Domande. Test 1. A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. B

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1 Domande. Quando viene tagliata la corda, le lame hanno lo stesso valore di velocità, ma ruotano in verso opposto: è, quindi, corretto dire che le lame hanno velocità angolari uguali, ma opposte.. Prima che la batteria venga rimossa la lancetta dei secondi ruota in senso orario con velocità angolare costante: quindi, l accelerazione angolare è nulla. Quando la batteria viene rimossa, la lancetta dei secondi continua a ruotare ancora in verso orario, ma rallentando: l accelerazione angolare allora è opposta alla velocità, cioè ha verso antiorario. 3. Ogni punto di un oggetto in rotazione possiede un accelerazione centripeta rivolta radialmente. Questo è valido anche per il battistrada del pneumatico di un auto indipendentemente dal fatto che si stia muovendo a velocità costante o che stia accelerando. 4. Per svitare un tappo, bisogna applicargli una forza tangenziale e ruotarlo intorno a un asse perpendicolare all estremo superiore passante per il suo centro. Questa forza genera un momento torcente: maggiore è il momento e più diventa facile svitare il tappo. Il momento di una forza dipende, oltre che dalla forza applicata, anche dal suo braccio, cioè dalla distanza dall asse di rotazione. Nel caso dei due tubetti, il braccio del tubetto di sinistra è maggiore di quello di destra e, quindi, il momento corrispondente è, a parità di forza, maggiore: è così più facile svitare il tappo di sinistra. 5. Quando la ragazza lascia la corda, il suo momento angolare è uguale a zero. Per lei è possibile raggomitolarsi, ma, dato che il suo momento angolare è nullo, non può cambiare la sua velocità angolare esercitando un momento interno. Per cominciare a ruotare, invece, dovrebbe essere applicato un momento esterno: la ragazza non può, quindi, raggomitolarsi e iniziare a ruotare. 6. Lo scatolone che esercita il momento maggiore è quello ombreggiato nel disegno a destra. Infatti il peso di ogni scatolone è lo stesso (mg), mentre il braccio maggiore, rispetto all asse di rotazione, è proprio quello dello scatolone ultimo, in basso a destra e il momento, a parità di forza, è direttamente proporzionale al braccio. Test. A. C 3. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. B Zanichelli 009

2 9. A 0. C. B. B 3. C 4. B 5. C Problemi. In un giro la pulsar descrive un angolo pari a π radianti: la su velocità angolare media è, allora! "#! rad "t 0,033 s,9 $0 rad/s.!! 0 +"t 0 rad/s + (38 rad/s )(,50 s) 49 rad/s 3. t! "! 0 # 0,4 rad/s " 0 rad/s 0,030 rad/s 8,0 s 4.! "# "t % 0 rev/ min $ 480 rev/ min (% ' *' & 74 min )& + rad rev (% * min ( ' * )& 60 s ) The magnitude of the average angular acceleration is rad/s 6.4,0 $3 rad/s 5. Nello stesso intervallo di tempo, i due astronauti descrivono lo stesso angolo. θ s A /r A e, contemporaneamente θ s B /r B Uguagliando le due equazioni e risolvendo in funzione di s B, otteniamo s B (r B /r A )s A [(,0 0 3 m) / (3,0 0 m)](,40 0 m) 85 m 6.! "# (40-40) rad/s 00 rad/s "t 5,00 s 7. La velocità angolare è il rapporto tra la velocità tangenziale e il raggio e, in questo caso, la velocità tangenziale è il rapporto tra la lunghezza della lenza riavvolta e il tempo impiegato a riavvolgerla. Quindi: Zanichelli 009

3 ! v T r x t r,6 m 9,5 s 9, rad/s 3,0 "0 # m 8. Un punto dell equatore compie un giro completo (π rad) ogni 3,9 ore (8, s). La sua velocità angolare è allora, ω (π rad) / (8, s) 7,3 0 5 rad/s e la sua velocità tangenziale è v T r! ( 6,38"0 6 m) ( 7,3"0#5 rad/s) 4,66 "0 m/s Rappresentando la geometria relativa, possiamo vedere che, partendo da v T 3 r!" possiamo ricavare r! v T 3" 4,66 #0 m/s 3 7,3#0 $5 rad/s a cui, #06 m d $, #0 6 m '! cos " & ) 70,6 % 6,38 #0 6 m (! r!! r 9.! v T r,0 m/s 6,00 rad/s (0,400 m) ( 6,00 rad/s) 0,300 m/s v T r! 5,00 "0 - m Se assumiamo che la corda non scivoli, ogni suo punto si muoverà con la stessa velocità tangenziale di ogni punto della manovella: di conseguenza anche il secchio scenderà con la velocità di 0,300 m/s. 0.!! "# "t! rad,99 $ 0 %7 rad /s 3,6 $0 7 s (,99 " 0 #7 rad/s),98 "0 4 m/s v T r!,50 " 0 m a r! #,50 "0 & % m c $ ' ( # %,99 "0 )7 $ rad /s & ( 5,94 "0 )3 m /s '. x vt r! t ( 0,45 m) ( 9, rad/s) ( 35 min) " 60 s % $ ' 8,6 (0 3 m # min & Zanichelli 009

4 . #! "t v $ % & r ' ( t # v $ % & r ' ( # x & % $ v ( x ' r !03 m 3,!0 8 rad 0,3 m! 3,"0 8 # giro & ( rad) % ( 4,9 " 0 7 giri $! rad ' 3. La palla ha una velocità angolare:! v 3,60 m/s 8,0 rad/s r 0, 00 m Per coprire la distanza indicata, partendo da ferma, impiegherà un tempo: y (!,0 m) t 0,655 s a (! 9,80 m/s ) y Quindi: θ ω t (8,0 rad/s)(0,655 s),8 rad 4. Il modulo del momento di una forza é M Fb dove F è l intensità della forza applicata e b il suo braccio. Da cui: F Modulo del momento b 5. l l M Fb F + F 85 N 45 Nm (0,8 m) sen 50,0,!0 N ( 4,60 m) + ( 85 N) ( 4,60 m),70!0 3 N! m 6. La figura che segue rende chiaro il calcolo del braccio di ogni forza.,50 m Asse 3,0,50 m Asse 3,0 b S (,50 m) cos 3,0 F b F (,50 m) sen 3,0 S E conseguentemente possiamo ricavare: M F Fb F ( 0 00 N) (,5 m)sen N! m Zanichelli 009

5 M S Sb S ( N) (,5 m)cos N! m 7. Se l asse passa per A!! A +! C 0 + FL FL Se l asse passa per B " L %!! A +! C F $ '+ F # & " L % $ ' FL # & Se l asse passa per C!! A +! C FL + 0 FL Il momento torcente non dipende dalla scelta dell asse. 8.! 90 F 6,00 N Asse di rot. Righello x 60,0 F 4,00 N [In questo caso usiamo! al posto di b] τ +F!, dove!,00 m, è un momento positivo (determina una rotazione in verso antiorario) τ F!, dove! x sin 60,0, è un momento negativo (determina una rotazione in senso orario). +F! +!F! " $$ # $$ % 0 $ +F ",00 $ # m %$! F x sen 60,0 " $ # $$ % 0 Da cui #" x F (,00 m ) F sen 60,0! ( 4,00 N )(,00 m) ( 6,00 N) sen 60,0 0,770 m 9. Taking upward to be the positive direction, we have F + F! W 0 FEET HANDS! Zanichelli 009

6 Remembering that counterclockwise torques are positive and using the axis and the lever arms shown in the drawing, we find W! W! F HANDS! HANDS 0 ( m) F HANDS W! W 584 N! HANDS.50 m 39 N Substituting this value into the balance-of-forces equation, we find F W! F 584 N! 39 N 9 N FEET HANDS The force on each hand is half the value calculated above, or 96 N. Likewise, the force on each foot is half the value calculated above, or 96 N. 0. Il! momento totale deve essere nullo, quindi F! d! F!! d!. Allora m gd mgd mgx, ovvero m g( d! x) mgx, m x gd m g + m g m d (0,75 kg) (, m) m + m (0,40 + 0,75) kg 0,7 m, m 0,40 kg 0,75 kg. L avambraccio è in equilibrio, quindi:!" Mb M # Fb F 0 Da cui M Fb F b M verso sinistra. ( 0,34 m) 90 N 0,054 m 00 N. Se indichiamo con F f l intensità della forza normale che la pista esercita sulla ruota anteriore, sapendo che il momento totale che agisce sull aereo è nullo, possiamo impostare la relazione: Στ P b P + F f b f 0 dove P è il peso dell aereo e, b P e b f sono i bracci delle forze P e F f, rispettivamente. Quindi, Zanichelli 009

7 Στ (, N)(5,0 m,6 m) + F f (5,0 m) 0 Quindi F f, N Imponiamo ora che la risultante delle forze verticali sia nulla (ricordando che ci sono ruote posteriori) ΣF y F f + F p W 0 Per sostituzione otteniamo ΣF y, N + F p, N 0 F p 4,0 0 5 N 3. Il momento totale rispetto all articolazione del gomito è: Στ M (0,050 m) (,0 N) (0,40 m) (78 N) (0,330 m) 0 e, risolvendo in funzione di M, M, 0 3 N Il momento totale rispetto al baricentro è: Στ (0 N) (0,0890 m) + F (0,40 m) (78 N) (0,90 m) 0 e, risolvendo in funzione di F, F,0 0 3 N rivolta verso il basso. 4. Il momento totale rispetto ad un asse passante per il punto di contatto tra il pavimento e le scarpe della ragazza è: Στ (5,00 0 N)(,0 m) sen 30,0 + F N (cos 30,0 ) (,50 m) 0, da cui F N N Per la seconda legge di Newton avremo, in direzione orizzontale, F o F N 0 e di conseguenza F o N In direzione verticale, invece, F v P 0, da cui F v 5,00 0 N 5. Στ (0 N) L cos 60,0 FL cos 30,0 + T (L) cos 60,0 0 dove F è la componente orizzontale della forza esercitata dall asta e T è la tensione sulla gamba di destra. Per ragioni di simmetria anche la tensione a sinistra vale T. Per la seconda legge di Newton, avremo in verticale: T P 0 T 0 N Sostituendo nell equazione precedente questo valore, otteniamo T (L)( cos60,0 )! ( 0N ) L( cos60,0 ) ( F 40 N )0,5! ( 0 N)0,5 69 N L cos30,0 0,866 Zanichelli 009

8 6. Στ Iα, I!" # 0,0 N $ m,5 kg $ m 8,00 rad/s 7. Il momento torcente totale rispetto all asse è: Στ F R F R (0,34 m) (90,0 N 5 N) Ν α Στ /I dove I (/) MR (/) (4,3 kg) (0,34 m),0 kg m quindi, α ( N m) / (,0 kg m ) 9,rad/s 8.! #! 0 3, 7 rad/s # 3, rad/s " # 3, rad/s t 3,0 s "! I# (mr )# f d b (dove fd µ dfn ) Quindi mr α - µ d F N b F N mr! µ k b (,3 kg)(0,33 m) ( 3, rad/s ) 0,78 N (0,85)(0,33 m) 9. I 3 ML + 3 ML 3 ML 40 kg 3 6,7 m K R I! 700 kg " m 44 rad/s 700 kg! m 7,0 "0 6 J 30. L energia cinetica totale è la somma dell energia cinetica di traslazione e di quella di rotazione, quindi la frazione richiesta è: K R K R + K T ma v Rω, da cui K R K R + K T I! I! + mv 5 R! 5 R! + v ( 5 ) mr! ( 5 ) mr! + mv 5 R! 5 R! + R! 7 5 R! 5 R! + v 3. La conservazione dell energia, per il cubo, fornisce v c Per la sfera avremo, invece, gh Zanichelli 009

9 mv + I! mgh, dove ω v/r e I (/5) mr v s 0gh 7 Quindi v c v s 7 5,8 3. I! I!!"#!"# 0 0 finale iniziale! I 0! 0 I (5,40 kg " m ),00 rad/s 3,80 kg " m,84 rad/s 33. Quando la sabbia urta il disco, nascono dei momenti torcenti che agiscono sui due elementi del sistema (disco pieno e sabbia), ma sono momenti interni al sistema. Il momento angolare, quindi, si conserva, per cui: I! I!!"#!"# 0 0 finale iniziale Il momento d inerzia iniziale è dato, mentre quello finale è I I sabbia + I 0 e, sapendo che la sabbia forma un anello, sabbia sabbia sabbia I M R. Possiamo, allora, ricavare, " I % "!! 0 0 $ # I '! I % " 0 0 $ & # I sabbia + I '! $ 0 0 & $ # 0,067 rad/s 34. I! + I! I + I! ) + 0,0 kg ( m + * + ( 0,50 kg) 0,40 m A A B B A B finale Da cui #! I B I finale "! & A A % $! B "! ( 3,4 kg ) m finale ' I 0 M sabbia R sabbia + 0,0 kg ( m 35. Per la conservazione del momento angolare % ' + I ' 0 &,.. 0,037 rad/s -. * -, ",4 rad/s " 7, rad/s / 4,4 kg ) m +,"9,8 rad/s " (",4 rad/s)./ Zanichelli 009

10 I d ω d + M p R p ωp 0 dove ω p v p /R p e I d (/) M d R d ), # 40,0 kg & ω d (M p /M d )(R p /R d )vp! +,5 m. % (,00 m/s $,00 "0 kg ' + (,00 m). * - Il segno negativo indica che il disco ruota in direzione opposta a quella della persona. 36. I! I!!"#!"# 0 0 finale iniziale!0,500 rad/s dove I I insetto + I 0 e I insetto ml, dove m è la sua massa e L la lunghezza dell asta. Allora " I % "!! 0 0 $ # I '! I % " 0 0 $ & # I insetto + I '! I % $ 0 ' 0 $ 0 & # ml + I ' 0 & 0,3 rad/s *,,(0 )3 kg ( m,,( 4, (0 )3 kg + ) 0,5 m +,(0 )3 kg ( m - / / 0,6 rad/s /. 37. I! I!!"#!"# 0 0 finale iniziale dove L0 I0 M! " # $ % & e L0 I f M! " # 4 $ % & L0 L0 M " % #! 0 M " #! f $! f 4! 0 & % 4 & ma ' ( ' ( ω f v f / (L/4) e ω 0 v 0 / (L/), quindi e, quindi, v f L / 4 4 v 0 L /! v v f 0 ( 7 m/s) 34 m/s 38. #! (" + " 0 ) t$ % &, da cui, risolvendo in funzione del tempo: t! " 0 +" 0,500 giri 3,00 giri/s + 5,00 giri/s 0,5 s 39.! 0! "# t 83,8 rad/s ( 4,0 rad/s )(,75 s) 57,3 rad/s Zanichelli 009

11 40. La distanza percorsa dalla moneta in movimento rispetto al proprio asse è: d!( r) 4! r dove r è il raggio della moneta, e, ovviamente, deve coincidere con la lunghezza dell arco di circonferenza, s r!, descritto sul bordo della seconda moneta. Quindi 4!r r" da cui! 4" rad, che è equivalente a:! (4!rad) giro $ # & giri "!rad % 4.! v D r 5,6 m/s 40 rad/s 40 rad/s 4,0 "0 # m 4. Per il principio di conservazione dell energia: mgh + (/) mv + (/) Iω (/) mv o + (/) Iωo dove, ω v/r, ω o v o /R e I (/5) mr! giro $ # & giri/s "! rad % v v 0! 0 7 gh ( 3,50 m/s)! 0 7 ( 9,80 m/s) ( 0,760 m ),3 m/s 43. Il modulo massimo del momento si ha quando la forza è applicata perpendicolarmente alla diagonale del quadrato e il suo braccio è, conseguentemente, la metà della diagonale. Quindi: + ( 0,40 m) 0,8 m e ( 0,8 m) 4, N " m b 0,40 m! Fb 5 N 0.40 m axis 0.40 m F Zanichelli 009

12 44. #!" I# MR! "! 0 % MR # $ *, 7 )0"3 kg + t & ( ' ( 6,0 )0" m) -# /%. $ rad/s " 0 rad/s 0,80 s & ( 8,0 )0 "4 N ) m ' 45. F,4 m x P T 5 N P P 450 N Il momento della forza F è nullo, il braccio della forza peso della trave è b,5 m, m,4 m e il braccio della forza peso dell uomo è x. Quindi:! P x + P T (,4 m) 0 da cui x P (,4 m) T (5 N)(,4 m) 0,70 m P P 450 N 46. Consideriamo il lato sinistro dell oggetto che ha una lunghezza L e un peso di (356 N) / 78 N. Indichiamo con F v la forza esercitata dal terreno sul lato e con f s la forza di attrito statico, che agisce in direzione orizzontale. Esprimiamo i momenti relativamente a un asse passante per il vertice del triangolo, ottenendo:! L " + (78 N)(sen 30,0 ) # $ % & + f s (L cos 30,0 ) F v (L sen 30,0 ) 0 44,5 N + f s cos 30,0 F V sen 30,0 0 da cui (78 N)(sen 30,0 ) 44,5 N f s 5,4 N cos 30,0 47. Applicando la legge di Newton all oggetto di,0 kg, otteniamo: T (,0 kg) (9,80 m/s ) (,0 kg) (4,90 m/s ) T 6 N Zanichelli 009

13 Analogamente per l oggetto di 44,0 kg T (44,0 kg) (9,80 m/s ) (44,0 kg) ( 4,90 m/s ) da cui l equazione dei momenti T r T r I( α) (/) Mr ( a/r) e, risolvendo in funzione di M T 6 N M ( /a)(t T ) [ /(4,90 m/s )](6 N 6 N),0 kg Olimpiadi della fisica. C. C 3. E 4. In un sistema di riferimento solidale con il terreno la velocità! V del punto P di contatto di una ruota con il terreno vale! V! v +! v dove! v è la velocità del punto P rispetto al centro della ruota e! v la velocità del centro della ruota rispetto al terreno. Nell ipotesi di rotolamento puro vale la condizione V 0 la quale, per ciascuna delle due ruote A e B, diventa v, " v, 0 #! r $ R e v, B " v, B 0 #! ' r $ ( R + d) con Ω che rappresenta la velocità angolare del moto circolare! '#! d dell automobile ed r il raggio delle ruote. Combinando le due equazioni si ricava "! R A A Test di ammissione all Università. D. A Zanichelli 009