PROBLEMI DINAMICI. 6.1 Equazioni di equilibrio dinamico. L'equazione di equilibrio dinamico di un corpo discretizzato in n elementi finiti è:

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1 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo 6. Equazioi di equilibrio diamico L'equazioe di equilibrio diamico di u corpo discretizzato i elemeti fiiti è: 6.)... M C K F dove: 6.2) K V B T EBdV rappreseta la matrice di rigidezza; 6.3) M N V T NdV rappreseta la matrice di massa del sistema ; 6.4) C V T N C NdV rappreseta la matrice di smorzameto ed F le forze estere odali. Ioltre si è idicato co: E la matrice di elasticità e co la desità di massa.

2 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo 6. Equazioi di equilibrio diamico Tale equazioe va ora itegrata, oi tratteremo il metodo di itegrazioe diretto utilizzado ua procedura umerica. Il termie diretto sta ad idicare che prima di effettuare l'itegrazioe, secodo ua procedura umerica, le equazioi o soo i alcu modo trasformate. L'itegrazioe diretta si basa su: a) cercare di soddisfare le equazioi differeziali solo i certi itervalli discreti t, ivece di ogi istate, ciò vuol dire adottare ua discretizzazioe alle differeze fiite el tempo ed imporre i ogi itervallo, u equilibrio statico compredete ache le forze d'ierzia e le forze smorzati; b) assumere i ogi itervallo t prefissate leggi di variazioe di spostameti, velocità ed accelerazioe che determiio accuratezza e stabilità della soluzioe. I metodi di itegrazioe diretta umerica cosetoo di superare tutte le o liearità mediate l'ipotesi di comportameto lieare i ogi passo di itegrazioe. I pricipali metodi di itegrazioe diretta soo il metodo implicito ed il metodo esplicito.

3 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo 6.2 Metodo di itegrazioe implicita I metodi di itegrazioe implicita si basao sulla soluzioe ota al tempo t e cosiderado l'equilibrio del sistema al tempo t+t; i preseza di o liearità ciò impoe che vega effettuato u procedimeto iterativo per raggiugere l'equilibrio. o dei metodi più utilizzati è il metodo di Newmark Metodo di Newmark. Il metodo di itegrazioe di Newmark assume: t 6.5) 2 t t 2 dove i termii, soo i parametri di itegrazioe di Newmark che devoo essere scelti i maiera opportua per cosetire ua buoa approssimazioe; gli idici, + soo relativi rispettivamete all istate di itegrazioe correte ed al successivo. Per esempio assumere ==0 comporta: se =0 t t t t t se =0 t b) 2 2

4 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo La prima delle 6.5b idica che si sta eguagliado l accelerazioe al tempo co la differeza tra le velocità agli istati e + divisa per l itervallo temporale. La secoda delle 6.5b rappreseta l espasioe i serie di Taylor del vettore. Se ivece si assume ==/2 si ha: se = t 2 2 t 6.5c) 2 2 t t t se = t La prima delle 6.5c idica che si sta eguagliado l accelerazioe, otteuta come media delle accelerazioi ai tempi e +, co la differeza tra le velocità agli stessi istati divisa per l itervallo temporale. La secoda delle 6.5c idica che il cotributo dell accelerazioe alla espasioe i serie di Taylor del vettore viee assuto pari alla media delle accelerazioi ai tempi e +. L'equazioe 6.) valutata all istate + diveta: 6.6)... M C K F Maipolado le 6.5) otteiamo: 2 6.7) t t t t 2

5 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo sostituedo le 6.7) ella 6.6) otteiamo: 6.8) 2 M C K t t t F M C 2 2 t t 2 t 2 Si risolve la 6.8) ell'icogita + co u metodo iterativo (per esempio Newto Rapsho) e si calcolao poi velocità ed accelerazioe co le 6.7). Il metodo è particolarmete oeroso ei problemi o lieari perché la matrice di rigidezza è fuzioe del campo di spostameti icogito. Si può dimostrare che la soluzioe col metodo di Newmark è icodizioatamete stabile per: Per esempio assumere ==/2 verifica queste relazioi, quidi per tali valori dei parametri il metodo risulta icodizioatamete stabile ed è deomiato costat-average-acceleratio. La caratteristica fodametale del metodo è i geerale la scelta di ricalcolare la matrice di rigidezza ad ogi iterazioe ed ioltre, osservado la 6.8), ci si accorge che ua soluzioe per + è legata alla fattorizzazioe della matrice di rigidezza. Quidi il calcolo co il metodo implicito diveta oeroso perché ad ogi passo di itegrazioe soo ecessarie più iterazioi (secodo Newto-Raphso che ricalcola più volte la matrice di rigidezza) e dover eseguire più fattorizzazioi al fie di trovare l'equilibrio ella cofigurazioe icogita. Il pregio del metodo è quello di poter essere icodizioatamete stabile, che permette quidi di impiegare passi di itegrazioe molto ampi, ciò ovviamete a spese di u umero elevato di iterazioi.

6 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo 6.3 Metodo di itegrazioe esplicita Il metodo di itegrazioe esplicita è basato sul metodo alle differeze cetrali. Nota che sia l'equazioe differeziale lieare del secodo ordie, utilizzado il metodo alle differeze fiite, discretizzado il tempo di itegrazioe i tati itervalli, è possibile sviluppare i serie di Taylor i vettori + e - ; arrestado lo sviluppo ai termii di secodo grado e trascurado il resto si ha: 2 t t 6.9) 2 2 t t 2 sommado membro a membro le 6.9) otteiamo le compoeti di accelerazioe, sottraedo membro a membro ivece otteiamo le compoeti di velocità, quidi: 2 2 t 6.0) 2t l'errore che si commette è dell'ordie di t 2. I questo modo si sostituiscoo le compoeti di accelerazioe e velocità co le differeze cetrate. Scritta la 6.) al tempo e sostituedo le 6.0) si ottiee: 2 M C F K M M C t 2t t t 2t 6.) 2 2 2

7 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo Come si ota dalla 6.) la determiazioe dello spostameto icogito + è legato soltato alla coosceza dell'equilibrio al tempo (cofigurazioe ota), ioltre o è ecessario la fattorizzazioe della matrice di rigidezza trovadosi già a secodo membro e o è ecessario u metodo iterativo perché la matrice di rigidezza è calcolata su ua cofigurazioe ota. Suppoedo ulli gli effetti viscosi, la risoluzioe dell'equazioe del moto può essere realizzata co l'uso dello schema a masse cocetrate ei odi. Riducedo i forma triagolare la matrice di massa le equazioi 6.) risultao essere disaccoppiate. Noto il vettore accelerazioe al tempo, si passa a ricavare il vettore spostameto al tempo + ed il vettore velocità al tempo +/2 co uo schema alle differeze cetrali. Il codice esplicito risulta quidi essere, ai fii del tempo di calcolo molto più veloce dei codici impliciti riducedo il problema o lieare ad equazioi lieari che possoo essere risolte direttamete, l'icoveiete del metodo è che esso è codizioatamete stabile, ciò comporta la ecessità di fare passi di itegrazioi molto piccoli. La scelta corretta del passo di carico t è legata oltre all'accuratezza del risultato alla stabilità del metodo. Si può dimostrare che per u sistema ad u grado di libertà il metodo alle differeze cetrali da ua soluzioe stabile se risulta: T 6.2) t dove T è il periodo di oscillazioe del sistema.

8 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo Per u sistema a p gradi di libertà la codizioe di stabilità risulta: Tp 6.3) t t crt dove Tp è il più piccolo periodo di vibrazioe del sistema, esprimedo questo i fuzioe della frequeza di vibrazioe libera, si ottiee: 2 6.4) Tp max Cosiderata ora la struttura discretizzata i elemeti fiiti, supposto il caso di elemeti moodimesioali di lughezza L, il passo di carico deve avere u valore iferiore al tempo di attraversameto dell'oda soica sull'elemeto: 6.5) co: t crt L a 6.6) a E 2 dove a è la velocità di propagazioe dell'oda di pressioe el corpo ed L la lughezza del più piccolo elemeto della struttura. I coclusioe, la stabilità del metodo esplicito è codizioata dal fatto di avere u t iferiore al periodo di oscillazioe del più piccolo elemeto della mesh, o i altro modo, iferiore al tempo di attraversameto da parte dell'oda soica della dimesioe miima del suddetto elemeto. Ecco perché el calcolo strutturale esplicito si da grade importaza allo sviluppo di algoritmi che aggiorio il massimo t stabile al proseguire della deformazioe.

9 Corso 202/203 Atoio Patao - Dipartimeto di Meccaica, iversità di Palermo I geere i codici calcolao il passo critico iiziale come: 6.8) a L t crt dove tra paretesi vi è u valore umerico gestibile dall'operatore e viee poi modificato co l'evolvere del feomeo al fie di miimizzare il tempo di calcolo complessivo.