9 GRAVITAZIONE UNIVERSALE

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1 9 GRAVIAZIONE UNIVERSAE e conoscenze elative alla foza di gavitazione si sono sviluppate a patie dalle ossevazioni astonomiche del moto dei pianeti del sistema solae Attaveso tali ossevazioni yco Bahe accolse un insieme di dati tamite i quali, successivamente, Johannes Kepleo identificò delle egolaità nel moto dei pianeti che espesse attaveso delle leggi ali leggi, note come leggi di Kepleo appesentano una descizione cinematica del moto dei pianeti e si enunciano nella maniea seguente: Rispetto al Sole ogni pianeta descive un obita ellittica di cui il Sole occupa uno dei fuochi Il aggio vettoe condotto dal Sole ad ogni pianeta descive aee popozionali ai tempi impiegati pe descivele; cioè il moto del pianeta ispetto al Sole si svolge con velocità aeolae costante 3 I quadati dei peiodi di ivoluzione dei vai pianeti intono al Sole sono popozionali ai cubi dei semiassi maggioi delle ispettive obite ellittiche a descizione in temini dinamici del moto planetai e l identificazione dell inteazione esponsabile di tale moto fu opea di Newton, che fomulò la legge di gavitazione univesale 9 a legge di gavitazione univesale Dopo la fomulazione delle leggi della dinamica, il più impotante contibuto di Newton allo sviluppo della meccanica fu l identificazione delle leggi dell inteazione gavitazionale; ossia l inteazione che si esplica ta due geneici copi mateiali che detemina un moto descivibile attaveso le leggi di Kepleo Il moto di un copo soggetto ad una foza centale è caatteizzato dal fatto che il momento angolae calcolato ispetto al cento di foza è una costante del moto Siccome la velocità aeolae ds dt si può espimee come: ds = v =, dt m dove m è la massa del copo, alla costanza del momento angolae coisponde la seconda legge di Kepleo, che petanto indica che la foza F associata all inteazione gavitazionale è di tipo centale: F = f ( )ˆ Supponiamo, in pima appossimazione che le obite dei pianeti, sebbene ellittiche, si possano consideae cicolai, alloa, dall espessione della velocità aeolae, segue:

2 9- Gavitazione univesale ds = v = ω dt essendo, in tale ipotesi, i vettoi e v pependicolai e inolte espimendo v attaveso la velocità angolae ω come ω dalla (8) Dalla costanza della velocità aeolae e dall ipotesi di obite cicolai (cioè con costante), segue la costanza di ω Se ω è costante, alloa, dalle elazioni (30) e (3) segue che l acceleazione tangenziale del pianeta è nulla e petanto la sua acceleazione deve essee esclusivamente di tipo centipeto Petanto la foza agente sul pianeta può espimesi come: F π F = mω = m, dove, dalla (34) è il peiodo di ivoluzione D alta pate, confondendo il aggio dell obita cicolae con il semiasse maggioe dell ellisse, la teza legge di Kepleo può espimesi come: = k, 3 in cui k è un oppotuna costante di popozionalità Confontando ta loo le pecedenti elazioni, si ha: m 3 F = m = m =, k k cioè la foza esecitata dal Sole sui pianeti è invesamente popozionale alla distanza dal Sole Contempoaneamente, se appesenta la massa del Sole, la foza esecitata dal pianeta sul Sole vale: F = k Pe la teza legge di Newton queste due foze devono avee lo stesso modulo, così: k = k m Posto alloa: G =, k m k il modulo della foza di inteazione ta il Sole e il pianeta si espime come: m F = G Questa ipotesi segue dalla constatazione che l eccenticità dell obita dei pianeti del sistema solae è molto piccola, pe cui le coispondenti obite possono itenesi, almeno in pima appossimazione, cicolai

3 Gavitazione univesale 9-3 Data la semplicità di questa espessione, Newton ipotizzò che si tattasse di una fomula di caattee geneale ed enunciò la seguente legge di gavitazione univesale: Ogni paticella mateiale esistente nell univeso attia ogni alta paticella con una foza gavitazionale e foze gavitazionali esistenti ta due paticelle (ta loo opposte pe il pincipio di azione e eazione) hanno come etta di applicazione la etta passante pe le due paticelle e intensità popozionale al podotto delle masse delle paticelle e invesamente popozionale al quadato della loo distanza Nella tattazione pecedente, a igoe, in luogo della massa m occoeebbe consideae la massa m m +, tuttavia nel caso consideato idotta µ del sistema composto da m e, pai a ( ) m, pe cui µ m 7 Esempio: Nel caso di Giove, che costituisce il pianeta più pesante del sistema solae, m vale kg e 30 7 consideando che la massa del Sole è kg, la massa idotta del sistema è kg, cioè isulta infeioe a m dello 000 % cica Si noti che nel sistema solae il Sole contiene il 9985 % della massa dell inteo sistema mente i pianeti concoono solo allo 035 % di tale massa Vettoialmente, l espessione della foza gavitazionale esecitata da un copo di massa m su un copo di massa m, supposti puntifomi, vale: mm F = G ˆ m ˆ F m a costante di popozionalità G fu misuata speimentalmente nel 798 da Heny Cavendish adopeando una bilancia di tosione, in modo da ilevae la foza di attazione ta due masse sfeiche Il valoe attualmente noto di G è: G m kg s Esempio: Una veifica speimentale della legge di gavitazione consiste nella deteminazione dell acceleazione di gavità g sulla ea Consideiamo un copo di massa m situato sulla ea; la foza subita pe effetto della ea vale: mm F = G R, dove m appesenta la massa e R il aggio della ea; in tale espessione si è supposto che la ea eseciti la stessa foza sul copo che eseciteebbe una massa puntifome posta nel cento della ea D alta pate isulta: F = mg, petanto, confontando queste due espessioni, si ha: Questa popietà è facilmente dimostabile attaveso la legge di Gauss (si veda il secondo volume) ed è conseguenza della dipendenza funzionale della foza di gavità che si esecita ta due punti mateiali dall inveso del quadato della ecipoca distanza

4 9-4 Gavitazione univesale m g = G (9) R Nel caso della veifica fatta da Newton, non eano noti G e m m F G m d d = =, ω m, tuttavia la foza esecitata dalla ea sulla una vale: dove m e ω sono, ispettivamente, la massa e la velocità angolae della una e d la distanza della una dalla ea Da tale elazione segue: Gm = ω d 3, così, sostituendo nella elazione (9), si ha: ω d g = 3 R Infine, siccome ω vale π, dove è il peiodo di ivoluzione della una attono alla ea, si ha: d g = R Pe 73 gioni, d m e R m si ottiene un valoe di g pai a 9863 ms in buon accodo con quello misuato Esempio: Un satellite geostazionaio di massa m deve occupae una posizione fissa nello spazio ispetto alla supeficie teeste e petanto il suo moto obitale deve essee sincono col moto di otazione della ea Ne segue che il suo 4 peiodo deve isultae pai ad un giono, ossia uguale a s a foza centipeta esponsabile di questo moto vale: π F = mω d = m d = m d, dove d è la distanza del satellite dal cento della ea ale foza è deteminata dall acceleazione di gavità: mm F = G, d dove m è la massa della ea Uguagliando queste due espessioni, si ha: m d G mm =, d da cui segue: d = 3 Gm Infine, se R è il aggio della ea e h la distanza del satellite dal suolo teeste, si ha: Gm 3 7 h= d R = R 359 0, m

5 Gavitazione univesale 9-5 cioè il satellite obita ad una quota di cica km dalla supeficie teeste 9 assa ineziale e massa gavitazionale a massa che compae nell espessione della legge di gavitazione univesale e che caatteizza l intensità della foza con cui due copi si attaggono viene denominata massa gavitazionale ale massa, in pincipio, isulta di natua completamente diffeente dalla massa ineziale che compae nella seconda legge di Newton e che detemina l acceleazione di un copo in coispondenza dell azione di una foza Consideiamo un copo di massa ineziale m situato in possimità della ea; in tale cicostanza vale elazione: m m mg = G, R dove con l apice sono indicate le masse gavitazionali Da tale identità segue: m m =, g G R m cioè, in un dato luogo l acceleazione di gavità dipende dal appoto m m ta la massa gavitazionale e la massa ineziale Poiché si osseva che in uno stesso luogo g non dipende dai paticolai copi, segue che m e m sono popozionali ta loo Petanto, attaveso un oppotuna scelta dell unità di misua della massa gavitazionale m, cioè, in patica, pe un adeguata scelta dell unità di misua pe G, è possibile adopeae lo stesso valoe pe la massa gavitazionale e pe la massa ineziale, petanto: m = m Ne segue che si può adopeae il temine massa in geneale, sia pe la massa ineziale che pe quella gavitazionale a elazione pecedente suggeisce l esistenza di un legame ta l inezia e la gavitazione Difatti, nell ambito della Relatività Geneale, tale legame è stabilito in foma di pincipio, cioè pe sistemi di ifeimento non ineziali, la Relatività Geneale postula l impossibilità di distinguee foze d inezia da foze gavitazionali, implicando petanto l identità concettuale ta massa ineziale e massa gavitazionale 93 Equazione della taiettoia Consideiamo un sistema isolato costituito da due copi puntifomi, ispettivamente di masse m e In un sistema di ifeimento ineziale isulta: m mam = G ˆ, m a = G ˆ; F ˆ - F m

6 9-6 Gavitazione univesale intoducendo la massa idotta dei due copi: - F m m µ =, m+ il sistema viene assimilato ad un unico copo di massa µ soggetto alla foza di inteazione muta, pe cui: O ˆ J m µ a = G ˆ Utilizzando la fomula di Binet (439) pe espimee l acceleazione a in coodinate polai di un copo di massa µ, si ottiene: µ + = G µ d ϑ d m, ovveo: d µ m G + = dϑ Sostituendo in tale espessione: u ( ϑ ), (9) ( ϑ ) si ottiene l equazione diffeenziale: ( ) du ϑ u ( ϑ ) G µ dϑ m + = (93) a soluzione geneale di questa equazione può essee espessa nella foma: ( ϑ ) ( ϑ) ( ϑ) u = u + u, O NO in cui uo ( ϑ ) appesenta la soluzione dell equazione omogenea associata alla (93): ( ϑ ) duo u O ( ϑ ) 0 dϑ + =, e uno ( ϑ ) appesenta una soluzione paticolae della (93) Nell espessione dell equazione omogenea è possibile iconoscee l equazione dell oscillatoe amonico (45), petanto la coispondente soluzione può espimesi come:

7 Gavitazione univesale 9-7 uo ( ϑ ) Kcos( ϑ ϑ ) = +, 0 in cui K e ϑ 0 sono costanti di integazione deteminate dalle condizioni iniziali Una banale u ϑ dell equazione non omogenea è appesentata da: soluzione ( ) NO µ m ϑ =, ( ) uno G Petanto, assumendo nulla la costante ϑ 0, la soluzione geneale dell equazione (93) si espime come: µ m u( ϑ) = Kcosϑ+ G ; sostituendo infine a u ( ϑ ) la sua espessione (9), si ottiene: da cui segue: µ m Kcosϑ G ϑ = +, ( ) ( ϑ ) Gµ m = = = µ m Kcosϑ + G µ m K K G cos cosϑ ϑ Gµ m Gµ m Questa elazione appesenta l equazione di una sezione conica (si veda l Appendice) nella foma: dove: d = ε ε cosϑ, (94) ε d, Gµ m K ε, Gµ m così, facendo il appoto membo a membo, si ottiene: d =, K petanto l eccenticità ε si espime come:

8 9-8 Gavitazione univesale ε = ( K ) = Gµ m Gµ md a costante d ha le dimensioni di una lunghezza e dipende dalle dimensioni geometiche dell obita Dalla elazione pecedente si ha: = Gµ mεd, (95) quindi i paameti dell obita ε e d deteminano il valoe costante assunto dal momento angolae 94 Obite ed enegia totale Assumendo che il livello zeo dell enegia potenziale sia posto all infinito, l enegia potenziale gavitazionale di un copo puntifome di massa m posto a distanza da un copo puntifome di massa si espime come: E p Gm = ; utilizzando l equazione polae della taiettoia (94) e l espessione (95) del momento angolae, l enegia potenziale è data da: E p Gm = = Gm cosϑ = cosϑ = + cosϑ ε d d µε d ε d d µε d µε d Pe valutae l enegia totale di un copo di massa idotta µ soggetto alla foza di attazione gavitazionale, stabiliamo l espessione dell enegia cinetica E k ; allo scopo Facendo uso dell espessione della velocità in coodinate polai (35), si ha: d dϑ Ek = µ v = µ + µ dt dt (96) D alta pate, dall identità: d d =, dt dt facendo uso dell equazione della taiettoia (94) e della elazione (437), si ottiene: d d d d ϑ = = cos ϑ = sin ϑ = sin ϑ = sin ϑ dt dt dt ε d d d dt d µ µ d Petanto, sostituendo nella (96) e adopeando la (437) e la (94), si ha:

9 Gavitazione univesale 9-9 sin ϑ µ µ sinϑ µ Ek = v = + = + = µ d µ µ d µ sin ϑ = + cos ϑ = µ d µ εd d sin ϑ = + cos cos + ϑ ϑ = µ d µ ε d d εd sin ϑ = + + cos ϑ cosϑ = µ d µ ε d µ d µ εd = + µ d µ ε d µ εd cos ϑ enegia totale E del copo di massa µ vale quindi: E = Ek + Ep = + cosϑ + cosϑ = µ d µ ε d µ ε d µε d µεd = = ( ε ) µ d µε d µε d e sostituendo, infine, a la sua espessione dalla elazione (95), si ottiene: Gµ mε d Gm E = ( ε ) = ( ε ) (97) µε d ε d quindi, analogamente al momento angolae, anche l enegia totale può essee dedotta a patie dai paameti della taiettoia ε e d Siccome l eccenticità caatteizza la foma della taiettoia del copo, essendo ellittica pe ε >, paabolica se ε = e ipebolica pe ε >, di conseguenza, in elazione al segno dell enegia totale, isulta: E < 0 obita ellittica; E = 0 obita paabolica; E > 0 obita ipebolica Poiché l enegia totale E è somma dell enegia cinetica E k e potenziale E p, fissata che sia quest ultima, il segno di E è condizionato dalla elazione ta E k e E p D alta pate, essendo E k pai a ( ) µ v, la foma della taiettoia è condizionata dal valoe della velocità E > 0 v 0 h P R E = 0 E < 0 Esempio: I isultati appena conseguiti assumo un impotante valoe quando si vuole mettee in obita un satellite atificiale Supponiamo di lanciae dalla ea un satellite; dopo ave aggiunto la massima altezza h in un punto P iceve una spinta attaveso o popi populsoi acquistando una velocità oizzontale v 0 In questo modo l enegia totale E del satellite nel punto P vale:

10 9-0 Gavitazione univesale = µ mm E 0 v G R + h, dove R e m sono ispettivamente il aggio e la massa della ea, m è la massa del satellite e µ m la massa idotta ta m e m A seconda del valoe di v 0 si può avee una taiettoia chiusa che, eventualmente, può compotae la icaduta sulla ea, o un obita apeta, impiegata nei viaggi inteplanetai Nel sistema solae le obite sono chiuse quindi l enegia totale del sistema pianeta-sole deve essee negativa e, di conseguenza, la foma delle obite deve isultae ellittica, in accodi con la pima legge di Kepleo Nel caso di obite ellittiche il semiasse maggioe a soddisfa la elazione (si veda l Appendice): ε d a = ε e petanto l enegia totale (97) può espimesi come: Gm ε Gm E = = ε d a ed il momento angolae (95): ( ) = Gµ mε d = Gµ ma ε (98) Quindi, assegnata l enegia E, viene di conseguenza stabilita la lunghezza del semiasse maggioe a ma non l eccenticità dell obita che è definita una volta che è specificato il modulo del momento angolae Petanto l enegia totale ed il momento angolae isultano ta loo indipendenti Dalla costanza della velocità aeolae v A, (436), pe un copo di massa idotta µ : v A = µ segue che l aea A dell obita ellittica saà descitta in un tempo pai a: A µ A = = v A D alta pate, pe un ellisse isulta (si veda l Appendice): A = π a ε, così: π a µ ε = e in paticolae, utilizzando la elazione (98), il quadato di tale tempo vale:

11 Gavitazione univesale 9- ( ) ( ) Gµ ma( ε ) + ( + ) 4 4 a µ ε a µ ε µ 3 m 3 3 = = = a = a = a, Gm Gm m G m che appesenta la teza legge di Kepleo Siccome nel caso del sistema solae isulta m, la 3 costante di popozionalità ta e a vale cica ( G ) ed è quindi paticamente la stessa pe ogni pianeta Esempio: Stabiliamo la minima velocità v 0 che deve possedee un copo di massa m affinché una volta lanciato dalla ea se ne allontani indefinitamente Pe quanto visto, tale condizione si ottiene quando l enegia totale: mm, E = µ 0 v G R isulta maggioe o uguale a zeo In paticolae, la minima velocità iniziale v coisponde al valoe minimo dell enegia 0 E = 0, ossia: da cui segue: mm µ v 0 G = 0, R Gm v0 = 3 km s R Esempio: Stabiliamo la velocità v con cui uta la ea un copo di massa m abbandonato, con velocità iniziale nulla, f a distanza dal cento della ea In questo caso l enegia totale, calcolata nel punto in cui il copo è abbandonata, vale: mm E = G e, una volta aggiunta la supeficie teeste, l enegia diventa: mm E = µ vf G R ; eguagliando tali espessioni, si tova: mm mm µ vf G = G, R da cui segue: vf Gm = R In paticolae, se la distanza è gande ispetto al aggio teeste R, segue: v f = Gm R, che isulta uguale alla velocità 0 v testé valutata essendo tale cicostanza esattamente invesa di quella del caso pecedente

12 9- Gavitazione univesale 95 Enegia potenziale efficace Dalle elazioni (96) e (437) segue che l enegia cinetica di un copo di massa idotta µ può espimesi come: d dϑ d d Ek = µ v = µ + µ = µ + µ = µ + dt dt dt µ dt µ Petanto l enegia totale E di un copo soggetto alla foza di attazione gavitazionale è: d E = µ + G m dt µ a quantità: E m G µ pende il nome di enegia potenziale efficace ed è µ pai al contibuto somma del temine ( ) E all enegia cinetica dovuto alla componente angolae della velocità e dell enegia potenziale gavitazionale Gm Il temine ( µ ) pevale su quello gavitazionale a piccole distanze, mente a gandi distanze pevale il potenziale gavitazionale, ossia: O - m 0 ( ) ( ) lim E =+, lim E = 0, + pe cui la funzione E ( ) deve pesentae un minimo negativo pe: (min) E p eff - G m =, Gµ m dove E vale: E ( min) G µ m = Fissate le condizioni iniziali e, di conseguenza fissati E e, isulta: d µ = E E dt,

13 Gavitazione univesale 9-3 pe cui le egioni cinematicamente accessibili al moto adiale sono ( min) quelle pe cui E E e, siccome E pesenta il minimo E, deve isultae: ( min) E E ( ) min Se E = E la egione pemessa al moto adiale coisponde ad un solo punto, cioè in tale cicostanza si mantiene costante ed il moto è = µ dϑ dt con costante, anche dϑ dt è costante, cioè il cicolae e, dalla (437), siccome ( ) moto è unifome Se ( min) E > E il moto adiale si svolge nella egione, dove e (con <+ ) sono le ascisse dei punti di intesezione della etta di odinata E con il gafico della funzione E ( ) ; se <+ la taiettoia si svolge nella egione finita compesa ta due ciconfeenze (nel piano del moto) di aggi e ; se = + il copo tende ad allontanasi indefinitamente dall oigine = 0, cioè la taiettoia è apeta

14 9-4 Gavitazione univesale