II.3 Equazioni indipendenti ai nodi ( I principio di Kirchhoff)

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1 Cptolo CAP. T LTTCH. Topolog elle ret - r Per rete elettrc s ntene un connessone sgnct pol elettrc. l element crttetc (topologc) un rete sono: Lto: costtuto un polo o, oleno, l polo equlente un connessone semplce pù pol. Noo: punto connessone pù ue pol (s prl noo egenere se s conser l connessone ue sol pol). Mgl: ent ll connessone pol lungo un percoo chuso. ro (non orentto): mpp ell connessone e pol; l gro s rà rotto se non sono connesson n sere o n prllelo (o s sono consert pol equlent); un gro s rà completo se è prest l connessone tr tutt no (un gro potrà essere sempre completto conserno pol pert n luogo elle connesson mncnt). Un gro rotto e completo poggnte su n no h un numero lt pr L [n (n-) /] Alero: struttur onmentle ell rete, che colleg tutt gl n no ell rete, senz r luogo mgle; l lero h qun (n-) rm. Colero: prte ell rete complementre ll lero; l colero h qun L-(n- ) lt. ro orentto: tutt lt r-s hnno un rermento (r-s) e per tutt s presume ssunt l stess conenzone; esempo, se s scegle l conenzone ell utlzztore, l rermento (r-s) ncherà s l tensone V che l ntenstà corrente.. Sstem onmentle Consert un rete L lt (su ognuno e qul s un polo per ognuno e qul è sst l crttetc V-), olere l rete sgnc trore lor elle L ncognte tenson e ntenstà corrente. Occorre qun enre un sstem onmentle olente; è necessro che questo sstem s costtuto L relzon npenent. Un pcchetto L relzon npenent è to lle stesse relzon crttetche. Le ltre relzon srnno collegte element topologc ell rete (no e mgle); srnno qun chmte equzon topologche.. quzon npenent no ( prncpo Krchho) A sngol no s può esprmere un lnco crc: n conzon stzonre non può essere ccumulo crc n ogn olume che -

2 D Cmp Crcut comprene l noo. Fceno rermento un ssto nterllo osserzone, s potrà esprmere qun un lnco ntenstà corrente: l somm ponert elle ntenstà corrent che nteressno l noo ee essere null, oe per ponerre le ntenstà sterà moltplcre per un coecente () [ oppure (-)] l ntenstà se l rermento è uscente l noo e per un coecente (-) [()] se l rermento è entrnte ( ). Se s conserno le equzone no con sequenz ent un lero, è mmeto consttre che le prme (n-) equzon no che s scrono sono npenent, mentre l ultm è comnzone elle ltre. ntt ognun elle prme (n-) equzon conterrà un lto nuoo ell lero; noltre l ntenstà corrente ogn lto compre nelle n equzon ue olte, un olt con un peso (es: nell equzone l noo petto l qule present l rermento uscente), un ltr con peso opposto (es.: - nell equzone l noo cente petto l qule present un rermento entrnte); qun l somm e memr tutte le n equzon s ruce un enttà.. quzon npenent lle mgle ( prncpo Krchho) Per le sngole mgle s può rconserre l rrotzonltà el cmpo elettrco n conzon stzonre. S potrà esprmere qun un lnco tenson conserno l nnull ell crcutzone el cmpo elettrco lungo un mgl perco n senso orro [ntorro]: l somm ponert elle tenson ncognte che nteressno l mgl ee essere null, oe con l espressone ponerre le tenson s ntene moltplcre per un coecente () l tensone V se l rermento ssunto per l tensone è congruente con l crcutzone che s st esegueno e per un coecente (-) nel cso contrro. Se s conserno le mgle ottenute ppoggno ll lero sngol lt el colero, s ottengono [L-(n-)] equzon lle mgle npenent; s può consttre che ogn ltr equzone ottenut conserno ltre mgle è comnzone elle equzon suette. Per un scrttur sstemtc ell mtrce e coecent s potrnno nserre n tutte le equzon nche le ncognte non rettmente nteresste, moltplcnole per un coecente nullo. L mtrce e coecent srà qun sp, oss rcc element null. L soluzone ttreo un progrmm clcolo el sstem onmentle srà n qulche moo complct ll neone un mtrce sp. -

3 Cptolo. 5 soluzone el sstem onmentle completo Un olt scrtte le L equzon crttetche e le L equzon topologche, c s chee se l sstem onmentle mmette soluzon. Atteso che le equzon topologche sono semplcssme equzon lner, s potrà ermre che, se le crttetche sono norml, l sstem mmette un e un sol soluzone. Se sono pol non lner, occorrerà esmnre cso per cso le non lnertà. n molt cs l sstem mmette un e un sol soluzone (e ess potrà peren nltcmente con e meto, esempo per sosttuzone), n ltre cs occorrerà proceere per numerc (esempo: metoo Newton-phson) o con ltr meto tert. n ltr cs possono present soluzon penent ll trettor nel pno V-. Può essere sluppt un opportun ormulzone mtrcle per l presentzone e l oluzone el sstem onmentle.. 5. sempo n. oluzone el sstem onmentle completo S conser l rete gur, not come ponte Wethstone: S 50V; 0Ω; 0Ω; 50Ω; 50Ω; 55Ω; B V V 5 V 5 A D C V 5 V V V g..5. g..5. l gro ell rete è mostrto n g..5., n cu è stto scelto un lero ADBC (tre rm); l colero ( rm) è trtteggto. l gro present no; le equzon npenent no sono qun le seguent : -

4 D Cmp Crcut noo A) ( )(-) (0) () (0) (0)5 0 noo D) (0)(0) (0) (-) () (-)5 0 noo B) (0)() () (0) (0) ()5 0. Le mgle npenent e le relte equzon s ottengono conserno tre lt el colero: AB) ()V(0)V(-)V(0)V()V5(0)V0 DC) (0)V()V(0)V(-)V(-)V5(0)V0 AC) (0)V()V()V(0)V(-)V5(-)V0 Le equzon crttetche sono: V V- V V V V555 Le soluzon, che s possono ottenere mpegno meto trzonl (sosttuzone, regol Krmer, ecc.) sono ( ) [ A]; 0.6[ A]; 0.[ A]; [ A]; [ A]; 0.[ A] V 6.6[ V ]; V.6[ V ]; V 6.[ V ]; 85 5 V.85[ V ]; V5 0.[ V ]; V 0[ V ] S osser che lor ssolut ell tensone e ell ntenstà corrente relt l genertore sono mssm nell rete (prncpo non mplczone, e.). soleno l sstem petto 5, s ottene 5 ( ) 5 L ntenstà tle corrente è null, qulunque s l lore ell tensone el genertore nell cosett conzone equlro l erc tle conzone consente etermnre l lore un resstenz ncognt, conosceno l lore e e ceno rre n moo ottenere un lore nullo mpegno un mperometro molto sensle (glnometro). L Per rtrore esttmente lnc tensone e corrente può essere utle r rermento numer rzonl n orm rzonr. Altrment occorre tener presente gl error rrotonmento e troncmento tpc elle clcoltrc numerche. -

5 Cptolo precsone nell msur penerà lle tollernze elle resstenze mpegte e ll clsse ello strumento. Voleno lutre l sensltà el ponte, oss qule s l mnm rzone che può essere sentt, s suppong che, prtre ll conzone equlro, s un rzone ( ) ( ) * * << δ δ δ n queste conzon s rà ( ) [ ] [ ] 5 δ δ Dett 5m l mnm ntenstà corrente leggle ll mperometro ( es. na) (sone o tcc ello strumento nlogco, cr pù ss ello strumento gtle), l sensltà è t ( ) ( ) * * * * m δ Se le resstenze ll equlro sono tutte ello stesso lore, s h ( ) m m * * * * δ poneno 000Ω e 8V, s h δ0-6, oss l ponte è sensle ll rzone ell resstenz un prte su un mlone. Altro esempo numerco con l ormulzone complet el sstem onmentle è sluppto n.- -5

6 D Cmp Crcut.6 Prncpo sosttuzone Se l punto loro P ell connessone tr un polo B e un polo B è unco, esso può essere entcto nche sosttueno pol suett ue pol B* e B* le cu crttetche comprenno l punto P e quest rppresent ncor l unco punto loro. A esempo, n un connessone genertore ele tensone()-resstore ele() che h come punto loro l punto P coornte (, /), s può sostture l resstore un genertore corrente ele */; l punto loro P* ell nuo connessone h le stesse coornte el punto P ( ). Le sosttuzon sono sempre mmesse se l punto loro è unco prm e opo l sosttuzone. Attenzone qun cs ptologc. Pù n generle, s conser un rete elettrc; se l sstem onmentle mmette un sol soluzone ( esempo nel cso sstem lner non omogene) è possle sostture un polo (con crttetc qulss purché nertle) un ltro polo ( esempo un genertore ele tensone o corrente con l lore ell tensone o ell ntenstà corrente ugule quello ell soluzone), purché l nuoo sstem mmett un sol soluzone ( esempo non c s rtro ne cs ptologc )..7 Teorem scomposzone (Sorpposzone egl eett) Se l sstem è lnere, può essere conserre un qulss scomposzone el ettore-colonn e termn not e scomporre l soluzone n tnte soluzon. Un utle scomposzone consste nel conserre uno ll olt termn not relt sngol genertor, n qunto è molto pù semplce olere un rete lnere lmentt un solo genertore. Quest ultmo procemento prene comunemente l nome sorpposzone egl eett..8 Conserzone ell potenz nelle ret elettrche - Potenze rtul - Teorem Tellegen Conserto che n regme stzonro l tensone su un lto posto tr lt r e s può essere espress come erenz potenzle ( V Vr - Vs) e che le l legge Krchho no r e s, s può clmente mostrre che è null l A esempo, nell connessone pol ell g..., ue pol s possono sostture un genertore tensone V* e un genertore corrente *. Non è lecto sostture entrm pol un genertore tensone V* (o un genertore corrente *), perché sree netermnt l ntenstà corrente (l tensone). -6

7 Cptolo somm - estes tutt lt - elle potenze lutte con l stess conenzone. Qun è null l somm elle potenze ssorte tutt lt e è null l somm elle potenze generte tutt lt. Se non s è ottt per tutt pol l stess conenzone, l somm elle potenze ssorte - estes tutt lt per cu s è tt l conenzone ell'utlzztore - è pr ll somm elle potenze erogte - estes tutt lt per cu s è tt l conenzone el genertore-. Se s conserno ue ret con ugul gro (n sostnz con lo stesso numero no) e con le stesse conenzon su lt omologh (r-s,r'-s'), s può ugulmente mostrre che l somm elle potenze rtul Vr's' estes tutt le possl connesson è null (teorem Tellegen)..8. Teorem recproctà Come pplczone el teorem Tellegen s conser un lto un rete resst lmentt un genertore tensone (per semplctà, ele) stuto nel lto e l ntenstà corrente n un rmo (per semplctà: un cortocrcuto) e ll ltro l rete moct petto ll preceente solo nell poszone el genertore, che tros nel lto omologo e n cu s prene n conserzone l ntenstà corrente nel lto omologo. L conenzone tr e s congru con l conenzone tr e ( es. el genertore). Applcno l teorem Tellegen lle ue ret s rà: ' ' ' ' ' V 0 V 0 lt lt ' ' ' V 0 0 V ' oe l sommtor con pce è estes tutt lt elle ret meno lt e ( e ); per quest lt, costtut gl stess resstor; srà V V e qun (teorem recproctà) ntt, conserto un generco noo r, s conserno tutt collegment r-s orentt r eo no cent (s), coè uscent r; s potrà screre V V V V V 0 V s ( r s ) r ( s ) ( s ) s s Ogn noo s srà po lutre con tutt collegment con rermento entrnte () moltplcto per (-Vs); qun ( Vs ) 0. V esplctmente notto che esteneno l r s sommtor elle potenze ogn comnzone (r,s), l collegmento r-s ene conserto ue olte (un olt nel senso r-s, un ltr nel senso s-r); m poché V Vsr, s rà V 0 V V 0 r,s lt s lt s -7

8 D Cmp Crcut n prtcolre se ue genertor erogno lo stesso lore ell tensone, le ue ntenstà corrente sono ugul. S può qun clcolre l corrente n un rmo un rete lmentt un solo genertore spostno l genertore propro n quel rmo e clcolno l ntenstà corrente nel rmo oe s tro orgnrmente l genertore. S può crere l teorem rmuoeno le potes semplcte nzette e nche conserno l lmentzone con un genertore corrente..8. sempo n. ecproctà Qule pplczone el teorem recproctà s può conserre l gur rete not come ponte Wethstone gà esmnt l.5., n cu non s contrno congurzon sere o prllelo resstor ste l genertore V Fg..8.. Applczone el teorem recproctà Per l clcolo ell ntenstà corrente 5, st conserre l secono schem n cu l genertore è stto poszonto propro nel rmo 5. Se s pone 5 s rà qun che l lore cercto è l ntenstà ell corrente. sseno nel secono schem n prllelo con e n prllelo, s rà, pplcno l regol el prttore corrente, -8

9 Cptolo ( ) ' ' 5 ' 5 ' ' ' 5 ' 5 eq L ntenstà corrente 5 è null se. Anche l tensone V5 è null. Quest conzone ( ponte lncto ) come gà sto può essere utlzzt per l msur resstenz, eno sposzone ue resstor resstenz not, un reostto ( resstenz rle), oltre l resstore resstenz ncognt. L conzone ponte lncto sscur che nche l rre non è sollectzone elettrc sul polo 5 nche se trtts polo generco, tto o psso, e nche non lnere. Qun n tl conzon non è ntererenz tr l lto o gonle lmentzone e l lto o gonle relzone (contenente 5 o qulss ltr pprecchtur rppresentle con un polo). -9

10 D Cmp Crcut.9 enertore equlente tensone (Teorem Théénn) S conser un rete costtut pol norml (tt e pss), ccessle moett A-B (polo tto A-B), oeros collegle ttreo A-B un ltro polo ( 5 ). Al ne lutre genercmente l unzonmento qulunque s l polo connesso, oss l crttetc ell rete suett moett A-B ( oss lutre l legme tensone corrente V- ), nel cso che l rete s costtut pol norml, può essere conserto un polo elementre costtuto un genertore rele tensone oss ll sere un genertore ele tensone Vo e un resstenz eq (polo equlente Théénn) oe Vo è l tensone V uoto coè mmgnno collegre A-B un polo perto e eq è l resstenz equlente ell rete st moett A-B quno nell stess rete sono stt spent tutt genertor. A A A V V V B B B Fg Sosttuzone un polo con un genertore ele corrente o tensone Tle propretà può essere mostrt pplcno l prncpo sosttuzone (nel cso l soluzone esst e s unc) e l sorpposzone egl eett. Nel cso ntt esst un solo punto loro per lor (V,) g..9., n cu sono stt nut ue moett A-B snstr e qul s h un rete lnere, s può sostture l polo estr un genertore ele corrente o un genertore ele tensone V. Nel prmo cso, l tensone V s otterrà conserno l contruto V ell rete snstr A-B quno l genertore corrente è spento (V è qun l tensone uoto) e l contruto to l genertore corrente su cu è pplct l conenzone ell utlzztore che ee l rete snstr res pss, oss, prte l segno, l su resstenz equlente moett A-B. Aremo qun VVo-eq; poché, come s è sto, quest è l crttetc un genertore rele tensone, l rete snstr e moett A-B è equlente l polo ( Théénn)costtuto l genertore erognte l tensone uoto moett A-B n sere con l resstenz st moett A-B sull rete res pss. 5 Tle polo potrà essere tto o psso e nche non lnere, slo le conserzon cu ppresso. -0

11 Cptolo l punto loro eetto è stlto l conronto ell crttetc el polo equlente Théénn con l crttet el polo esterno (che può essere un polo elementre [nche non lnere ( 6 )] o un ltro polo equlente).. 0 enertore equlente corrente (Teorem Norton) Al ne lutre l crttetc ell rete suett moett A-B (oss lutre l legme tensone corrente V-), nel cso che l rete s costtut pol norml, può essere conserto un polo elementre costtuto un genertore rele corrente oss l prllelo un genertore ele corrente cc e un resstenz eq (polo equlente Norton) oe cc è l ntenstà ell corrente cortocrcuto coè mmgnno collegre A-B un polo cortocrcuto e è eq l resstenz equlente ell rete st moett A-B quno nell stess rete sono stt spent tutt genertor. Questo teorem Norton s mostr nch esso prtre ll sosttuzone g..9. con un genertore ele tensone e lutno l ntenstà corrente come contruto e genertor snstr ( è l ntenstà corrente cortocrcuto tr moett A-B) e l contruto el genertore V, che ee l rete pss. Srà qun ccv/eq, con mmet equlenz con un genertore rele corrente (polo Norton). l punto loro eetto è stlto l conronto ell crttetc el polo equlente Norton con l crttet el polo esterno (che può essere un polo elementre [nche non lnere] o un ltro polo equlente. pol Theenn e Norton sono omente equlent tr loro; tre prmetr equlent sono legt ll relzone cc Vo/eq e qun l terzo s potrà eurre ll conoscenz e prm ue. Srà opportuno l rcoo l teorem Théénn, quno l pertur un rmo rntum sgnctmente un rete (es. congurzon sottoret n sere), mentre l genertore equlente corrente Norton srà pù clmente lutle nel cso sottoret n prllelo ( 7 ). 6 Se l conronto elle ue crttetche s eenzno un molteplctà soluzon, occorrernno ulteror lutzon (legte esempo ll stor sut l polo, ll stltà ell soluzone, ecc.). 7 l teorem Norton s pplc ntt contnumente nelle ret struzone ell energ elettrc, oe spost sono collegt srre o lnee equpotenzl. -

12 D Cmp Crcut. Propretà non-mplczone (elle tenson e elle corrent) Consert un rete pol cu uno solo tto, s può mostrre che l tensone cp el polo tto h, n lore ssoluto, l lore pù eleto. ntt, conserto un generco noo r nterno ll rete (non collegto con l genertore), l somm elle corrent uscent l noo è null; qun lcun termn sono post e ltr negt. Poché lt r-s ncent sul noo r contengono pol pss (V 0), s rnno termn post e negt nche tr le tenson V. corno che VVr-Vs, c srà qun lmeno un noo r potenzle mggore r e un noo s potenzle mnore. Potremmo qun costrure un sclett potenzl che rà un mssmo e un mnmo (esseno l nseme e no comunque nto) che corponernno moett - el genertore: per questo lto non s potrà rpetere l rgonmento suesposto esseno necessrmente (per l teorem conserzone elle potenze) V 0. Consert un rete pol cu uno solo tto, s può mostrre che l'ntenstà corrente erogt l polo tto ssume, n lore ssoluto, l lore pù grne petto lle ntenstà corrente negl ltr lt. ntt se s conser un generco collegmento r-s tr ue grn contgu ell sclett e potenzl, s potrà seprre un nseme no potenzle mggore r e un nseme no potenzle mnore s (g...). collegment tr ue nsem sono nteresst, per costruzone, ntenstà corrente e r s non negte per tutt lt uorchè per quello (necessrmente presente) corponente l genertore, per cu srà <0. Qun s rà un solo lore negto che srà necessrmente n moulo mggore egl ltr. l rgonmento può estene qulss lto ell rete. V r >V r r r s V s <V s Fg... Non-mplczone elle corrent s -

13 Cptolo. Prncpo compenszone (*) S conser un rete cu sono note le tenson V e le ntenstà corrente ; s suppong che s un rzone Δn (post o negt) ' resstenz n un generco rmo n, qun V ' n tutt rm le ntenstà corrente e le tenson s porternno lor V Per clcolre l nuo soluzone, st qun clcolre le rzon. Se s olesse compensre l rzone, s potree pensre un genertore tensone Δn [ corrente Δn] opportuno n moo che sull sere ' n n c s l tensone lore ugule quell che c er prm ell rzone, oss Vn. Per l unctà ell soluzone, l ntenstà ell corrente nel rmo n-mo s rporterà l lore e tutte le ltre grnezze ell rete s rporternno l lore preceente. Srnno qun clmente conrontl ue schem g..., n cu è messo n eenz l rmo n-mo V n A) B) n n n n n V n n Δ n n Fg... Compenszone con genertore tensone Dorà ultre qun ' Vn n n n n n n ( n n ) n n n n n ltr termn, per compensre l rzone resstenz, occorre nserre nel rmo n-mo, con l conenzone el genertore petto l rermento n, un genertore tensone pr l prootto ell ntenstà n (suppost not) e ell rzone ell resstenz. n ent, per conoscere le grnezze n tutt rm n seguto ll rzone resstenz nel rmo n-mo, sterà conserre l scomposzone ell rete g...b n quelle g.... n V n n n A) B) Fg... Scomposzone pplct ll g...b n Δ n V n -

14 D Cmp Crcut S euce l conronto ell g..a e elle gg...b e..b che l rzone ell grnezze nell rete (e qun lor nl) possono essere clcolt nsereno nel rmo n-mo un solo opportuno genertore ( lore ); è ntt n n n ' " ' " Δ n Δ n -Δ n n ΔV n n Fg... Clcolo elle rzon Quest propretà può essere mostrt nche compensno con un genertore corrente. Sono ntt clmente conrontl ue schem g.8, n cu è messo n eenz l rmo n-mo n n V n V n n Δ n A) B) Fg...- Compenszone con genertore corrente n / n Dorà ultre qun ' n Vn nvn n Vn n nvn n n n Vn n nv ' n n n ltr termn, per compensre l rzone resstenz, o meglo l rzone conuttnz, occorre nserre nel rmo n-mo, con l conenzone el genertore petto l rermento Vn, un genertore corrente pr l prootto ell tensone Vn (suppost not) e ell rzone ell conuttnz. n ent, per conoscere le grnezze n tutt rm n seguto ll rzone conuttnz nel rmo n-mo, sterà re rermento gl schem g...5. ( ) n -

15 Cptolo n n V n n A) B) V n n / n Δ n Fg...5 Vlutzone elle corrent nl S euce l conronto ell g...a e elle gg...5a e B che l rzone elle grnezze nell rete (e qun lor nl) possono Δ n - Δ ΔV n Δ n - Δ n V n n / n Fg...6- Clcolo elle rzon essere clcolt nsereno nel rmo n-mo un solo opportuno genertore corrente ( lore V ), come n g...6; è ntt n n. Teorem Cohn (*) n ' " ' " S conser un rete resstor ccessle ue moett A-B e un generco rmo -mo. L resstenz equlente moett A-B pene n genere tutte le resstenze ell rete. Al rre ell resstenz el rmo -mo s rà un rzone ell resstenz eq moett A-B tle che (..) eq 0 ( teorem Cohn) S conser ntt un rzone nntesm ell sol resstenz nel rmo -mo. Almentno tr A e B con un genertore tensone ele costnte, s rà (g...) eq 0 eq eq eq eq (...,,...) eq -5

16 D Cmp Crcut A A B () V B () V V Fg... Teorem Cohn: () rete prtenz; () rete rt nel rmo -mo. Applcno l prncpo compenszone s rà (g...) A B () V A B (V) V - Fg... Applczone el teorem compenszone Applcno l teorem Tellegen lle ret ()-(V) e conserno che sono ugul le sommtore estese lt ntern, s h V eq eq eq eq V eq eq ( ) ( ) eno tcurto l termne orne superore. Se ne conclue che l resstenz equlente cp un polo è un unzone non ecrescente un qulss resstenz comunque colloct nell rete. Conserto nuomente l prncpo non mplczone, per cu le ntenstà corrente nno mnueno n lore ssoluto mn mno che c s llontn moett A-B, s not che, llontnnos moett ngresso, l resstenz equlente ent sempre meno sensle ll rzone elle resstenz el lto -mo. noteole nche l cso lmte n cu l resstenz equlente non sente l rzone ell resstenz el lto -mo. -6

17 Cptolo eq L conzone 0, gà consert nel Ponte Wethstone è noteole nteresse nelle pplczon (sccoppmento ressto): l sorgente non nluenz nè nterece con l lto -mo, oero l lto -mo è mmune lle rzon o perturzon el genertore ( 8 ).. Metoo e potenzl nol Se n un rete elettrc s ssumono come ncognte uslre potenzl egl n no ell rete (conserto un noo rermento, s rnno n- nuoe ncognte), l tensone el lto posto tr l noo r e l noo s srà VVr- Vs e l ntenstà corrente, se pol sono norml e s ssume l conenzone ell utlzztore, srà el tpo (Vr-Vs)/, oe è l lore ell tensone el genertore (con l prmo moetto rolto r) e è l resstenz el lto. Le n- equzon npenent per conoscere potenzl nol s potrnno eurre l lnco elle corrent l noo, scrtto n unzone ell erenz r potenzl nol. Nel cso pol norml, l mtrce el coecent A nell equzone A V B 0 (oe V è l ettore elle ncognte potenzl nol, menson [x (n- )]) è costtut termn conuttnz propr sull gonle prncple rr, pr ll somm elle conuttnze e lt ncent nel noo r, res pss. termn uor gonle (r-s) engono chmt conuttnze mutue e rppresentno l conuttnz el lto conserto, cmt segno. n tl moo l sstem onmentle può essere mpostto n moo retto (per spezone). ntt, come s è etto, l tensone su un lto collegnte ue lt r- s può essere espress, n conzon unzonmento qus stzonro, come erenz tr lor che l potenzle elettrco ssume n r e s. S rnno qun l (numero lt) relzon el tpo (..) V V V, per un lto r-s contenente un genertore rele tensone s potrà screre (..) ( V r Vs ) r s r s 8 Trtts un prmo ccenno lle temtche ell Comptltà lettromgnetc, cmpo grne ttultà non solo nel cmpo elle Msure lettrche, m nche e soprttutto nell certczone proott nustrl genertor o ttme cmp elettrc e mgnetc stzonr e non stzonr. -7

18 D Cmp Crcut Se l lto contene un genertore ele tensone o corrente, s potrà screre (..) (..) V r Se s esprme l lnco elle tenson su un mgl mente potenzl nol, utlzzno l ((..)) s rà un enttà. l lnco l noo r potrà essere espresso (escluso l cso n cu nel rmo è solo un genertore ele tensone) nel seguente moo: (..5) ( V V ) V r s 0 Vr Vs s s' s" oe s nc lt contenent un genertore corrente. s' s s' s' s" Posto rr s' rcc s' mutuconuttnz(r s) utoconuttnz s" l noo ll (..5) s gener l sstem r sommellecorrentcortocrcutol noo..., N V cc..., N V cc (..6) N, N,... N, N VN N, cc l sstem qun ult N- equzon nelle ncognte potenzl nol. L scrttur el sstem (..6) può enre qun per spezone, coè per osserzone rett ell rete. S hnno complessmente [LN-] equzon nelle ncognte tenson, corrent e potenzl nol, m un olt olto l sstem (..6) nelle ncognte potenzl nol, le ltre L equzon sono el tpo (..--) e qun estremmente semplc. r, -8

19 Cptolo l metoo e potenzl nol s prest ene qun olere l rete con poch no. Un clssco esempo s rtro nelle ret sco n cu rm collegno ue sol no (g...) Fg... rete sco A B n questo cso l ncognt è un sol: (..6) V AB V A Tle relzone, generlzzle un numero qulss lt n prllelo, prene l nome ormul Mllmn ± ' ± ' " " ' (..6) V AB V A ' oe l segno ene nserto nel cso genertore h l prmo moetto rolto eo B e l rermento per l genertore corrente è rolto eo A. Nel cso lto contenente un genertore ele tensone (0) non s può proceere per spezone. Tutt s può mocre l rete conserno ue genertor tensone n prllelo e rmuoeno un noo (s): le tenson e le ntenstà corrente negl ltr lt rmngono nlterte, l ntenstà corrente nel rmo el genertore s ottene per rcomposzone (g...). n tl cso l orne el sstem s ruce. r r s r s s Fg... lmnzone un noo -9

20 D Cmp Crcut. 5 Metoo elle corrent mgl Questo metoo è l ule el metoo e potenzl nol. Se n un rete elettrc l lt s conserno un nseme l-(n-) mgle npenent esempo conserno l nseme ell lero e cscuno egl l-(n-) lt el colero-, s può ssocre un rermento omogeneo con un ntenstà corrente - prestto per contnutà l rermento per l ntenstà corrente ssto nel lto el colero e prolungto ll nter mgl -m ( corrente ttz mgl ) (g..5.).( 9 ) Le ntenstà corrente ne rm ell lero s ottengono come semplc comnzon elle corrent mgl. perco entrno e escono ogn noo per cu lnc corrente no, scrtt n termn, s olono n enttà: ) 0 ( ) ( ) ) 0 ( ) ) c e e 0 ( ) ( ) ( ) c e Fg..5. Corrent mgl 9 S ce l opportuntà ssumere ntenstà e rermento congruent con l ntenstà e rermento ell unco lto el colero cente prte ell -m mgl. -0

21 Cptolo S conser un rete lnere (costtut pol norml). Se s ssumono come ncognte uslre le l-(n-) corrent mgl, tteso che per un rete lnere ogn crttetc lto potrà essere scrtt n termn el tpo ( 0 ) V ±, s potrà screre le l-(n-) equzon lle mgle n termn corrent mgl. S potrà screre qun un sstem rotto n termn corrent mgl e qun clmente rcre le ncognte tenson e corrent lto. termn ell sommtor sono moltplct per un coecente (-) se l rermento ell corrente mgl è score quello. Nel cso trtts un lto el colero, l sommtor elle corrent ttze s ruce un solo termne. Anche n questo cso le equzon possono essere scrtte per spezone. L mtrce e coecent srà costtut sull gonle prncple () ll resstenz mgl ottenut sommno le resstenze che s ncontrno ne lt ell mgl, termn uor gonle (jj) rppresentno l somm e lor elle resstenze e lt comun lle mgle e j, termn not sono collegt lle tenson uoto mgl, l tutto n moo perettmente ule l metoo e potenzl nol. L presenz un genertore corrente ele n un lto rene non mmetmente prtcle l metoo per spezone. l lto che lo contene però può essere scelto come lto el colero e r luogo un corrente mgl lore noto, per cu s ruce l orne el sstem. n lternt, se un lto contene un genertore ele corrente (0) rettmente n prllelo un resstore * (coè c s tro ronte un prllelo equlente un genertore rele corrente s può s può mocre l rete conserno l genertore tensone equlente (tensone uoto *, resstenz equlente * ); se l genertore corrente non è rettmente n prllelo un resstore, s possono crere nuoe mgle elementr, prtre moett el genertore corrente ele, come n g..5.; s rentr così pù olte nel cso preceente. qun sempre possle utlzzre l l scrttur per spezone. 0 quest espressone non può essere scrtt per un polo genertore corrente ele; n questo cso srà opportuno conserre l rmo contenente l genertore ele corrente come rmo el colero: s rà un corrente ttz lore noto. -

22 D Cmp Crcut r s r ru us s u u Fg..5. ottur un mgl contenente un genertore corrente ele l metoo elle corrent mgl s rtro prtcolrmente utle quno l numero elle mgle è sso petto l numero e lt e/o quno sno molt genertor corrente. A esempo l gur polgonle sotto nct (g..5.) (con numero lt permetrl el polgono qulss), lmentt genertor corrente, à luogo un sol equzone nell corrente mgl, rcnos po ± ± rpmente tutte le grnezze (Mllmnn ): oe l segno (-) operto nel cso scornz tr l rermento e l eo r-s r s g..5. ete nello -

23 Cptolo.6 N-pol Un rete ccessle N moett (pol),..,n prene genercmente l nome N-polo; un rete ccessle N coppe (porte) moett ornt (- ),(- ),...,(N-N ) prene l nome N-polo; un rete ccessle N m-ple moett ( (m) ),..., (N-N -N -...-N (m) ) prene l nome N-m-polo (Nporte m pol). Nel cso un sol copp moett ornt s rtro l noto polo. L crtterzzzone egl N-pol può essere eettut prtre ll scelt ell conenzone sulle sngole porte ( esempo può essere scelt per tutte le porte l conenzone ell utlzztore). Le sngole porte possono po essere lmentte con genertor tensone o corrente (e.7). L crtterzzzone ell N-polo ene n genere eettut ssno per l ntenstà ell corrente elettrc un rermento congruente su tutte le porte ( esempo un rermento entrnte); poché l rete rppresent un struttur lmtt, le ntenstà corrente, supposto un unzonmento stzonro, sono tr loro penent. Per l prncpo conserzone ell crc srà ntt (.6.) 0 Nell scelt ell crtterzzzone ell N-polo su se corrente o su se tensone s orà tener conto s ell (.6.)che ell conserzone el cmpo elettrco stzonro. Sono preste per genertor ue congurzon onmentl: nell congurzone conctent moett e genertor sono collegt n sequenz tr pol _,_, _,(N-)_N,N_, nell congurzone stellt un moetto el genertore è collegto l polo e l ltro un moetto esterno O (centro stell) n comune con gl ltr genertor. L lmentzone n corrente non potrà preeere qun N genertor stellt corrente lore rtrro,,,n: l N-mo è penente gl ltr N-. Possono cee essere prest N genertor rtrr corrente conctent,,,n. L lmentzone n tensone non potrà preeere N genertor conctent tensone V,V,,VN lore rtrro, esseno null l somm e loro lor. Possono cee essere prest N genertor tensone stellt,,,n lore rtrro, collegt un centro stell esterno comune. N -

24 D Cmp Crcut C s lmterà n quest see ll crtterzzzone N-pol lner pss lmentt genertor tensone stellt. Le ntenstà elle corrent,,,n (ette nche corrent lne) possono essere ottenute come somm e contrut e sngol genertor,,,n ( lore rtrro); tl contrut, trttnos rete lnere, sono proporzonl lor,,,n ; coecent proporzonltà sono omogene conuttnze e srnno nct con j, oe l nce j s rece ll lne (l polo) e l nce l genertore tensone stellt; per j tle coecente h l sgncto ornro conuttnz equlente moett el genertore (quno gl ltr genertor sono spent) e, pertnto, prene l nome conuttnz propr o utoconuttnz el polo j; ne cs n cu j è eo, s prlerà conuttnz mutu tr pol j e. Le relzon tr corrent lne e tenson stellte NN (.6.) NN. NNN NNN può essere crtt n orm mtrcle (prootto rghe per colonne) (.6.) oe rppresent l rry (rg) elle corrent lne e l rry (colonn) elle tenson stellte. L () rcor l legge Ohm per l polo. L mtrce elle conuttnze (.6.) goe elle seguent propretà :.. ) h rngo nerore N e l suo etermnnte è nullo: l mtrce non è nertle; ) gl element ell gonle prncple (utoconuttnze) sono qunttà non negte; N.. N c) le conuttnze mutue non possono essere poste ( ); N N NN se esempo osse post, s ree, lmentno con un genertore V, un ntenstà corrente post secono l rermento entrnte el polo ; remmo qun, -

25 Cptolo ) per l prncpo non mplczone elle corrent l ntenstà corrente j erogt l genertore j-mo non potrà m essere nerore n moulo ll ntenstà j; s rà qun j jj; ) l clcolo j e j s eettu su schem recproc, qun per l teorem recproctà jj; e) conserno che l () ee lere qulunque sno lor elle tenson e genertor stellt, s rc ll () che l somm tutt coecent un colonn (e qun rg) è null ( ). n ent, l numero egl element essenzl un mtrce elle conuttnze s ottene conserno che l mtrce è smmetrc e che gl element ell gonle prncple possono ottene prtre lle conuttnze mutue rg o colonn; tle numero le qun (N -N)/ oss N(N-)/. Tle ultto corpone lle comnzon senz rpetzone N element su ue post e qun l numero lt n un gro rotto completo con N no propr. S può qun pensre ssocre un N-polo un rete equlente che s ottene conserno un gro rotto completo ttestto su N no, cscuno corponente un polo; l gur che s gener ene chmt polgono completo ( ). S può clmente mostrre che se s prte un N-polo strutturto come polgono completo con resstor resstenz j tr pol j e, l conuttnz mutu j tle N-polo è pr /j. n ltr termn, è un corponenz unoc tr gl element j mutu conuttnz un N-polo e le resstenze j un polgono completo resstor. Qun s può tormre un N-polo qulss n un polgono completo resstor N ertc ( ). Con rermento strutture stell, onmentle mpego nell struzone ell energ elettrc, c s chee se è possle tormre un N- nell rete resst lmentt l solo genertore, un noo nterno potenzle nerore l potenzle el secono moetto el genertore, che è potenzle mnmo (se l tensone el genertore è post); Poché l unc utoconuttnz ee essere non negt, s conerm che l lore ssoluto elle conuttnze mutue, non poste, ee essere nerore l lore ell utoconuttnz; n prtcolre, se quest ultm è null, srnno null tutt gl element colonn o rg. Se l utoconuttnz è null, l polo corponente è solto gl ltr. Trtts un ornro polgono n ertc, gonl comprese. notre che con tle tormzone scompono tutt no ntern ell rete orgnr. Se s olessero ere nczon, esempo, su potenzl e no ntern, occorreree rcre tl lor prte. -5

26 D Cmp Crcut polo generco (o nche un polgono) n un stell N resstor. L conzone necessr è che s N(N-)/N. Tle operzone srà qun possle solo nel cso N (tormzone trngolo-stell) ( 5 ). 5 Omente, ogn stell è sempre ssocle un polgono completo equlente. S un stell resstor centro O; s o l resstenz el resstore tr l polo -mo e l centro stell. L utoconuttnz l polo -mo s otterrà lutno l sere tr o e l prllelo tr le rmnent resstenze: 0 0 Y 0 N ;( ) 0 n n0 L conuttnz mutu j s otterrà conserno l prttore corrente j j j jo jo j N N j 0 N ( ) ( ) 0 0 ;( ) 0 Queste espresson permettono costrure l polgono completo resstor ( j ) j Se N s h l tormzone stell trngolo Sommno le tre relzon memro memro s h -6

27 Cptolo. 7 N-pol S rcor che un rete ccessle N coppe (porte) moett ornt (- ),(- ),...,(N-N ) prene l nome N-polo (N-porte). L crtterzzzone egl N-pol può essere eettut prtre ll scelt ell conenzone sulle sngole porte ( esempo può essere scelt per tutte le porte l conenzone ell utlzztore). Le sngole porte possono po essere lmentte con genertor tensone o corrente. Non è lcun ncolo per le tenson e le corrent. Nell scelt ell crtterzzzone ell N-polo su se corrente o su se tensone s potrà proceere come per l N-polo, rcorno che non c sono ncol per genertor. Sono preste per genertor ue congurzon onmentl (lmentzone n corrente e lmentzone n tensone) e ltre re (genertor corrente su lcune porte e tensone su ltre). L lmentzone onmentle n corrente preee qun N genertor corrente lore rtrro,,,n. L lmentzone onmentl n tensone preee N genertor tensone V,V,,VN lore rtrro pplct lle N porte. C s lmterà n quest see ll crtterzzzon N-pol lner pss nelle congurzon onmentl, sottolneno però che sono numerose congurzon re un certo rleo e usone, l cu moello è clmente rcle. Le relzon tr corrent e tenson lle porte (lmentzone su se tensone) è l seguente VV NVN ( ) ( ) cu Tl relzon costtuscono l tormzone trngolo-stell. Se le tre resstenze ell stell sono ugul (000Y) nche le tre resstenze el trngolo sono ugul ( ) e s rà Y /. 0-7

28 D Cmp Crcut VV NVN. NNVNV NNVN che può essere crtt n orm mtrcle V (.7.) (.7.) oe rppresent l rry (rg) elle corrent e V l rry (colonn) elle tenson. L mtrce elle conuttnze N (.7.).. N.. N N.. NN goe elle seguent propretà : - ) h rngo ugule N e l suo etermnnte non è nullo: l mtrce è nertle; - ) gl element ell gonle prncple (utoconuttnze) sono qunttà poste; - c) le conuttnze mutue possono essere poste o negte; - ) per l prncpo non mplczone elle corrent l ntenstà corrente j erogt l genertore j-mo non potrà m essere nerore n moulo ll ntenstà j; s rà qun j jj; - ) l clcolo j e j s eettu su schem recproc, qun per l teorem recproctà jj. n ent, l numero egl element essenzl un mtrce elle conuttnze s ottene conserno che l mtrce è smmetrc; esso le qun [N (N -N)/] oss N(N)/. Pochè l mtrce è nertle, s può nche conserre l relzone V oe l mtrce elle resstenze è l ne ell mtrce elle conuttnze. ppen l cso notre che l elemento j non è l neo j; st pensre, tr l ltro, che gl element ell mtrce elle conuttnze engono rct n -8

29 Cptolo conzon cortocrcuto su N- porte, gl element elle resstenze n conzone perto su N- porte.. 8 Dopp pol Nel cso ue coppe moett l mtrce elle conuttnze e quell elle resstenze rnno element npenent (ue uto e uno mutu). l moello su se corrente (.8.) port conserre uno schem equlente T (T o T secon che s m posto o negto), n cu c m m m V V m m c c l moello su se tensone V V V V m m g.8 T T port conserre uno schem equlente Π (Π o Π secon che s m negto o posto), n cu c c c m m m Π Fg.9 Π Ne moell r, engono pres come se ltr nment grnezze lle ue porte : esempo nel moello V h hv h hv l mtrce connessone non è omogene: h è l resstenz prmr cortocrcuto ( resstenz equlente moett - con tensone null tr e ), h è l conuttnz seconr uoto ( conuttnz equlente moett - con ntenstà corrente null moett - ), termn mutu sono -9

30 D Cmp Crcut mensonl e e (h è un ttore prtzone tensone con port prmr uoto, h è un ttore prtzone corrente con port seconr n cortocrcuto)( 6 ). Con l mtrce tmssone T s ntene proporre un moello utle per rppresentre l collegmento n csct opp pol, n cu l port seconr el prmo oppo polo ene collegt ll port prmr el secono oppo polo, e così. A tl ne ult utle conserre l conenzone el genertore sull port seconr cscun oppo polo, n moo r ultre l conenzone ell utlzztore sull port prmr el oppo polo successo: V TV T TV T V V V V T V V T T T... T Fg.0 l element ell gonle prncple ell mtrce T e possono nche essere negt.. 8. Potenz ssort opp pol sono mensonl Consermo esempo un oppo polo plotto n corrente (.8.). L potenz ssort le: P V V m V V m m sseno, s h P. l termne tr prentes corpone ll resstenz st ll port quno l port è cortocrcutt, oss l neo ell utoconuttnz ll port ; pertnto l potenz ssort un oppo polo ressto const ue termn V P Uno pr ll potenz ssort ll port prmr quno l secon port è pert ( potenz prmr uoto, msurle con un pro uoto) e l ltro legto ll potenz ssort ll port seconr quno l prmro è n cortocrcuto ( potenz seconr cortocrcuto, lutle con un pro cortocrcuto). 6 S può mostrre che ult h-h pplcno l teorem Tellegen lle ue ctte congurzon rete (terz orm el teorem recproctà). -0

31 Cptolo.9 Tormtore ele Trtts un oppo polo ele, crtterzzle con prmetr r o, pù semplcemente lle relzon /, /-/ ( - etto rpporto tormzone- è numero rele eo zero). sso può essere letto come tormtore tensone e/o corrente. Le tenson e le corrent s ntenono costnt o rl nel tempo. l tormtore ele è tprente ll potenz. ntt pss pss pgen e e Fg..9. l tormtore ele l tormtore ele è conenzonlmente rppresentto come n g.. Auto rguro ll propretà tprenz lle potenze, è uso l uso conserre l conenzone ell utlzztore ll port e quell el genertore ll port. l tormtore ele è nche un tormtore resstenze; ntt se s colleg un resstore resstenz ll port, l resstenz equlente ll port le ( 7 ): e eq u u e u Fg..9. tormzone resstenze 7 Per quest rgone s è usto spesso tle connessone per relzzre (n elettronc) un ttmento ell resstenz o meglo ell mpeenz, come s erà n seguto. Cso tpco è un ltoprlnte che per unzonre con l mssm potenz ee essere ttto ll mplctore (come en snno gl ppssont uo lt eeltà). -

32 D Cmp Crcut.0 Dopp pol nmc S conser un oppo polo e un relzone el tpo L M t (.0.) M L t t t Tle relzone è tpc el mutuo nuttore ele; n tle componente possono essere consert luss cmpo mgnetco conctent con ue crcut: l lusso conctento con un crcuto rà un contruto collegto ll corrente el prmo crcuto (lusso utonuzone) e un contruto legto ll corrente ell ltro crcuto (lusso mutu nuzone): (.0.) Φ Φ L M M L S può mostrre che ue coecent mutu sono ugul ( 8 ) e che M L L Nel cso s M L L (conzone ccoppmento peretto) l energ mgnetc (.0.) w m (, ) L L M ent un qurto peretto un nomo e è cle eere che ess è null per nnte coppe lor elle ntenstà elle corrent / L L. n tl cs è l cmpo mgnetco è nullo n tutto lo spzo. S erà pù nt ( V.) che l mutuo nuttore è n genere un oppo polo nmco el secono orne, rucle uno el prmo orne nel cso ccoppmento peretto e rttur pprossmto, sotto lcune potes, un oppo polo orne zero. 8 S conser che l lusso Φ el cmpo nuzone mgnetc B prootto un spr (o olgmento) γ nteresst corrente ntenstà e conctento con un lne chus (spr o olgmento) γ, oss ttreo un superce Sγ orlt ll lne γ è, per l teorem Stoes, pr ll crcutzone el potenzle ettore A (ento ll relzone Brot A): µ 0 t l µ 0 Φ M l t A t t l t l l. Allo stesso moo può essere π r π r γ γ γ γ γ clcolto Φ M A t l. S euce che ue coecent mutu sono ugul. Allo stesso γ ultto s perene conserno che l energ mgnetc ssoct un copp lor (,) è unzone solo quest lor e qun l erenzle W M M M ee ultre estto, oss ee essere M M. -

33 Cptolo. et con genertor penent L struttur el moello el oppo polo s prest un nterpretzone crcutle e, rpreneno l prncpo sosttuzone. A esempo l moello su se tensone può essere nterpretto con l contruto genertor penent o plott (m e m ) rppresentt con losnghe negl schem g..., l cu lore pene un grnezz controllo che è un grnezz ell stess rete o ltr rete. V mv V m (..) V V V m m m m Fg... uso e genertor plott genertor g... sono genertor corrente plott n tensone. Possono essere consert nche genertor corrente plott n corrente, genertor tensone plott n tensone o n corrente. Per l roustezz el moello nche n questo cso l soluzone rest unc (con o ttenzone cs ptologc). n presenz genertor penent potrnno essere pplct tutt le propretà elle ret lner, teneno conto che l genertore non è crtterzzto un lore, m un unzone. Anrnno qun lutt con ttenzone, esempo, prmetr el genertore equlente moett un rete contenente genertor penent ( 9 ). Ne crcut segnle (per l elettronc) genertor penent hnno un consstente usone.. L mplctore operzonle A prtre progress tecnologc ottenut nel secono opoguerr su mplctor elettronc commercl s è ntrootto l mplctore operzonle 9 A esempo per l clcolo ell resstenz equlente non potrnno essere spent genertor penent. - V s u -u δ u δ

34 D Cmp Crcut come un n-polo costtuto ue moett (,-) n ngresso, ue moett usct e un (eentule) polo comune (M : mss) gl ngress e lle uscte (g...). - α u M - Fg... Amplctor operzonl Per lor molto contenut ell tensone ngresso s possono ottenere tenson n usct molt orn grnezz superore. L crttetc è lnere no ll sturzone ell tensone usct. S ensce l gugno n u tensone come α ( 0 ). A moett ngresso tenson e corrent sono tcurl petto lor n usct. Se s pone -0 e 0 s relzz moett ngresso l polo nulltore; se s potzz che moett usct s può ere qulunque lore tensone e ntenstà corrente, s è ronte l polo nortore ( ). 0 Le ntenstà elle corrent n ngresso sono ell orne el mcro o el nno mpere; le tenson ngresso qulche mcroolt etermnno tenson usct no 0-5 V, con gugn ell orne el mlone. L crttetc el polo nulltore s ruce un punto (l orgne); l crttetc el polo nortore è l ntero pno -V. -

35 Cptolo. sempo n. oluzone complet rete lnere S ssegnt l rete: c e * Fg... ete ssegnt Vlor: 0 Ω ; V; Ω;c0 Ω ;5 V; 5 Ω; * e A; Ω STUDO NAL L rete present L6 lt (,,c,,e,) e N no (,,,). l suo gro (non orentto) è l seguente: e c Fg... ro non orentto Per olere l rete occorre omente ssre prelmnrmente le L ncognte tenson e le L ncognte ntenstà corrente ( L); queste possono essere sste ) rtro ( è quello che remo nel seguto); ) n moo sstemtco, operno per tutt lt l stess conenzone e rcorreno l gro orentto (g...); esempo, orentno l lto, e rerenos ll conenzone ell utlzztore, srnno sste utomtcmente le ncognte ( e ); quest proceur è opportun nell mpego coc clcolo numerco. -5

36 D Cmp Crcut e c Fg... ro orentto -6

37 Cptolo SCLTA ABTAA DLL NCONT SCTTUA DL SSTMA FONDAMNTAL S ssegnno rtro le l ncognte (g...) e e _ e c _ c c Fg... erment ssegnt per le ncognte S nu un possle lero ell rete e l relto colero (g.5) e c Fg...5 Alero (lt --c; sequenz no ---) S scrono lnc elle ntenstà corrente (N-) no; è opportuno pesre le ntenstà corrente sempre nello stesso moo [es: () se l rermento è uscente, (-) se è entrnte, (0) se non c e ncenz) Noo ) Noo ) Noo ) () (0)(0)c()(-)e(0)0 (-) ()(0)c(0)(0)e()0 (0) (-)(-)c(0)()e(0)0 S scrono lnc lle mgle npenent ottenute ppoggno ll lero l sngolo lto el coero; è opportuno percorrere le mgle n moo congruente. Lto ), sequenz : 0, oss -7

38 D Cmp Crcut () ()(-)c(-)(0)e(0)0 Lto e), sequenz : () ()(0)c(0)(-)e(0)0 Lto ), sequenz : (0) (-)()c(0)(0)e()0 estno le equzon crttetche: ) - 0 ) - c) c- c 0 ) - e) e -e * ) - 0 MTODO D POTNZAL NODAL S nchno con,,, potenzl e quttro no g... S pong 0. Le tenson ncognte sono unzon mmete e potenzl nol. Dlle equzon crttetche s h ) ) c) c c ) e) e -e ) e le equzon no s scrono Noo ) e e 0 noo ) 0-8

39 Cptolo Noo ) e c 0 c e oss 0 0 c cu: [ V ]; [ V ]; [ V ]; ) [ A] ; [ V ] ) [ A] V c) c [ A] ; c [ V ] c ) [ A] ; [ V ] e) e -e- [A]; e [ V ] 7 ; [ ] 05 7 ) [ ] ; [ V ] A 0 7-9

40 D Cmp Crcut CONSVAZON DLLA POTNZA Se s eettu l somm pest e proott tenson-corrente per r lt [ esempo ssocno un peso () ll potenz ssort e un peso (-) ll potenz genert] s ottene ± lt c c e e 0 [ ( )( ) ( 9)() ( 0) 7 ( 7) 9 05 ] 7 0 [ ] 0 7 n prtcolre, l potenz ssoct r lt le 960 p mw p 000mW 7 0 p cc mw 7 70 pc 50mW 7 90 pe ee 769mW p 60mW 7 S possono re le seguent osserzon: - l potenz ssoct l lto e) è un potenz erogt (è ssoct n g... l conenzone el genertore): l genertore corrente, n questo cso, erog un potenz negt; questo non ee merglre, st conserre che lt con genertore tensone ssorono un potenz negt; - lscno lor n rtt, l lnco potenze è estto; sluppno le son con un normle clcoltrce s osser che ult un errore 6 mw, errore tcurle petto lor me potenze, m enorme petto ll potenz el lto (errore relto el 00%!!); gl ngegner oreero re ttenzone trppole numerche come quest, molto pù requent qunto s mmgn. -0

41 Cptolo MTODO DLL CONT D MALA S conserno le mgle npenent ottenute ppoggno ll lero uno ll ol lt el colero e s ttrusce un percoo orentto congruentemente ll ntenstà corrente el lto el colero; questo percoo ene clsscto come corrente mgl e esso ene ttruto un ntenstà corrente come prm ento. Con rermento ll g. 5 remo qun le corrent mgl, ee e. (g...6). Fg.6 Fg...6 Le equzon lle tre mgle npenent s scrono n unzone elle corrent mgl. Se sono nell rete lt con genertor el corrente, sceglenol come pprtenent l colero, s rnno elle oe semplczon. Nel nostro cso e-e * e qun potremo screre ue sole equzon ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 e c e e c Teneno conto e lor not ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) * * e c c e c c 7 cu s rtro ] [ 7 0 ] [ 7 05 A A. e c e e -