Didattica della matematica. Le isometrie. Prof. ssa Maria Rosa Casparriello

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1 Didattica della matematica Le isometrie Prof. ssa Maria Rosa Casparriello Scuola media TdeiL Anno 2012/2013

2 isometrie RIFERIMENTO AL PECUP: adoperare il linguaggio ed i simboli della matematica per indagare con metodo la causa di fenomeni problematici per spiegarli e rappresentarli. Particolarmente attraverso attività di risoluzione di problemi in contesti vari; dare prova di competenze progettuali ed immaginative. Osservare la realtà per riconoscervi relazioni tra oggetti o grandezze, regolarità, differenze, invarianze o modificazioni nel tempo e nello spazio.

3 isometrie PREREQUISITI Conoscere le principali proprietà delle figure piane;

4 isometrie Conoscenze e abilità: Acquisire il concetto di trasformazione geometrica e di isometria; Conoscere le caratteristiche di ogni isometria: traslazione, rotazione, simmetria assiale e centrale; Essere in grado di costruire figure che si corrispondono in una isometria; Riconoscere simmetrie assiali e centrali nei poligoni.

5 isometrie Isometrie: trasformazioni di figure piane in figure ad esse congruenti. Dal dizionario di italiano: corrispondenza tra due superfici per la quale la distanza tra due punti della prima è uguale alla distanza dei punti corrispondenti della seconda. (che ne pensate di questo vocabolario????) Meglio su wikipedia: in matematica e in particolare in geometria si definisce isometria (o trasformazione rigida) una trasformazione che nn modifica le distanze tra i punti (e di conseguenza gli angoli). In effetti isometria è sostantivo derivante dal greco: iso=stesso Metros= misura.

6 isometrie Le isometrie possono essere dirette o inverse. Dirette: Traslazione; Rotazione; Simmetria centrale (se ruota di 180 ) Inverse : Simmetria assiale

7 isometrie

8 isometria

9 isometrie def: L isometria è una trasformazione del piano in sé che associa a due punti qualsiasi A e B del piano due punti A e B dello stesso piano tali che il segmento AB e il segmento A B abbiano la stessa lunghezza.

10 isometria Due figure che si corrispondono in una isometria si dicono isometriche : per esempio tutti i pesci della prima figura sono isometrici fra loro e i due pesci della seconda figura sono tra loro isometrici.

11 isometrie Importanti proprietà. Una isometria: trasforma rette in rette; conserva l allineamento dei punti; trasforma semirette in semirette; trasforma segmenti in segmenti; e ancora: rette parallele si trasformano in rette parallele e ad ogni angolo corrisponde un angolo congruente. In una trasformazione gli elementi e le proprietà che non si modificano sono detti INVARIANTI.

12 isometrie Gli invarianti di una isometria sono: la lunghezza dei segmenti l allineamento dei punti il parallelismo l incidenza tra rette l ampiezza degli angoli.

13 Teorema di Pitagora Le simmetrie di base sono: La simmetria assiale. Per far coincidere le figure dobbiamo eseguire un ribaltamento, un movimento che porta le figure di sopra fuori dal piano in cui giacciono per poi ritornarci ribaltate.

14 Teorema di Pitagora Le simmetrie centrali. Rotazioni di 180 di cui P è il centro di simmetria con verso orario o antiorario

15 isometrie Le traslazioni. Il movimento di scorrimento o traslazione avviene nel piano che contiene le due figure.

16 isometrie Rotazioni. Il movimento di rotazione avviene nel piano che contiene le due figure.

17 isometrie Ricapitoliamo: Le caratteristiche di una figura che in una trasformazione geometrica rimangono inalterate si dicono invarianti. Le trasformazioni in cui la forma e l estensione non variano si dicono isometrie o trasformazioni isometriche. Queste trasformazioni mantengono inalterate tutte le caratteristiche misurabili: lunghezza dei lati, ampiezza degli angoli etc. Le isometrie trasformano le figure in figure congruenti.

18 isometrie In particolare: le traslazioni e le rotazioni sono movimenti DIRETTI perché le figure non escono dal piano cui appartengono. Le due figure si dicono per questo direttamente congruenti.

19 isometrie SIMMETRIE ASSIALI SONO movimenti INVERSI perché per coincidere le figure devono fare Le un movimento che le porta nello spazio fuori dal piano cui appartengono. In questo caso le figure si dicono INVERSAMENTE CONGRUENTI.

20 LA TRASLAZIONE ISOMETRIE

21 ISOMETRIA

22 ISOMETRIE

23 TRASLAZIONE Il poligono in figura ha subito una traslazione: è stato spostato parallelamente a se stesso dalla posizione 1 ( r) alla posizione 2 (r ), come se fosse stata fatta scorrere lungo dei binari (blu). I seg. AA, BB sono tutti paralleli, individuano cioè una direzione. Su questa direzione è anche individuato un verso (quello che va da A verso A ). I seg. AA, BB,.. Sono congruenti, quindi individuano una stessa lunghezza o intensità.

24 Traslazione La traslazione è una trasformazione isometrica individuata da un vettore detto vettore traslazione che fornisce: Direzione; Verso; Intensità dello spostamento.

25 Isometrie la traslazione Proprietà: A retta parallele corrispondono rette parallele. A una retta corrisponde una retta. A rette incidenti corrispondono rette incidenti. La traslazione conserva la misura della lunghezza dei segmenti. La traslazione conserva la misura dell' ampiezza degli angoli e quindi anche la perpendicolarità. A ogni figura corrisponde una figura ad essa congruente.

26 la traslazione in natura Molti materiali, sia naturali che artificiali, sono caratterizzati da una struttura microscopica che si ripete sempre più o meno uguale (fino alla regolarità estrema dei cristalli).ci sono svariati casi in cui è però possibile trovare traslazioni di una regolarità talvolta sorprendente anche di dimensioni macroscopiche e quindi visibili ad occhio nudo:

27 Le traslazioni in arte

28 Le traslazioni in arte

29 Le traslazioni in arte

30 Le traslazioni in arte

31 RACCONTO TRATTO DAL Piccolo principe Come un fiore spiega al piccolo principe del noto romanzo di Antoine de Saint -Exupery: C'erano sempre stati sul pianeta del piccolo principe, dei fiori molto semplici, ornati di una sola raggiera di petali, che non tenevano posto e non disturbavano nessuno. Apparivano un mattino nell'erba e si spegnevano la sera. Ma questo era spuntato un giorno, da un seme venuto chissà da dove, e il piccolo principe aveva sorvegliato da vicino questo ramoscello che non assomigliava a nessun altro ramoscello. Poteva essere una nuova specie di baobab. Ma l'arbusto cessò presto di crescere e cominciò a preparare un fiore. (.) "Come sei bello!" "Vero", rispose dolcemente il fiore, "e sono nato insieme al sole..." Il piccolo principe indovinò che non era molto modesto, ma era così commovente! "Come fai ad essere così bello?" "Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico..." "Non capisco" rispose il piccolo principe spiazzato dall'uscita del fiore." Ora ti spiego" disse superbamente il fiore. "In natura esistono tantissime simmetrie" "E a cosa servono? " "Beh, a fare i fiori belli, non c'è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare.

32 RACCONTO TRATTO DAL Piccolo principe Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai? "" Cosa?" " Ad esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...l'uomo! " "Mai stata neve né api sul mio pianeta " Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore. " Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello". Così l'aveva ben presto tormentato con la sua vanità ombrosa. Per esempio, un giorno, parlando delle sue quattro spine, gli aveva detto: "Possono venire i leopardi, con i loro artigli!" "Non ci sono leopardi sul mio pianeta " aveva obiettato il piccolo principe "e poi i leopardi non mangiano l'erba". "Io non sono un'erba", aveva dolcemente risposto il fiore. "Scusami". "Non ho paura dei leopardi, ma ho orrore delle correnti d'aria... Non avresti per caso un paravento? Alla sera mi metterai al riparo sotto a una campana di vetro. Fa molto freddo qui da te... Da dove vengo io..." Ma si era interrotto. Era venuto sotto forma di seme. Non poteva conoscere nulla degli altri mondi. Umiliato, aveva tossito un paio di volte per mettere il piccolo principe dalla parte del torto. "E questo paravento?" "Andavo a cercarlo, ma tu mi parlavi!" Allora aveva forzato la sua tosse per fargli venire dei rimorsi. Così il piccolo principe, nonostante tutta la buona volontà del suo amore, aveva cominciato a dubitare di lui." Avrei dovuto non ascoltarlo" mi confidò un giorno "non bisogna mi ascoltare i fiori". Basta guardarli e respirarli. Il mio, profumava il mio pianeta, ma non sapevo rallegrarmene. I fiori sono così contraddittori! Ma ero troppo giovane per saperlo amare. "

33 Le traslazioni in arte