matematica I, Limiti di successioni (II).

Matematica I, Limiti di successioni (II). Matematica I, 05102012 Limiti di successioi II) 1 Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2, α R), b, = 0, 1, 2, b R), log b, = 1, 2, b > 0, b 1), si, = 0, 1, 2,, cos, = 0, 1, 2,, per + hao il seguete

Dettagli

SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n]

SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n] SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 05/6, FOGLIO Sia f : R R defiita da f x { se x [, 3] 0 altrimeti Studiare la covergeza putuale, uiforme e uiforme sui compatti della successioe f e della

Dettagli

Il discriminante Maurizio Cornalba 23/3/2013

Il discriminante Maurizio Cornalba 23/3/2013 Il discrimiate Maurizio Coralba 3/3/013 Siao X 1,..., X idetermiate. Cosideriamo i poliomi V (X 1,..., X ) = i>j(x i X j ) (X 1,..., X ) = V (X 1,..., X ) Il poliomio V (X 1,..., X ) è chiaramete atisimmetrico.

Dettagli

Le successioni: intro

Le successioni: intro Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si

Dettagli

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla

Dettagli

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X.

Serie numeriche. Paola Rubbioni. 1 Denizione, serie notevoli e primi risultati. i=0 a i, e si indica con il simbolo +1X. Serie umeriche Paola Rubbioi Deizioe, serie otevoli e primi risultati Deizioe.. Data ua successioe di umeri reali (a ) 2N, si dice serie umerica la successioe delle somme parziali (S ) 2N, ove S = a +

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia Dip. di Scieze Statistiche e Matematiche Silvio Viaelli Apputi del corso di Matematica Geerale Le Serie Ao Accademico 2009/200 V. Lacagia - S. Piraio

Dettagli

Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi:

Insiemi numerici. Sono noti l insieme dei numeri naturali: N = {1, 2, 3, }, l insieme dei numeri interi relativi: Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme,

Dettagli

TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER

TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER I uo spazio euclideo di dimesioe fiita, ad esempio R 3, cosideriamo u sottospazio, ad esempio u piao passate per

Dettagli

LIMITI DI SUCCESSIONI

LIMITI DI SUCCESSIONI LIMITI DI SUCCESSIONI Formalmete, ua successioe di elemeti di u dato isieme A è u'applicazioe dall'isieme N dei umeri aturali i A: L'elemeto a della successioe è quidi l'immagie a = f) del umero secodo

Dettagli

QUESITO 1. Indicata con x la distanza della base superiore del cilindro dal vertice del cono si ha:

QUESITO 1. Indicata con x la distanza della base superiore del cilindro dal vertice del cono si ha: www.matefilia.it Scuole italiae all estero (Caledario australe) 005 QUESITO Prova che fra tutti i cilidri iscritti i u coo circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte di quella

Dettagli

Successioni e limiti di successioni

Successioni e limiti di successioni Successioi e limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 24 ottobre 2016 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva

Dettagli

Ottavio Serra La costante C di Eulero-Mascheroni e la funzione Gamma. 1. =

Ottavio Serra La costante C di Eulero-Mascheroni e la funzione Gamma. 1. = Ottavio Serra La costate C di Eulero-Mascheroi e la fuzioe Gamma la costate C di Eulero Mascheroi è defiita come il limite della seguete successioe: [] a = +/+/3+ +/ log(+) Il termie a è la differeza tra

Dettagli

Esercizi su serie numeriche - svolgimenti

Esercizi su serie numeriche - svolgimenti Esercizi su serie umeriche - svolgimeti Osserviamo che vale la doppia diseguagliaza + si, e quidi la serie è a termii positivi Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a + Ioltre valgoo le diseguagliaze

Dettagli

Esercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =

Esercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) = Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)

Dettagli

9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE

9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE 9 LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE Iiziamo ora ad esamiare gli argometi veri e propri di questa prima parte del corso, i cui svilupperemo gli strumeti per giugere a descrivere soddisfacetemete le proprietà

Dettagli

L Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche

L Ultimo teorema di Fermat e le terne Pitagoriche L Ultimo teorema di Fermat e le tere Pitagoriche Aspetto aritmetico e geometrico A cura di Fracesco Di Noto Eugeio Amitrao ( http://www.atuttoportale.it/) Coteuti dell articolo: Titolo Pag. Abstract.........

Dettagli

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1

Matematica. Corso integrato di. per le scienze naturali ed applicate. Materiale integrativo. Paolo Baiti 1 Lorenzo Freddi 1 Corso itegrato di Matematica per le scieze aturali ed applicate Materiale itegrativo Paolo Baiti 1 Lorezo Freddi 1 1 Dipartimeto di Matematica e Iformatica, Uiversità di Udie, via delle Scieze 06, 33100

Dettagli

FUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA

FUNZIONI RADICE. = x dom f Im f grafici. Corso Propedeutico di Matematica. Politecnico di Torino CeTeM. 7 Funzioni Radice RICHIAMI DI TEORIA Politecico di Torio 7 Fuzioi Radice FUNZIONI RADICE RICHIAMI DI TEORIA f ( x) = x dom f Im f grafici. = = =7 =9. dispari R R -. - -. - - -. Grafici di fuzioi radici co pari pari [,+ ) [,+ ).. = = =6 =8

Dettagli

Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO. 3 lim

Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO. 3 lim Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIETIFICO PIAO AZIOALE DI IFORMATICA CORSO SPERIMETALE Tema di: MATEMATICA (Sessioe ordiaria 2002) QUESTIOARIO 1 Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media

Dettagli

2.4 Criteri di convergenza per le serie

2.4 Criteri di convergenza per le serie 2.4 Criteri di covergeza per le serie Come si è già acceato i precedeza, spesso è facile accertare la covergeza di ua serie seza cooscere la somma. Ciò è reso possibile da alcui comodi criteri che foriscoo

Dettagli

3 LA RETTA REALE ESTESA

3 LA RETTA REALE ESTESA 3 LA RETTA REALE ESTESA Abbiamo visto che i cocetti di sup e if soo utili per descrivere proprietà di isiemi superiormete/iferiormete limitati. Per coprire co questi cocetti tutti gli isiemi abbiamo bisogo

Dettagli

16 - Serie Numeriche

16 - Serie Numeriche Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 6 - Serie Numeriche Ao Accademico 03/04 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S.

Dettagli

k=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se

k=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().

Dettagli

Esame di Stato di Liceo Scientifico- Sessione ordinaria 2003 Corso Sperimentale P.N.I. Tema di MATEMATICA

Esame di Stato di Liceo Scientifico- Sessione ordinaria 2003 Corso Sperimentale P.N.I. Tema di MATEMATICA L.Lecci\Sol. Problema 2\Esame di Stato di Liceo Scietifico\Sess. Ordiaria\Corso P.N.I.\ao23 Esame di Stato di Liceo Scietifico- Sessioe ordiaria 23 Corso Sperimetale P.N.I. Tema di MATEMATICA Problema

Dettagli

Corso di ordinamento Liceo della Comunicazione- Sessione ordinaria - a.s

Corso di ordinamento Liceo della Comunicazione- Sessione ordinaria - a.s Corso di ordiameto Liceo della Comuicazioe- Sessioe ordiaria - as 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO LICEO DELLA COMUNICAZIONE Tema di: MATEMATICA a s 9- Corso di ordiameto Liceo

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim. Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ

Dettagli

Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri.

Proposizione 1. Due sfere di R m hanno intersezione non vuota se e solo se la somma dei loro raggi e maggiore della distanza fra i loro centri. Laboratorio di Matematica, A.A. 009-010; I modulo; Lezioi II e III - schema. Limiti e isiemi aperti; SB, Cap. 1 Successioi di vettori; SB, Par. 1.1, pp. 3-6 Itori sferici aperti. Nell aalisi i ua variabile

Dettagli

SECONDO ESONERO DI AM1 10/01/ Soluzioni

SECONDO ESONERO DI AM1 10/01/ Soluzioni Esercizio. Calcolare i segueti iti: Razioalizzado si ottiee SECONDO ESONERO DI AM 0/0/2008 - Soluzioi 2 + 2, 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = Per il secodo ite ci soo vari modi, e mostro tre. Ora ( ) ( + si = +

Dettagli

Lezione 2. . Gruppi isomorfi. Gruppi S n e A n. Sottogruppi normali. Gruppi quoziente. , ossia, equivalentemente, se x G Hx = xh.

Lezione 2. . Gruppi isomorfi. Gruppi S n e A n. Sottogruppi normali. Gruppi quoziente. , ossia, equivalentemente, se x G Hx = xh. Prerequisiti: Lezioe Gruppi Lezioe 2 Z Gruppi isomorfi Gruppi S e A Riferimeti ai testi: [FdG] Sezioe ; [H] Sezioe 26; [PC] Sezioe 58 Sottogruppi ormali Gruppi quoziete L Esempio 7 giustifica la seguete

Dettagli

Esercizi sulle successioni

Esercizi sulle successioni Esercizi sulle successioi 1 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 2 3. a := 2 + 3 3 7 2 Verificare, attraverso la defiizioe, che la successioe coverge a 0. a := 4 + 3 3 5 + 7

Dettagli

ANALISI I. Note del corso tenuto dal Prof. Umberto Massari. Corso di Laurea Triennale in Chimica. Anno Accademico I NUMERI REALI

ANALISI I. Note del corso tenuto dal Prof. Umberto Massari. Corso di Laurea Triennale in Chimica. Anno Accademico I NUMERI REALI ANALISI I Note del corso teuto dal Prof. Umberto Massari Corso di Laurea Trieale i Chimica. Ao Accademico 7-8 I NUMERI REALI L argometo cetrale di questo corso di Aalisi I è lo studio delle pricipali proprietà

Dettagli

Esercitazioni di Geometria II

Esercitazioni di Geometria II Esercitazioi di Geometria II Letizia Perigotti - perigotti@sciece.uit.it 20 aprile 2012 Esercizio 1. Dimostrare che la famiglia degli itervalli chiusi e limitati B 1 = {[a, b] R : a < b} o è base di alcua

Dettagli

ANALISI MATEMATICA L-B, SERIE. n k=1. n=1

ANALISI MATEMATICA L-B, SERIE. n k=1. n=1 ANALISI MATEMATICA L-B, 2005-06. SERIE. Serie umeriche reali Defiizioe Cosideriamo ua successioe a,, di umeri reali. Che seso dare alla somma di tutti gli a? Si defiisce ua uova successioe S, ella maiera

Dettagli

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33) Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,

Dettagli

Esercizi sul principio di induzione

Esercizi sul principio di induzione Esercitazioi di Aalisi I, Uiversità di Trieste, lezioe del 0/0/008 Esercizi sul pricipio di iduzioe Esercizio Dimostrare per iduzioe che + + + ( + ), Risoluzioe Le dimostrazioi di ua proprietà P() per

Dettagli

Esponenziale complesso

Esponenziale complesso Espoeziale complesso P.Rubbioi 1 Serie el campo complesso Per forire il cocetto di serie el campo complesso abbiamo bisogo di itrodurre la defiizioe di limite per successioi di umeri complessi. Defiizioe

Dettagli

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 12/03/2015 Soluzioi del primo foglio di esercizi Esercizio 0.1. Ua classe di studeti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vegoo esposti i ua graduatoria

Dettagli

0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008

0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008 1 0.1 Esercitazioi V, del 18/11/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere usado Cramer il seguete sistema lieare x + y + z = 1 kx + y z = 0 x kz = 1 Soluzioe: Il determiate della matrice dei coefficieti è (k 2)(k

Dettagli

2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi

2 Criteri di convergenza per serie a termini positivi Uiversità Roma Tre L. Chierchia 65 (29//7) 2 Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questo paragrafo cosideriamo serie a termii positivi ossia serie a co a > 0. Si ricordi che ua serie a termii

Dettagli

1 Congruenze. Definizione 1.1. a, b, n Z n 2, allora definiamo a b (mod n) se n a b.

1 Congruenze. Definizione 1.1. a, b, n Z n 2, allora definiamo a b (mod n) se n a b. 1 Cogrueze Defiizioe 1.1. a, b, Z 2, allora defiiamo a b (mod ) se a b. Proposizioe 1.2. 2 la cogrueza mod è ua relazioe di equivaleza su Z. a a () perché a a a b () b a () a b () b c () a b b c a c =

Dettagli

SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1

SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1 SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle

Dettagli

( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ

( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) LE DERIVATE ( ) ( ) (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0 1. GENERALITÀ LE DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe A) Ituitiva. La derivata, a livello ituitivo, è u operatore tale che: a) ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe; b) obbedisce alle segueti regole di derivazioe: () D a

Dettagli

Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni

Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni Esercizi svolti su successioi e serie di fuzioi Esercizio. Calcolare il limite putuale di f ) = 2 +, [0, + ). Dimostrare che o si ha covergeza uiforme su 0, + ), metre si ha covergeza uiforme su [a, +

Dettagli

Stima di somme: esercizio

Stima di somme: esercizio Stima di somme: esercizio Valutare l'ordie di gradezza della somma k l (1 + 3 k ) Quado x

Dettagli

Convergenza di variabili aleatorie

Convergenza di variabili aleatorie Covergeza di variabili aleatorie 1 Covergeza quasi certa Ua successioe (X ) 1 di v.a. coverge quasi certamete alla v.a. X se: X X (P-q.c.), cioè P(X X) = 1, ove {X X} = {ω : X (ω) X(ω)} è l issieme di

Dettagli

Tutoraggio AM1 17/12/2015. sin(x) arctan(x) 2) lim sup / inf x 0 + cos(x) sin( 1 x ) e x2 cos 2 (x 3 ) x 2 + ln(3x + 2) δ(x) δ(x) =

Tutoraggio AM1 17/12/2015. sin(x) arctan(x) 2) lim sup / inf x 0 + cos(x) sin( 1 x ) e x2 cos 2 (x 3 ) x 2 + ln(3x + 2) δ(x) δ(x) = Tutoraggio AM1 17/12/2015 Per la parte teorica sui if e sup vedi le ote su iti iferiori e superiori di fuzioi. A) Date due successioi a },b }, mostrare le segueti proprietà (escludere i casi i cui si abbia

Dettagli

Elementi di calcolo combinatorio

Elementi di calcolo combinatorio Appedice A Elemeti di calcolo combiatorio A.1 Disposizioi, combiazioi, permutazioi Il calcolo combiatorio si occupa di alcue questioi iereti allo studio delle modalità secodo cui si possoo raggruppare

Dettagli

Correzione del primo compitino di Analisi 1 e 2 A.A. 2014/2015

Correzione del primo compitino di Analisi 1 e 2 A.A. 2014/2015 Correzioe del primo compitio di Aalisi e 2 A.A. 20/205 Luca Ghidelli, Giovai Paolii, Leoardo Tolomeo 5 dicembre 20 Esercizio Testo. Calcolare, se esiste, + 3 + 5 + + (2 ). 2 + + 6 + + 2 Soluzioe. Al deomiatore

Dettagli