Kangourou della Matematica 2006 finale nazionale italiana Mirabilandia, 8 maggio 2006

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1 LIVELLO ÉCOLIER E1. (5 punti ) Qual è il multiplo di 11 più vicino a 1000? E2. (7 punti ) Le lettere della parola ELA sono tutte distinte fra loro. Fa corrispondere ad ogni lettera di questa parola una cifra in modo tale che la parola ELA rappresenti il più piccolo numero di quattro cifre tutte distinte tra loro. antenendo questa scelta delle cifre, che numero è rappresentato dalla parola ALE? E3. (11 punti ) Sulla vetrina di una cartoleria campeggia la scritta (composta con lettere adesive) Disegna qui sotto la scritta che vedresti guardando la vetrina dall interno del negozio. E4. (14 punti ) Arturo dice sempre la verità, invece Bernardo mente sempre. Trova una affermazione che entrambi possano pronunciare. E5. (18 punti ) Quanti sono i numeri di 3 cifre (significative, cioè la cui prima cifra non sia 0), tali che 2 di esse comunque prese non differiscano per meno di 4? E6. (22 punti ) Hai a disposizione, nella quantità che desideri, mattonelle quadrate di tre misure diverse: i loro lati sono lunghi 1, 2 o 3 decimetri. Accostandole, senza sovrapporle e senza lasciare zone scoperte, puoi costruire un quadrato il cui lato misura 7 decimetri. Qual è il più piccolo numero di mattonelle che ti basta accostare e come vanno ripartite fra le diverse misure? Utilizza la quadrettatura per disegnare la figura che realizza la soluzione che hai trovato e spiega perché, secondo te, non basta un numero inferiore di mattonelle. (Puoi usare la quadrettatura anche per altri eventuali disegni che possano servire allo scopo.)

2 LIVELLO BENJAIN B1. (5 punti ) Le lettere della parola ELA sono tutte distinte fra loro. Fa corrispondere ad ogni lettera di questa parola una cifra in modo tale che la parola ELA rappresenti il più piccolo numero di quattro cifre tutte distinte tra loro. antenendo questa scelta delle cifre, che numero è rappresentato dalla parola ALE? B2. (7 punti ) Qual è la somma dei primi 40 numeri della sequenza: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,? (La regola con cui è costruita la sequenza è la seguente: ogni numero intero positivo, a partire da 1, viene ripetuto consecutivamente tante volte quale è il suo valore.) B3. (11 punti ) Osserva la figura: ABCD è un quadrato, è il punto medio di AB ed N è il punto medio di DA. I segmenti C e BN si incrociano in Y. Quanto misura l angolo NYC? Perché? A Y N D B C B4. (14 punti ) Quanti sono i numeri di 3 cifre (significative, cioè la cui prima cifra non sia 0), tali che 2 di esse comunque prese non differiscano per meno di 4? B5. (18 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi (almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare l interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal numero degli spicchi? (Ti suggeriamo di calcolare preliminarmente il minimo numero di colori sufficiente in ciascuno dei seguenti casi: gli spicchi sono 4, gli spicchi sono 5 e così via fino a 8.) B6. (22 punti ) Nell operazione indicata a lato ogni lettera rappresenta una cifra: lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse rappresentano cifre diverse; inoltre nessuna lettera rappresenta la cifra 0. Quanto vale il risultato? ORE = VIVE

3 LIVELLO CADET C1. (5 punti ) Il raggio dei due cerchi piccoli è un sesto del raggio del cerchio grande. Il raggio del cerchio di media misura è il doppio di quello dei cerchi piccoli. Quale frazione del cerchio grande è colorata in grigio? C2. (7 punti ) Una sbarra metallica, che per semplicità supponiamo filiforme e il cui punto medio è denotato con, è appoggiata in piedi contro un muro e aderisce ad una parete con cui il muro fa angolo. Il muro ed il pavimento sono di marmo molto lucido, per cui lentamente la sbarra scivola, mantenendosi sempre aderente alla parete, fino ad adagiarsi sul pavimento (la figura schematizza la posizione della sbarra in un singolo istante durante il movimento: la parete è simboleggiata dal foglio). Che traiettoria descrive sulla parete? otiva la tua affermazione. C3. (11 punti ) In figura sono rappresentati un rettangolo di base a e altezza b, ed un quadrato avente un vertice sulla diagonale del rettangolo e il vertice opposto in comune con il rettangolo. Che cosa si può dire circa i numeri che forniscono (rispetto alle opportune unità di misura) l area e il perimetro del rettangolo se il quadrato ha lato 2? C4. (14 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi (almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare l interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal numero degli spicchi? C5. (18 punti ) Nell operazione indicata a lato ogni lettera rappresenta una cifra: lettere uguali rappresentano cifre uguali e lettere diverse rappresentano cifre diverse; inoltre nessuna lettera rappresenta la cifra 0. Quanto vale il risultato? ORE = VIVE C6. (22 punti ) Considera i numeri di 3 cifre le cui cifre possano essere riordinate in modo da formare terne di cifre consecutive (ad es. le cifre di 786 si possono riordinare nella terna 678, costituita da cifre consecutive). Quanti di questi numeri hanno un numero dispari di divisori (diversi fra loro)?

4 LIVELLO JUNIOR J1. (5 punti ) Una sbarra metallica, che per semplicità supponiamo filiforme e il cui punto medio è denotato con, è appoggiata in piedi contro un muro e aderisce ad una parete con cui il muro fa angolo. Il muro ed il pavimento sono di marmo molto lucido, per cui lentamente la sbarra scivola, mantenendosi sempre aderente alla parete, fino ad adagiarsi sul pavimento (la figura schematizza la posizione della sbarra in un singolo istante durante il movimento: la parete è simboleggiata dal foglio). Che traiettoria descrive sulla parete? otiva la tua affermazione. J2. (7 punti ) Denotiamo con n un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che n punti di una circonferenza siano numerati da 1 a n in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non ordinata) di punti adiacenti consideriamo il valore assoluto della differenza dei due numeri corrispondenti; sommiamo quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo questa somma? J3. (11 punti ) Un cerchio è stato diviso in un certo numero di spicchi (almeno 4), ad esempio come in figura. Sei stato incaricato di colorare l interno di ogni spicchio in modo che tra due spicchi di ugual colore ce ne siano sempre almeno due di colore diverso, ma non conosci il numero degli spicchi del cerchio (quello in figura è solo un esempio!). Qual è il più piccolo numero di colori che ti garantirà di riuscirci, indipendentemente dal numero degli spicchi? J4. (14 punti ) Siano p e q due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali che non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra p e q. È vero che p + q è il prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra loro)? In caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa trova un contro-esempio. J5. (18 punti ) Considera i numeri di 3 cifre le cui cifre possano essere riordinate in modo da formare terne di cifre consecutive (ad es. le cifre di 786 si possono riordinare nella terna 678, costituita da cifre consecutive). Quanti di questi numeri hanno un numero dispari di divisori (diversi fra loro)? J6. (22 punti ) Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c è almeno un punto rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito. a) Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un punto blu. b) Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due punti blu. È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? otiva le tue risposte.

5 LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) Denotiamo con n un numero intero maggiore di 1 e supponiamo che n punti di una circonferenza siano numerati da 1 a n in un ordine del tutto casuale. Per ogni coppia (non ordinata) di punti adiacenti si consideri il valore assoluto della differenza dei due numeri corrispondenti; si sommino quindi tutti i valori assoluti così ottenuti. Quanto vale al minimo questa somma? S2. (7 punti ) Siano p e q due numeri primi, diversi fra loro ed entrambi diversi da 2, tali che non ci sia alcun numero primo strettamente compreso tra p e q. È vero che p + q è il prodotto di almeno tre numeri interi positivi maggiori di 1 (non necessariamente diversi tra loro)? In caso di risposta affermativa danne una motivazione, in caso di risposta negativa trova un contro-esempio. S3. (11 punti ) Considera, in un poligono regolare di 9 lati, la lunghezza delle diagonali più lunghe e quella delle diagonali più corte. Se il lato del poligono misura 1 centimetro, quanto vale la differenza di queste due lunghezze? S4. (14 punti ) Tutti i punti di un piano sono colorati o in rosso o in blu e c è almeno un punto rosso ed almeno un punto blu. Considera le due configurazioni proposte qui di seguito. a. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente un punto blu. b. Ogni circonferenza di raggio 1 centimetro giacente sul piano contiene esattamente due punti blu. È possibile che si verifichi a)? È possibile che si verifichi b)? otiva le tue risposte. S5. (18 punti ) Quattro numeri interi a, b, c, d, con a non nullo, sono scelti in modo che l insieme E dei numeri interi positivi n tali che an + b divide cn + d non sia finito. L insieme E può essere diverso dall insieme N dei numeri interi positivi? otiva la risposta. S6. (22 punti ) Un triangolo equilatero di lato n (n intero maggiore di 1) è suddiviso in n 2 piccoli triangoli equilateri utilizzando segmenti paralleli ai lati, come suggerito dalla figura. A tutti i punti della rete (vertici dei triangoli) che viene così realizzata è inizialmente associato il numero 0, tranne ai quattro punti marcati con, cui è associato il numero 1. Vogliamo fare in modo che a tutti i suddetti punti, compresi questi ultimi quattro, finisca per essere associato il numero 0 dopo aver eseguito un numero finito di mosse, ciascuna esclusivamente del tipo seguente: sommare 1 o -1 simultaneamente a ciascuno dei numeri nei quattro vertici di un qualunque rombo che sia formato dall unione di due degli n 2 triangoli equilateri piccoli. Per quali valori di n è possibile realizzare il progetto (e con quale strategia)?