18/06/2009. F =σ S F 1 F 2. Unità di misura della tensione: [N/mm 2 ] 1 [N/mm 2 ] = 1 [MPa]

Transcript

1 ES. Sforzo Azioni interne (definizione di tensione o sforzo) Una barra di acciaio AISI 34 a sezione tonda, di diametro pari a 1 mm, deve sorreggere una massa di t. Qual è lo sforzo a cui è soggetta la barra? Cosa accade se vengono aggiunti 1 kg? E se vengono applicate 6 t? F 1 F F = S F = S Unità di misura della tensione: [N/mm ] 1 [N/mm ] = 1 [MPa] Ricavo il valore della sezione resistente dal diametro: A = π*d /4 = π*(1 mm) /4 = = 78.5 mm Per poter calcolare lo sforzo ( = F/A) devo prima calcolare la forza peso a partire dalla massa F = m*g = t * 9.81 m/s = = kg * 9.81 m/s = 196 kg*m/s = 196 N Quindi lo sforzo è pari a = F/A = 196 N/78.5 mm = = 5 N/mm = 5 MPa Devo confrontare il valore dello sforzo applicato con il carico di snervamento ed il carico di rottura del materiale 1

2 Rf m t Deformazione plastica uniforme Deformazione plastica localizzata Definizione di tensione di snervamento Fig. 1 Fig. Fig. 3 R s R sn R sn,max Rsn,min Rsn,, Snervamento Deformazione elastica ε ε.% ε Snervamento discontinuo Snervamento continuo Determinazione del carico di snervamento Determinazione del carico di rottura Rs, = 3 MPa API 5 X1 7 6 AISI S35JR Rm = 66 MPa 15 X1 14 inox 18-8 S 35JR API 5 X1 7 AISI S35JR

3 o sforzo applicato è inferiore al carico di snervamento del materiale <R s : 5 MPa < 3 MPa Questo significa che la barra opera in campo elastico, ove le deformazioni sono reversibili: applicando il carico la barra si allungherà, ma rimuovendolo tornerà alle condizioni iniziali Se si aggiungono 1 kg si ha che = F/A = (m*g)/a = = ((+1)kg*9.81 m/s ) /78.5 mm = 375 MPa In questo caso lo sforzo applicato è superiore al carico di snervamento ma inferiore a quello di rottura R s < < R m Questo significa che la barra opera in campo di plastica uniforme: il materiale ha superato il limite elastico e parte della che ha subito è irreversibile; rimuovendo il carico la lunghezza della barra non torna nelle condizioni iniziali Deformazione elastica e plastica reversibile ε imite elastico ε p ε e irreversibile ε Nel caso in cui si applicano 6 t si ha che = F/A = (m*g)/a = = (6 kg*9.81 m/s ) /78.5 mm = 75 MPa In questo caso lo sforzo applicato è superiore al carico di rottura (66 MPa) > R m Il carico di rottura è il massimo sforzo sopportabile dal materiale: questo significa che applicando 6 t la barra si allungherà sino a rompersi 3

4 ES. e legame elastico ε Una barra di acciaio AISI 34 a sezione rettangolare x6 mm e lunghezza iniziale di 5 m si allunga per effetto di un peso applicato sino a 5. m. Quanto vale la? Qual è il valore del peso applicato? Definizione di l/ F F l l/ / / l ε n = l ε t = l e deformazioni sono grandezze adimensionali Applicando la definizione di si ottiene che: ε = (l-l )/l = (5 5) mm/ 5 mm =.4 Per poter calcolare il peso applicato devo conoscere lo sforzo Posso ricavare il valore dello sforzo dalla utilizzando la legge di Hooke ( = E*ε) ma ATTENZIONE: la legge di Hooke è valida solo in campo elastico! Quindi devo ipotizzare che la barra lavori in campo elastico e verificare questa ipotesi controllando che < R s 4

5 Esempio: ε =.15 => = 45 MPa = E*ε = 196 MPa*.4 = 78.4 MPa o sforzo sulla barra è effettivamente inferiore al carico di snervamento (3 MPa), quindi l ipotesi che questa operasse in campo elastico è valida IN CASO CONTRARIO non è possibile determinare lo sforzo (quindi il peso applicato) utilizzando la legge di Hooke, ma è necessario ricorrere al grafico ε,, se disponibile X1 steel AISI 18-8 (AISI34) S 35JR E GPa , ν,33,8,33,31,31,33 = 45 MPa API 5 X1 7 6 AISI S35JR Noto lo sforzo, in base alla definizione dello sforzo stesso, si può ricavare che = F/A => F = *A = *(b*h) = = 78.4 MPa*(*6) mm = = 94.8 N corrispondente ad una massa di m = F/g = 94.8 N/9.81 m/s = 96 kg ES. Sistema di monitoraggio del campanile Un sistema interno di monitoraggio dell inclinazione di un campanile è realizzato mediante uno filo appeso alla sommità e teso con un peso di 1 kg. Il filo è in AISI 34 di,8 mm di diametro. Si pone il problema di aumentare il peso a 6 kg. Verificare l accettabilità della modifica e, se minore, il massimo peso consentito. Calcolare per questo peso la lunghezza del filo in assenza di carico. Calcolate la massima portata per la rottura 5

6 ES. Sistema di monitoraggio del campanile 7 m Dati iniziali: Peso 1 kg Diametro filo.8 mm Materiale: AISI 34 È ammissibile un peso di 6 kg? Se non ammissibile qual è il massimo peso consentito? Valutare lunghezza del filo senza carico Calcolo della massima portata per la rottura Devo verificare che: < Rs Peso (massa) -> sollecitazione (sforzo) Peso (massa) -> forza F = m*g = 6 kg * 9.81 m/s = = kg*m/s = N 1 kg Ricavo il valore della sezione resistente dal diametro: A = π*d /4 = π*(.8 mm) /4 = =.53 mm = F/A = N /.53 mm = = 117 N/mm = 117 MPa Verifica = 117 MPa < Rs Dal grafico osservo che Rs per l acciaio AISI 34 è pari a circa 3 MPa (tracciando retta parallela al tratto elastico passante per ε =. % =.) Un peso di 6 kg non è ammissibile 6

7 Rs, = Determinazione del carico di snervamento 3 MPa API 5 X1 7 6 AISI S35JR Calcolo del massimo peso consentito: F = *A => Fmax = Rs*a = = 3 MPa *.53 mm = 15.9 N Peso max = F/g = 15.9 N / 9.81 m/s = 15.4 kg Calcolo della lunghezza in assenza di carico: Utilizzo la legge di Hooke per ricavare ε = 1 kg*9.81 m/s /.53 mm = 195 MPa = E*ε => ε = /E = 195 MPa / 196 GPa = 195 / 196 = 9.95*1-4 Dalla definizione di : ε = (l-l )/l => l *ε = l-l => l = l/(1+ε) = 7 m / ( *1-4 ) = = m X1 steel AISI 18-8 (AISI34) S 35JR E GPa , ν,33,8,33,31,31,33 7

8 Massima portata per la rottura: Devo considerare non più Rs ma Rm Dal grafico individuo Rm = 66 MPa F = *A = 66 MPa *.53 mm = 33 N =>Massa = F/g = 33 N /9.81 m/s = 33.8 kg Rm = Determinazione del carico di rottura 66 MPa 15 X1 14 inox 18-8 S 35JR API 5 X1 7 AISI S35JR Es. Barra di ancoraggio Es. Barra di ancoraggio In un cantiere, è richiesto il collaudo di una barra di ancoraggio in di 1 m di lunghezza () e diametro (φ) 1 cm. a verifica è effettuata in campo mediante l applicazione di pesi crescenti ad una delle estremità della barra. altra estremità è appoggiata ad una trave rigida di grande sezione, inserita in un foro. Calcolare la massa in chilogrammi necessaria per raggiungere lo snervamento della barra e il corrispondente allungamento (espresso in millimetri). Calcolare la massa necessaria per la rottura della barra. Dopo la rottura, la parte superiore si sfila ed è proiettata verso l alto. Stimare la massima altezza raggiunta nel caso in cui la rottura avvenga nel punto centrale della barra. (Suggerimento: al momento della rottura, la velocità delle due parti deve soddisfare i principi della conservazione della quantità di moto e dell energia). φ Materiale: lunghezza = 1 m diametro φ = 1 cm? Massa che determina lo snervamento e allungamento corrispondente? Massa che determina la rottura? Altezza raggiunta dalla metà della barra proiettata verso l alto alla rottura 8

9 È innanzitutto necessario determinare il valore del carico di snervamento del materiale utilizzato () Si può ricavare il valore dell area dal diametro A = π*d /4 = π * (1 mm) /4 = 78.5 mm Dalla definizione di sforzo, si ricava che = F/A => F = *A = 1 MPa * 78.5 mm = = 94 N Rs, = 1 MPa Determinazione del carico di snervamento API 5 X1 7 6 AISI S35JR Noto il valore dello forza, si può ricavare quello della massa: M = F/g = 94 N / 9.81 m/s = 96 kg Per calcolare l allungamento è prima necessario determinare il valore della in corrispondenza dello snervamento. a può essere calcolata con la legge di Hooke ed è pari a = E*ε => ε = /E = 1 MPa/1 Mpa = = 5.7*1-3 In base alla definizione di si può calcolare il valore dell allungamento ε = l/l => l l = ε*l = 5.7*1-3 *1 mm = = 57 mm 9

10 Determinazione del carico di rottura a massa che determina la rottura della barra di ancoraggio è quella in grado di esercitare uno sforzo pari a quello massimo tollerabile dal materiale, ovvero il carico di rottura R m Rm = 15 MPa API 5 X1 AISI 34 S35JR X1 inox 18-8 S 35JR Energia In modo analogo a quanto visto precedentemente si può calcolare il valore della forza alla rottura = F/A => F = *A = 15 MPa*78.5 mm = = N F d = F*dl ma dl = l *ε ed F = *A quindi F dl = A l dε = A l = dε e il lavoro per unità di volume è pari a = dε Vol Nota la forza, il valore della massa è dato da F = m*g => m = F/g = N / 9.81 m/s = = 13 kg (circa 1 t) d avoro effettuato per allungare la barra da l a l+dl area sottesa alla curva rappresenta il lavoro effettuato per rompere la barra 1

11 Energia elastica e energia per la plastica Energia elastica Energia elastica Energia plastica ε energia elastica (per unità di volume) è pari a d E d Vol = ε = ε ε = = E ε = ε = E Il reticolo atomico assorbe energia deformandosi e la cede quando torna alla condizione iniziale di equilibrio area sottesa alla curva di trazione rappresenta l energia per unità di volume necessaria rompere il provino Per il principio di conservazione della quantità di moto, nell ipotesi che la barra si rompa in corrispondenza della metà, si ha che: (m tot /)*v 1 + (m tot /)*v = m tot *v e poiché la barra prima di rompersi è ferma si ottiene che v 1 = -v Nell istante della rottura l energia elastica accumulata nella barra viene ceduta e si trasforma in energia cinetica, resta invariata l energia potenziale. quindi, per il principio di conservazione dell energia (e tenendo conto di quanto ricavato per le velocità): E elastica = K1 + K Vol = m E Vol = mtot v E si ricava che 6 rottura 15 1 N / m v = = = 36.9m / s ρ E kg / m 1 1 N / m pari a circa 133 km/h tot 1 1 v1 + m tot v 11

12 sempre per il principio di conservazione dell energia, è possibile scrivere che mtot vi + mtot g hi = mtot v f poiché la velocità finale è nulla si ricava h = v i /g = = (36.9 m/s) / (*9.81 m/s ) = = 69.4 m 1 + mtot g h f 1