L EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTICA

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1 Pagina di 06/0/006 L EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTIA. BREVI RIHIAMI SULLA TEORIA DELLE TRAVI INFLESSE Si consideri un tratto di trave di unghezza soggetto ad un carico ripartito di vaore q e si indichino con T ed M, o sforzo di tagio ed i momento fettente nea generica sezione A e T ed M e anaoghe caratteristiche dea soecitazione nea sezione B posta a distanza daa sezione A.. Figura I vaori di T ed M sono rispettivamente: T T dt ovvero T T q M M dm ovvero M M T q / Essendo "q i carico agente ne tratto AB. Se si trascura infinitesimo de ordine si ottiene: dt - q e dm T Da cui si ricavano e note e fondamentai reazioni tra i carico q, o sforzo di tagio T ed i momento fettente M : dt d M dm q T - q () () ovvero () La derivata deo sforzo di tagio cambiata di segno è uguae a carico agente. La derivata de momento fettente è uguae ao sforzo di tagio. La derivata seconda de momento fettente cambiata di segno è uguae a carico agente. Dae reazioni () e () derivano e seguenti considerazioni: ) nei tratti di trave scarichi cioè per q0 o sforzo di tagio è costante (T cost) ed i momento fettente è variabie con egge ineare; ) nei tratti di trave caricati con carico ripartito cioè per q 0 o sforzo di tagio T ed i momento fettente M sono variabii con continuità. In particoare, se i carico q è ripartito con egge uniforme, o sforzo di tagio è variabie con egge ineare ed i momento fettente è variabie con egge paraboica de grado; se i carico q è inearmente variabie (carichi triangoari o trapezoidai), o sforzo di tagio è variabie con egge paraboica de grado ed i momento fettente è variabie con egge paraboica de grado;. ) daa reazione () si deduce che nei tratti di trave dove T 0, i momento fettente è costante; nei tratti di trave dove M cost, o sforzo di tagio è nuo; nei tratti di trave dove T 0, i momento fettente è variabie. iò significa che a soecitazione tagiante è sempre compresente con a soecitazione fettente e che a soecitazione di soo tagio si verifica soo in acune sezioni isoate (ad esempio in corrispondenza degi appoggi nee travi appoggiate-appoggiate); nee sezioni in cui si annua o sforzo di tagio, i momento fettente è massimo. Si evidenzia che estremo reativo dea funzione M() è massimo e non minimo in quanto a derivata seconda de momento fettente è negativa (cfr. a reazione ()).

2 Pagina di 06/0/006 4) nei tratti di trave compresi tra due carichi concentrati, o sforzo di tagio T ed i momento fettente M si determinano con e reazioni T - q M T essendo e e costanti di integrazione che si determinano imponendo e condizioni a contorno.. LA DEFORMAZIONE DELLE TRAVI SOGGETTE A FLESSIONE Si consideri una trave ad asse rettiineo ed a sezione costante soggetta ae estremità a due coppie uguai e contrarie di intensità M agenti ungo i piano di soecitazione contenente asse geometrico dea trave. Figura Si supponga che a sezione trasversae dea trave sia simmetrica rispetto a asse di soecitazione s-s (si ricorda che asse di soecitazione è dato da intersezione de piano di soecitazione con i piano dea sezione trasversae). onsiderato o schema di carico, ogni sezione dea trave è soecitata sotanto da momento fettente di vaore costante M. In queste condizioni a trave si infette e a deformazione di ciascun tratto di trave è costante essendo costante M; asse geometrico dea trave si trasforma in arco circoare di centro O contenuto in un piano detto piano di fessione coincidente con i piano di soecitazione; e fibre che stanno nea parte superiore si accorciano (fibre compresse), mentre quee che stanno nea parte inferiore si aungano (fibre tese); atre fibre conservano a unghezza originaria. Esse giacciono su un piano cosiddetto piano neutro. Esso si definisce come i uogo dee fibre che non sono né tese né compresse e sono caratterizzate da una stato tensionae nuo. L intersezione de piano neutro con i piano dea sezione trasversae determina asse neutro. onsideriamo una generica sezione trasversae retta. Indichiamo con σ a tensione reativa a eemento di area da distante y da asse neutro.

3 Pagina di 06/0/006 Figura L insieme degi sforzi σ da che una parte dea trave (per esempio a parte destra) trasmette a atra parte attraverso a sezione considerata deve essere in equiibrio con e forze esterne che agiscono sua parte sinistra, cioè a coppia M. iò significa che a somma degi sforzi σ da deve risutare uguae a zero e a somma dei momenti σ da *y rispetto a asse neutro deve risutare uguae a M: (4) (5) ome è noto, a teoria dea fessione si regge su un insieme di ipotesi, fra cui: a egge di conservazione dee sezioni piane di Bernoui-Navier; vaidità dea egge di Hooke: σ E ε La tensione σ è direttamente proporzionae aa distanza y da asse neutro e risuta uguae a: σ σ * y (6) essendo σ a tensione a distanza y. Sostituendo a (6) nea (4) si ottiene: A y da da cui La quantità rappresenta i momento statico de area rispetto a asse neutro. Pertanto, resta dimostrato che asse neutro è baricentrico. M Sostituendo a (6) nea (5) si ottiene: y σ σ A da M da cui J (7) y A da Essendo i momento d inerzia dea sezione rispetto a asse neutro. Sostituendo a (7) nea (6) si ottiene a reazione di Navier che regge i probema dea fessione retta σ M * y J (8) Daa figura, si ricava: ε r y r σ da 0 e sviuppando e sempificando y * σ da M σ A y da 0 A y da 0 e sostituendo nea reazione che esprime a egge di Hooke (σ E ε ) si ottiene σ E y r onfrontando a (9) con a (8) si ottiene a curvatura r consecutive poste a distanza unitaria): M ϕ r EJ (9) (che rappresenta a rotazione ϕ di due sezioni (0) ε y r

4 Pagina 4 di 06/0/006 La quantità EJ che figura a denominatore dea frazione si chiama moduo di rigidezza a fessione. Motipicando a rotazione ϕ per a uce dea trave si ottiene a rotazione totae dea sezione iniziae (0) dea trave rispetto aa sezione finae ( ): M * Φ ϕ * EJ Se i momento fettente M è variabie ungo a trave, angoo dϕ di un tratto di trave di unghezza è pari M d ϕ a: EJ Pertanto a rotazione totae sarà uguae a M EJ 0. L EQUAZIONE DIFFERENZIALE DELLA LINEA ELASTIA La inea eastica è una curva che rappresenta a forma assunta da asse dea trave a deformazione avvenuta. onsideriamo due punti A e B situati sua inea eastica posti a distanza ds. Indicando con Φ angoo formato daa tangente in A aa curva con asse dee X. dφ angoo a centro de arco AB O i centro di curvatura ed r i raggio di curvatura dφ Si ha: ds r dφ e quindi r ds I secondo membro è riportato in vaore assouto perché i segno dipende da sistema di riferimento assunto. Ne caso in cui i sistema di riferimento viene assunto facendo coincidere orogine con inizio dea trave, asse dee ascisse coincidente con asse geometrico nea configurazione indeformata e asse dee ordinate positivo verso i basso, equazione che esprime a curvatura dea trave si scriverà: d - Φ r ds () onsiderate e dimensioni piccoissime è ecito confondere ds con. Pertanto, posto ds ; Φ tg Φ dy/ ()

5 Pagina 5 di 06/0/006 E sostituendo questi vaori nea () si ottiene () onfrontando a () con a (0) si ottiene: La (4) rappresenta equazione differenziae dea inea eastica. Ne caso di travi moto snee, infessione può essere moto grande e e sempificazioni () non sono ammissibii. In ta caso è necessario ricorrere a espressione esatta Pertanto si ha: Sviuppando si ottiene: r EJ -M dφ - ds - r dy Essendo a quantità moto piccoa rispetto a unità, i suo quadrato risuta trascurabie e, pertanto, si ricade nea () e, di conseguenza, nea (4). Deivando a (4) rispetto ad, e tenuto conto dea () e dea (), si ottiene:. LA TRAVE APPOGGIATA APPOGGIATA ON ARIO UNIFORMEMENTE RIPARTITO (4) dy Φ arctg dy d arctg ds - r dy EJ -T 4 EJ q 4 (5) (6) I momento fettente nea generica sezione è uguae a:

6 Pagina 6 di 06/0/006 q M - mentre o sforzo di tagio, nea stessa sezione, è uguae a: T q (A ) Sostituendo nea (4) si ottiene: Motipicando ambo i membri per ed integrando, si ottiene: Integrando una seconda vota, si ottiene (A) (egge di variazione: paraboa de ordine) q EJ - dy q EJ q EJ y - 4 (egge di variazione: ineare) Per determinare e costanti di integrazione imponiamo e condizioni a contorno. onsiderata a simmetria di carico e di geometria, a rotazione in mezzeria (/) è nua in quanto a tangente è orizzontae. Pertanto daa (), essendo a rotazione dy/ 0, si ottiene: q da cui Daa (D), osservando che in corrispondenza de appoggio A (0) abbassamento è uguae a zero, si ottiene 0 Sostituendo ne equazione () i vaore di si ottiene a egge di variazione dee rotazioni ungo a trave: ϕ Da equazione (D), si ricava equazione dea inea eastica dea trave anaizzata: q 4 y() ( - ) 4 EJ (F) L abbassamento massimo si verifica in mezzeria ( /). Sostituendo nea (F) i vaore /, si ottiene: La rotazione massima si verifica in corrispondenza degi appoggi A (α; 0) e B (β; ). Sostituendo nea (E), si ottiene ( 4 6 ) q () 4 EJ y 5 84 α β 4 EJ 4 EJ (B) () (D) (E) 4. LA TRAVE A SBALZO ON ARIO UNIFORMEMENTE RIPARTITO

7 Pagina 7 di 06/0/006 I momento fettente nea generica sezione è uguae a: q M - (A) Sostituendo nea (4) si ottiene: (egge di variazione: paraboa de ordine) Motipicando ambo i membri per ed integrando, si ottiene: Integrando una seconda vota, si ottiene Per determinare e costanti di integrazione imponiamo e condizioni a contorno. Osserviamo che in corrispondenza de incastro B () devono essere nui tanto abbassamento quanto a rotazione. Daa (), per si ottiene: Daa (D), per si ottiene: q EJ dy q EJ 6 4 q EJ y Sostituendo ne equazione () i vaore di si ottiene a egge di variazione dee rotazioni ungo a trave: ϕ() Da equazione (D), si ricava equazione dea inea eastica dea trave anaizzata: q 4 4 y() ( - 4 ) 4 EJ (F) L abbassamento massimo si verifica a estremo ibero ( 0). Sostituendo nea (F) i vaore 0, si ottiene: La rotazione massima si verifica a estremo ibero ( 0). Sostituendo nea (E), si ottiene q 6 EJ ( ) 4 y 8 EJ (B) () (D) 6 (E) 8 4

8 Pagina 8 di 06/0/006 α 6 EJ. LA TRAVE A SBALZO ON ARIO ONENTRATO NELL ESTREMO LIBERO I momento fettente nea generica sezione è uguae a: M - P (A) (egge di variazione: ineare) Sostituendo nea (4) si ottiene: Motipicando ambo i membri per ed integrando, si ottiene: Integrando una seconda vota, si ottiene Per determinare e costanti di integrazione imponiamo e condizioni a contorno. Osserviamo che in corrispondenza de incastro B () devono essere nui tanto abbassamento quanto a rotazione. Daa (), per si ottiene: Daa (D), per si ottiene: EJ P dy P EJ P EJ y 6 P 0 P P 0 6 Sostituendo ne equazione () i vaore di si ottiene a egge di variazione dee rotazioni ungo a trave: ϕ() Da equazione (D), si ricava equazione dea inea eastica dea trave anaizzata: P y() ( ) 6 EJ (F) P EJ ( ) L abbassamento massimo si verifica a estremo ibero ( 0). Sostituendo nea (F) i vaore 0, si ottiene: (B) () (D) P (E) P

9 Pagina 9 di 06/0/006 P y EJ La rotazione massima si verifica a estremo ibero ( 0). Sostituendo nea (E), si ottiene α P EJ.4 LA TRAVE A SBALZO ON OPPIA APPLIATA NELL ESTREMO LIBERO I momento fettente è costante in tutte e sezioni dea trave: M - M (A) (egge di variazione: costante) Sostituendo nea (4) si ottiene: Motipicando ambo i membri per ed integrando, si ottiene: dy EJ M Integrando una seconda vota, si ottiene Per determinare e costanti di integrazione imponiamo e condizioni a contorno. Osserviamo che in corrispondenza de incastro B () devono essere nui tanto abbassamento quanto a rotazione. Daa (), per si ottiene: Daa (D), per si ottiene: EJ M M EJ y (B) () (D) 0 M M M Sostituendo ne equazione () i vaore di si ottiene a egge di variazione dee rotazioni ungo a trave: Da equazione (D), si ricava equazione dea inea eastica dea trave anaizzata: M y() ( ) EJ (F) 0 M ϕ() M EJ ( ) (E) M

10 Pagina 0 di 06/0/006 L abbassamento massimo si verifica a estremo ibero ( 0). Sostituendo nea (F) i vaore 0, si ottiene: M y EJ La rotazione massima si verifica a estremo ibero ( 0). Sostituendo nea (E), si ottiene M α EJ.5 LA TRAVE APPOGGIATA APPOGGIATA ON ARIO ONENTRATO In questo caso espressione de momento fettente è diversa nei due tratti di trave A e B. P a Va Vb Reazioni vincoari: M Tratto A: a sostituendo nea (4) si ha: (A) M - P( - a) Tratto B: a sostituendo nea (4) si ha: EJ - EJ - P( - a) Integrando e (A) e (B), si ottiene: dy EJ - Tratto A: a (A) dy Tratto B: a (B) (B) P( - a) EJ - onsiderato che i due tratti dea inea eastica devono avere a tangente in comune ne punto di appicazione de carico P, e costanti di integrazione e devono essere uguai. Posto ed integrando una seconda vota, si ottiene: EJ y - Tratto A: a 6 (A)

11 Pagina di 06/0/006 Tratto B: a (B) onsiderato che i due tratti dea inea eastica devono avere o stesso abbassamento ne punto di appicazione de carico P, e espressioni (A) e (B) devono essere uguai per a. iò comporta che e costanti di integrazione e risutino uguai. Pertanto, i probema si riduce a determinare soo due costanti di integrazione: e. Esse si cacoano imponendo e condizioni a contorno che, ne caso specifico, consistono ne imporre a nuità degi abbassamenti in corrispondenza degi appoggi, cioè per 0 e per. Daa equazione (A), imponendo y 0 in corrispondenza de ascissa 0, si ha: 0 e quindi anche 0 Daa equazione (B), imponendo y 0 in corrispondenza de ascissa, si ha: Sostituendo i vaori trovati nee (A) e (B) si ottengono e eggi di variazione dea inea eastica nei due tratti di trave: Tratto A: a (A) Tratto B: a (B) L equazione (A) consente di cacoare gi abbassamenti ne tratto A, mentre a (B) consente di cacoare gi abbassamenti ne tratto B. Sostituendo i vaori trovati nee (A) e (B) si ottengono e eggi di variazione dee rotazioni nei due tratti di trave: Tratto A: a (A4) Tratto B: a (B4) L equazione (A4) consente di cacoare e rotazioni ne tratto A, mentre a (B4) consente di cacoare e rotazioni ne tratto B. Le rotazioni nee sezioni di estremità A e B vagono rispettivamente: α da cui, sviuppando e mettendo a fattor comune, si ha: 6 P( - a) 6 EJ y - P( - a) dy dy β 0 ( b ) 6 ( b - EJ dy β y - y - dy - EJ dy - EJ ) P( - a) EJ P a b - ( a) ( b P( - a) 6 EJ L abbassamento massimo si ha ne punto in cui a tangente aa inea eastica è orizzontae. Se a > b come ne caso in figura abbassamento massimo si ha ne tratto di sinistra A è sufficiente porre uguae a zero equazione (A4) che rappresenta a derivata prima dea (A): EJ ( b ) 0 ) ( b ( b ) P( - a) EJ ) ( b ) ( b ) (- b ) 0 e risovendo

12 Pagina di 06/0/006 equazione - b b 0 si ottiene Pertanto, abbassamento massimo si ottiene sostituendo ne equazione (A) aa i vaore trovato: y ( y) ma ( b ) b 9 EJ Se i carico è appicato in mezzeria, abbassamento massimo si avrà in mezzeria. Per determinare i vaore basta porre b / nea reazione che esprime y ma y.6 LA TRAVE A SBALZO ON ARIO ONENTRATO IN UN PUNTO GENERIO ( y) ma /; a b P 48 EJ Quando i carico è appicato in un punto generico distante b da incastro, i tratto B si infette, mentre i tratto A non si deforma e rimane rettiineo. Per risovere i probema possiamo appicare i risutati ottenuti a punto.. L abbassamento massimo si ottiene facimente mediante a reazione Utiizzando i risutati di cui a punto., si ottiene: y ha: a EJ EJ P y ma a a 6 EJ ma ( ) α P ( - a) EJ EJ y α * a da cui, sviuppando e mettendo a fattor comune si y ma 4. ONLUSIONI I metodo di cacoo presentato è estensibie ad atre situazioni di vincoo e di carico. asi più compessi possono essere facimente risoti appicando i principio di sovrapposizione degi effetti.