C2. Congruenza. C2.1 Figure congruenti. C2.2 Relazione di equivalenza. C2.3 Esempi di relazioni di equivalenza

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1 2. ogrueza 2.1 igure cogrueti ue figure geometriche soo cogrueti se soo sovrappoibili perfettamete. Il simbolo di cogrueza è. cco alcui esempi di figure cogrueti: ue quadrati co i lati della stessa lughezza soo cogrueti. ue puti qualsiasi soo cogrueti. ue segmeti di lughezze diverse o soo cogrueti. ue rette soo sempre cogrueti. U triagolo e u quadrato o soo cogrueti. Gli agoli retti soo tutti cogrueti tra loro. Gli agoli piatti soo tutti cogrueti tra loro. 2.2 Relazioe di equivaleza Ua relazioe è detta di equivaleza se valgoo le segueti proprietà: o RILSSIV R o SIMMTRI se R allora R o TRNSITIV se R e R allora R 2.3 sempi di relazioi di equivaleza La relazioe essere ati lo stesso ao è ua relazioe di equivaleza. Ifatti: o RILSSIV oguo è ato il suo stesso ao e quidi R. o SIMMTRI se è ato lo stesso ao di allora è ato lo stesso ao di. o TRNSITIV se è ato lo stesso ao di e è ato lo stesso ao di allora è ato lo stesso ao di. La relazioe essere più alti di u altro o è ua relazioe di equivaleza. Ifatti: o RILSSIV chiuque o è più alto di sé stesso, quidi la riflessiva o vale. o SIMMTRI se è più alto di allora o è vero che è più alto di, e la simmetrica o vale. o TRNSITIV se è più alto di e è più alto di allora è più alto di, quidi la trasitiva vale. Per essere ua relazioe di equivaleza devoo valere tutte e tre, le prime due o valgoo e quidi la relazioe essere più alti di u altro o è ua relazioe di equivaleza. 2.4 La cogrueza è ua relazioe di equivaleza Ifatti: o RILSSIV ogi figura è sovrappoibile perfettamete a sé stessa. o SIMMTRI se è sovrappoibile a allora è sovrappoibile perfettamete ad. o TRNSITIV se è sovrappoibile perfettamete a e è sovrappoibile perfettamete a allora è sovrappoibile perfettamete a. Valgoo tutte e tre le proprietà duque la cogrueza è ua relazioe di equivaleza. 2.5 ogrueza come spostameto rigido Si può immagiare ua cogrueza come ua trasformazioe, ossia uo spostameto rigido. d esempio ua cogrueza è spostare a destra di 3 quadretti. Spostado ua figura a destra di 3 quadretti si ottiee ua figura cogruete a quella di parteza. osiderado la cogrueza come uo spostameto rigido allora la si può applicare a u oggetto i ua certa posizioe otteedo u oggetto cogruete ad esso i u altra posizioe. I tal modo ua cogrueza trasforma: o Rette i rette. o Segmeti i segmeti. o goli i agoli. 2.6 ogrueza e uguagliaza ssere cogruete NON VUOL IR essere uguale. I u codomiio capita spesso che gli appartameti uo sopra l altro siao cogrueti, ma o è vero che il primo appartameto è uguale al secodo. ltrimeti il sigor Rossi del primo piao e il sigor iachi del secodo piao abiterebbero ella stessa casa! Quidi due quadrati cogrueti o soo lo stesso quadrato, ma soo due diversi quadrati. ssedo sovrappoibili perfettamete soo cogrueti, ma soo diversi. Il simbolo di uguagliaza i matematica ha seso solo se le due quatità, quella prima del simbolo e quella dopo il simbolo, soo esattamete la stessa cosa. iò o accade per due figure cogrueti, i quato esse, occupado posizioi differeti ello spazio, o soo la stessa figura. Teoria 2-1

2 2.7 Lughezza e ampiezza Tutti i segmeti cogrueti tra loro hao qualcosa i comue che viee chiamato lughezza. Tutti gli agoli cogrueti tra loro hao qualcosa i comue che viee chiamato ampiezza. 2.8 ostruzioi geometriche Quado si vuole eseguire ua costruzioe geometrica, secodo la geometria uclidea, si possoo utilizzare esclusivamete ua riga e u compasso o graduati. No è duque permesso misurare i cm co il righello! Nelle costruzioi che seguirao si cercherà di seguire tale procedura. ostruzioe (trasporto di u segmeto) ato u segmeto e ua semiretta r di origie O è possibile costruire u segmeto O che giace sulla semiretta ed è cogruete ad. Si deve tracciare, utilizzado il terzo postulato di uclide, la circofereza di cetro O e di raggio di lughezza. ssa iterseca la semiretta r el puto, e il segmeto O è cogruete al segmeto. I pratica si apre il compasso co ampiezza e si traccia poi la circofereza co cetro O e raggio di lughezza. O O ig. 2.1 Trasporto di u segmeto. ostruzioe (trasporto di u agolo) ato u agolo ˆ è possibile costruire uo cogruete. Si effettui per esercizio questa costruzioe utilizzado il procedimeto seguete: ato l agolo ˆ si utilizzi il compasso e si tracci ua circofereza di cetro e apertura a piacere che itersechi i due lati dell agolo i e. Si tracci poi ua semiretta r di origie. Si disegi poi la circofereza di cetro e raggio che itersechi la semiretta r i. Si disegi poi la circofereza di cetro e raggio. ssa iterseca la circofereza precedete i. Si tracci la semiretta di origie passate per e si ottiee così l agolo ˆ cogruete ad ˆ. 2.9 ofroto tra segmeti ati due segmeti è possibile cofrotarli, ossia capire se uo dei due è maggiore o miore dell altro. Siao dati i segmeti e i figura 2.2. Si sovrappoe co, si sovrappogoo per quato possibile i due segmeti e si cofrotao e. Se si trova tra e, duque è miore di, e è maggiore di. Si scrive <. ig. 2.2 ofroto tra segmeti. Se, al cotrario, fosse a trovarsi tra e allora il segmeto sarebbe miore di, e maggiore di. Se e coicidessero allora i due segmeti sarebbero cogrueti e si scriverebbe Somma e differeza di segmeti Somma di segmeti ati i segmeti e si può costruire, come mostrato ella figura seguete, u segmeto cogruete a ed adiacete ad. Il segmeto è la somma di e e si scrive +. Teoria 2-2

3 ig. 2.3 Somma di segmeti. iffereza di segmeti ati i segmeti e si sovrappoe co e si sovrappogoo per quato possibile i due segmeti. Il segmeto è la differeza di e. Nella sottrazioe va scritto prima il segmeto maggiore dei due che i questo caso è, quidi si scrive -. Multiplo di u segmeto ato N si idica co il segmeto cogruete a ++ + ( volte). è multiplo di. ostruzioe (multiplo di u segmeto) ostruzioe di =3. ato il segmeto si tracci ua semiretta r qualsiasi di origie. Si disegi la circofereza avete cetro e raggio. ssa icotra la semiretta r i u puto. Si disegi la circofereza avete cetro e raggio. ssa icotra la semiretta r i e i u altro puto. Si tracci, ifie la circofereza avete cetro e raggio. ssa icotra la semiretta r i e i u altro puto. Il segmeto è 3 volte il segmeto. ig. 2.4 iffereza tra segmeti. ig. 2.5 ostruzioe del multiplo di u segmeto. Sottomultiplo di u segmeto Si idica co 1 il segmeto tale che ++ ( volte). ostruzioe (sottomultiplo di u segmeto) Per effettuare la costruzioe del sottomultiplo di u segmeto è ecessario utilizzare alcue ozioi (rette parallele e teorema di Talete) che sarao trattate i capitoli successivi. iò oostate si preseta comuque qui la costruzioe per motivi di completezza. ostruzioe di 1 4 ato il segmeto si tracci ua semiretta r di origie co r. Si tracci ua circofereza di cetro e raggio a piacere. ssa icotra la semiretta r i 1. Si tracci ua circofereza di cetro 1 e raggio uguale al precedete. ssa icotra la semiretta r i 1. Teoria 2-3

4 Si tracci ua circofereza di cetro 1 e raggio uguale al precedete. ssa icotra la semiretta r i G 1. Si tracci ua circofereza di cetro G 1 e raggio uguale al precedete. ssa icotra la semiretta r i H 1. Si tracci la retta s passate per e H 1. Si tracci la retta t parallela a s passate per G 1. ssa icotra il segmeto i G. Si tracci la retta u parallela a s passate per 1. ssa icotra il segmeto i. Si tracci la retta v parallela a s passate per 1. ssa icotra il segmeto i. Il segmeto è il segmeto cercato Puto medio di u segmeto ig. 2.6 ostruzioe del sottomultiplo di u segmeto. ato u segmeto è detto puto medio del segmeto quel puto M tale che M M. ostruzioe (puto medio di u segmeto) ato il segmeto si traccio le circofereze di cetri e e raggio. sse si icotrao i due puti e. Si tracci la retta. ssa icotra il segmeto el puto medio M. ig. 2.7 ostruzioe del puto medio di u segmeto. Si oti che co tale costruzioe si riesce ache a determiare la retta perpedicolare ad. Teoria 2-4

5 2.12 ofroto fra agoli ati due agoli è possibile cofrotarli, ossia capire se uo dei due è maggiore o miore dell altro. Siao dati gli agoli ˆ e ˆ i figura 2.8. Si sovrappoe il lato co il lato e si cofrotao i lati ed. Il lato si trova detro l agolo ˆ, quidi ˆ è miore di ˆ e ˆ è maggiore di ˆ Somma e differeza di agoli ig. 2.8 ofroto di agoli. ati due agoli ˆ e ˆ si sovrappoe co. La somma di ˆ e ˆ è l agolo ˆ e si scrive ˆ + ˆ. ˆ ig. 2.9 Somma di agoli. ati due agoli ˆ e ˆ si sovrappoe co. Nella differeza va messo prima il maggiore dei due che è. ˆ La differeza di ˆ e ˆ è l agolo ˆ e si scrive - ˆ ˆ. ˆ ig iffereza di agoli. Osservazioe Sommado o sottraedo agoli cogrueti si ottegoo agoli cogrueti. Se, ad esempio, sappiamo che α γ e β δ, allora è vero che α+β γ+δ ed è vero ache che α-β γ-δ. Multiplo di u agolo ato N si idica co α β l agolo α cogruete a β+β+ +β ( volte). α è multiplo di β. I tal caso si può ache dire che β sia sottomultiplo di α e si scrive β 1 α. Osservazioe ato u agolo è sempre possibile dividerlo i parti cogrueti tra loro. No è detto che ciò sia semplice, e o eache detto che sia possibile effettuare tale costruzioe utilizzado solamete la riga e il compasso. I particolare o è possibile dividere u agolo qualsiasi i tre parti cogrueti utilizzado solamete riga e compasso. possibile ivece dividere u agolo i due parti cogrueti utilizzado ua costruzioe co riga e compasso. La bisettrice di u agolo è la semiretta uscete dal vertice che divide l agolo i due parti cogrueti tra loro. ostruzioe (bisettrice) ato u agolo di vertice si tracci ua circofereza di cetro e raggio a piacere. ssa icotra i due lati dell agolo i due puti e. Si traccio le circofereze di cetri e e raggio. sse si icotrao i u puto. Teoria 2-5

6 La semiretta avete origie e passate per è la bisettrice dell agolo dato efiizioi relative agli agoli ig ostruzioe della bisettrice di u agolo. La bisettrice di u agolo piatto lo divide i due parti uguali. Ogua di queste è detta agolo retto. L agolo retto è l agolo che ha come ampiezza la metà di u agolo piatto, ed è idicato co π/2. U agolo miore di u agolo retto è detto acuto. U agolo maggiore di u agolo retto e miore di u agolo piatto è detto ottuso. ig golo retto golo acuto golo ottuso goli complemetari ue agoli soo detti complemetari se la loro somma è u agolo retto. ue agoli soo detti supplemetari se la loro somma è u agolo piatto. ue agoli soo detti esplemetari se la loro somma è u agolo giro. Nella figura 2.13 a siistra ˆ e ˆ soo supplemetari, metre a destra ˆ e ˆ soo complemetari. ig goli supplemetari e complemetari. Teoria 2-6

7 2.15 lcui teoremi relativi agli agoli possibile ora dimostrare alcui teoremi relativi agli agoli. Spesso è opportuo utilizzare u disego che permetta di compredere la dimostrazioe. Teorema 2.15a I complemetari di agoli cogrueti soo ach essi cogrueti. IPOTSI: α α. β complemetare di α, β complemetare di α. TSI: β β. IMOSTRZION: per ipotesi α+β π/2, α +β π/2 e α α. alle prime due relazioi si ha che α+β α +β da cui segue α+β-α β. osiderado che α α si ottiee che β β. Teorema 2.15b ue agoli opposti al vertice soo cogrueti. IPOTSI: α e β soo agoli opposti al vertice. TSI: α β. IMOSTRZION: al disego si vede che α e β soo supplemetari di γ. uque α+γ π e β+γ π. a ciò segue che α+γ β+γ, da cui α+γ-γ β e ifie α β. α γ β 2.16 Misura di segmeti e agoli ig goli opposti al vertice soo cogrueti. ue segmeti soo detti commesurabili se hao u sottomultiplo comue. O ig Segmeti commesurabili. I segmeti e i figura 2.15 soo commesurabili, i quato il segmeto O è sottomultiplo di, i quato 2O, ed è ache sottomultiplo di, i quato 3O. Potrebbe sembrare ovvio che, dati due qualsiasi segmeti, sia sempre possibile dividerli i parti abbastaza piccole da determiare u sottomultiplo comue. cco, questa era esattamete la covizioe ai tempi di Pitagora, covizioe dimostratasi poi LS. sistoo quidi coppie di segmeti che o hao sottomultipli comui e soo detti icommesurabili. L esempio classico di segmeti icommesurabili è dato dal lato di u qualsiasi quadrato e dalla sua diagoale. ire che due segmeti e soo commesurabili equivale a dire che esistoo due umeri iteri m ed tali che m. iò equivale a dire che m, ossia che esiste u umero razioale m tale che m. ue segmeti soo ivece icommesurabile se tale umero razioale o esiste. iò o vuol dire che i due segmeti o siao cofrotabili, perché ache se o esiste u umero razioale m umero reale k tale che k. tale che m Procedimeto per misurare u segmeto Si fissao u puto O e u puto su ua retta e si fissa ua uità di misura u O. Si dice che il segmeto ha misura ku se ko. Si dice che i puti e hao distaza ku. Se i figura 2.15 si cosidera u O è ovvio che 2u e 3u. Per misurare gli agoli si usa come uità di misura l agolo piatto π, che equivale a 180., esiste comuque u Teoria 2-7