Limiti e forme indeterminate

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1 Limiti e forme indeterminate Edizioni H ALPHA LORENZO ROI

2 c Edizioni H ALPHA. Ottobre 04. H L immagine frattale di copertina rappresenta un particolare dell insieme di Mandelbrot centrato nel punto , ) e ingrandito 58 volte. Titolo: Schizzo frattale.

3 INDICE Limiti di funzioni razionali fratte ) ) ) p q ) 5 +7 ) ) ) ) ± Limiti di funzioni irrazionali ) ) ) ) + + ) 7) + + 9) ) ) + ) ) 3 4) ) ) ) 0 )

4 Limiti indeterminati coinvolgenti funzioni goniometriche ) 0 sen3 5) 0 sen5 sen 7) a sen sen a a sen 4 9) 0 cos) cos 3) 0 sen 3 cos 33) ) 0 tg sen 37) tg sen) π 4) 0 cos 6) ± sen 8) 0 cos+sen cos sen sen 4 30) 0 cos) 3 3+tg 3) 0 sen+tg 34) π± +sen sen sen 36) 0+ ln lnsen 38) tg)tg π 4 Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche ) 39) ln + + 4) 0 lg a +) 43) 0 e sen 45) 47) 0 e e e e 40) 0+ ep ln ln 4) 0 a 44) 0 cos e ) 46) ln ) 0 e a e b ) 49) 50) + 0 cos)/ Limiti fondamentali e importanti

5 Esercizi risolti Requisiti necessari per affrontare gli esercizi presentati di seguito: conoscenza dei teoremi sulle operazioni tra iti e sul ite di una funzione composta, continuità delle funzioni, in particolare delle funzioni elementari. conoscenza dei iti fondamentali. Queste brevi note riguardano le tecniche di risoluzione di quei iti che ad un primo approccio conducono a forme di indeterminazione e che si possono trattare senza la conoscenza del teorema di De L Hôpital. Le diverse tipologie che si presentano si possono ricondurre a 4 forme principali che solo per comodità di scrittura e senza alcun significato operativo, verranno individuate nel seguito come 0 0,, 0, +. Ad ogni modo tutte le volte che il calcolo del ite conduce a delle forme indeterminate, si dovrà cercare di trasformare identicamente la funzione in modo adeguato senza ovviamente modificare il ite e allo scopo di rimuovere, nella nuova forma, l indeterminazione. Per esempio il ite 3 + dà luogo alla forma 0/0. Difatti ricordando la continuità delle funzioni polinomiali, 3 + = f0) = 0 e = = 0. Se tuttavia riduciamo la frazione ai minimi termini, si ottiene 3 + = ) ) = ) ) =. Ne segue che l ultima espressione coincide con la funzione di partenza solo se, condizione questa che permette di scrivere e quindi risolvere l indeterminazione. 3 + = = 3

6 Esercizi risolti sulle forme indeterminate. Limiti di funzioni razionali fratte Una funzione di questo tipo si indica con f) = A) B) con A) e B) polinomi. I iti di queste funzioni o sono immediati per la continuità della funzione f), o in genere danno luogo alle forme 0/0, /. Caso 0/0 Limiti di questo tipo si hanno quando tende ad un valore finito. L indeterminazione viene einata riducendo la frazione ai minimi termini. A tale scopo si scompone in prodotto di fattori sia il numeratore che il denominatore e si semplificano i fattori comuni. Ad esempio si voglia calcolare il A) B) = Poiché A) = B) = 0 la forma è indeterminata ma per lo stesso motivo, i due polinomi risultano divisibili per, cioè = è uno zero dei polinomi A) e B). Scomponendo allora con il metodo di Ruffini si ottiene = ) ) )+3) = +3 = 5, rimuovendo in tal modo l indeterminazione. A) Più in generale, quando il α B) = 0 0, vuol dire che = α è uno zero sia di A) che di B). In tal caso scomposti i due polinomi nei fattori il ite originario diviene A) = α)q ) B) = α)q ) A) α B) = α)q ) α α)q ) = α α α Q) Q ) α e poiché il termine è tale che α α = il ite si riduce a A) α B) = Q ) α Q ). Nell eventualità che il ite precedente sia ancora indeterminato si può iterare il procedimento: in tal caso la radice = α possiede un ordine di molteplicità maggiore di. Per esempio nel polinomio A) = = ) 3 ++5) la soluzione = possiede una molteplicità pari a 3. 6 Esercizio Il ite rientra nella forma 0/0 per cui scomponendo numeratore e denominatore si +8+4 trova ± = ± +) 3) +) +) = ± 3 +)+) = ±.

7 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 3 Infatti risulta ± + = ± e 3 + = f ) = Esercizio 3. Poiché risulta = f) = 0 e = f) = 0 il ite è indeterminato. Scomponendo numeratore e denominatore si trova ) +) 3 = 8 ) ++4) = 0 in quanto ) = 0 e +) ++4 = f) = 4/ Esercizio 3 3. Scomponendo ancora il numeratore e il denominatore si giunge 4+8 a = ) +) ) +) = 3 4 in quanto ) ) = e + + = f) = 3 4. Esercizio 4 3. Ricordando le scomposizioni elementari di binomi in fattori, il ite si riscrive 3 = )+) ) ++) = + ++ = 3. p Esercizio 5 q. Questo ite è la generalizzazione del precedente. Quindi, per le formule della scomposizione in fattori di un binomio, si può scrivere Va quindi risolto il ite p q = ) p + p + ++) ) q + q + ++). p + p + ++ q + q + ++ che, data la continuità in = della funzione a suo argomento, si calcola sfruttando tale proprietà ossia p + p p + ++ q + q + ++ = f) = q = p q. Caso / Per funzioni razionali fratte questo caso si verifica quando tende all infinito. L indetermi nazione viene einata mettendo in evidenza, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di con esponente massimo. Per esempio si voglia calcolare il ite seguente:

8 4 Esercizi risolti sulle forme indeterminate A) B) = a 0 n +a n + +a n +a n b 0 m +b m + +b m +b m = con n, m interi positivi. Il numeratore è di grado n ed il denominatore di grado m. Si proceda nel modo seguente: a. si metta in evidenza al numeratore e al denominatore rispettivamente n ed m. Si ottiene così il n a 0 + a m b 0 + b + + an n + an n ) ) bm bm m m b. a questo punto si tenga presente che i iti di funzioni del tipo p/ q con q > 0 p valgono = 0. Quindi tutti gli addendi con una potenza positiva di q al denominatore q, passando al ite, si annullano. Rimane da considerare, al ite, il termine a0n b 0. I casi che possono presentarsi sono 3 e dipendono dai valori m di n e m.. se n < m: A) B) = a 0 n b 0 m = a 0 = 0; b 0 m n A). se n = m: B) = a 0 uguale al rapporto dei coefficienti di grado massimo; b 0 3. se n > m: Esercizio Raccogliendo la potenza 3 al numeratore discende A) B) = a 0 n m =. b = + ) = in quanto = = = Esercizio 7 5. In modo analogo, fattorizzando 5 sia al numeratore +7 che al denominatore si giunge a = + ) ) + 7 = 5 in quanto i termini del tipo 7, 7, 5 hanno ite nullo e 5 5 / 5 =. 3 + Esercizio 8. Con le medesime modalità dei precedenti esercizi raccogliamo 3 al numeratore e al denominatore: ± 3 + ± = 3 ) + 3 ± ) + ) = ) 3 ± = + avendo ± = +. = 0

9 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 5. Limiti di funzioni irrazionali In base al tipo di funzione irrazionale, il ite può essere immediato o dare luogo alle forme di indeterminazione del tipo 0/0, /, +, 0. Difatti gli esempi seguenti successivamente risolti) risultano tutti indeterminati. I primi due riportano al caso 0/0, il terzo e il quinto a + /+, il quarto a +, mentre l ultimo a 0. Si tenga presente che tanto le funzioni razionali, quanto le irrazionali che, al ite, danno luogo a forme indeterminate diverse dalle 0/0, /, +, si possono manipolare per ricondurle alle precedenti tre forme di indeterminazione. L ultimo esempio infatti si può scrivere per > 0 come +) 3 6 +, forma che ci riconduce all indeterminazione /. Fissiamo quindi l attenzione, nel caso di iti di funzioni irrazionali, sulle 3 forme 0/0, /, +. Caso 0/0 Si tratta sempre di einare l indeterminazione cambiando la funzione in un altra avente lo stesso ite. Tale scopo si può raggiungere in tre modi:. mediante razionalizzazione del numeratore, o del denominatore, o di entrambi,. mediante opportune scomposizioni, 3. mediante particolari artifici.. Tale ite verrà risolto in due modi diversi: Esercizio 9 a. razionalizziamo il numeratore della funzione: Ne segue che = + + = ) +). ) +) = = + + =. b. si può pure scomporre il denominatore considerandolo una differenza di quadrati. Cosicché = ) +) = = + + =.

10 6 Esercizi risolti sulle forme indeterminate + Esercizio 0. Razionalizzando sia il numeratore che il denominatore discende ne segue pertanto + ++ = + ) ++ ) ++ ) + = = ) ) ++ ) = ) ) ++ ); ++ = 0 + = Esercizio. Pure tale ite verrà risolto in due modi diversi: + a. ricordando che a 3 +b 3 = a+b)a ab+b ) razionalizziamo il numeratore: = = ) = ) = = 3. b. scomponendo in fattori il denominatore, considerato come una somma di cubi si ha + = 3 +) 3 3 +) per cui = ) 3 3 +) = = 3. + Esercizio ). Si tratta di cercare di fattorizzare un termine che si annulli per =. Allora a. razionalizzando il numeratore considerato come la differenza di due termini + = +) + ) +)+ +)+ = +) 4 ) ++ ) ) = ) ++ ) = ++ = 4

11 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 7 b. scomponendo invece in fattori nel modo seguente + = ) e ) = [ +) )] = +) ), si ha + ) = Caso / ) +) ) = +) = +) = 4. Anche in questo caso si procede come per le funzioni razionali fratte, cioè l indeterminazione viene einata, in generale, mettendo in evidenza sia al numeratore che al denominatore la potenza di con esponente massimo. Occorre però porre attenzione sul fatto che: a. gli esponenti sono frazionari: si ricordi infatti che n m = m/n ; b. portando fuori dalla radice di indice n pari una potenza di, compare il valore assoluto. Per esempio =, 4 4 =, 6 = 4. c. Nel radicando che è un polinomio razionale) per può talvolta presentarsi la forma indeterminata +. In tal caso questo ite è sempre infinito e va trattato con i metodi già visti. Infatti se A) = a 0 n +a n + +a n +a n = n a 0 + a + + a n n + a ) n n = e il segno di questo ite infinito dipende dalla ± ) e dal coefficiente a. Per concludere: il ite per di un polinomio razionale dà luogo ad una somma algebrica di termini ciascuno con ite infinito. Fra essi prevale quello di ordine massimo potenza di con esponente massimo). Pertanto nel calcolo si possono trascurare le potenze di inferiori al grado del polinomio ossia, come si suol dire, gli infiniti di ordine inferiore. Esercizio Raccogliendo la potenza massima = + + ) = + + ) + + = =. Il ite, come si può notare, è ancora dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo. In alternativa, posto = t il ite assegnato si riscrive come = t + t +t t+t in modo da poter applicare la teoria dei iti di funzioni razionali fratte al tendere ad infinito della variabile indipendente. In tal caso, avendo il medesimo grado i polinomi a numeratore e denominatore, il ite è pari al rapporto dei coefficienti di grado massimo ossia / =.

12 8 Esercizi risolti sulle forme indeterminate Esercizio Si osservi che il ite dovrebbe essere infinito perché, per +, ilnumeratoreèuninfinitodiordineeildenominatoreèuninfinito di ordine /. Infatti 3 ) 3 = ) 4 + ) + ) 3 = + ) ) 3 = = in quanto + = + e i iti degli altri 3 termini sono tutti finiti e positivi. 3 Esercizio Riscritto il ite sotto forma di quoziente si ha + 6 +) 3 = = + 6 = ) 6 = = e dove nell ultimo passaggio si è fattorizzata la potenza massima del radicando, responsabile del ite trovato. Caso + Questo caso si riconduce, con trasformazioni della funzione che non mutano il suo ite, al precedente /. Tali trasformazioni dipendono dal tipo di funzione ma, in genere per le funzioni irrazionali coinvolgono una razionalizzazione. Esercizio Razionalizzando +5+6 ) = + = Il ite è finito perché sia il numeratore che il denominatore sono degli infiniti di ordine per +. Infatti, ricordando che la condizione + permette di porre = in quando > 0 discende ) ) = ) = = 5.

13 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 9 ) Esercizio 7 +. Il ite si presenta nella forma indeterminata + +. Conviene pertanto trasformare la funzione tramite una razionalizzazione del tipo = + ) = = Pertanto ) + = = che risulta ancora indeterminato ma della forma /. Poiché però il grado del numeratore e del denominatore sono uguali ad / ci si aspetta un ite finito. Difatti + + ) = = + =. Esercizio Il numeratore e il denominatore sono infiniti +3. ma del medesimo ordine = ) per cui il ite è finito. Infatti poiché +, = e perciò = + ) ) = =. 3 Esercizio Il numeratore è un infinito di ordine / inferiore a quello del denominatore ). Il ite pertanto dovrebbe essere nullo. Infatti + ) + = + = + + ) + ) = 0 in quanto + 3 = + e i rimanenti termini possiedono iti finiti e positivi. +4 Esercizio 0. Razionalizzando il numeratore = ) = =

14 0 Esercizi risolti sulle forme indeterminate + Esercizio. Il ite porta ad una forma indeterminata di 0/0. +3 Per risolverlo razionalizziamo sia il numeratore che il denominatore in modo da fattorizzare un termine del tipo responsabile della indeterminazione. Allora = + ) +3+ ) = +3 4) ++ ) ) +3+ ) = +) ) ++ ) +3+ = +) ++ ) 4+ = + ) = 3 4 Esercizio 8 9. In questo caso, dato che 4 ) =, conviene porre t = 4 e quindi, notato che 8 t = 3, ricondurre il ite della funzione irrazionale a quello di una funzione razionale = t 3 3 t 9 t = t 3 3+t = Limiti indeterminati coinvolgenti funzioni goniometriche I casi di forme indeterminate per iti coinvolgenti le funzioni goniometriche si affrontano generalmente trasformando la funzione f) di cui si vuole il ite mediante le identità goniometriche soddisfatte dalle funzioni elementari coinvolte, in modo tale da giungere, sen in genere, al ite fondamentale 0 = o a iti da questo dedotti. Il tipo di trasformazione da effettuare viene, volta per volta, suggerito dal particolare ite ma la vastissima gamma dei iti non permette di indicare un metodo per associare una particolare trasformazione ad un particolare ite. Va tenuto ben presente inoltre che il ite fondamentale ha valore π/80 nel caso che la variabile sia espressa in gradi ossia sen = π sen3 Esercizio 3. Il ite si risolve facilmente riscrivendo la funzione tramite 0 la nuova variabile 3 = y sen3 seny = 0 y 0 y = 3 3) seny = 3 = 3, y 0 y

15 Esercizi risolti sulle forme indeterminate incuisidevenotareche 0 y = 0. Taleitepuòessereesteso, potendosidimostrare in tutta generalità che senm = m. 0 cos Esercizio 4 0. Questo ite si presenta nella forma 0/0, risulta particolarmente importante, e verrà risolto in due modi diversi: a. moltiplicando numeratore e denominatore per il fattore + cos, cos 0 +cos +cos = cos 0 = 0 sen = + = +cos +cos = 0 sen ) +cos e dove si è considerato il ite fondamentale. b. il ite proposto si può ricondurre più direttamente al ite fondamentale utilizzando la formula di bisezione cos = sen. Sostituendo questa identità si ha cos 0 = sen 0 = 0 sen sen 0 4 ) = ) = y 0 seny y ) = =, e dove, analogamente al precedente esempio, si è considerato che y =. sen5 Esercizio 5. Limiti di questo genere si riconducono facilmente al ite 0 sen fondamentale con l accorgimento di moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per la variabile. Difatti sen5 0 sen = sen5 0 sen = sen sen = 5 = 5. Generalizzando si ha senp 0 senq = p q. Esercizio 6 sen. Questo ite si riconduce facilmente a quello fondamentale se si riscrive la funzione ± come ± sen = ± sen/). / Introdotto il cambio di variabile t = / tale che ± / = 0± il ite diventa

16 Esercizi risolti sulle forme indeterminate sen ± = sent =. t 0± t sen sen a Esercizio 7. Il ite è nella forma 0/0. Per ricondurlo al ite fondamentale trasformiamo in prodotto, con le formule di prostaferesi, la differenza a a sen sen a responsabile dell annullarsi del numeratore. Allora sen sena)sen+sena) sen sena = sen+sena) a a a a sen a ) cos +a ) = sen+sena) a a sen a ) = a a ) cos +a sen+sena); posto a = y e notato che a y = 0, il ite diventa seny cosy +a) [seny +a)+sena] = cosa sena = sena. y 0 y Dagli esempi finora presentati emerge come sia importante acquisire dimestichezza con le molteplici forme che possono assumere i iti onde riconoscere, su tale base, la trasformazione più opportuna. cos+sen Esercizio 8. Il ite proposto rientra nella forma indeterminata 0/0 e per la sua soluzione si possono seguire strade diverse. Ci si deve però rendere 0 cos sen conto che per 0 è il seno o la tangente) a diventare zero e non il coseno. Quindi bisogna trasformare in modo da ottenere come fattore, sia al numeratore che al denominatore, un seno o una tangente). { cos = sen bisezione) Ricordando allora che sen = sen cos si ha duplicazione) cos+sen 0 cos sen = sen +sen cos 0 sen sen cos sen sen = +cos ) 0 sen sen cos ) = 0 sen +cos sen cos = 0+ 0 =. Se si vuole la tangente come fattore al numeratore e al denominatore, si usino le formule che esprimono il seno e il coseno in termini di tg = t ossia ) t t +t )+ +t +t ) t 0 t t +t ) +t +t = t 0 +t +t t +t tt+) = t 0 tt ) = t+ t 0 t =

17 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 3 dove si deve notare che 0 t = 0. sen 4 Esercizio 9 0 cos). Per evidenziare il ite fondamentale è immediato riscrivere tale ite come sen cos) = sen per cui, in base anche all importante ite 0 cos cos sen 4 ) 0 4 = 4 = 4. cos ) =, si ottiene sen 4 Esercizio 30 0 cos) 3. Inmodoanalogoalprecedenteitesipuòtrasformare la funzione nella 4 sen 4 cos) 3 = sen4 4 cos) 3 = sen4 4 cos) 3 = sen4 6 4 cos ) 3 per cui il ite diviene sen cos ) 3 = + in quanto 0 = + mentre i restanti due iti e 8) sono finiti e positivi. cos Esercizio 3 0 sen. A seguito della presenza del termine ad argomento 3 del coseno dovremo introdurre al denominatore un termine pari a ) per risolvere l indeterminazione originata dal numeratore ossia ) cos cos 0 sen 3 = sen 3. Per lo stesso motivo, notata la presenza di sen 3 converrà riportarci al ite fondamentale riscrivendo identicamente 4 = 4 9 3) cioè ) cos 4 ) cos 0 4 sen 3 = ) sen 3 [ ] cos = 0 ) 4 ) 3 9 sen3 Posto t = e z = 3 valgono i iti 0 [ ] cos ) = t 0 cost t = ) 3 z ) = = 0 sen3 z 0 senz

18 4 Esercizi risolti sulle forme indeterminate dai quali e per il teorema del prodotto tra iti, discende cos 0 sen 3 = 4 9 = 9. 3+tg Esercizio 3 0 sen+tg. Trasformando la funzione come ) 0 3+ tg sen + sen cos ) = 0 sen 3+ tg + sen cos tg emergono, oltre a quello fondamentale, i due iti 0 e 0 sen cos. Quest ultimo risulta banale essendo g) = sen cos una funzione continua in = 0 mentre per l altro tg 0 = sen 0 = =. cos Ne segue che 0 sen 3+ tg + sen cos = = 4. cos Esercizio 33. Utilizzando la formula di bisezione cos = sen 0+ è possibile trasformare il ite in 0+ sen = 0+ sen = = avendo considerato sen > 0 in quanto 0+ : un metodo alternativo razionalizza invece il numeratore cos +cos cos = 0+ +cos 0+ +cos sen = 0+ +cos = =, e dove sen = sen = sen avendosi sen sen Esercizio 34 π± sen. Il ite rientra nella forma 0/0. Razionalizzando il numeratore riscriviamo identicamente π± +sen sen sen = π± +sen sen) +sen+ sen) sen +sen+ sen) sen = π± sen +sen+ sen)

19 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 5 Poiché π± /sen = mentre π± +sen+ sen = fπ) = si ottiene +sen sen π± sen =. 3 Esercizio 35. Il fattore che annulla il denominatore è certamente 0 tg sen sen per cui conviene fattorizzarlo. A tal fine il ite si riscrive 0 3 sen = cos ) 0 3 cos sen cos) : per giungere a dei iti noti basta trasportare opportunamente 3 al denominatore 0 cos [ sen cos) 3 ] = 0 cos sen cos ) = =. Esercizio 36 ln lnsen. Iliteconduceallaformaindeterminata+ 0+ che, in base alle proprietà dei logaritmi, facilmente si può ricondurre alla 0/0. Difatti ) ln 0+ sen = ln 0+ sen : La funzione si può interpretare come composta da y = sen e dalla funzione logaritmo. Ne segue che, notato come sia 0+ y =, il ite assume la forma ln y y ) = lny = ln ) = ln. y Esercizio 37 tg sen). La forma indeterminata coinvolta è la 0. Riportata quindi la funzione nella forma in cui l indeterminazione sia la 0/0 o / ) π riscrivendo la tg, π sen sen), cos e ricordando che il coseno si annulla a π/, l obiettivo da perseguire sarà quello di fattorizzare sia al numeratore che al denominatore un tale termine. A tale scopo moltiplichiamo e dividiamo per +sen, π sen sen)+sen) cos+sen) = π = π sencos cos+sen) sencos +sen = 0 + = 0.

20 6 Esercizi risolti sulle forme indeterminate Esercizio 38 tg)tg. La forma cui si giunge è ancora la 0. Utilizzando π 4 la formula di duplicazione per la tangente, riportiamo tutto alla tg : tg) π 4 tg tg = tg) pi 4 = π 4 tg tg)+tg) tg +tg = + =. Come si può constatare si è fattorizzato al denominatore il termine tg ) responsabile del suo annullamento per π 4, rimuovendo in tal modo l indeterminazione. 4. Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche Nel caso delle funzioni derivanti da quella esponenziale i metodi presentati finora rimangono validi in particolare, in tutti quei casi in cui ci si può riportare a funzioni composte dove una delle funzioni componenti risulta un esponenziale o un logaritmo. È d altra parte necessario conoscere il ite fondamentale + + ) = e, al quale spesso ci si dovrà riportare per rimuovere le indeterminazioni. ) Esercizio 39 ln +. La funzione si può considerare come una funzione composta f[g)] con l argomento g) = +. Quest ultimo per + presenta una indeterminazione del tipo +, per cui il ite richiesto si potrà determinare solo se si risolve questa indeterminazione. Con i metodi già visti, conviene procedere ad una razionalizzazione + = + Pertanto ++ + ) ++ = + ++ = 0. ) ln + = lny =. + y 0+ Esercizio 40 ep ln. Anche questo ite può essere affrontato considerando la funzione ad argomento come una funzione composta 0+ ln dalle f) = e t e t = ln ln. Vaperciòcalcolatoperprimoilitedellatcheconduceadunaformadeltipo+ /. Raccogliendo a numeratore e denominatore la potenza massima di ln si ha ln 0+ ln = ln ) ln 0+ ln ) ln ln ) ln = 0+ ln =

21 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 7 in quanto 0+ ln =, 0+ ln = 0. Ne segue che ep ln 0+ ln = t et = 0. Esercizio 4. Il ite si presenta nella forma 0/0. Per poter ottenere 0 lg a +) il ite fondamentale si porta la al denominatore 0 lg a+) = 0 posto y = +) / si tratta di risolvere il ite +). 0 lg a +) /. Questo rientra nell elenco dei iti importanti essendo riconducibile immediatamente al ite fondamentale con la sostituzione t =. Poiché 0t = vale pertanto +) = + t = e, 0 t t) per cui 0 = lg a +) / y e lg a y = lg a e. a Esercizio 4. L indeterminazione 0/0 si risolve ponendo y = a da cui 0 discende = lg a +y). Inoltre 0 y = 0 per cui sostituendo si ottiene y 0 y lg a +y) che in base alle considerazioni viste nell esercizio precedente implica y 0 y lg a +y) = lg a e = lna. Interessante ed importante risulta il caso particolare per a = e di questo ite che assume la forma e =. 0 e Esercizio 43. È facile ricondurre questo ite a due iti conosciuti. 0 sen Moltiplicando e dividendo per numeratore e denominatore si giunge a e 0 sen = e = =. 0 sen

22 8 Esercizi risolti sulle forme indeterminate cos Esercizio 44 0 e ). In modo analogo a quanto fatto nel precedente esercizio, si ottiene cos 0 e ) = cos ) 0 e ) = cos 0 e = =. Esercizio 45. Ricordando che un espressione del tipo [f)] g) si può riscrivere come il ite diviene [f)] g) = e ln[f)]g) = e g)lnf) e ln = e, ln per cui è conveniente affrontare il ite dell esponente ln. Posto quindi = y è y = 0 per cui ln+y) = ln+y) y. y 0 y y 0 Con un ulteriore sostituzione di variabile z = y e notato che y 0z =, il ite si riscrive ln + z = lne =. z z) Il ite originario è pertanto e ln = t et = e = e. Esercizio 46 ln 3. Riscritto, in base alle note espresse nell esercizio precedente, 0+ il ite come e ln3 ln 0+ si dovrà cercare il 0+ ln ln3 = 0+ Fattorizzato a denominatore il ln si giunge a 0+ ln ln = ln3 ln +) 0+ ln ln3+ln. ln3 ln +) = 0+ =

23 Esercizi risolti sulle forme indeterminate 9 ln3 in quanto 0+ ln = 0. Ne discende perciò ln3 = e y = e = e. 0+ y Esercizio 47 0 e e e e. Raccogliendo a fattore a numeratore il termine e e a denominatore e il ite assume la forma 0 e e ) e e 4 ) = 0 e e e 4. Il secondo fattore si può riportare a iti noti riscrivendolo come 0 e e e 4 = 0 e e dove si è utilizzato il noto ite 0 e =. 4 4 e 4 = 0 e e 4 e 4 = =, e a e b Esercizio 48. Esplicitiamo un fattore pari a e b riscrivendo il ite 0 nella forma e a e b e a = 0 0 e b ) e b e b. Raccogliendo quindi a fattor comune il termine e b discende ebea b = e b 0 0 [ e a b) Posto t = a b) il ite del termine tra parentesi quadrate diviene ]. e a b) = a b) et = a b 0 t 0 t dove si è fatto uso dell importante ite 0 e )/ =. Poiché 0 e b =, si ha in definitiva e a e b = a b) = a b. 0 ) Esercizio 49 = + e. Sommando e sottraendo a numeratore o, in alternativa, eseguendo la divisione tra e +, l argomento del ite si riscrive come + + ) = + ). +

24 0 Esercizi risolti sulle forme indeterminate Se ora poniamo t = + ) per cui = t e osserviamo che t =, il precedente si riscrive come + ) t t t ma, sfruttando le proprietà dell esponenziale, abbiamo pure Ora il ite del primo fattore è + + t t) ) t. ) t + = +0) t t) =, mentre il secondo fattore possiamo riscriverlo come [ + t = + t t) )] t t t per cui, tenuto conto del ite fondamentale, discende t [ + )] t = e. t Ripreso infine il ite originario con la sua riscrittura ), il teorema del prodotto fornisce il risultato ) = t t) ) t = e = t e. Esercizio 50 cos) / = e. Per risolvere questo ite riscriviamo il suo argomento come un esponenziale a base costante riprendendo quanto detto nell esercizio 0 45 ) = ep 0 cos)/ 0 lncos. Ad argomento del logaritmo sommiamo e sottraiamo [ ] ep 0 ln +cos) e quindi modifichiamo, identicamente, il primo fattore ad esponente come [ ] cos ep 0 cos ln +cos). )

25 Esercizi risolti sulle forme indeterminate Riconosciamo nel primo fattore dell esponente un termine noto e il cui ite è cos 0 =. Si può risalire al ite dei restanti due fattori se lo riscriviamo nella forma 0 ln[+ +cos)] = cos 0 ln[+ +cos)]/ cos). ) Posto e notato che il ite ) diviene e, per il ite fondamentale, fornisce t = cos ) =, 0 cos [ ln + ] t t t [ ln + t [ = t t] ln + t = lne =. t t] Ripreso il ite iniziale nella forma ) abbiamo in definitiva [ ] [ ] cos ep 0 cos ln +cos) = ep ) = e / =. e

26 Limiti fondamentali e importanti Limiti fondamentali: sen = + = e 0 ) Limiti importanti collegati: cos 0 = 0 +) = e senm ln+) = m = 0 0 senp 0 senq = p q a = 0 lg a e = lna tg 0 = e = 0 a p 0 a q = p q + α ) = e α

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