Metodi e algoritmi di identificazione

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1 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Meodi e algorimi di idenificazione Inroduzione Mikael Bianchi, Ricercaore SUPSI 2 marzo 203

2 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Scopo della lezione Essere in grado di caraerizzare un processo fisico, con acceno nei processi da conrollare Capire, saper implemenare e saper usare meodi principali di idenificazione, essere in grado di valuare la qualià del modello simao araverso validazioni Creare una libreria conenene algorimi di idenificazione principali 2

3 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Conenui della lezione Pare 0: Riepilogo dei concei imporani 2.5 lezioni Modellazione Analisi e proprieà dei segnali Meodo di Leas Squares meodo dei minimi quadrai Pare : Idenificazione non paramerica 3.5 lezioni Meodi grafici Risposa all impulso Meodo della correlazione Risposa in frequenza, analisi sperale Pare 2: Idenificazione paramerica 4 lezioni Sruure e modelli Il meodo di Leas Squares, riviso Predicive Error Mehods Filro di Kalman eseso usao per l idenificazione Meodi offline / online 3

4 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Sruura della lezione Documenazione Verrà consegnao uno scrip e le slides di presenazione. La lezione si basa sui esi: Idenificaion de Sysèmes Dynamiques di Prof. Bonvin e Dr. A Karimi Sysem idenificaion, di Södersröm T., Soica P., NJ, 989 scaricabile Sio: hp:// Esercizi: Meà semesre: prova scria peso: /3 della noa finale Laboraorio merologia, applicazione dell idenificazione: Meccaniche flessibile sisema a dischi Alri libri di eso consigliai Lijung, L.: Sysem Idenificaion: Theory for he user, Prenice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 987 Lijung, L.: Sysem Idenificaion Toolbox User Guide, The Mahworks, Naick, MA, 99 Shafai, E.: Einführung in die Adapive Regelung, ETHZ,

5 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Meodo di lavoro Sudio del processo Sviluppo maemaico del conceo Verifica eorica Implemenazione in simulazione Verifica simulazione Scalaura / Oimizzazione numerica Rapid prooyping Verifica oimizzazione Inegrazione dell algorimo Verifica simulazione Inegrazione nell apparaecchio analisi delle specifiche richiese, ricerca, documeni Si compora come è sao previso? Si compora come è sao previso? L errore rimane acceabile? linguaggio di programmazione finale C-SFuncions Tes 5

6 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e idenificazione Lezione Inroduzione all idenificazione 02/03/203 6

7 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Lezione : Inroduzione all idenificazione Pare : Inroduzione alla modellazione e all idenificazione Moivazione Inroduzione all idenificazione Aspei fondamenali Idenificazione non paramerica Idenificazione paramerica Pare 2: Esempio inroduivo Pare 3: Inroduzione alla modellazione Tipi di modelli Linearizzazione Discreizzazione

8 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e idenificazione Pare : Inroduzione alla modellazione e all idenificazione

9 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Moivazione Modellazione e idenificazione: quali sono gli uilizzi praici? Regolazione di un processo: sviluppo di un conrollore Sviluppo di filri: Osservaore Eliminazione dei disurbi di misura Simulazioni Riproduzione del comporameno di un processo reale su compuer Verifica di algorimi di conrollo e filri 9

10 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione 0 Moivazione: conrollo di un processo Uscia desideraa + - Uscia Conrollo Processo misuraa È dao un processo qualsiasi da conrollare. Esempi: 02/03/203 Sisema eleronico Sisema RC Generaore / Moore Sisema meccanico / fisico Auopiloa aereo / elicoero Tempoma : Conrollo di velocià Impiano di riscaldameno / venilazione Il conrollo sfrua diverse misure del processo per raggiungere il comporameno ad anello chiuso desiderao.

11 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Moivazione: sviluppo di un conrollore Per sviluppare un buon conrollore è necessaria la conoscenza del comporameno del processo. Lo sviluppo si suddivide nei segueni passi: Modellazione Idenificazione Analisi del processo +- Conrollo Processo Validazione Verifica del modello Sviluppo del conrollore

12 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione 2 Moivazione: Modellazione Processo Modello del processo Modellazione Araverso la modellazione viene rappresenao il comporameno del processo. Il modello può venir descrio in diversi modi: Modello inuiivo: viene descrio menalmene e verbalmene ad esempio sposando il mouse verso desra, il cursore dello schermo si sposa in proporzione Grafici e abelle: sono curve che caraerizzano il processo in modo dinamico o saico diagramma di bode o curve caraerisiche Modello maemaico: descrive il processo araverso un sisema di equazioni. Le equazioni vengono ricavae con approcci fisici o empirici

13 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Moivazione: Modellazione A dipendenza del grado di conoscenza del processo, I modelli si possono suddividere in re ipi:. Whie Box: Il processo è compleamene conosciuo e il modello riproduce perfeamene il processo. Un idenificazione non è più necessaria. Whie Box Processo 2. Grey Box: Il processo è parzialmene conosciuo e/o il modello rappresena una versione semplificaa del processo. L idenificazione è necessaria per la pare sconosciua del modello Grey Box 3. Black Box: Il processo è oalmene sconosciuo. Approccio empirico Black Box

14 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Moivazione: Idenificazione Processo Modello parziale Idenificazione Modello idenificao L idenificazione permee di deerminare la pare sconosciua del modello. Procedimeno: Si simola il sisema con un segnale in ingresso definio. Analizzando la reazione del processo araverso delle misure si può ricavare il modello idenificao. La qualià dell idenificazione dipende da diversi faori: Tipo di simolazione del processo Disurbi: rapporo ra segnale uile e segnale di disurbo Riproducibilià del processo da pare del modello scelo

15 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione 5 Moivazione: Validazione Processo Validazione Modello idenificao La validazione viene uilizzaa per deerminare l affidabilià del modello idenificao. Procedimeno: Si simola il processo e il modello con lo sesso segnale in ingresso. Il segnale viene scelo nel puno di lavoro normale del processo. Il segnale in ingresso deve essere differene dal segnale uilizzao per l idenificazione Si confrona il comporameno del processo e del modello Se l andameno delle curve misurae e simulae corrispondondono, il modello idenificao si può rienere validao

16 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Aspei dell idenificazione: Meodi Meodi non paramerici I meodi non paramerici si basano sugli andameni delle curve di reazione del processo. Si differenziano due ipi di analisi: Analisi nel empo esempio: risposa al gradino, risposa all impulso Analisi in frequenza esempio: ff, diagramma di bode Analisi dei segnali nel empo Enraa: Segnale di simolo Uscia: Reazione del processo Tempo [s] Analisi del processo in frequenza Frequenza [Hz] 6 Segnali Guadagno Y/U [db]

17 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Aspei dell idenificazione: Meodi Meodi paramerici I meodi paramerici si basano su sisemi di equazioni definii in funzione di più parameri sconosciui. La sruura del modello è definia e conosciua I parameri sono oalmene o parzialmene sconosciui Parameri Misura del segnale in uscia dal processo Segnale in enraa nel processo Commeni: Il sisema è sovradeerminao: si hanno a disposizione più equazioni di parameri. Il sisema è socasico: le misure conengono disurbi rumore, quanizzazione La soluzione del problema non è deerminisica ma socasica. I parameri idenificai hanno un incerezza di sima varianza I parameri non sempre vengono idenificai correamene consisenza della sima

18 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Aspei dell idenificazione: qualià dell idenificazione Per poer idenificare correamene il processo bisogna ener cono dei segueni faori: Tipo di segnale di simolo scelo persisenza dello simolo Lunghezza della misura: Con una misura lunga si possono minimizzare gli effei dei disurbi non misurai Signal o noise raio Riproducibilià della realà da pare del modello Quesi faori possono influenzare: La varianza del modello idenificao incerezza. Il valore aeso dell errore ra processo reale e modello idenificao

19 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Aspei dell idenificazione: qualià dell idenificazione Tipo di segnale di simolo scelo persisenza dello simolo È imporane riuscire a generare un segnale che simoli il maggior numero di frequenze o che simoli le frequenze aorno al puno di lavoro scelo Impulso Gradino u Uf u Uf Tempo Frequenza Tempo Frequenza Segnale cosane Segnale sinusoidale u Uf u Uf Tempo Frequenza Tempo Frequenza

20 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Aspei dell idenificazione: qualià dell idenificazione Signal o noise raio: Relazione ra segnale uile e disurbo non misurao L ampiezza del segnale uile deve essere maggiore all ampiezza del disurbo non misurao rumore di fondo, quanizzazione,... Signal o noise Raio, esempio Signal o noise Raio, esempio Segnale misurao Segnale uile Tempo [s] Segnale Segnale Segnale misurao Segnale uile Tempo [s]

21 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e idenificazione Pare 2: Esempi inroduivi

22 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Esempi inroduivi Esempio : idenificazione di un sisema dinamico in malab Effei di segnali di disurbo sull idenificazione Effei della persisenza dello simolo sull idenificazione Validazione Esempio 2: idenificazione di un sisema saico in malab Definizione del problema di idenificazione Minimizzazione dell errore in funzione dei parameri

23 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e idenificazione Pare 3: Modellazione riassuno

24 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione 24 Modellazione e idenificazione: Concei La caraerizzazione di un processo richiede diversi sadi. Si disinguono le enià segueni: Processo: Rappresena la realà fisica che si desidera sudiare. Include ui le possibili inerazioni con l eserno effei microscopici. Sisema: Poiché il processo in genere è esremamene complesso, è richiesa una limiazione del caso di sudio, che è definio dal sisema. Queso passo richiede un asrazione della realà fisica caraerizzazione macroscopica. Il sisema include ue le grandezze che possono influenzare in modo «visibile» il processo. Modello: è la descrizione semplificaa del sisema. Per i modelli non paramerici si raa di una curva diagramma di bode, risposa al gradino, menre per i modelli paramerici è una descrizione maemaica con una sruura deerminaa. Sisema d idenificazione: racchiude il meodo per simare la pare non conosciua del modello o per far coincidere il modello al sisema

25 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Scopo della modellazione: Modellazione Riprodurre il processo in modo migliore uilizzando il modello più semplice possibile. Procedimeno: Definire i confini del processo da modellare Quali caraerisiche voglio modellare e quali posso ralasciare? Quali sono le grandezze influenzabili dal mio conrollore? Quali misure sono necessarie per idenificare il processo? Quali misure sono necessarie per conrollare il processo? Rappresenare il modello araverso un sisema di equazioni sisemi paramerici Modellazione fisica princìpi primi Meodo di Lagrange Semplificazione del modello, linearizzazione e discreizzazione Il modello deve riprodurre bene il processo solo nel suo puno di lavoro Processo Sisema Sisema Modello 25

26 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: ipi di modelli Dinamici / saici Con modellazione del disurbo / senza disurbo Coninui / discrei Lineari / nonlineari Tempo-invariani / Tempo-variani Equazioni differenziali / Equazioni di sao 02/03/203 Necessaria per oenere idenificazioni corree dei parameri Sima del valore di parameri fisici Solo casi in cui i parameri variano lenamene nel empo 26

27 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: Discreizzazione Il modello sviluppao è generalmene rappresenao da un sisema di equazioni differenziali coninue nel empo. I regolaori digiali lavorano a empi discrei, anche i modelli e i regolaori necessiano una discreizzazione. Pure l idenificazione viene eseguia su modelli discrei. Esisono diversi meodi di discreizzazione, ui rappresenano un approssimazione del sisema originale, poichè l informazione del segnale ra 2 puni di campionameno va persa. Esempio: Equazione differenziale di primo ordine Equazione differenziale: Discreizzazione di un sisema Discreizzazione: y+d y Sosiuzione: y-d Equazione differenziale discreizzaa risulane: 0 -d +d Tempo Segnale Segnale coninuo Segnale discreizzao

28 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: Discreizzazione Parendo dalla forma di sao in empo coninuo: Si desidera oenere un modello discreo equivalene in forma: La discreizzazione non è sempre semplice: È richiesa la soluzione delle equazioni differenziali L informazione dei segnali ra i empi di campionameno viene a mancare: Esisono diversi meodi approssimaivi o che richiedono delle assunzioni: Meodo : Approssimazione della derivaa Meodo2: Soluzione analiica usando un sample and hold zero-order hold 02/03/203 28

29 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: Discreizzazione Meodo : Approssimazione della derivaa 02/03/203 29

30 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: Discreizzazione Meodo 2: Soluzione analiica usando un sample and hold zero-order hold La soluzione dell equazione di sao è: Si può dunque porare l equazione in sile ricorsivo, sosiuendo con k+. s e 0 con k. s. Si assume che u rimanga cosane durane l inervallo di campionameno zoh Assumendo infine che la marice di sao A sia inveribile, si può risolvere l inegrale usando la proprieà La soluzione è 02/03/203 30

31 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: Linearizzazione La eoria dei conrolli e dell idenificazione si basa soprauo su modelli lineari. Un modello non lineare va quindi linearizzao. Il modello lineare risulane è un approssimazione del modello originale. Il modello lineare riproduce bene il comporameno del processo solo nel puno in qui è sao linearizzao. Esisono diversi approcci per rendere un modello lineare. La scela del meodo dipende dal processo. Esempio: Equazione differenziale di primo ordine Equazione differenziale: Linearizzazione di un'equazione differenziale Si può approssimare il sisema aorno ad un puno di lavoro u 0 con la rea angene alla funzione nonlineare nel puno u 0 Funzione originale Puno di lavoro Funzione linearizzaa Equazione differenziale linearizzaa: u

32 DTI / ISEA / LSM / Modellazione e Idenificazione Modellazione: Linearizzazione Un equazione differenziale non lineare generica: Può venir linearizzaa inorno ad un puno di lavoro uilizzando la serie di Taylor L equazione differenziale linearizzaa in forma di sao sarà: 02/03/203 32

33 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Modellisica e idenificazione Proprieà dei segnali Meodo Leas Squares Mikael Bianchi, Ricercaore SUPSI 2 marzo 203

34 02/03/203 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Conenui della lezione Pare : Proprieà dei segnali Segnali nell idenificazione Segnali uili e segnali di disurbo Descrizione dei segnali Deerminisici: In funzione del empo o della frequenza Socasici: In funzione delle proprieà socasiche Segnale sazionario / ergodico Valore aeso, Correlazione, Varianza Esempi di segnali Pare 2: Meodo Leas Squares Recursive Leas Squares Pare 3: Esercizio 2

35 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Segnali nell idenificazione Disurbo Processo u y In un processo fisico si disinguono i segueni segnali: Di simolo, in enraa, : Sono definii e volui auazioni Di misura, in uscia,: È la risposa del processo in funzione del segnale in enraa Di disurbo: Possono influenzare i segnale in enraa, in uscia o il processo Se sono conosciui o misurabili possono venir uilizzai come segnali in enraa Se sono sconosciui vengono caraerizzai araverso proprieà socasiche Tipi di segnali: Uili: Conengono informazioni per caraerizzare il processo Ausiliari: Vengono uilizzai per esrarre informazioni dal processo Di disurbo: Pare non desideraa e socasica 3

36 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Segnali nell idenificazione Per idenificare un sisema un segnale deve essere: Persisene: Deve simolare il processo in modo adeguao definizione più in avani Deerminane è il numero di frequenze simolae Sufficenemene poene rispeo al disurbo non misurao: Signal o noise Raio Lo spero del segnale è da scegliere nell inervallo di frequenze ineressane del processo Processo G [db] ω Banda di frequenze ineressani 4

37 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Descrizione di segnali: Segnali deerminisici Un segnale deerminisico è perfeamene conosciuo nel empo e riproducibile. Può venir caraerizzao in funzione del empo: u f Dove f è una funzione qualsiasi conosciua. Nel caso di campionameno ZOH del segnale per un sisema a empi discrei la funzione risula: u f k k : : Campione 0,,2,... Tempo di campionameno Per semplicià uilizzeremo la seguene noazione: u [ k ] ˆ u k u u[3] u[] u[2] 2 3 5

38 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Backward Shif Operaor Inroduzione di una nuova noazione: Backward shif operaor q - Analogia ra rasformaa di z e Backward Shif operaor q z: Time shif nel dominio di Laplace, rappresena und proiezione di s q: Time shif nel dominio del empo. Differenze sosanziali: Backward shif operaor considera le condizioni iniziali del sisema! La seguene relazione non può quindi venir semplificaa 6

39 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Descrizione di segnali: Segnali deerminisici Segnale di poenza finia e segnale di energia finia Un segnale ad energia finia corrisponde ad un segnale ransiorio in cui vale: Per un segnale a poenza finia vale che la sua poenza media converge verso un valore non nullo: Caraerisiche Media: Funzione di auocorrelazione: S: Scalaura Funzione di varianza: S: Scalaura 7

40 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Descrizione di segnali: Segnali deerminisici Correlazioni ra segnali diversi Funzione di covarianza: Funzione di inercorrelazione: Generalmene si sceglie la seguene scalaura: Segnali a energia finia: Segnali a poenza finia: S S 2 N + Comandi in Malab: xcorr x, y Funzione di correlazione xvar x, y Funzione di varianza mean x Valore medio 8

41 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Descrizione di segnali: Segnali socasici Un segnale socasico è casuale, non è predicibile ed è parzialmene o oalmene sconosciuo Viene caraerizzao con una variabile socasica: ξ La variabile socasica appariene ad uno spazio di probabilià ed è caraerizzaa da una funzione di probabilià. Lo spazio di probabilià racchiude ui gli esii possibili dell esperimeno Un processo socasico viene descrio nel seguene modo: y, ξ f, ξ Una realizzazione è la funzione nel empo per un dao [ ξ ξ ] 0 0, 0,2 ξ 0,N y y y3 y

42 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Descrizione di segnali: Segnali socasici Conceo di realizzazione e processo socasico 0

43 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Una breve uffo nell analisi probabilisica Consideriamo un spazio probabilisico: Ω Lo spazio di probabilià racchiude ui gli esii possibili dell esperimeno La variabile socasica è definia nel seguene modo: : ξ Ω R La variabile socasica o aleaoria è una riproduzione da uno spazio probabilisico ad uno spazio reale Il veore socasico si compone di una quanià di variabili socasiche racchiude ad esempio una misura nel empo Ad ogni variabile socasica corrisponde una densià probabilisica: p x L inegrale della densià probabilisica è pari a, racchiude la probabilià che ui gli eveni x accadano. Esendendo la densià probabilisica per un veore socasico, le variabili divenano veori.

44 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Una breve uffo nell analisi probabilisica Disribuzione normale o gaussiana Proprieà Caraerizzabile araverso 2 variabili media e varianza Simmerica Operazioni lineari non modificano la forma della disribuzione. Tue le variabili socasiche nell idenificazione verrano approssimae ad una disribuzione gaussiana 2

45 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Una breve uffo nell analisi probabilisica Medie dell insieme: Valore aeso: E {.} Il valore aeso rappresena il valore medio delle realizzazioni: Media: Correlazione: La varianza definisce l incerezza delle realizzazioni: C v Var 2 2 { v } E {[ v E { v }] } E { v } E { v } 2 Proprieà: Siano definie due variabili aleaorie qualsiasi: v,v allora vale: 2 E { av + bv } ae { v } + be Var { av E { v Var { v v v 2 + b } a v,v 2 } E { v } Var { v Var { v Siano definie due variabili aleaorie indipendeni: allora vale: + } E { v } 2 } { v } + Var { v 2 2 } } Due variabili indipendeni sono dee non correlae: 3

46 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Descrizione di segnali: Segnali socasici Proprieà dei segnali socasici Sazionarieà: Se il segnale di una realizzazione è sazionario, le medie della singola realizzazione non dipendono dal empo k e possono essere approssimae con una media sul empo definizione uguale per i segnali deerminisici Ergodicià: Un sisema è definio ergodico quando qualsiasi realizzazione è ipica ed è sufficene per descrivere la variabile socasica Nel caso in cui il segnale è sia ergodico che sazionario vale: Valore aeso: Funzione di auocorrelazione: Funzione di inercorrelazione: 4

47 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Definizione di impulso Funzione di Dirac è un impulso di duraa infiniesimale: δ per 0 < < ε l im ε ε 0 0 per 0 e La sua area è pari a : d 0 Vale quindi la seguene proprieà: 0 f τ d f τ Visa nel dominio di frequenze la rasformaa della funzione di Dirac è pari a : F 0 jω { δ } e d Ciò significa che l impulso di Dirac simola ue le frequenze in equal misura. 02/03/203 Dominio del empo δ / ε ε Dominio di frequenza F{δ} f 5

48 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Definizione di funzione gradino uniario La funzione di gradino corrisponde ad uno scalino di ampliudine al empo >0: Dominio del empo 0 per 0 h h per > 0 Derivando la funzione di gradino si oiene la funzione d impulso Analogamene si definisce la funzione di gradino nel empo discreo 0 h [ k ] 0 per per k k > /03/203 6

49 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Definizione di rumore bianco Il rumore bianco è un segnale casuale e indipendene con le segueni proprieà socasiche: E E { { e } e e 0 2 τ } σ δ τ Dominio del empo e Se il rumore bianco corrisponde ad una disribuzione normale, allora le proprieà sopra sono sufficeni per descrivere compleamene il ipo di disribuzione probabilisica: 0 e ~ N 0, 2 σ Dominio di frequenza Visa nel dominio di frequenze la rasformaa della funzione rumore bianco simola in equal misura ue le frequenze. F{δ} f 02/03/203 7

50 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Definizione di moo browniano Il moo Browniano definisce il movimeno casuale di una paricella ed è modellao dal processo di Wiener. E { W } { W } σ E Il processo di Wiener si può esprimere maemaicamene come inegrale del rumore bianco W Il rispeivo segnale discreo si chiama Random-Walk, e corrisponde alla sommaoria del rumore bianco discreo τ 0 e d W [ k ] k j e [ k ] 02/03/203 8

51 DTI / ISEA / LSM / Modellisica Modellazione e e idenificazione Pare 2: Idenificazione con Leas Squares 02/03/203 9

52 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Sruure Consideriamo un processo parzialmene sconosciuo con un disurbo sconosciuo: Disurbo Processo u y Esisono moli meodi per rappresenare un modello con disurbo. Nel campo dell idenificazione paramerica la sruura più semplice è la regressione lineare. L equazione di una regressione lineare è la seguene: T ϕ [ y y 2... y na u u 2... u ] θ [ a a a b b... ] T nb 2 E... 2 { e } na b nb 2 0 e E{ee τ } λ δ e: rumore bianco con: τ 02/03/203 20

53 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Sruure ϕ n θ R θ R E{.} δ τ n θ Regressore Veore di parameri Valore aeso Funzione di Kronecker-Dela per τ, 0 alrimeni δ τ δ τ Quesa sruura è conveniene poichè permee di raggruppare i parameri cercai in un veore. u Modello e + Il disurbo viene modellao NEL processo. Conseguenze?? y 02/03/203 2

54 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Sruure 02/03/ I N dai si possono rappresenare i dai nel seguene modo N R 2 N y y y Y n N R 2 Φ N T T T T ϕ ϕ ϕ N R 2 N e e e N R 2 N u u u U Procedimeno: Conosciua la sruura si esegue una misura per un periodo di empo definio e si regisrano i N segnali campionai. Processo 2 3 u u2 u3 2 3 y y2 y3 U Y e

55 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Sruure 02/03/ La regressione lineare viene quindi rappresenaa in modo veoriale: N e e e b b a a N u N u N y N y u u y y u u y y N y y y + Φ θ T Y [ ] e b b a a u u y y y + Esempio: Sisema di secondo ordine

56 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Leas Squares Si supponga che il processo reale sia descrio dalla regressione lineare: Y Φ T θ 0 + θ 0 : Veore di parameri reale Si supponga pure che la sruura del modello possa descrivere compleamene il processo non disurbao. Poichè il disurbo e è sconosciuo, la sima del segnale Y viene eseguia nel seguene modo: Y ˆ ˆ θ Φ T θ ˆ, ˆ θ : Veore di parameri simao L errore ra processo reale e modello è: ˆ T Y Y ˆ θ Y Φ ˆ θ 02/03/203 24

57 02/03/203 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Leas Squares Obieivo: Trovare il veore di parameri ale che la somma quadraica degli errori ra processo reale e modello simao sia minimo: 2 N 2 2 T T T V N θ ε, θ θ θ [ Y Φ θ ] [ Y Φ 2 T θ ] La soluzione del problema di minimizzazione si oiene derivando la funzione V N rispeo ai parameri cercai e ponendo la derivaa a zero funzione convessa: d V d θ 2! T T T T T T T [ 2 Y Φ θ Φ ] Φ + θ ΦΦ 0 N θ Y Il veore di parameri risulane è: θ T LS ΦΦ Φ Y 25

58 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Recursive Leas Squares L idenificazione Leas Squares viene eseguia parendo dalle misure già fae offline A vole è uile idenificare i parameri durane la misura online. Vanaggi: Sparizione dei calcoli sul processore Idenificazione auomaizzaa Adaameno ad evenuali leni cambiameni dei parameri nel empo Conceo del Leas Squares recursivo RLS: Calcolare i parameri iniziali usando ad esempio le misure passae Ad ogni empo di campionameno aggiornare i parameri usando le nuove misure u y Processo θˆ 0 Idenificazione RLS θˆ 02/03/203 26

59 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Recursive Leas Squares 02/03/ Trasformazione della soluzione di Leas Squares per oenere una versione ricorsivo: s y s s s Y s T s T LS Φ ΦΦ ϕ ϕ ϕ θ Definiamo: s s P T s ϕ ϕ s s P T T s ϕ ϕ ϕ ϕ + Per oenere una soluzione ricorsivo separiamo da P la pare di calcoli riguardani dai passai dai dai auali 2 P P T +ϕ ϕ E quindi:

60 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione Idenificazione paramerica: Recursive Leas Squares 02/03/ Facciamo la sessa operazione con la formula + y s y s P s y s P s s LS ϕ ϕ ϕ θ Tenendo cono che: P s y s s y s P LS s s LS θ ϕ ϕ θ 3 Sosiuendo l ulima equazione in 3 e semplificando: [ ] [ ] ] [ y P y P P y P P LS T LS LS T LS LS θ ϕ ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ θ Per calcolare P dalla formula 2 è necessaria un inversione per ogni empo di campionameno. Queso aumenerebbe i empi di calcolo in modo considerevole. Applicando però il lemma di inversione delle marici oeniamo: [ ] P P P P P P T T T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

61 DTI / ISEA / LSM / Modellisica e idenificazione 29 Idenificazione paramerica: Recursive Leas Squares Finalmene abbiamo ue le informazioni necessarie per rappresenare la versione recursiva di Leas Squares. Usando le formule 4 e 5 oeniamo: Recursive Leas Squares θ LS ε P θ y P LS T ϕ + P P θ LS + ϕ T ϕ [ ϕ ε ϕ P ] Condizioni iniziali θ P LS 0 0 θ 0 P 0 T P ϕ P rappresena l incerezza marice di correlazione dei parameri simai Più P è grande e meno la sima è sicura Problema: come scegliere le condizioni iniziali?. Eseguire una prima idenificazione offline 2. Scegliere θ LS 0 0, e P 0 grande. Aenzione ai problemi numerici! 3. Conoscendo il modello fisico si può fare una sima dei valori iniziali 02/03/203

62 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Modellisica e idenificazione Idenificazione non paramerica Mikael Bianchi, Ricercaore SUPSI 20. dicembre 203

63 20/2/203 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Conenui della lezione Analisi delle ransieni Risposa all impulso e convoluzione Analisi in frequenza Meodo delle correlazioni Meodo sperale 2

64 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Analisi delle ransieni L analisi delle ransieni cosise nel rappresenare la risposa del sisema ad un segnale conosciuo con una curva in funzione del empo Queso ipo di analisi permee di oenere informazioni imporani sulla sruura e i parameri del processo sesso. I parameri sono oenibili direamene ramie la leura della curva di risposa, impiegando la soluzione calcolaa dei modelli. Generalmene vengono uilizzae la funzione di scalino o la funzione di impulso per deerminare la curva di risposa. 3

65 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Analisi delle ransieni: Risposa al gradino Risposa al gradino di una funzione del primo ordine passabasso La funzione di rasferimeno di un passabasso con riardo: ha per la soluzione alla funzione di gradino l equazione: I parameri si possono deerminare dalla curva in funzione nel empo. 4

66 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Analisi delle ransieni: Risposa al gradino Risposa al gradino di una funzione del primo ordine passabasso La cosane di empo si può deerminare più facilmene, rasformando il segnale di uscia presupponendo che K sia conosciuo: 5

67 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Analisi delle ransieni: Risposa al gradino Risposa al gradino di una funzione del secondo ordine soosmorzao La funzione di rasferimeno di secondo ordine sisema oscillane: ha per soluzione alla risposa al gradino per derivando la risposa al gradino rispeo al empo si oengono i minimi e massimi locali ai empi: e quindi: definendo l overshoo M come: 6

68 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione 7 Analisi delle ransieni: Risposa al gradino Risposa al gradino di una funzione del secondo ordine soosmorzao

69 DTI / ISEA / LSM / Tiolo principale della presenazione Analisi delle ransieni: Risposa al gradino Risposa al gradino di una funzione del secondo ordine soosmorzao Per oenere i parameri dalla curva di risposa si procede nel modo seguene: Deerminare K dalla risposa sazionaria L overshoo M e la cosane di smorzameno ζ si oengono dal primo massimo della risposa: Infine ω 0 si oiene dal periodo di oscillazione: 8