Funzioni a variazione limitata

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1 Cpitolo 1 Funzioni vrizione limitt 1.1 Il problem delle primitive di funzioni L 1 Il problem dell ricerc delle primitive di un ssegnt funzione f : I R con I = [, b] intervllo limitto, cioè le soluzioni dell equzione differenzile (1.1) y = f è il primo e fondmentle problem che si present nell teori dell integrzione. Teori puntule Se f è continu su I, un soluzione del problem nel senso puntule, cioè intendendo che l uguglinz (1.1) vlg in ogni punto, è fornit dl teorem fondmentle del clcolo integrle e consiste nell funzione integrle Si h cioè F (x) = f(t) dt, x I. (1.2) d dx f(t) dt = f(x) x I. Se y è un generic soluzione dell (1.1), cioè un funzione derivbile in ogni punto di I con derivt y = f in I, llor derivndo si h (y F ) = 0 identicmente in I e quindi le soluzioni dell (1.1) sono tutte e sole le funzioni y(x) = F (x) + costnte. Nturlmente le soluzioni sono funzioni di clsse C 1 ([, b]) (perché l derivt è l funzione continu f). Se clcolimo l soluzione in x = ottenimo y() = costnte, quindi l formul precedente si può nche scrivere nell form (1.3) y (t) dt = y(x) y(), 1 x I

2 2 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA not come formul fondmentle del clcolo integrle. Le considerzioni precedenti vlgono nell mbito dell teori di Riemnn. È d ltr prte nturle chiedersi come si generlizzino se si suppone f L 1 (I) nziché f C 1 (I). Anzitutto occorre precisre che cos si intend per primitiv di f in questo cso in cui il secondo membro dell (1.1) è definito solo qusi ovunque e in che senso si intend l derivbilità. Supponimo dunque or f L 1 (I) con I = (, b) intervllo limitto e osservimo che nche in questo cso l funzione integrle F (x) = f(t) dt, x I. è ben definit e continu su convergenz domint). Ī = [, b] (come semplice conseguenz del teorem dell Teori distribuzionle Si può dre un senso ll deribbilità utilizzndo l modern teori delle distribuzioni. Abbimo visto l nno scorso che f L 1 (I) DF = f in D (I) F W 1,1 (I) DF (t) dt = F (x) F () Quindi F è un primitiv di f nel senso delle distribuzioni. È nturle chiedersi quli sino tutte le primitive in questo cso. Osservimo che se y D (I) e Dy = f nel senso delle distribuzioni llor D(F y) = 0. Per un lemm dimostrto l nno scorso ciò implic che F y = costnte e ciò implic che y L 1 (I), come F visto che I è limitto. Ne consegue che se f L 1 (I) llor e inoltre {y D (I) : Dy = f} = {F + c : c R} {y D (I) : Dy L 1 (I)} = W 1,1 (I), cioè W 1,1 (I) è lo spzio delle primitive in senso distribuzionle delle funzioni integrbili secondo Lebesgue. L formul (1.2) vle quindi nel senso delle distribuzioni, ovvero l derivt distribuzionle è l operzione invers dell integrzione secondo Lebesgue. Abbimo visto sempre l nno scorso che l formul fondmentle del clcolo integrle (1.3) vle per il rppresentnte continuo dell y W 1,1 (I). Teori qusi-ovunque Più clssicmente, senz usre le distribuzioni, si può definire primitiv di f (cioè soluzione di (1.1)) ogni funzione y : I R tle che (i) y si derivbile (in un senso opportuno) qusi ovunque in I; (ii) risulti y = f qusi ovunque in I. L differenz che subito si present rispetto ll teori distribuzionle è che, tutte le funzioni L 1 loc sono derivbili nel senso delle distribuzioni, non tutte le funzioni L 1 loc sono derivbili qusi-ovunque.

3 1.1. IL PROBLEMA DELLE PRIMITIVE DI FUNZIONI L 1 3 inftti esistono funzioni continue che non sono derivbili in lcun punto. Un condizione sufficiente è dt dl seguente teorem di Lebesgue sull derivzione delle funzioni monotone che dimostreremo nell sezione seguente. Teorem 1.1 (di Lebesgue) Si f un funzione rele monoton non decrescente sull intervllo I = [, b]. Allor f è derivbile qusi ovunque; inoltre l derivt qusiovunque f è un funzione misurbile non negtiv e si h che (1.4) f (t) dt f(b) f(), e l disuguglinz può essere strett (esempio: funzioni costnti trtti). Siccome ovvimente un teorem nlogo vle per le funzioni non crescenti, ne consegue che tutte le funzioni monotone sono derivbili qusi ovunque. Nel seguito f denoterà sempre l derivt qusi ovunque e Df quell nel senso delle distribuzioni. A questo punto nturlmente è interessnte chiedersi se nel cso delle funzioni monotone f = Df, m è subito visto che così non è e l esempio è dto ncor dlle funzioni monotone costnti trtti. Vedremo che un condizione sufficiente ffinché le due derivte coincidno è che Df L 1 (I), cioè che f W 1,1 (I) e in tl cso llor però f risult continu e nell (1.4) vle l uguglinz (cioè vle l formul fondmentle del clcolo integrle). Dimostreremo che l funzione integrle F gode delle proprietà (i) e (ii) e quindi è un primitiv di f nel senso qusi-ovunque; evidentemente questo risultto si riconduce quello puntule se f è continu. Anche in questo cso srà nturle chiedersi quli sino tutte le primitive. Si osserv che se y = f qusi ovunque llor (y F ) = 0 qusi ovunque in I. A differenz dei csi precedenti però quest uguglinz non implic y F = costnte. Esistono inftti funzioni, che chimeremo singolri, derivbili qusi ovunque con derivt null m non costnti (d esempio le costnti trtti non costnti o l funzione di Vitli). Si può concludere quindi solmente che esiste un funzione singolre h tle che y = F + h in I. quest ultim è not come decomposizione di Lebesgue dell funzione y di cui fornisce un rppresentzione unic meno di costnti dditive (forse lo vedremo). Se h è costnte llor, clcolndo y in si deduce l formul fondmentle del clcolo integrle vist sopr. È interessnte cercre di crtterizzre le soluzioni dell equzione y = f per cui ciò si verific. A tle proposito vedremo che: () è nturle cercre soluzioni di y = f nello spzio delle funzioni vrizione limitt (che definimo in seguito), poiché tli funzioni risultno derivbili qusi ovunque con derivt in L 1 ; (b) l funzione integrle non solo è vrizione limitt m è nche ssolutmente continu; (c) vle l formul fondmentle del clcolo integrle se e solo se y è ssolutmente continu. L relzione con l teori distribuzionle srà infine dt dl ftto che ogni funzione W 1,1 (I) h un rppresentnte ssolutmente continuo.

4 4 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA 1.2 Derivzione delle funzioni monotone Si I un intervllo e f : I R. Ricordimo che vle il seguente Teorem 1.2 (Continuità delle funzioni monotone) Ogni funzione monoton h l più un infinità numerbile di punti di discontinuità. Si x I. Si chim slto di f in x il numero [f] x = f(x + ) f(x ). Dimostrzione Supponimo f crescente e I = [, b]. Per l monotoni l somm dei slti di f non può superre f(b) f(). Ne consegue che esistono l più n 1 N punti x I con [f] x > 1/2; esistono l più n 2 N punti x I con 1/2 2 < [f] x 1/2; esistono l più n 3 N punti x I con 1/2 3 < [f] x 1/2 2 ; ed in generle, per ogni k N esistono l più n k N punti x I con 1/2 k < [f] x 1/2 k 1 ; si N k l insieme di tli punti. Allor si h {x I : [f] x > 0} = k N N k. Questo insieme è l più numerbile come unione numerbile di insiemi finiti. Esercizio: completre l dimostrzione estendendol i csi trlsciti. Esempio 1.3 L funzione 1 se x 1 f(x) = 1/(n + 1) se 1/(n + 1) x < 1/n 0 se x 0 è monoton crescente e discontinu in infiniti punti. Sui punti di non derivbilità vle il teorem di Lebesgue enuncito prim. Osservimo che quindi le funzioni monotone si comportno, nei confronti dell operzione di derivzione, meglio delle funzioni continue che possono non essere derivbili in lcun punto. Osservimo inoltre che gli insiemi di misur null non sono necessrimente di crdinlità piccol; d esempio l insieme di Cntor h misur null m l crdinlità del continuo. Il mterile di quest sezione è trtto d Royden [2]. Definizione 1.4 Si I un fmigli di intervlli. Si dice che I ricopre un sottoinsieme E R nel senso di Vitli se per ogni ε > 0 ed ogni x E esiste un intervllo I I tle che x I e l(i) < ε 1. Lemm 1.5 (di ricoprimento di Vitli) Si E R di misur estern finit e I un fmigli di intervlli che ricopre E nel senso di Vitli. Allor per ogni ε > 0 esiste un sottofmigli finit {I 1,..., I N } di intervlli di I due due disgiunti e tle che 1 l(i) = lunghezz dell intervllo m (E \ N I n ) < ε. n=1

5 1.2. DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI MONOTONE 5 Dimostrzione È sufficiente provre il lemm nel cso in cui ogni intervllo dell fmigli è chiuso ltrimenti bst sostituire ogni intervllo con l propri chiusur e usre il ftto che gli estremi hnno misur null. Si O un perto di misur finit contenente E (esiste per definizione di misur estern). Poiché I ricopre E, possimo ssumere senz perdere in generlità che ogni intevllo di I si contenuto in O. Costruimo per induzione un successione (I n ) di intervlli disgiunti di I come segue: si I 1 qulunque intervllo di I e supponimo che I 1,..., I n sino stti scelti. Si k n = sup{l(i) ; I I, I I h =, h = 1,..., n}. Poiché ogni intervllo è contenuto in O llor Se E k n m(o) <. n I h l dimostrzione è termint. Altrimenti esiste I n+1 I disgiunto di h=1 precedenti e tle che l(i n+1 ) > k n /2. In tl modo, se l dimostrzione non termin prim, si ottiene un successione di intervlli di I disgiunti (I n ) con I n O e quindi tle che l(in ) m(o) <. Allor esiste N N tle che l(i n ) < ε/5. N+1 Si R = E \ N n=1 I n e l tesi è provt se dimostrimo che m(r) < ε. Si x R rbitrio. Siccome N n=1 I n è un chiuso non contenente x, llor esiste I I di lunghezz bbstnz piccol d essere disgiunto d I 1,..., I N. Se or I I h = per ogni h n, llor necessrimente l(i) k n < 2l(I n+1 ). Siccome lim l(i n ) = 0 llor l intervllo I deve intersecre lmeno uno degli intervlli I n. Si n il più piccolo intero tle che I intersec I n. Ovvimente n > N e l(i) k n 1 < 2l(I n ). Siccome x I e I h un punto in comune con I n segue che l distnz di x dl punto medio di I n è l più l(i) + l(i n) l(i n). Ne consegue che x pprtiene ll intevllo J n vente lo stesso punto medio di I n e lungo 5 volte tnto. Si h dunque, con l ovvio significto delle notzioni, R N+1J n e quindi m (R) l(j n ) = 5 l(i n ) < ε. N+1 Dimostrzione (del teorem di Lebesgue) Supponimo per fissre le idee che f si non decrescente. N+1

6 6 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA Si trtt di provre che per tutti gli x che non stnno in un insieme di misur null esiste finito il limite f(y) f(x) lim. y x y x Introducimo tl scopo i numeri derivti (U. Dini) dell f in x: Si h che f è derivbile in x se e solo se D + f(x + h) f(x) f(x) = lim sup h 0 h + f(x + h) f(x) D + f(x) = lim inf h 0 + h D f(x + h) f(x) f(x) = lim sup h 0 h f(x + h) f(x) D f(x) = lim inf h 0 h (0 )D = D = D + = D + <, quindi dimostrre il teorem di Lebesgue equivle dimostrre che questo succede qusi ovunque. Vedimo nzitutto che ci si può restringere dimostrre che sono verificte qusi ovunque e per ogni funzione non decrescente le due sole condizioni 1. D + < ; 2. D + D. Supponimo inftti che queste sino verificte e ponimo h(x) = f( x). Per definizione di mx e min limite si vede fcilmente che in tl modo si scmbi l destr con l sinistr, cioè D + h( x) = D f(x), D + h( x) = D f(x), D h( x) = D + f(x), D h( x) = D + f(x). Osservto poi che nche h è crescente llor per ess vle l 2 e dunque e quindi, se vlgono 1 e 2 si h D f = D + h D h = D + f D + D D D + D + < e quindi l tesi. Comincimo col provre l 2. Provimo che posto E := {x [, b] : D + > D } si h m(e) = 0. A tl scopo osservimo che posto E c,c := {x [, b] : D + > C > c > D }, c, C Q, 0 < c < C si h E = E c,c. c,c Q, 0<c<C

7 1.2. DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI MONOTONE 7 Per ciò bsterà provre che m (E c,c ) = 0. Si s := m (E c,c ) e, scelto ε > 0, includimo E c,c in un perto O con m(o) < s + ε (ciò è possibile per definizione di misur estern di Lebesgue). Per ogni punto x E c,c si h D f(x) < c e questo implic che esiste h x > 0 tle che per ogni 0 < h h x l intervllo [x h, x] è contenuto in O e f(x) f(x h) < ch. L insieme di questi intervllini costituisce un ricoprimento di Vitli di E c,c e quindi, per il lemm di ricoprimento di Vitli, esiste un fmigli finit e disgiunt {I 1,..., I N } le cui prti interne ricoprono un sottoinsieme perto A di E di misur mggiore di s ε. Sommndo su ciscun intervllo I n = [x n h n, x n ] dell fmigli si h [f(x n ) f(x n h n )] < c h n cm(o) < c(s + ε). n=1 Or, siccome in E c,c e quindi in A vle l disuguglinz D + f > C, llor ogni punto y A è estremo sinistro di un intervllo rbitrrimente piccolo (y, y + k) contenuto in uno degli I n e tle che f(y + k) f(y) > Ck. Usndo di nuovo il lemm di ricoprimento si trov un fmigli finit e disgiunt di intervlli {J 1,..., J N } le cui prti interne ricoprono un sottoinsieme perto B di A di misur estern mggiore di (s ε) ε = s 2ε. Sommndo su ciscun intervllo dell fmigli si h M M [f(y m + k m ) f(y m )] > C k m > C(s 2ε). m=1 Ogni intervllo J m è contenuto in un I n e, sommndo su tutti gli m tli che J m I n, si h, siccome f è crescente, [f(ym + k m ) f(y m )] f(x n ) f(x n h n ). n=1 m=1 Allor sicchè [f(x n ) f(x n h n )] n=1 M [f(y m + k m ) f(y m )], m=1 c(s + ε) > C(s 2ε) che, per l rbitrrietà di ε implic cs Cs. Poiché d ltr prte c < C, quest ultim implic che s = 0. Abbimo quindi provto che il limite del rpporto incrementle g(x) := lim h 0 f(x + h) f(x) h esiste qusi ovunque. Rimne d dimostrre che è finito qusi ovunque (ovvero l 1). Si g n (x) = n[f(x + 1/n) f(x)] ed estendimo l f ponendo f(x) = f(b) per ogni x b. Per qunto ppen dimostrto si h g n (x) g(x) qusi ovunque;

8 8 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA inoltre le g n sono misurbili, perché lo è f in qunto monoton, e quindi g è misurbile. Siccome f è crescente si h inoltre g n 0. Allor, per il lemm di Ftou si h g lim inf g n = lim inf n [f(x + 1/n) f(x)] dx +1/n = lim inf n f(x) dx n b +1/n = lim inf f(b) n f(x) dx f(b) f() +1/n f(x) dx dove l second uguglinz è ottenut eseguendo il cmbimento di vribile y = x+1/n nel primo integrle. Ciò prov che g è integrbile e quindi finit qusi ovunque. Dunque f è derivbile qusi ovunque con f = g e vle l formul (1.4). 1.3 Funzioni vrizione limitt Il mterile di quest sezione è trtto d Royden [2] Hewitt nd Stromberg [1]. Ricordimo che dt un funzione h si definiscono h + := h 0 e h = h 0, rispettivmente, l prte positiv e quell negtiv di h; osservimo che sono entrmbe funzioni non negtive e che h = h + h. Si f : [, b] R e = t 0 < t 1 <... < t n = b un prtizione di [, b]. I numeri non negtivi P b (f) = sup{ N b (f) = sup{ T b (f) = sup{ [ f(ti ) f(t i 1 )] + : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]}, [ f(ti ) f(t i 1 )] : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]}, f(t i ) f(t i 1 ) : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]}, si chimno rispettivmente vrizione positiv, vrizione negtiv e vrizione totle di f in [, b]. Definizione 1.6 Un funzione f : [, b] R si dice vrizione limitt in [, b] se T b (f) <. Esempio 1.7 (di funzione non BV) L funzione che h come grfico l curv di R 2 ottenut per interpolzione linere trtti dei punti (1, 1), ( 1 2, 1 2 ), (1 3, 1 3 ), (1 4, 1 4 ),..., ( 1 n, ( 1)n+1 1 n ),... cioè l poligonle che h vertici in tli punti, non è vrizione limitt. Inftti è compost di un insieme numerbile di trtti rettilinei l cui lunghezz, ndndo d destr verso sinistr, è minort d 1 n, che è termine generle di un serie divergente. Lemm 1.8 Se f : [, b] R è vrizione limitt in [, b] llor 1. f(b) f() = P b N b, 2. T b = P b + N b.

9 1.3. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA 9 Dimostrzione Comincimo con l osservre che per qulunque funzione h si h h = h + h, quindi, fisst un qulunque prtizione = t 0 < t 1 <... < t n = b si h f(t i ) f(t i 1 ) = [f(t i ) f(t i 1 )] + [f(t i ) f(t i 1 )] d cui, sommndo su i si ottiene che [ f(b) f() = f(ti ) f(t i 1 )] + [ f(ti ) f(t i 1 )]. che conviene scrivere nell form (1.5) [ f(ti ) f(t i 1 )] [ + f(b) f() = f(ti ) f(t i 1 )] + perchè così si può pssre l sup l vrire dell prtizione d mbo i membri ottenendo P b + f(b) f() = N b cioè l 1. Per provre l 2 osservimo nzitutto che siccome per ogni funzione h si h h = h + + h e, poiché il sup dell somm è minore o ugule dell somm dei sup, llor T b P b + N b. Rest d dimostrre l disuguglinz oppost. Osservimo che, per ogni prtizione si h T b f(t i ) f(t i 1 ) = e, per l (1.5) si h T b 2 [ f(ti ) f(t i 1 )] + + [ f(ti ) f(t i 1 )] [ f(ti ) f(t i 1 )] + [f(b) f()]. Pssndo l sup e usndo l 1, llor T 2P [f(b) f()] = P + N, e quindi l tesi. Osservzione 1.9 Se f : [, b] R è monoton llor è vrizione limitt in [, b]. Osservzione 1.10 L insieme delle funzioni vrizione limitt con le operzioni di somm di funzioni e di prodotto di un funzione con uno sclre è uno spzio vettorile. In prticolre l differenz di funzioni monotone è un funzione vrizione limitt. Teorem 1.11 ( di decomposizione di Jordn) Ogni funzione vrizione limitt è differenz di due funzioni reli non decrescenti.

10 10 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA Dimostrzione Si f : [, b] R vrizione limitt in [, b]. Bst osservre che, pplicndo per l 1 del lemm precedente d ogni sottointervllo [, x] con x [, b] si h f(x) = f() + P x N x e che le funzioni h(x) = f() + P x e g(x) = N x sono finite e non decrescenti. Per qunto precedentemente osservto, il teorem di Jordn è un crtterizzzione delle funzioni vrizione limitt, cioè un f BV se e solo se f è differenz di funzioni monotone. Un immedit conseguenz di qunto provto è che, per l linerità dell derivzione, il teorem di Lebesgue sull derivzione dell funzioni monotone mmette il seguente enuncito equivlente. Teorem 1.12 (Lebesgue) Ogni funzione f : [, b] R vrizione limitt è derivbile qusi-ovunque. Curve rettificbili Ricordimo l seguente Definizione 1.13 Un funzione continu ϕ : [, b] R n è dett un curv rettificbile se L(ϕ) = sup{ ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]} <. L(ϕ) è dett lunghezz dell curv. Teorem 1.14 (di Jordn) Un curv ϕ : [, b] R n è rettificbile se e solo se ogni componente ϕ i : [, b] R è un funzione vrizione limitt su [, b]. Dimostrzione Esercizio. Qunto or osservto, unitmente l teorem di Lebesgue, fornisce il risultto seguente. Corollrio 1.15 Se ϕ : [, b] R n è un curv rettificbile llor esiste ϕ qusi ovunque. Esempio 1.16 Le funzioni lipschitzine su [, b] sono vrizione limitt. Le funzioni di clsse C 1 ([, b]) sono vrizione limitt. 1.4 Teorem fondmentle del clcolo integrle (teori qusi-ovunque) In quest sezione mostrimo che l derivt dell funzione integrle di un funzione integrbile secondo Lebesgue è qusi ovunque ugule ll funzione integrnd. Comincimo col provre il seguente lemm. Lemm 1.17 Se f L 1 (, b) llor l funzione integrle F : [, b] R F (x) = f(t) dt

11 1.4. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(TEORIA QUASI-OVUNQUE)11 è continu e vrizione limitt su [, b]. Inoltre T b (F ) = f(t) dt. Dimostrzione Come già osservto, l continuità segue immeditmente dll ppliczione del teorem dell convergenz domint di Lebesgue. Per dimostrre che F è vrizione limitt bst osservre che, per definizione di integrle, F (x) = f + (t) dt quindi è differenz di funzioni monotone. Qunto ll vrizione totle, osservimo che f (t) dt, T b (F ) = sup{ = sup{ sup{ = F (t i ) F (t i 1 ) : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]} ti ti f(t) dt t i 1 f(t) dt : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]} t i 1 f(t) dt : = t 0 < t 1 <... < t n = b prtizione di [, b]} Rest d provre l disuguglinz oppost. Poiché f è sommbile esiste un successione di funzioni misurbili e costnti trtti (ϕ n ) tle che lim ϕ n (t) = f(t) q.o. t (, b). Ne voglimo costruire iun che tend f. Considerimo tl scopo l funzione segno di f S(t) = 1 se f(t) > 0 1 se f(t) < 0 0 se f(t) = 0 e, usndo l ϕ n, definimo un nuov successione di funzioni ε n (t) con vlori in [ 1, 1] che tende puntulmente S(t) come segue 1 se ϕ n (t) > 1/n ε n (t) = 1 se ϕ n (t) < 1/n nϕ n (t) se 1/n ϕ n (t) 1/n. Si h dunque e inoltre lim ε n(t)f(t) = f(t) q.o. t (, b) ε n (t)f(t) f(t) q.o. t (, b) e sono quindi soddisftte le ipotesi dell teorem dell convergenz domint per il qule si h Bst or provre che lim ε n (t)f(t) dt = ε n (t)f(t) dt T b (F ) f(t) dt.

12 12 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA e pssre l limite per n. Inftti ε n è costnte trtti e quindi considert un prtizione = t 0 < t 1 <... < t n = b tle che ε n è costnte su ogni intervllo dell prtizione, si h ε n (t)f(t) dt = ti ε n ( t i ) f(t) dt = ε n ( t i )[F (t i ) F (t i 1 )] t i 1 F (t i ) F (t i 1 ) T(F b ) vendo indicto con t i := t i 1 + t i. 2 Lemm 1.18 (teorem di Fubini sull derivzione delle serie di funzioni monotone) Si (f n ) un successione di funzioni reli non decrescenti (o non crescenti) definite su un intervllo [, b] e tli che l serie f n (x) =: s(x) n=1 è convergente per ogni x [, b]. Allor s(x) è derivbile qusi ovunque e si h s (x) = f n(x). n=1 Dimostrzione Osservimo nzitutto che si può supporre che f n () = 0 per ogni n N. Inftti, se così non fosse bsterebbe porre g n (x) = f n (x) f n () e pplicre il lemm ll successione (g n ). Dunque f n 0 e l funzione s(x) risult non negtiv e non decrescente. Per il teorem di Lebesgue llor s è derivbile qusi ovunque. L stess cos vle per ogni ridott n-esim s n. ed inoltre, per qusi ogni x [, b] si h s n+1(x) = s n(x) + f n+1(x) s n(x) in qunto f n+1(x) 0 perché l funzione è non decrescente. Inoltre, detto r n il resto n-esimo dell serie che definisce s(x) si h s(x) = s n (x) + r n (x) r n (x) = s(x) s n (x) e poiché le due funzioni secondo membro sono derivbili qusi ovunque, nche r n lo è e risult s (x) = s n(x) + r n(x) s n(x) qusi ovunque, dl momento che nche r n è non decrescente l pri di s. Rissumendo si h e ciò implic che esiste il limite s n(x) s n+1(x) s (x) lim s n(x) s (x) qusi ovunque. Rimne d provre che lim s n(x) = s (x) qusi ovunque,

13 1.4. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(TEORIA QUASI-OVUNQUE)13 ed in prticolre bst provre che questo vle per un sottosuccessione s nk, dl momento che, come già osservto, il limite primo membro esiste. Dto che lim s n(b) = f n (b) = s(b) < n=1 llor esiste un sottosuccessione s nk tle che s nk (b) s(b) < 1 2 k. D ltr prte, per l monotoni dei resti, si h s(x) s nk (x) s(b) s nk (b) e quindi s nk (x) s(x) < 1 2 k x [, b] e quindi l serie [s nk (x) s(x)] converge totlmente e quindi, in prticolre, puntulmente. Osservto che il termine generle di quest serie è non decrescente, per ess vlgono i risultti già ottenuti per l serie delle f n. In prticolre dunque l serie delle derivte è convergente; ne consegue che il termine generle di tle serie è infinitesimo, cioè s n k (x) s (x) 0 qusi ovunque, come volevsi dimostrre. Teorem 1.19 (fondmentle del clcolo integrle) Si f L 1 (, b). Allor l funzione integrle F è derivbile qusi ovunque e risult F (x) = f(x) qusi ovunque in [, b]. Osservzione 1.20 L nno scorso bbimo dimostrto (teorem fondmentle del clcolo nell teori distribuzionle) che nelle ipotesi del teorem (f L 1 ) si h DF = f in D (, b). Si osserv dunque che in questo cso DF = F. Dimostrzione Per il lemm precedente F è vrizione limitt e quindi, per il teorem di Lebesgue, derivbile qusi ovunque. Comincimo col dimostrre il teorem nel cso prticolre in cui f è l funzione crtteristic di un sottoinsieme misurbile A di ], b[. In tl cso si h F (x) = m(], x[ A), x (, b), dove m indic l misur di Lebesgue. Qunto l limite del rpporto incrementle si h F (x + h) F (x) lim h 0 h m(], x + h[ A) m(], x[ A) = lim h 0 h m(], x + h[ A \ ], x[ A) = lim h 0 h m(]x, x + h[ A) = lim h 0 { h 1 q.o. x A = = f(x) q.o. x [, b]. 0 q.o. x ], b[\a

14 14 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA Per l dimostrzione dell ultim uguglinz dell cten vedere Hewitt e Stromberg [1], Theorem In tl cso si h quindi F (x) = f(x) qusi ovunque. Si f 0. Allor, essendo sommbile, esiste un successione crescente (ϕ n ) di funzioni semplici misurbili (i.e. combinzione linere finit di funzioni crtteristiche di sottoinsiemi misurbili di ], b[) e non negtive che converge puntulmente crescendo ll f, cioè 0 ϕ 1 ϕ 2... ϕ n... f e lim ϕ n(x) = f(x) x ], b[. Per qunto osservto in precedenz, posto Φ n (x) = ϕ n (t) dt, si h Φ n (x) = ϕ n (x) q.o. x ], b[. Per il teorem di convergenz monoton di Beppo-Levi si h inoltre lim Φ n(x) = F (x). L tesi srebbe questo punto dimostrt se si potesse scmbire il segno di derivt con quello di limite, cioè se, qusi ovunque ( ) F (x) = lim Φ n(x) = lim Φ n(x) = lim ϕ n(x) = f(x). Questo si può ottenere, con un trucchetto, utilizzndo opportunmente il teorem di Fubini sull derivzione delle serie di funzioni monotone. Inftti, bst osservre che per definizione di somm di un serie lim Φ n(x) = Φ 1 (x) + [Φ n+1 (x) Φ n (x)] e che le funzioni Φ n+1 (x) Φ n (x) = [ϕ n+1(t) ϕ n (t)] dt sono monotone in qunto l integrnd è non negtiv. 1.5 Funzioni ssolutmente continue e formul fondmentle del clcolo integrle Abbimo già osservto (Teorem 1.1) che nell sol ipotesi in cui un funzione F è vrizione limitt, e quindi derivbile qusi ovunque, in generle l formul fondmentle del clcolo non vle, m vle solo un disuguglinz nel cso in cui F si monoton. Il motivo è che esistono funzioni vrizione limitt che hnno derivt qusi ovunque ugule zero m che non sono costnti (sono cioè singolri). Per eliminre quest ptologi è necessrio supporre che l funzione in questione si più regolre. Supporre che si continu, oltre che BV, non è sufficiente perché c è il seguente controesempio di Vitli. Esempio 1.21 (Vitli) Mostrimo che esiste un funzione V : [0, 1] R continu, strettmente monoton, con derivt qusi-ovunque null. Si t (0, 1) un prmetro (d esempio t = 1/2, per fissre le idee). Costruimo un successione non decrescente di funzioni continue come segue. Psso n = 0. Definimo V 0 (x) = x. Psso n = 1. Definimo V 1 (0) = V 0 (0), V 1 (1) = V 0 (1) e n=1 V 1 (1/2) = 1 t 2 V 0(0) t 2 V 0(1) = 1 + t 2 ed estes per linerità sugli intervlli [0, 1/2] e [1/2, 1] (vedi figur).

15 1.5. FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 15 Psso n. Supponendo che sino stti definiti V 0, V 1,..., V n, definimo V n+1 (k/2 n ) = V n (k/2 n ) per k = 1, 2,..., 2 n e, nei punti medi degli intervlli che hnno per estremi i punti del tipo k/2 n, cioè quelli del tipo (2k + 1)/2 n+1 si definisce V n+1 ( 2k n+1 ) = 1 t 2 V n( k 2 n ) t 2 V n( k 2 n ) e si estende per linerità su ciscun intervllo dell suddivisione. 1 3/2 2 V1 1/2 V2 V1 V0 1/4 1/2 1 Le V n così definite sono funzioni continue, strettmente crescenti, e inoltre Allor esiste per ogni x [0, 1] il limite 0 V n (x) V n+1 (x) 1 x [0, 1]. lim V n(x) =: V (x) [0, 1]. Come si vede dl grfico l pendenz dei segmenti cresce sempre di più vicino i punti del tipo k/2 n m divent sempre minore su intervlli di mpiezz sempre mggiore. In effetti si dimostr (vedi [1]) che 1. V è continu; 2. V è strettmente crescente; 3. V = 0 qusi ovunque. Osservimo che, essendo continu su un intervllo chiuso e limitto, l funzione V di Vitli è nche uniformemente continu. Quindi nche questo non è sufficiente d eliminre l singolrità. Un condizione sufficiente srebbe l lipschitzinità o più in generle l hölderinità m, come vedremo, quest ultim non è necessri. Per dre un condizione necessri e sufficiente introducimo l seguente definizione. Definizione 1.22 Un funzione u : [, b] R dicesi ssolutmente continu se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tle che per ogni fmigli finit di intervlli disgiunti {(α k, β k )}...N, contenuti in [,b], si h (β k α k ) < δ u(β k ) u(α k ) < ε.

16 16 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA Esempio 1.23 Le funzioni hölderine sono AC. Osservzione 1.24 Se u è AC llor è UC. Proposizione 1.25 Se u è AC(,b) llor è BV(,b). Dimostrzione Si δ > 0 soddisfcente l condizione dell definizione di funzione AC con ε = 1. Considerimo un prtizione di [, b] in punti x k equidistnti con x k x k 1 = (b )/n. Per n bbstnz grnde si vrà b n < δ. Con quest scelt di δ e di n si h llor m T x k x k 1 (u) = sup{ u(t k i ) u(t k i 1) : x k 1 = t 0 < t 1 <... < t m = x k } ε = 1 dl momento che m (t k i t k i 1) = x k x k 1 < δ. Si h quindi T b (u) T x k x k 1 (u) n. Teorem 1.26 Si u : [, b] R un funzione AC. Se u = 0 qusi ovunque llor u è costnte. Dimostrzione Si c ], b] rbitrrio. L tesi è provt se dimostrimo che u(c) = u(). A tl scopo, si ε > 0. Si δ > 0 corrispondente ll ε fissto e per il qule l condizione di ssolut continuità di u si soddisftt. Si E = {x ], c[ : u (x) = 0}. Chirmente m(e) = c (m = misur di Lebesgue). Per definizione di derivbilità, per ogni x E esiste h x > 0 bbstnz piccolo tle che (1.6) [x, x + h] ], c[ e u(x + h) u(x) < h ε c per ogni 0 < h h x. L fmigli di tutti questi intervlli [x, x + h] è un ricoprimento di Vitli di E. Poiché E h misur finit llor, per il lemm di ricoprimento di Vitli, in corrispondenz δ esiste un fmigli finit di intervlli due due disgiunti, {[x k, x k + h k ]},...,n, tle che Ne consegue che m ( E \ ( n [x k, x k + h k ]) ) < δ. (1.7) c = m(e) < δ + Possimo (e così fccimo) supporre che x 1 < x 2 <... < x n. Segue d (1.7) che l somm delle mpiezze degli intervlli perti h k ], x 1 [, ]x 1 + h 1, x 2 [,..., ]x n + h n, c[, complementri di n [x k, x k + h k ] in ], c[, è minore di δ, e quindi, per come bbimo scelto δ (cioè per l ssolut continuità di u) si h n 1 u() u(x 1 ) + u(x k + h k ) u(x k+1 ) + u(x n + h n ) u(c) < ε.

17 1.5. FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE 17 Allor, combinndo quest ultim con l (1.6), si ottiene u() u(c) u() u(x 1 ) + u(x k + h k ) u(x k ) + n 1 + ε + u(x k + h k ) u(x k+1 ) + u(x n + h n ) u(c) e dll rbitrietà di ε segue u() = u(c). εh k c 2ε Teorem 1.27 Si f L 1 (, b). Allor l funzione integrle F è ssolutmente continu. Dimostrzione Osservimo nzitutto che, poiché f è sommbile, llor per ogni ε > 0 esistono due funzioni sommbili h ε, g ε tli che f = h ε + g ε ; g ε è limitt; h ε (x) dx < ε/2. Inftti, se f 0 llor, per definizione, Perciò, essendo f(x) dx = lim t + lim t + si h che per ogni ε > 0 esiste t ε > 0 tle che Quindi, posto f t (x) dx < +, ove f t (x) := f(x) t. ( f(x) ft (x) ) dx = 0, ( f(x) ft (x) ) dx < ε/2 t t ε. g ε (x) = f tε (x), h ε (x) := f(x) f tε (x), si h che f = h ε +g ε e g ε t ε. Se f h segno non costnte, bst rgionre seprtmente sull su prte positiv e negtiv. Considerimo or l funzione integrle e si {( k, b k )},...,N, un rbitrri fmigli finit di intervlli disgiunti di [, b]. Si h F (b k ) F ( k ) = k k k L tesi segue prendendo δ = ε/2t ε. < ε 2 + t ε f(t) dt k h ε dt + h ε dt + t ε N k k k k k k dt [ hε (t) + g ε (t) ] dt g ε (t) dt (b k k ) ε 2 + t εδ.

18 18 CAPITOLO 1. FUNZIONI A VARIAZIONE LIMITATA Esercizio 1.28 Esistono funzioni AC che non sono hölderine? Teorem 1.29 (Formul fondmentle del clcolo integrle) Si u : [, b] R ssolutmente continu. Allor u L 1 (, b) e sussiste l formul fondmentle del clcolo integrle u(x) = u (t) dt + u() x [, b]. Dimostrzione Dto che u è BV e quindi è differenz di funzioni non decrescenti, possimo supporre che u si non decrescente. Per il teorem di Lebesgue sull derivzione delle funzioni monotone, u è derivbile qusi ovunque con 0 u L 1 (, b). Si or v(x) := u (t) dt. In qunto funzione integrle di un funzione L 1, per il Teorem 1.27, nche v è ssolutmente continu e quindi lo è nche u v. Per il Teorem 1.19 inoltre, v = u qusi ovunque. Dunque (u v) = 0 qusi ovunque Per il Teorem 1.26 esiste un costnte C tle che u v = C, cioè u(x) v(x) = u() v() per ogni x [, b]. Allor per ogni x [, b] si h u(x) = u(x) v(x) + v(x) = u() v() + u (t) dt e l tesi, cioè l formul fondmentle del clcolo integrle, segue dl ftto che v() = 0. Osservzione 1.30 Dll formul fondmentle del clcolo segue che su u AC llor Du = u L 1 (, b) (vedi Osservzione 1.20) cioè AC(, b) W 1,1 (, b). Il vicevers l bbimo provto l nno scorso. Abbimo inftti dimostrto che sussiste l seguente immersione (non comptt) W 1,1 (, b) C([, b]) nel senso che per ogni u W 1,1 (, b) esiste un funzione (unic) ũ C([, b]) tle che ũ = u q.o. su (, b). Vle inoltre l formul fondmentle del clcolo integrle ũ(y) ũ(x) = y x Dũ(t) dt. D quest ultim,poiché ũ W 1,1, llor Dũ L 1 e quindi Dũ = ũ e quindi ũ AC perchè integrle di un funzione L 1. In effetti quindi l immgine di W 1,1 trmite l immersione è AC(, b) (e non tutto lo spzio delle funzioni uniformemente continue). Le precedenti considerzioni permettono di identificre lo spzio di Sobolev W 1,1 (, b) con lo spzio delle funzioni ssolutmente continu (nel cso in cui (, b) è un intervllo limitto). 1.6 Teorem di Tonelli sull lunghezz delle curve Teorem 1.31 (Tonelli) Dt un curv (continu) rettificbile { x = x(t) t [, b] y = y(t) e dett l l su lunghezz, risult

19 BIBLIOGRAFIA l = ẋ2 + ẏ 2 dt l; Bibliogrfi ẋ2 + ẏ 2 dt se e solo se x(t) e y(t) sono AC. [1] E. Hewitt nd K. Stromberg, Rel nd bstrct nlysis, Springer, Berlin, [2] H.L. Royden, Rel nlysis, McMillin Publishing co., New York, 1963.

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