Lezioni di Topografia

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1 progetto didattica in rete getto Dipartimento di Georisorse e Territorio Politecnico di Torino, dicembre 000 didattica in ret Lezioni di Topografia Parte III - Strumenti e metodi di misura A. Manzino otto editore

2 DISPENSE DI TOPOGRAFIA PARTE III STRUMENTI E METODI DI MISURA A. MANZINO Otto Editore P.zza Vittorio Veneto Torino

3 INDICE PARTE TERZA STRUMENTI E METODI DI MISURA 9. STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE PREMESSE SU ANGOLI AZIMUTALI, DISTANZE ZENITALI E DISLIVELLI SCHEMA TEORICO DI FUNZIONAMENTO DEL TEODOLITE MESSA IN STAZIONE DI UN TEODOLITE...3 Resa verticale dell'asse primario del teodolite...3 Messa in stazione: il treppiede...5 Messa in stazione: il piombino a gravità, il piombino ottico ed il centramento forzato MEZZI E GLI ORGANI DI COLLIMAZIONE...6 Il cannocchiale astronomico...6 Il cannocchiale anallattico...7 Caratteristiche di un cannocchiale...7 Le mire MEZZI TRADIZIONALI PER LA LETTURA GONIOMETRICA AI CERCHI MEZZI PER APPREZZARE PICCOLI INTERVALLI DI GRADUAZIONE CONDIZIONI E MEZZI DI RETTIFICA DI UN TEODOLITE Condizioni intrinseche di rettifica Gli errori che influenzano le letture azimutali Errore di inclinazione, collimazione, verticalità ed eccentricità Errori di graduazione dei cerchi La misura degli angoli zenitali i

4 Gli errori che influenzano le letture zenitali... 0 I compensatori: il compensatore automatico del cerchio verticale, i compensatori dei cerchi azimutali TEODOLITI ELETTRONICI, LE STAZIONI TOTALI E LE STAZIONI INTEGRATE... 3 Princìpî di misura dei teodoliti elettronici... 3 La lettura assoluta... 4 I principi di funzionamento del metodo di lettura incrementale... 6 I metodi adottati dalle principali case costruttrici LIVELLAZIONI PREMESSA I VARI TIPI DI LIVELLAZIONE... 3 Livellazioni indipendenti dalla distanza Livellazioni dipendenti dalla distanza LA LIVELLAZIONE GEOMETRICA La livellazione geometrica dal mezzo Errori di curvatura e di rifrazione La livellazione geometrica da un estremo La livellazione geometrica reciproca Le livellazioni geometriche di precisione LE STADIE AUTOLIVELLI LIVELLI ELETTRONICI IL CODICE BINARIO CALCOLO DELL'ERRORE DI SRETTIFICA E RETTIFICA DI UN LIVELLO LA LIVELLAZIONE TRIGONOMETRICA Livellazione trigonometrica da un solo estremo Livellazione reciproca simultanea in presenza della rifrazione Come si ricava l'indice di rifrazione K da misure reciproche Precisione della livellazione trigonometrica LA LIVELLAZIONE ECCLIMETRICA UTILIZZANDO TEODOLITE E DISTANZIOMETRO Precisione della livellazione ecclimetrica INSERIMENTO DI UNA DISTANZA MISURATA IN CARTOGRAFIA INSERIMENTO DI UNA DISTANZA MISURATA NOTE LE QUOTE DEI DUE ESTREMI... 6 ii

5 11. LA MISURA DIRETTA DELLA DISTANZA I DISTANZIOMETRI (EDM/EODM) La misura delle distanze con i distanziometri ad onde I distanziometri elettro ottici EODM Il metodo della misura della fase Precisione degli EDM Misura delle ambiguità n con due frequenze vicine negli EODM Misura dell ambiguità n col metodo delle decadi Misura dell ambiguità con due frequenze prossime e la terza maggiore L onda portante e l onda modulante Operazioni sulle onde ricevute e trasmesse Precisione degli EODM Il Mekometro Kern ME Il metodo della misura ad impulsi I PRISMI L influenza della rifrazione atmosferica negli EDM METODI DI RILEVAMENTO E SCHEMI DI MISURA LA RETE DI INQUADRAMENTO NAZIONALE RILIEVO DI INQUADRAMENTO, DI INFITTIMENTO, DI DETTAGLIO STRUMENTI E SCHEMI DI RILIEVO La strumentazione GPS Schemi di reti GPS Teodoliti EODM, Stazioni totali Misure con nastri, misure di allineamento, misure con squadri Gli allineamenti Misure con squadri Gli schemi di inquadramento ed infittimento altimetrico I PROGRAMMI DI PROGETTO E COMPENSAZIONE DI RETI GEODETICHE La separazione della planimetria dall altimetria Reti planimetriche: carte di Gauss o piano topografico Reti: equazioni generatrici e compensazione minimi quadrati Compensazione e progetto: valori in ingresso ed uscita Reti: il sistema di riferimento (datum) Equazioni generatrici di una rete planimetrica Distanza dij Azimut ϑij Direzioni azimutali tij Angoli azimutali αijk Allineamenti e distanze lungo un allineamento Esempio di calcolo e compensazione di una rete planimetrica Tabulato di uscita di CALGE iii

6 PARTE III STRUMENTI E METODI DI MISURA 9. STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE 9.1 PREMESSE SU ANGOLI AZIMUTALI, DISTANZE ZENITALI E DISLIVELLI Si definisce angolo azimutale AÔB la sezione normale dell'angolo diedro formato dai due piani del fascio che ha per generatrice la verticale n per O e passanti per A e B (vedi fig. 9.1). A B n z(a) 0 Fig. 9.1 Definizione di angoli azimutali distanze zenitali e dislivelli. 1

7 Si definisce distanza zenitale del punto A, l'angolo Z(A) appartenente al piano verticale passante per O ed A definito dalla verticale n e dal vettore OA. Dicesi distanza reale OA la lunghezza del segmento di retta che congiunge due punti O ed A, mentre dicesi distanza topografica o distanza, la lunghezza dell'arco di geodetica sulla superficie di riferimento che unisce i due punti. Dicesi infine dislivello OA la differenza di quota tra il punto A ed il punto O (dislivelli e quote ove non specificato sono da intendersi ortometrici). 9. SCHEMA TEORICO DI FUNZIONAMENTO DEL TEODOLITE Per la misura di angoli azimutali e delle distanze zenitali si utilizzano goniometri particolari denominati teodoliti, lo schema del teodolite è visibile in figura 9.. Il sistema di funzionamento di questi strumenti è di tipo meccanico, il sistema di lettura dei cerchi può essere ottico e/o elettronico. La prima operazione che è possibile compiere è rendere verticale (diretto secondo n) l'asse di rotazione a 1, od asse primario, attorno a cui ruota un supporto ad «U» detto alidada. Fra i bracci dell'alidada è incernierato il cannocchiale ruotante attorno all'asse secondario a. Si definisce infine asse di collimazione a 3 l'asse congiungente il centro del reticolo, (che è l'organo che permette il puntamento di un particolare) col punto nodale interno del sistema obbiettivo. Fig. 9. Schema di un teodolite tradizionale.

8 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE A strumento rettificato questi assi devono essere a due a due perpendicolari fra loro; l'intersezione ideale di questi assi definisce il cosiddetto centro strumentale. Come detto, l'ipotesi di base è poter rendere verticale l'asse primario, ciò si realizza attraverso due strumenti: la livella sferica e la livella torica raggiungendo il risultato con media approssimazione con la prima ed affinando di molto il risultato con la seconda. La livella torica è solidale all'alidada. 9.3 MESSA IN STAZIONE DI UN TEODOLITE La messa in stazione di un teodolite si attua con queste due operazioni: resa verticale dell'asse primario far si che l'asse primario passi per il punto materializzato a terra (il punto O di fig. 9.1). Resa verticale dell'asse primario del teodolite L'alidada ruota sulla base del teodolite, entro la quale è contenuto il cerchio graduato per le osservazioni azimutali. Alcune volte la base è costituita da un corpo unico che viene fissato al treppiede attraverso una robusta vite, in altri casi, mediante un aggancio a baionetta con tre perni è fissata alla basetta (fig. 9.) detta anche tricuspide di base. La basetta del teodolite è dotata di tre viti dette viti di base, poste sui vertici di un triangolo equilatero, al centro di questo triangolo vi è un dispositivo ottico (piombino ottico) che permette la collimazione di un riferimento nella direzione nadirale dell'asse primario. Attraverso le tre viti o razze di base è possibile rendere verticale l'asse a 1. Per raggiungere lo scopo prefisso, si parte col rendere orizzontale il piano normale ad a 1, ciò si realizza rendendo orizzontali due rette perpendicolari, appartenenti a questo piano. Per rendere orizzontale un asse si sfrutta uno strumento semplice detto livella torica. La livella torica è una fiala di vetro con la superficie interna toroidale entro la quale è contenuto per gran parte liquido a bassa viscosità (etere od alcool ad esempio) e basso punto di congelamento. Il pelo libero tra il liquido ed i suoi vapori (bolla) si dispone normalmente alla linea di forza di gravità passante per la livella, la tangente al centro della bolla si dispone dunque sempre orizzontale. l i l a V A B Fig. 9.3 La livella torica. 3

9 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Sulla fiala è tracciata una graduazione divisa in genere ogni due mm. La tangente alla superficie torica nel punto di mezzo della graduazione è detta tangente centrale. Condizione di rettifica della livella è che quando la retta AB (in fig. 9.3 idealizza una direzione del piano di appoggio) è orizzontale, la lettura alla tangente centrale sia uguale a zero. Tale lettura è ottenuta facendo la media delle letture ai due peli liberi del liquido ( l i e l a ). È detta sensibilità della livella, l'angolo di cui la si deve ruotare sulla sua linea d'appoggio affinché la bolla si sposti di 1 mm. Tale sensibilità, nei teodoliti di buona precisione, è attorno ai 10". Se la condizione di rettifica non è verificata è possibile imporla ruotando opportunamente la vite di rettifica V. Si osservi la figura 9.4a: se la direzione di appoggio della livella è inclinata di un angolo ν, rispetto all'orizzontale, è possibile che la lettura alla bolla sia ugualmente zero solo nel caso che l'errore di srettifica sia dello stesso valore e di segno contrario. Ruotando la livella attorno all'asse r, che prima era verticale e formante un angolo - ν con la direzione AB, il pelo libero del liquido ruota di un angolo di grandezza (ν +ν) e pari alla lettura l (fig. 9.4b). A C l=0 l=0 / r v B D v v A C B tg centrale D Fig. 9.4a - 9.4b Per rettificare la livella è sufficiente a questo punto agire sulla vite di rettifica sino a compiere la lettura l. C razze di base 3 A 1 B Fig. 9.5 Disposizioni della livella per rendere orizzontale un piano. 4

10 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Per rendere verticale l'asse primario occorre dunque eseguire queste operazioni: 1. si esegue la lettura zero sulla livella torica (si centra); quando questa è parallela a due razze di base (posizione 1 in fig. 9.5) con l'uso delle viti A e B;. si verifica la condizione di rettifica ruotando di π l'alidada: la livella assume la posizione della figura 9.5; se necessario si rettifica; 3. Si porta la livella in direzione perpendicolare alle razze già utilizzate (posizione 3) e si centra ancora la bolla con la vite C. Queste operazioni si eseguono iterativamente in genere due o tre volte sino a raggiungere un centramento della bolla soddisfacente in tutte le direzioni. Durante il primo passo si agisce di solito su entrambe le viti A e B con rotazioni di uguale misura e contrarie in segno. Se è necessaria una rettifica si agisce per i motivi già indicati per metà sulla vite di rettifica e per metà ruotando le viti A e B, infine, per il terzo passo, si agisce sulla vite C, o sulle A e B se la vite C fosse già a fondo corsa, ma, in questo caso in una stessa direzione di rotazione. Messa in stazione: il treppiede Il treppiede, di legno o metallico, permette l'appoggio dello strumento sul piatto situato sulla testa metallica, ove convergono le tre gambe solitamente di estensione regolabile. La testa metallica ha un foro circolare di qualche cm di diametro che permette il passaggio di una vite (vite di fermo) che ha una certa escursione all'interno del foro e consente, a contrasto, l'aggancio al sovrastante teodolite. Il treppiede si utilizza nei rilievi nei quali non sia richiesta una altissima precisione. In altri casi infatti si preferisce costruire appositi pilastrini in cemento armato sui quali appoggia una piastra di acciaio opportunamente sagomata, sulla quale a centraggio forzato, si innesta il teodolite. Messa in stazione: il piombino a gravità, il piombino ottico ed il centramento forzato La testa del treppiede è opportuno che venga posta approssimativamente orizzontale poiché le viti calanti del teodolite hanno un'escursione limitata a pochi cm. Per ottenere che la verticale dell'asse primario cada sul punto materializzato a terra, si cerca di traslare adeguatamente il treppiede, prima ad occhio e poi con l'aiuto di un piombino a gravità, innestabile entro la vite di fermo. Per il perfezionamento dell'operazione si può contare, limitatamente a quanto detto sopra, sia sulla variazione della lunghezza delle gambe, sia sull'escursione della vite all'interno del foro sito sulla testa del treppiede. Un buon piombino a gravità consente una accuratezza di centramento dell'ordine di uno o due mm, vento permettendo. La lunghezza del filo è regolabile ed adattabile all'altezza del treppiede. Un miglior centramento sul punto a terra si ottiene attraverso l'uso del piombino ottico, da utilizzare solo quando il piano di rotazione dell'alidata è stato reso orizzontale con discreta precisione. Le operazioni sopra descritte possono richiedere, specie in terreni difficili, parecchi minuti (10 o 15), per cui sono piuttosto onerose nell'economia del lavoro. Da qualche decennio le case costruttrici hanno brevettato dei sistemi per evitarle nel caso si debba rimettere sullo stesso punto lo strumento, o cambiare la posizione di una mira con quella dello strumento. È possibile sconnettere il teodolite dalla 5

11 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE sottostante base - che era stata resa orizzontale - col semplice giro di una vite laterale o lo scorrimento di una levetta di base. Negli strumenti Leica-Wild, ad esempio, il teodolite, sollevandosi dalla base, evidenzia tre piccoli denti tronco conici di metallo disposti nella parte sottostante a triangolo equilatero che si innestano con le rispettive sedi di alloggio che rimangono sul basamento. Al posto del teodolite si può allora collocare un prisma od una mira, predisposte con gli stessi attacchi. I fori tronco conici consentono un centramento forzato coassiale a quello dello strumento appena tolto, con precisione sub-millimetrica. 9.4 MEZZI E GLI ORGANI DI COLLIMAZIONE Collimare un segnale o un oggetto vuol dire traguardarlo attraverso una linea ideale formata da due punti che, allineati con l'occhio, formano una linea di mira. Si possono osservare particolari più in dettaglio o più distanti se si utilizza un cannocchiale e ciò avviene con l uso del teodolite. Ciò che si collima può essere un particolare naturale del terreno o di un'opera antropica (campanili, case, piloni ecc.). Più di sovente vengono costruiti appositi segnali, diversi per forma e dimensioni a seconda della distanza dalla stazione, a seconda del tipo di rilievo da eseguire e dell'ambiente di lavoro, chiamati mire o segnali. Il cannocchiale astronomico Il più semplice schema di cannocchiale è quello astronomico di Keplero (o a lunghezza variabile), composto da due lenti chiamate obbiettiva ed oculare. L'oggetto è posto ad una distanza dalla lente obbiettiva molto più grande della distanza focale f 1 della lente stessa. L'immagine che si forma dopo la prima lente è reale, capovolta e rimpicciolita e viene raccolta su un piano materializzato da un vetrino ove vi è inciso un sottile reticolo. La seconda lente oculare ha il compito di ingrandire la prima immagine e, funzionando da microscopio semplice rispetto alla prima immagine, deve essere posta ad una distanza dal reticolo inferiore alla focale f della lente stessa. Fig. 9.6 Un tradizionale reticolo distanziometrico. 6

12 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE L'asse individuato dal centro ottico (punto nodale) della lente obbiettiva e dal centro del reticolo prende il nome di asse di collimazione. Tra i molti tipi di reticolo, i più usati sono quelli a croce semplice o a croce con bracci simmetrici (fig. 9.6). L'ingrandimento angolare di un cannocchiale è il rapporto tra la dimensione angolare di un oggetto osservato attraverso il cannocchiale e di quella di come appare osservandolo ad occhio nudo. Indicando con I questo rapporto, si può dimostrare che, in condizioni telescopiche, cioè quando il reticolo e l'oculare sono adattati ad osservare oggetti a distanza infinita vale: I = f 1 f dove f 1 ed f sono le distanze focali delle lenti obiettiva ed oculare. Il rapporto tra le focali è anche detto ingrandimento normale ed ha valori usuali compresi tra 10 e 40. Il cannocchiale anallattico I moderni cannocchiali differiscono da quello Kepleriano non solo per un'ottica più perfezionata, che riduce di molto le aberrazioni e le distorsioni attraverso l'uso di sistemi di lenti o di accoppiamenti acromatici, ma anche perché sono di lunghezza costante, permettendo la perfetta ermeticità alla polvere e all'umidità, oltre che una migliore precisione meccanica che migliora la stabilità dell'asse di collimazione. La lunghezza costante si ottiene inserendo all'interno una lente divergente mobile che serve per l'adattamento alla distanza, che è quell'operazione per cui si porta l'immagine prodotta dalle lenti obbiettive sul piano del reticolo. Lo spostamento della lente divergente è comandato da una vite esterna laterale che comanda una ghiera coassiale al cannocchiale. L'adattamento alla vista consiste invece nel porre la seconda immagine (virtuale) prodotta dalla lente oculare, ad una distanza, dal nostro occhio, pari a quella della visione distinta, e dovrebbe essere fatto preliminarmente. Siccome l immagine deve essere a fuoco sul piano del reticolo, è sufficiente ruotare una ghiera che trasla l'oculare sino a che si vede distintamente il reticolo. In generale si dice parallasse l'angolo sotto cui si osserva un oggetto. Nel caso dell'osservazione col cannocchiale dotato di reticoli a croce con bracci simmetrici paralleli al tratto orizzontale, si intende come angolo parallattico l'angolo sotteso dalle due rette ideali formate dai raggi luminosi che partono dall'estremità del reticolo e divergono sino a situarsi su una porzione dell'oggetto. Il punto di convergenza dei predetti raggi doveva collocarsi esternamente al cannocchiale nel caso di lunghezza variabile, mentre si può collocare in un punto, variabile in posizione, ma sempre molto prossimo al centro dello strumento, nel caso di cannocchiale a lunghezza costante. In questo caso il cannocchiale è detto centralmente anallattico. Caratteristiche di un cannocchiale L'ingrandimento si può misurare anche come rapporto tra due lunghezze. Si definisce così l'ingrandimento lineare E come rapporto tra le dimensioni dell'oggetto e quelle della sua immagine vista col cannocchiale. Si può facilmente dimostrare che: 9.1 E = 1 I 9. 7

13 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Il potere risolutivo del cannocchiale è corrispondente all'acuità visiva dell'occhio umano, amplificato dell'ingrandimento I. Il campo del cannocchiale ω, è l'angolo di quel cono che ha come vertice il punto nodale interno della lente obbiettiva e base la circonferenza del diaframma del reticolo. Un cannocchiale con grande campo è apprezzato perché permette di vedere ampie porzioni di territorio. Essendo però ω inversamente proporzionale a f 1, il campo è anche inversamente proporzionale all'ingrandimento I. La chiarezza del cannocchiale è il rapporto tra la quantità di luce che arriva da un oggetto visto col cannocchiale e la quantità di luce che arriva osservandolo ad occhio nudo. È facile dimostrare che anche la chiarezza è inversamente proporzionale ad I o, per l'esattezza, ad I. La collimazione viene fatta verso segnali provvisori o permanenti, prima cercando di dirigere il cannocchiale verso l'oggetto con l'aiuto di un mirino che sta sopra o a fianco del cannocchiale. Quando ad occhio, sembra centrata la direzione, è possibile bloccare prima la rotazione attorno all'asse primario del teodolite e quella del cannocchiale attorno all'asse secondario poi, attraverso due viti, dette viti dei grandi spostamenti. Si cerca quindi, guardando nel cannocchiale, che il particolare sia nel campo e si può perfezionare la collimazione in quanto, a viti dei grandi spostamenti bloccate, due altre viti, dette viti dei piccoli spostamenti, sia azimutali che zenitali, consentono di comandare rotazioni micrometriche. Dette rotazioni si apportano sino a che il centro del reticolo non coincide col centro dell'oggetto collimato. Sembra ovvio sottolineare che occorre curare la perfetta collimazione, per poter poi misurare correttamente gli angoli, ma spesso l'errore che si può commettere non curando una buona collimazione supera di molto quello imputabile all'approssimazione del goniometro. Le mire Come accennato, i punti da collimare possono essere particolari fisici del terreno che ben si prestino ad una individuazione univoca in senso planimetrico, se il problema è la sola individuazione planimetrica, o anche altimetrico, se occorre misurare anche le quote dei punti collimati. Si utilizzano a ciò segnali appositamente costruiti dalle principali case strumentali, diversi a seconda della distanza per la quale sono stati progettati. In casi particolari la collimazione può avvenire anche verso segnali provvisori quali centrini di carta o metallici, mire luminose o colorate, paline ecc. La dimensione del segnale, funzione della distanza, deve essere accuratamente scelta: segnali o mire troppo piccole sono poco visibili, ma se troppo grandi potrebbero permettere una non univoca collimazione. Per questo motivo, per le corte distanze si preferisce collimare verso segnali sottili fatti a «V» od a cerchi concentrici. La dimensione del segnale è così adattabile alla distanza, come lo è l'apertura delle braccia della «V». Sappiamo poi soprattutto che il potere separatore dell'occhio umano, con questo artificio, ne risulta sperimentalmente amplificato di un fattore 4 o 5. Alcune di queste mire sono retroillu- 8

14 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE minabili. Se non ci sono problemi di luminosità o visibilità atmosferica, la dimensione S del segnale che comincia a vedersi alla distanza d è data da: S = ( α d )I 9.3 ove α è il potere separatore dell'occhio umano in radianti pari circa a π/100 ( gon) ed I il numero degli ingrandimenti angolari del cannocchiale. (Il potere risolutivo è una misura lineare, il potere separatore è una misura angolare). Per le grandi distanze i problemi di luminosità sono solitamente più influenti di quelli relativi alla dimensione, anche se è evidente che un segnale grande riflette più luce ed è quindi più visibile di un segnale piccolo. In alcuni casi, piuttosto che aumentare le dimensioni del segnale, si preferisce creare una sorgente di luce piccola ma molto intensa, e ben orientata verso chi deve osservarla. L'elioscopio è uno strumento da tempo utilizzato, allo scopo di segnalare i punti trigonometrici per renderli visibili a lunghe distanze. È formato da uno specchietto mobile che viene disposto in modo da riflettere verso l'osservatore i raggi solari. Quando lo specchio è ben diretto, esso appare come una stellina brillante, visibile a decine di km di distanza. Di notte il sistema utilizzato è invece quello dell'arco voltaico o delle lampade ad acetilene che creano sorgenti puntiformi molto luminose. Queste tecniche di misura oggi possono sembrare superate con l avvento del GPS che non richiede intervisibilità. Per il tracciamento di gallerie o altre opere coperte, il riporto di un azimut è ancora un operazione che può avvenire con questi mezzi. 9.5 MEZZI TRADIZIONALI PER LA LETTURA GONIOMETRICA AI CERCHI I goniometri all'interno del teodolite sono due: uno situato su un piano che dovrà essere posto orizzontale ed un altro, per conseguenza, che rimarrà su un piano verticale. I centri di questi goniometri dovranno essere gli assi a 1 ed a. La graduazione è incisa solitamente su una corona circolare di cristallo, racchiusa e quindi nascosta e protetta da un'armatura metallica. I cerchi, essendo protetti dalle intemperie e dai colpi, necessitano di un percorso ottico loro proprio che permetta alla luce di illuminarli per poterli osservare, ottenuto con specchi e prismi. La complessità ottica e meccanica e la precisione di entrambe le funzioni giustificano i costi di questi strumenti, anche di alcune decine di milioni di lire. Nel caso di strumentazione elettronica tuttavia la lettura e la registrazione avvengono senza bisogno che l operatore osservi otticamente i due cerchi. L'illuminazione dei cerchi di un teodolite tradizionale avviene attraverso un foro laterale entro cui uno specchietto regolabile convoglia la luce solare o quella artificiale. I cerchi di cristallo, di solito del diametro tra i 5 e i 10 cm, vengono divisi in un certo numero n di parti secondo una graduazione che oggi è ormai quella centesimale. Le suddivisioni vengono fatte una volta per tutte su una matrice in scala più grande, ottenute con una «macchina a dividere» di elevatissima precisione e poi numerate secondo il sistema di graduazione. Sui cerchi di cristallo queste vengono infine riprodotte da una stessa matrice ridotta e stampata per fotoincisione con l'utilizzo di sali d'argento. 9

15 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Fig. 9.8 Un teodolite tradizionale. L'oculare di osservazione dei cerchi è solitamente separato e parallelo a quello del cannocchiale dello strumento. Il percorso ottico della luce dal cerchio all'oculare può essere anche assai complesso e fa uso di specchi, lamine piano-parallele, prismi o cunei ottici. In tutti i casi l'osservazione del cerchio è migliorata con l'interposizione sul cammino ottico di un microscopio semplice o composto. 9.6 MEZZI PER APPREZZARE PICCOLI INTERVALLI DI GRADUAZIONE Il nonio è il più antico sistema usato per misurare una parte di un intervallo di graduazione. È costituito da una scaletta ausiliaria affiancata a quella principale. La lunghezza corrispondente al numero di suddivisioni N della scala ausiliaria corrisponde a N 1 lunghezze delle suddivisioni della scala principale. L'approssimazione del nonio è pari al valore di una suddivisione principale diviso il numero di suddivisioni del nonio: a = L N La lettura viene fatta sotto l'indice di lettura della scala del nonio leggendo direttamente le parti intere. La porzione residua è pari all'approssimazione a del nonio, moltiplicata per il numero di parti che portano alla coincidenza di un tratto della scala del nonio con uno della graduazione principale. 10

16 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE ' 00" Fig. 9.9 Il nonio o verniero. Il nonio così descritto non è più utilizzato, ma se ne è parlato in quanto negli strumenti elettronici viene spesso utilizzato un meccanismo di stima della parte frazionaria della graduazione principale che è simile: incisa su un cristallo trasparente vi è una scala graduata in parti di larghezza leggermente minore o superiore a quella della suddivisione principale. Il passaggio della luce attraverso il cerchio graduato e questa seconda scala, prossima al cerchio, genera delle figure di diffrazione che variano a seconda della posizione di entrambe le divisioni, del cerchio e della scala del nonio. Queste figure, opportunamente rilevate, vengono digitalizzate elettronicamente e consentono di apprezzare le parti frazionarie con accuratezza anche di 1/100 della graduazione principale. Il microscopio a stima è un metodo semplice di lettura dei cerchi: per realizzarlo basta interporre un reticolo all'interno del cannocchiale di osservazione dei cerchi. La lettura viene fatta in corrispondenza del reticolo leggendo le parti intere di angolo che precedono il filo del reticolo e stimando, solitamente come percentuale che viene tradotta mentalmente in termini di frazioni di angolo, la porzione residua compresa tra un tratto della graduazione principale. Fig Microscopio a stima. Lettura =.4 gon. 11

17 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Il microscopio a scala è una variante al precedente metodo: anziché avere un reticolo semplice costituito da un filo, si produce un reticolo a scala, cioè fatto da tanti tratti equidistanti in un numero di parti sottomultiplo del valore inciso sulla graduazione principale (ad esempio 60 o 100 a seconda del sistema di graduazione). Il reticolo è posto più in alto o più in basso rispetto alla graduazione principale, da cui parte un filo in corrispondenza di un valore angolare esatto che serve da indice di lettura. L'escursione di questo filo su tutta la scaletta corrisponde all'escursione di una traccia di graduazione intera sulla scala principale. Ad esempio, se la suddivisione fosse in gon per la scala principale, si può trovare una scala suddivisa in cento trattini e cioè in primi centesimali (cgon). I mezzi sopra descritti non consentono elevate precisioni di misura. Nei teodoliti ove ci si voglia spingere al di sotto di 5 mgon, si ricorre a sistemi micrometrici ove viene sfruttato meglio il numero di ingrandimenti o il potere separatore dell'occhio umano nel realizzare la coincidenza o la bisezione. V V H H Fig Microscopio a scala. Lettura H = Questi sistemi sfruttano in genere una lastra piano parallela di adeguato spessore, interposta sul cammino luminoso di osservazione dei cerchi; una rotazione sensibile di essa può corrispondere ad uno spostamento micrometrico dell'asse di collimazione che ispeziona il goniometro. La rotazione i della lastra piano-parallela a cui corrisponde un piccolissimo spostamento d, si può così stimare meglio di quanto si possa fare per d. Infatti essa è legata linearmente a d oltre che allo spessore della lastra s ed al coefficiente di rifrazione relativo n del cristallo dalla relazione: d = si n n Nello schema in figura 9.1, ad esempio, il reticolo è costituito da due tratti paralleli fissi che normalmente cadono in una posizione intermedia interna ad un tratto di graduazione principale. Una lastra piano-parallela interposta sul cammino ottico e comandabile con una vite esterna può portare a bisecare i due fili con un tratto esatto della graduazione principale. La rotazione corrispondente a questo spostamento può leggersi su un tamburo la cui graduazione è visualizzata all'interno del 1

18 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE cannocchialetto di misura degli angoli, è ingrandita ed osservata col sistema del microscopio a stima V H Lettura: V = Fig. 9.1 Microscopio a micrometro ottico. Alcune case costruttrici adottano il sistema della coincidenza delle immagini che sfrutta la proprietà dell'occhio umano di aumentare il potere separatore di circa quattro volte quando l'occhio debba stimare la coincidenza esatta di due tratti o la bisezione di un tratto all'interno di altri due (si veda la fig. 9.13) e che permette anche l'osservazione diametrale opposta dei cerchi Lettura: V = Fig Schema di lettura a coincidenza di immagini. Vengono portate nel campo del cannocchiale di osservazione angolare due immagini corrispondenti a due zone diametralmente opposte del cerchio, l'una in una parte sottostante l'altra che gli è sopra e capovolta. Sul percorso di ognuna delle due immagini è inserita una lastra piano-parallela che un semplice meccanismo ad ingranaggi regola in modo che la rotazione di una sia uguale e di verso opposto a quella dell'altra. Normalmente le due scale che sono accostate specularmente non combaciano. Se ad esempio su quella che si legge diritta vediamo la tacca di un angolo intero su quella superiore capovolta l'angolo che si dovrebbe leggere (cioè il precedente più 13

19 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE l'angolo piatto) non è perfettamente a coincidenza, ciò in quanto è raro fare una lettura esatta all'angolo intero: la distanza fra queste due tacche rappresenta infatti il doppio della parte frazionaria della lettura da stimare che, sommata alla parte intera, costituisce la lettura angolare corretta. Per misurare (e non stimare ad occhio) questa parte possiamo deviare il percorso ottico di entrambe le semi - immagini (secondo quantità misurabili) sino portarle a coincidenza, attraverso la rotazione di una vite che comanda la rotazione contemporanea di due lastre piano-parallele. Il risultato è che ad un apparente spostamento orizzontale in un senso dell'immagine inferiore corrisponde un eguale spostamento in senso opposto di quella superiore capovolta. Lo spostamento che realizza la coincidenza, corrispondente a metà del tratto ancora da stimare, va sommato alla lettura intera della più piccola suddivisione principale che si legge direttamente sul cerchio anche senza l'aiuto di un indice di lettura. Questo indice potrebbe infatti anche essere omesso, perché è evidente quale incisione della graduazione diritta coincida con quella superiore su un angolo più grande di π. Anche qui, come nel caso precedente, la rotazione delle lamine piano-parallele è trasformata in un valore angolare letto su una seconda scala micrometrica visualizzata accanto alla scala principale. Altre case costruttrici, anziché utilizzare questo metodo, inseriscono sul percorso ottico, che proviene dagli opposti lembi del cerchio, delle coppie di cunei ottici emisimmetrici traslabili in altezza. Lo spostamento lineare tra le facce prospicienti questi cunei si traduce in uno spostamento angolare uguale e contrario tra le porzioni di cerchio visualizzate diritta e capovolta. La sensibilità nella misura angolare può spingersi anche ad una frazione di secondo centesimale (s < 0.1 mgon cioè 1 cc ). La precisione conseguente, nel caso ad esempio in cui s = 10 4 gon sarebbe di = Questa sensibilità è rarissimamente raggiunta con i moderni teodoliti digitali a cerchio codificato. È da mettere bene in evidenza tuttavia che la precisione di misura angolare non coincide con quella di lettura, per la presenza congiunta di numerose altre cause di errore, fra queste, che in seguito esamineremo, l'errore di eccentricità dell'alidada è automaticamente eliminato dalla lettura diametrale, poiché la media delle due letture diametrali, ottenuta per via ottica, ne è esente. 9.7 CONDIZIONI E MEZZI DI RETTIFICA DI UN TEODOLITE Condizioni intrinseche di rettifica Un teodolite si dice intrinsecamente rettificato quando sono verificate le seguenti condizioni: 1. l'asse di rotazione a 1 dell'alidada passa per il centro del goniometro azimutale ed è perpendicolare al suo piano;. l'asse di rotazione a del cannocchiale è normale ed interseca l'asse a 1 e passa per il centro del relativo goniometro, cioè quello verticale; 14

20 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE 3. l'asse a 3 di collimazione è normale all'asse a ; 4. i tre assi a 1, a ed a 3 si incontrano in un punto O detto centro del goniometro. Nelle normali condizioni lo strumento è posto in stazione con l'asse a 1 verticale e, per conseguenza di una corretta costruzione (rettifica), l'asse a si dispone orizzontale. Sull'asse a 1 passa quindi il centro del goniometro che misura angoli in un piano orizzontale, cioè angoli azimutali e sull'asse a vi è il centro del goniometro che sta su un piano verticale, in grado di misurare angoli zenitali, nadirali o d'inclinazione. Gli errori che influenzano le letture azimutali Quando le condizioni di rettifica sopra indicate non siano rispettate, le letture che si eseguono ai due goniometri non sono in realtà direzioni azimutali né distanze zenitali. Alcune condizioni di rettifica influenzano poco le misure azimutali e più quelle zenitali o viceversa. Si vedrà in seguito nel dettaglio come gli errori residui di rettifica influenzino le letture ai goniometri. Errore di inclinazione, collimazione, verticalità ed eccentricità Nel caso in cui l'asse a non sia orizzontale a strumento in stazione, si dimostra facilmente che l'errore di inclinazione i ha un'influenza ε i sulla lettura azimutale, funzione della distanza zenitale z: ε i = i ctg z L'errore ε i ha valore e segno contrario nel caso si effettui la misura angolare nella posizione di cerchio coniugata, cioè capovolgendo il cannocchiale: in tal modo si avrà l'obiettivo dalla parte dell'osservatore, si ricollimerà il punto ruotando l'alidada di un angolo piatto attorno ad a 1 per riportare l'oculare verso l'osservatore ed in direzione del punto. Durante questa operazione il cerchio verticale ha assunto una posizione simmetrica rispetto all'osservatore per cui le corrispondenti letture ai cerchi si dicono anche con cerchio verticale a destra (CD) e con cerchio verticale a sinistra (CS) e sono di seguito indicate con L s ed L d. Ora la lettura fatta al cerchio azimutale differirà di π ma l'influenza dell'errore ε i sarà di segno opposto a quella fatta sulla precedente porzione di cerchio. In tal modo la lettura corretta, fatta ad uno dei due cerchi si ottiene da: L L'errore di collimazione ε c è dovuto alla non ortogonalità tra gli assi a ed a 3. Detto c l'angolo che manca o che eccede l'angolo retto tra a ed a 3, si può dimostrare che l'influenza ε c sulla lettura azimutale vale: ε c L s + L d ± π = = c sinz

21 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE e che ha segno uguale e contrario sulle letture fatte ai lembi coniugati del cerchio. Anche in questo caso la lettura angolare corretta si potrà fare con la 9.5. a A 1 v z B A α c B β α' v C z b a=z γ R=1 O C Fig Errore di verticalità. L'errore di verticalità ε v non è dovuto alla costruzione, ma alla non verticalità dell'asse primario cercata durante la messa in stazione. Chiamato ν quell'angolo che manca all'asse a 1 perché sia diretto verticalmente dopo la messa in stazione, il calcolo dell'influenza di questo errore sulla misura degli angoli azimutali può essere fatto ricorrendo a considerazioni di trigonometria sferica. Immaginando l'asse inclinato di ν proiettato su una sfera unitaria (vedi fig. 9.14) si ha, dalla trigonometria sferica sul triangolo ABC: e, tradotta sul triangolo ABC: ma: sinβcotα = cotasinc cosccosβ sin( π α' ) cotα = cotz sinν cosνcos( π α' ) sin ν ν; cos ν sinα ' sinα ' cosα = ν cotgz cos( π α' ) sinα cosα cosα ' = νcotgz sinα sinα' sinα cosα' sinα = νsinα cotgz sin( α ' α ) = νsinα cotgz (α -α) è l influenza che ha l'errore di verticalità sulle misure dell'angolo orizzontale cioè: 16

22 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE ( α ' α ) = ε ν ε ν = ν sinα cotgz 9.8 L'influenza di tale errore non si può eliminare perché non si conosce a priori la direzione spaziale di a 1 e quindi l'angolo α. Tale errore è quindi sistematico ma rifacendo la messa in stazione, ritoccando le viti calanti, si può supporre che l'errore residuo di verticalità sia cambiato in modulo e verso, per cui influenza in modo differente le misure azimutali che, mediate con le precedenti, appaiono soggette ad un errore di tipo accidentale. L'errore di eccentricità dell'alidada è dovuto al fatto che l'asse a 1 non passa per il centro del goniometro azimutale e normalmente viene automaticamente eliminato con l'uso di strumenti che sfruttano il sistema di lettura coniugato. Indicata con ε l'eccentricità di tale asse, ipotizzata per semplicità nella direzione dello zero del goniometro, l'angolo vero di rotazione dell'asse di collimazione α differisce da quello misurato di: α ' = α ε Quando si effettua la misura angolare capovolgendo il cannocchiale e ruotandolo di un angolo piatto, la lettura L S sarà: L S = π+ ( α' ε) L S = π + L D ε ε L L S L D π = ε ; cioè S + L D π ε = La lettura corretta α' sarà allora: L α' L D ε L S + L D π L D S + L D π = = = che, come si vede, è ancora la 9.5. Riassumendo, si può vedere che la semi somma delle letture coniugate al cerchio orizzontale elimina l'influenza degli errori di inclinazione, collimazione ed eccentricità dell'alidada. Rimane non eliminato l'errore di verticalità che si cerca di rendere accidentale come già spiegato. Gli errori residui di rettifica sono quegli errori che rimangono anche dopo che lo strumento è stato controllato e rettificato poiché la sensibilità della livella dell'alidada o del goniometro, ovvero la nostra accuratezza nella rettifica è tale da non eliminare completamente la presenza di questi errori. Le misure degli angoli azimutali possono essere influenzate allora dalla presenza di errori residui di verticalità, di collimazione, di inclinazione, di eccentricità dell'alidada e del cannocchiale. Si è visto sopra però che, a parte l'errore di verticalità che non è eliminabile, per gli altri errori la lettura corretta è data dalla 9.5, che esprime una regola dovuta a Bessel: In un goniometro a cannocchiale capovolgibile è possibile eliminare nelle misure 17

23 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE angolari azimutali l'influenza degli errori residui di collimazione, inclinazione, eccentricità dell'alidada e del cannocchiale, eseguendo per ogni punto collimato la media delle due letture fatte agli indici diametralmente opposti, col cannocchiale in posizione CS e col cannocchiale in posizione CD. Errori di graduazione dei cerchi La suddivisione della graduazione del cerchio, pure essendo molto accurata, può essere non uniforme (precisa). Sperimentalmente le case costruttrici riescono a fornire delle curve d'errore nella graduazione dei tratti che evidenziano difformità angolari delle suddivisioni: alcune più grandi del dovuto su un tratto, altre più corte in un altro. Questi errori sono normalmente assai contenuti (attorno al secondo sessagesimale) e sono di tipo sistematico. Si può capire però che la somma degli errori, valutata su tutto l'angolo giro deve essere nulla. Si cerca perciò di eliminare questi errori sistematici di media zero, rendendoli accidentali col ripetere le osservazioni angolari su porzioni differenti di cerchio. Come valore più corretto si prenderà poi il valor medio della serie di misure angolari fatte. È dunque evidente che questo errore al tendere delle letture λ ad N, se N è il numero di suddivisioni del cerchio, o ad N/ per le letture diametrali, si annulla identicamente. I metodi utilizzati per spaziare con le misure angolari su porzioni differenti del cerchio sono due: la ripetizione e la reiterazione. I teodoliti ripetitori hanno la possibilità di collegare, con uno spostamento di una vite, il cerchio alla base (come nelle normali condizioni di lavoro) od il cerchio con l'alidada, in modo che, cerchio ed alidada solidali, ruotando sopra il basamento non spostino la lettura dell'angolo azimutale. Una volta deciso il numero di ripetizioni per determinare un angolo α, le operazioni procedono così: Si collima il punto indietro facendo la lettura L i, poi si collima il punto avanti senza leggere al cerchio. Si blocca con la vite di ripetizione il cerchio all'alidada e si ritorna a collimare il punto indietro con il goniometro che è rimasto fisso sulla lettura precedente. Si sblocca con la vite di ripetizione il cerchio, collegandolo al basamento sottostante e si ritorna a collimare il punto avanti. Ora si blocca cerchio ed alidada e si ripetono queste operazioni sino a compierle n volte. Alla fine delle operazioni l'angolo azimutale corretto sarà: α = n L a L i ( + kπ ) n 9.9 ove k è il numero degli angoli giri contenuti in nα. La prima e l'ultima lettura devono effettuarsi ad entrambi i lembi diametrali del cerchio o, come si dice, col cerchio zenitale a destra (CD) e col cerchio zenitale a sinistra (CS). Come si vede sono sufficienti quattro letture e n puntamenti. I teodoliti reiteratori dispongono invece di una vite (normalmente protetta da una capsula) che serve solo per far scorrere a frizione il goniometro sopra il basamento, ruotandolo attorno all'asse principale. Appariranno quindi, sotto il cannocchialetto di osservazione dei cerchi, porzioni differenti del cerchio. Una volta deciso il numero di reiterazioni n, dette anche strati, occorre fare per ogni punto collimato 18

24 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE n osservazioni (col CS e col CD) e n puntamenti, per ricavare alla fine n valori di direzione angolare relative ad ogni punto osservato. La rotazione da dare al cerchio azimutale dopo ogni strato sarà pari a π/n, utilizzando strumenti con lettura diametralmente opposta, π/n nel caso meno frequente di utilizzo di strumenti a singolo indice di lettura. Il metodo della reiterazione è più utilizzato perché più preciso della ripetizione, anche se richiede più operazioni. Nella ripetizione infatti possono insinuarsi eventuali errori di trascinamento, dovuti alla non perfetta solidalità (e quindi presenza di spostamenti rotazionali) tra alidada - cerchio e sottostante basamento. Con un semplice esercizio ai minimi quadrati si può dimostrare che se si confrontano le m letture di due strati (n=), la costante angolare da togliere alle letture del secondo strato, affinché siano paragonabili a quelle del primo vale: = m β m j 1 m 1 α j Nella formula, β sono le letture angolari del secondo strato ed α le letture del primo strato verso i punti j, comuni ad entrambi gli strati. Il confronto dei valori angolari dei due strati, dal secondo del quale si è tolta la costante, può dare l'idea se la precisione attesa è paragonabile agli scarti e se si è in presenza di errori grossolani. La misura degli angoli zenitali Gli angoli zenitali, o come è meglio chiamarli, le distanze zenitali, si misurano a partire dalla verticale uscente sopra uno dei due indici di lettura che sono solidali all'alidada, mentre il cerchio ruota come il cannocchiale attorno all'asse secondario. Il cerchio verticale dovrebbe essere graduato in modo che, potendo conoscere a priori la direzione dello zenit e puntando verso di essa, la lettura fatta al cerchio sia uguale a zero. Se tale lettura non è zero, il valore prende il nome di «zenit strumentale» o «errore d'indice». Ecco come si determina questo errore: Si ipotizzi di fare la collimazione verso un oggetto lontano e puntiforme in condizioni CS. Supponiamo che la graduazione del cerchio sia oraria. Facendo la lettura al cerchio, noi leggiamo assieme all'angolo z l'errore d'indice η, che ammettiamo gli si sommi. Se indichiamo con «S» la lettura, si ha: S = z+ η Ora sblocchiamo l'alidada e la ruotiamo di un angolo piatto per avere verso di noi l'obiettivo al posto dell'oculare. La direzione verso il punto planimetricamente è la medesima, ma il cannocchiale, se prima era inclinato verso l'alto ora lo è verso il basso, il punto non è più collimato e la lettura al cerchio è chiaramente rimasta uguale. Si noti però prima di ricollimare il punto, che tale posizione è simmetrica alla precedente rispetto alla verticale (ipotizzando che la verticale coincida con l'asse principale). 19

25 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Sblocchiamo ora la rotazione del cannocchiale e del cerchio attorno all'asse secondario e ricollimiamo il punto. Cerchio e cannocchiale devono ruotare (questa volta in senso antiorario) di una volta l'angolo z per arrivare verso la verticale e di un'altra volta l'angolo z per ricollimare il punto; devono ruotare cioè di z. Indicando con D la nuova lettura al cerchio verticale questa sarà quindi: D = S z z, da cui si può ricavare che: S D = Questa relazione, sostituita nella prima, fornisce anche il valore dell errore d indice che è: S+ D η = Gli errori che influenzano le letture zenitali Si può dimostrare agevolmente che l'influenza che hanno gli errori residui di collimazione c e di inclinazione i sulla misura dell'angolo zenitale z, (detto distanza zenitale), dipendono dai quadrati e dai prodotti di i e c, sono quindi di un fattore più piccolo degli errori stessi e quindi trascurabili, quando il teodolite è soddisfacentemente rettificato. L'errore residuo ν di verticalità, provoca invece un errore in z dello stesso ordine di grandezza, per cui non è trascurabile a ) z a1 verticale b ) a1 verticale z-v v v S D' v S D D Fig Misura degli angoli zenitali. L'angolo z che si ottiene dalla differenza delle due letture zenitali S-D, sarà infatti in tal caso simmetrico non più rispetto allo zenit, ma rispetto all'asse a 1 per cui: S D = ( z ν) 0

26 STRUMENTI PER LA MISURA ANGOLARE: IL TEODOLITE Per eliminare l'effetto di ν, si ricorre ad una livella zenitale o all'indice zenitale automatico. Nel primo caso si dispone una livella torica di adeguata sensibilità posta sulla traversa dell'alidada la cui rotazione sposta anche gli indici di lettura zenitali. Le letture S e D al goniometro verticale si eseguono solo a bolla centrata. In questo modo l'indice di lettura (o i due indici diametrali) saranno simmetrici rispetto all'orizzontale individuata dalla livella torica e quindi l'influenza dell'errore di verticalità, anche se presente, verrà eliminata dalla 9.10 ricavata in precedenza: z S D = Coll'indice zenitale automatico, invece, la simmetria si cerca di ottenerla rispetto ad una verticale individuata da un meccanismo a pendolo o ad un'orizzontale ottenuta con una superficie liquida che si dispone orizzontalmente formando un cuneo ottico. Questi ed altri più complessi meccanismi ottici o meccanici fanno parte dei dispositivi detti compensatori, utilizzati con altri fini anche nei livelli. I compensatori: il compensatore automatico del cerchio verticale, i compensatori dei cerchi azimutali Gli automatismi brevettati dalle case costruttrici che riescono ad eliminare l'influenza dell'errore residuo di verticalità sono molti e anche assai ingegnosi. Si basano tutti sul principio di rendere le letture al cerchio zenitale fatte in posizione CS ed in posizione CD, simmetriche rispetto ad una direzione fissa ed indipendente dall'inclinazione dello strumento. Queste direzioni sono ottenibili mediante la superficie libera di un liquido che si configura orizzontale o la direzione seguita da un pendolo in quiete, cioè la verticale. I compensatori, detti in questo caso anche indici automatici, possono anche distinguersi in indici a compensazione meccanica ed a compensazione ottica a ) b ) a1 z v Fig Zenit automatico. 1