Lezione 1. Meccanica di un sistema puntiforme Cinematica

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1 Lezione Meccnic di un sisem puniforme Cinemic

2 Meccnic di un corpo puniforme Meccnic: sudi l moo di un corpo: esprime con leggi quniie. l relzione r il moo e le cuse che lo generno. Dinmic Anlisi comple del moo : rigurd si il collegmeno del moo lle forze che lo producono si l descrizione geomeric dell'eoluzione emporle del fenomeno di moimeno Cinemic Descrie il moo di un corpo, indipendenemene dlle cuse che lo deerminno. Il moo di un corpo eseso dipende d lmeno sei grdi di liberà re rslzioni e re rozioni e può risulre noeolmene complico: per semplicià inizimo lo sudio del moo di un corpo puniforme corpo di dimensioni rscurbili rispeo quelle dello spzio in cui può muoersi o degli lri corpi con cui può inergire. Un corpo eseso solo eccezionlmene si muoe come un puno merile si prl in l cso di rslzione; esso può compiere conempornemene lri ipi di moo, come rozioni d esempio un ruo o ibrzioni un gocci di liquido che cde. L ipoesi di corpo puniforme riduce il numero di grdi di liberà del moo re rslzione nello spzio.

3 Sisemi di riferimeno spzile Il moo di un puno merile è deermino se è no l su posizione in funzione del empo in un deermino sisem di riferimeno, ossi d esempio se sono noe le sue coordine, y, z in un sisem di riferimeno cresino.. Sisemi di riiferimeno in due dimensioni Ques scel, nche se è l più comune, non è unic. In problemi eni un simmeri defini possono essere più idonei lri sisemi di riferimeno, e.g. coordine cilindriche Sisemi di riferimeno in re dimensioni y P,y y P,y r φ

4 Prmeri cinemici L rieori luogo dei puni occupi successimene dl puno in moimeno cosiuisce un cur coninu nello spzio ed e rppresen memicmene dll funzione Spzio percorso e l misur del cmmino percorso prire dll posizione inizile P. Velocià, rizione di posizione lungo l rieori in funzione del empo. Accelerzione. Lo sudio delle rizioni dell elocià con il empo inroduce l grndezz Tempo percorso dll isne inizile spesso uso come ribile indipendene, in funzione di cui si esprimono le lre grndezze. L quiee è un cso pricolre di moo in cui le coordine resno cosni e quindi elocià e ccelerzione sono nulle. P Il conceo di quiee e di moo e ui un conceo relio l sisem di riferimeno doo. Di norm l rieori di un pricell in moo h un form diers ed è rppresen memicmene d un'equzione diers in diersi sisemi di riferimeno.

5 Moo reilineo Si solge lungo un re sull qule engono fissi rbirrimene un'origine e un erso Il moo del puno è descriibile in funzione del empo rmie un sol coordin, come rppreseno in figur.. Lo spzio ri prire d un posizione inizile e cresce in funzione del empo, Memicmene, si dice che lo spzio e un funzione del empo e si indic con Sperimenlmene può essere deermin ponendo lungo l re dei rgurdi con disposiii cellul fooeleric collegi d un cronomero Si oengono coppie di lori e che cosiuiscono il digrmm orrio del moo. Digrmm orrio -m per <<3s per 3s<<3s 7 per 7s<<s 6- per s<<3s

6 Velocià medi nel moo reilineo Se un puno si ro ll'isne nell posizione e ll'isne nell posizione. si dice sposmeno del puno nell'inerllo di empo l disnz L elocià medi m del puno è defini come rpporo r lo σποσταµεντο ξ e l'inerllo di empo. L elocià medi esprime l rpidià con cui iene lo sposmeno. Ess d un'informzione complessi senz fornire nessun indiczione di come iene il moo nell'inerllo di empo considero Dll definizione e dl ringolo rengolo P P Q m / e / nα m α m Q si oiene che elocià medi e rppresen geomericmene dll pendenz dell re che colleg i puni P e P

7 Funzione deri: elocià isnne Se l inerllo iene progressimene ridoo, fino lori infiniesimi, l misur dell elocià medi ende dienre il lore isnneo nel puno P oero l rizione isnne dello spzio nel puno P o elocià isnne. L re P P ende dienre l ngene ll cur nel puno P perno l rppresenzione geomeric dell deri in un cero puno e l pendenz dell ngene ll cur in quel puno Memicmene si dice che l elocià e l funzione deri prim dell funzione spzio e si indic simbolicmene con d d lim Nello sesso modo, se si considerno le rizioni dell funzione elocià, con lo sesso rgionmeno si rri definire l deri prim dell elocià de ccelerzione: d d lim α α m Q

8 Funzione deri Più in generle e possibile dimosrre che d un funzione coninu f di un ribile, e qusi sempre possibile clcolre memicmene le funzioni derie di ordine D n n d f n d dell funzione de primii, che esprimono, ciscun, come ri l funzione deri di ordine inferiore. Cosi : l funzione elocià e l deri prim dell funzione spzio s l funzione ccelerzione e l deri prim dell funzione elocià e l deri second dell funzione spzio. L espressione memic di un funzione deri dipende unicmene dll form dell funzione primii. Nell ol sono elence di funzioni use più comunemene.

9 Funzione inegrle Se è no l dipendenz dl empo dell elocià isnne,, Il clcolo dell l funzione spzio e il problem inerso del precedene Se l empo il puno merile si ro nell posizione e l empo d; nell posizione d dll. edimo che lo sposmeno infiniesimo d e egule l prodoo del empo impiego percorrerlo per il lore dell elocià l empo d d che e ugule ll re del rengolo di bse d ed lezz qulunque si l dipendenz dell elocià dl empo. Lo sposmeno complessio sull re su cui si muoe il puno, in un inerllo finio di empo - è do dll somm di ui i successii lori d compresi r e. Per fre il clcolo uilizzimo l'operzione di inegrzione, che si indic con: Il primo inegrle e oimene ugule - quindi: permee il clcolo dello spzio percorso qulunque si il ipo di moo. d d d

10 Rppresenzione geomeric dell funzione inegrle Come risul dll definizione, l funzione inegrle e numericmene ugule ll somm degli elemeni di superficie d d soesi dll funzione inegr l sse delle scisse e di due lori esremi dell inegrle d d d d d Il ermine rppresen l posizione inizile del puno, occup nell'isne inizile. Perno per clcolre, no, è necessrio conoscere l condizione inizile del moo.

11 Rissuno Il moo di un corpo puniforme in un sol dimensione e complemene definio, in funzione del empo, dllo spzio percorso misuro prire d un posizione inizile L elocià e in ogni isne l deri f rispeo l empo dello spzio percorso e rppresen fisicmene come queso ri in ogni isne. L ccelerzione d d d d d d..3 e l deri f rispeo l empo dell elocià e rppresen fisicmene come ques ri in ogni isne Le relzioni r ccelerzione, elocià e spzio sono d d.4.5

12 Moo reilineo uniforme In un moo reilineo uniforme l elocià del corpo non ri col empo: Applicndo l equzione generle d si clcol immedimene lo spzio percorso: d d che e proporzionle l empo rscorso Applicndo l equzione generle.3 d d L ccelerzione del moo e null

13 Esempi di moi reilinei uniformi sullo sesso sse Esempi di moi reilinei uniformi sullo sesso sse > Equzione orri dei due puni Tempo di inconro Puno di inconro P P O Posizioni inizili 3m, 8m s 4 s.5 s 5m 9m -m

14 Moo uniformemene ccelero Moo uniformemene ccelero In un moo uniformemene ccelero l ccelerzione e cosne : ] [ d d d Applicndo le equzioni.5 : Ossi l elocià ri in modo proporzionle l empo Applicndo l.4: Lo spzio percorso e un funzione proporzionle l qudro del empo Se Se e negio il moo si dice uniformemene decelero d d

15 Esempio di moo con ccelerzione negi Esempio di moo con ccelerzione negi Clcolre lo spzio di fren di un uo con elocià inizile posii, soopos d un ccelerzione negi - L elocià h equzione e si nnull per Il empo di rreso e do d : Il empo di riorno nell posizione inizile e do dll relzione; L elocià l riorno nell posizione inizile e :

16 Dimensioni fisiche dei prmeri cinemici Prmero simbolo Dimensione Uni spzio [L] m elocià [LT - ] ms - ccelerzione [LT - ] ms - Anlisi dimensionle delle equzioni: Le equzioni implicno un eguglinz r le espressioni sinisr e desr. Perno quese deono ere le sesse dimensioni fisiche: Esempio nell equzione sesse dimensioni fisiche. Infi : [L] [L] [LT - ][T] [LT - ] T ] [L] ui i ermini deono ere le

17 Moo ericle di un corpo Un corpo che cde senz rio nel cmpo grizionle erresre si muoe di moo uniformemene ccelero con un ccelerzione de ccelerzione di grià dire erso il cenro dell err pri g -9.8 ms negi perché si ssume l sse delle coordine direo erso l lo. Se il corpo e lscio cdere d un lezz h h g h g Tempo di cdu: Velocià di rrio h c c gh g Se il corpo e lncio erso il bsso con elocià h e - g h g g Tempo di cdu: Velocià di rrio h c g g g c gh Se il corpo e lncio erso l lo con elocià prendo dl suolo e g g g Tempo di rreso: Alezz di rreso M g M M Tempo di cdu: Tempo di rreso M c c M c g g g h Alezz di rreso

18 Esempio di moo rio: Moo rmonico Un puno si muoe di moo rmonico semplice qundo l legge orri è defini dll relzione A, ω, φ sono grndezze cosni: A:mpiezz del moo, ω φ : fse del moo, φ : fse inizile, ω : pulszione. Il moo rmonico semplice è un moo rio, in cui ue le grndezze cinemiche },,}, rino nel empo..9 Crerisiche spzili del moo. I lori esremi dll funzione seno sono e -: perno il puno che obbedisce ll.9 percorre un segmeno di mpiezz A con cenro nell'origine, il mssimo sposmeno dll'origine è pri d A, donde il nome di mpiezz del moo. Al empo il puno occup l posizione A sin φ: noe le cosni A e φ, possimo deerminre l posizione inizile del puno se φ φ π il puno è nell'origine per. A

19 Moo rmonico Il moo rmonico è un cso pricolre di moo periodico: ossi descrie oscillzioni di mpiezz A rispeo l cenro O, ue eguli r loro e crerizze d un dur T, de periodo. Moi periodici sono ll bse dell misur del empo. Per deerminre il periodo T considerimo due empi ' e sepri d un periodo, ' T. Per definizione ' e quindi d.9, doendo le fsi nei due isni differire di π, periodo dell funzione seno, bbimo ω' φ ω φ π:: ne segue che T '- le. ossi. Si definisce frequenz ν del moo il numero di oscillzioni in un secondo: Il periodo, e quindi l frequenz, di un moo rmonico semplice sono indipendeni dll'mpiezz del moo.

20 Moo rmonico L elocià del puno che si muoe con moo rmonico si oiene derindo : Con un uleriore derizione si oiene l'ccelerzione del puno:. In figur.9 sono rppresene le funzioni,,;si è poso φ. L elocià ssume il lore mssimo nel cenro di oscillzione preso come origine doe le ωa e si nnull gli esremi A e -A doe si inere il senso del moo. L'ccelerzione si nnull nel cenro di oscillzione e ssume il lore mssimo in modulo ω A gli esremi, doe si inere l elocià; inolre ess è sempre proporzionle ed oppos llo sposmeno dl cenro di oscillzione. Le re funzioni,, hnno lo sesso ndmeno emporle: l form e il periodo sono eguli,. L elocià è sfs di π/ rispeo llo sposmeno è in qudrur di fse, menre l'ccelerzione è sfs di π sempre rispeo llo sposmeno è in opposizione di fse.

21 Moo rmonico Le cosni A e φ indiiduno le condizioni inizili. Per A sen φ, ωa cos φ. Viceers, noe le condizioni inizili e, si clcolno A e φ : Dll legge orri.9 bbimo rico che l'ccelerzione è proporzionle llo sposmeno, con segno negio: -ω Esplicindo l deri II dello spzio si può scriere l equzione differenzile che descrie il moo rmonico: Si può dimosrre che le funzioni seno e coseno, e le loro combinzioni lineri, sono le sole funzioni che soddisfno ll condizione.3 nel cmpo rele. mpiezz: e uno spzio meri Unià gii misur: perìodo: è un empo, secondi frequenz: inerso del empo, si esprime in s - ; ques unià h un nome, herz: Hz s- fse: dimensionlmene è un ngolo e si misur in rdini rd pulszione: π /T unià di misur rd/s rd s-.