24/03/2012 APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA LEZIONE 2-3. definizione 26-29/3/2012

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1 PPUNTI DI GEOMETRI EULIDE LEZIONE /3/2012 definizione un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni un triangolo è un l intersezione di tre angoli convessi che hanno i vertici in tre punti non allineati 1

2 definizioni vertice vertice vertice i vertici sono i punti estremi dei tre lati del triangolo Vertice opposto al lato un vertice è opposto a un lato di un triangolo se è quello che non appartiene al lato stesso angolo interno angolo interno angoli interni di un triangolo sono quelli individuati da ciascuna delle coppie dei lati angolo compreso tra i lati e angolo interno si indicano, anche, con la sola lettera relativa al vertice:,, un angolo interno è compreso fra due lati quando i lati dell angolo contengono i due lati del triangolo angoli adiacenti al lato un angolo interno è adiacente a un lato quando uno dei due lati dell angolo contiene quel lato del triangolo per ogni lato di un triangolo ci sono due angoli adiacenti angolo esterno di vertice angolo esterno di vertice gli angoli esterni di un triangolo sono quelli adiacenti agli angoli interni per ogni angolo interno di un triangolo ci sono due angoli esterni a esso corrispondenti 2

3 D in un triangolo la bisettrice relativa al vertice è il segmento costituito dai punti della bisettrice dell angolo in che sono anche punti del triangolo incentro è il punto di incontro delle tre bisettrici degli angoli interni in un triangolo la mediana relativa a un lato è il segmento che ha per estremi il punto medio del lato e il vertice opposto a quel lato M ~ ~ baricentro è il punto di incontro delle tre mediane H in un triangolo l altezza relativa a un lato è il segmento che, partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso o il suo prolungamento formando con esso due angoli retti ortocentro è il punto di incontro delle tre altezze 3

4 un triangolo è equilatero quando ha i tre lati congruenti un triangolo è scaleno se ha i tre lati fra loro non congruenti un triangolo è isoscele quando ha due lati congruenti vertice lato obliquo angolo alla base lato obliquo angolo alla base base 4

5 cateto ipotenusa cateto un triangolo rettangolo è un triangolo con un angolo retto un triangolo ottusangolo è un triangolo con un angolo ottuso un triangolo acutangolo è un triangolo con tutti gli angoli acuti 5

6 due triangoli sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto i criteri di congruenza dei triangoli permettono di stabilire la congruenza confrontando fra loro coppie di lati e coppie di angoli e non tutte le coppie di punti i criteri di congruenza dei triangoli mettono in relazione tre elementi del primo triangolo con i tre corrispondenti del secondo triangolo 6

7 se un triangolo è isoscele allora ha due angoli congruenti α β ~ ~ ipotesi tesi α β 7

8 dimostrazione - costruzione 8

9 inverso se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele α β ~ ~ Ipotesi α β tesi condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli congruenti corollario condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia equilatero che abbia tutti gli angoli congruenti se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base 9

10 se consideriamo un triangolo allora ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso dimostrazione - costruzione corollari la somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto un triangolo non può avere due (o più) angoli retti, né due (o più) angoli ottusi gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti 10

11 in ogni triangolo non equilatero a lato maggiore si oppone angolo maggiore > > inverso in ogni triangolo non equilatero ad angolo maggiore si oppone lato maggiore 11

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