Le relazioni che abbiamo ricavato verranno utilizzate per poter descrivere le situazioni realmente presenti sulle singole orbite.

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1 Caratteristiche orbitali teoriche del Sistema Solare n m q C n 0 0 C s 0 0 R n 0 6 R 0 6 R s 0 6 T g R N 0 6 R maxa 0 6,706, ,9 8,,7, ,5 5 9, 5,09 vuota,967, ,6 985,6, Chirone,55, , 09 5,00 99,77 08 vuota,065,0 778,5 780, 778, 5,0 6 0,958 69,0 vuota 0,905 65, vuota 0,785 6, fascia 0,6776 6,0 dei 0, ,5 pianetini 5 0,5 0,550,, 7,9 666,8 0,0 6,7 5 0,695 66,0 vuota 6 0,57 0,9 5,7 5,8 9,6 80,9 0,59, 6 0,9 5, vuota 7 0,87 0,789,9,9 08, 9,8 0,69,9 8 0,88 86,50 vuota 9 0,0 68, vuota 0 0,7 0,70 55,6 57,8 57,8 87,77 0,0 0,77 0,6 5,75 0,59 8, Le relazioni che abbiamo ricavato verranno utilizzate per poter descrivere le situazioni realmente presenti sulle singole orbite. 0

2 Bisogna tenere presente che neicalcoli abbiamotrascurato sia l azione degli spazi rotanti di ordine superiore che l interazione tra i diversi pianeti. Di quest ultimo effetto possiamo tener conto con alcune considerazioni solo qualitative. Dal valore del raggio d azione dei pianeti, R maxa, e dalle distanze R n tra le orbite, si vede che risulta sempre R n R maxa e questo assicura una interazione tra i pianeti complessivamente trascurabile con una conseguente stabilità del sistema. Per quanto riguarda l occupazione delle orbite possibili, valgono le seguenti considerazioni. Sappiamo che il pianeta Plutone presenta un orbita molto eccentrica con afelio alla distanza dal Sole R APl K m. Notando che tale valore si può essere ottenuto con : R 0 R K m K m possiamo pensare che il pianeta abbia abbandonato da poco tempo l orbita circolare minima R 0 della fascia esterna per iniziare il moto nella falda spaziale successiva associata all orbita circolare stabile di raggio minimo R K m associata al numero quantico n, con una eccentricità iniziale : e i R n - R Pl , 5 dunque, anche se la prima orbita solare osservabile ha raggio medio R Pl, il punto più lontano dal quale partono le masse che " entrano " nel sistema Solare ò R 0. Dall osservazione astronomica sappiamo che tra R 0 e R 0 si estende una zona nella quale si muovono particelle delle più svariate dimensioni.

3 Questa fascia, detta di Kuiper, comprende tutte le orbite solari, più o meno stabili, che si trovano subito oltre il punto neutro tra il Sole ed il sistema stellare locale nel quale esso orbita. Esistono attualmente molti altri piccoli corpi celesti che hanno seguito la via di Plutone, chiamati per questo Plutini, i quali abbandonano oggi l orbita circolare minima R, associata a n, per passare all orbita successiva, associata a, iniziando dall afelio R A R K m. Quando il pianeta Urano si trova all afelio, il suo raggio d azione si estende fino ad una distanza dal Sole pari a : d A R AU R maxau K m K m esso è quindi in grado di " svuotare " gradualmente l orbita avente raggio R n 0 6 K m, in corrispondenza della quale dalla osservazione astronomica non si rileva alcun corpo in orbita. Quando Giove si trova in prossimità dell afelio e del perielio, la sua azione attrattiva si estende fino a : d A K m K m d P K m K m Se consideriamo l approssimazione del calcolo, non possiamo escludere che il pianeta riesca a svuotare, in un lungo tempo, l orbita avente raggio R n K m e comunque, certamente, svuota quelle associate a ; con raggio R n K m ed a con R n 65, 0 6 K m. Il raggio d azione del pianeta Marte all afelio si estende fino a : d A 9, 6,7 0 6 K m 55, K m L osservazione astronomica riferisce che tra Giove e Marte si trova un anello di asteroidi che,secondo i nostri calcoli,si trova "confinato"

4 esattamente tra i punti in cui non si manifesta più l azione attrattiva di questi due pianeti. La situazione delleorbite nella zona dei pianetini è quella rappresentata in figura 7. La maggiore aggregazione di masse si ha in corrispondenza delle orbite stabili. Per poter avere in tutta la fascia un solo pianeta, è necessario che si abbia una massa con capacità di aggregare tutte le particelle sparse nella fascia. Se pensiamoquesta massa localizzata sull orbita stabile centrale, associata al numero quantico n ; raggio d azione minimo dovrà essere : di raggio R n 6, 0 6 K m, il suo R maxa 6,59,5 0 6 K m 0, K m Il valore minimo della massa necessaria si ricava dalla : R maxa m X m S R p

5 e quindi, con i valori numerici, si ottiene : m X R maxa m s 0,8 6,, K g, K g R P In alternativa, si potrebbe avere un pianeta su ciascuna orbita stabile ed in questo caso, per poter svuotare tutta la fascia, essi dovrebbero avere : R maxa 580 6, 0 6 K m 8, K m R maxa 6 59, K m 86, K m D altra parte, per poter restare stabilmente sulle loro orbite, i due pianeti devono esercitare una forza gravitazionale trascurabile sia tra loro che con i pianeti confinanti, quindi è anche necessario che si abbia : R maxa 6, K m 5, 0 6 K m R maxa 6 59, K m 86, K m Per avere dunque la fascia degli asteroidi " pulita ", con solo due pianeti in orbita stabilmente, in definitiva, dovrà essere : R maxa 5, 0 6 K m ; R maxa 86, K m Si ricavano così i valori delle masse necessarie : m 5, 6,, K g 88, 0 K g m 86,5 6, K g 88, 9 0 K g Se dunque fosse disponibile in tutta fascia dei pianetini una massa complessiva m m m 7767, 0 K g, progressivamente si formerebbero,sulle due orbite stabili,due pianeti aventi praticamente la stessa massa. 5

6 Un valore minore della massa complessiva porterebbe alla formazionedegli anelli di particelle di piccole dimensioni, mentre con un valore piu elevato si avrebbe la loro graduale unione in un solo pianeta. L osservazione astronomica riferisce però della presenza nella fascia di una massa complessiva estremamente ridotta e dunque,anche se sulle orbite si aggregano asteroidi aventi dimensioni apprezzabili, resteranno sempre piccole masse sparse in tutta la fascia, che non sarà possibile aggregare. Secondo la teoria che abbiamo finora esposto, le caratteristiche del motodi rotazione su se stessa di una qualsiasi sfera materiale, in equilibrio in uno spazio rotante, è definita solo dal momento angolare complessivo dei suoi satelliti. Infatti,ciascuno di essi fornisce una componente perpendicolare al suo piano orbitale e la somma vettoriale ditutte le componenti associate aisatellitideve assumere la direzione dell asse di rotazione della sfera centrale secondo la schematizzazione di figura 8. con riferimento alla figura, abbiamo: M M M e, per avere M sul piano equatoriale, dovrà essere M a M b e quindi : M sen M sen per angoli piccoli, si può scrivere sen e quindi : M M 5 6

7 Nel Sistema Solare sono note le inclinazioni delle orbite rispetto all eclittica e quindi l inclinazione rispetto al piano equatoriale risulta : S ST T 7, 5 T Per tutti i pianeti del Sistema Solare, approssimativamente, si ricava : n m n V n R n n n m n C n n K m K sec g Se possiamo trascurare la massa presente complessivamente in orbita nella fascia dei pianetini, il momento angolare mancante, richiesto per l equilibrio, deve essere fornito dalla fascia di Kuiper e dunque, se utilizziamo questa condizione, possiamo fare una stima della massa in essa presente. Assumiamo per la fascia di Kuiper il raggio medio : R K K m K m la velocità orbitale media vale : V K K S R K, 5 Km sec Dato che il pianeta Plutone deve essere arrivato nella posizione attuale dalla ultima orbita stabile della fascia, l inclinazione della fascia di Kuiper rispetto all asse solare, deve essere, approssimativamente, coincidente con quella dell orbita di plutone e quindi si può assumere : k ST Pl 7, 5 7, 98 9, 8798 Per l equilibrio del momento angolare, dovrà dunque essere : m K V K R K K n m n V n R n n da cui si ricava la massa che deve essere presente nella fascia di Kuiper : m K n m n V n R n n V K R K K 70, 7 0 K g 6 7

8 Per i motivi che abbiamo già considerato a proposito della fascia dei pianetini, la massa risulta estremamente ridotta rispetto alla larghezza della fascia, per cui l aggregazione completa risulta praticamente impossible e quindi essa è destinata a restare in orbita come detriti e piccoli aggregati. Da quanto abbiamo finora visto, risulta chiaro che la direzione dell asse di rotazione di una sfera planetaria qualsiasi, in orbita in uno spazio rotante centrale, in assenza di satelliti, viene imposta dallo spazio rotante centrale con una rotazione sincronae risulta sempre parallela alla direzionedell asse della sfera centrale. Se la sfera planetaria "cattura"masse satelliti nel suo spazio rotante, essendo il piano orbitale dipendente unicamente dalla posizione iniziale del satellite nel momento dellacattura,la direzione dell asse di rotazione acquistato definitivamente del pianeta ( come risultante del momento angolare di tutti i suoi satelliti ) sarà puramente casuale ed indipendente dallo spazio rotante centrale. In pratica questa indipendenza non può realizzarsi pienamente, in quanto ciascun sistema subordinato deve soddisfare il principio di conservazione del momento angolare e la rotazione che viene imposta al pianeta dal satellite costituisce una perturbazione per l equilibrio preesistente con la rotazione sincrona. 7 8