MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 2) 13 Febbraio 2014

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1 MATEMATICA CORSO A COMPITINO DI RECUPERO (Tema 2) 13 Febbraio 2014 Soluzioni 1. In un sahetto i sono 9 palline olorate: 2 rosse, 4 verdi e 3 gialle. Si fanno 3 estrazioni on rimessa. a) Calola la probabilità di estrarre una pallina rossa e due verdi. b) Calola la probabilità di non estrarre palline gialle. Indihiamo on R l evento ese una pallina rossa, on V l evento ese una pallina verde, on G l evento ese una pallina gialla. Ad ogni estrazione si ha P (R) = 2/9, P (V ) = 4/9 e P (G) = 3/9. a) P (1R 2V ) = ( 3 1 ) ( 2 9 ) 1 ( ) b) La probabilità di non estrarre una pallina gialla vale 1 P (G) = 6/9 = 2/3, quindi la probabilità erata è ( ) È stato preparato uno siroppo onentrato al 20% mettendo 45 grammi di zuhero in una erta quantità d aqua. a) Quanto vale la massa dell aqua? b) Fra quali valori può variare la massa dell aqua se la onentrazione dello siroppo è nota a meno di un errore assoluto del 5%? La onentrazione di una soluzione è definita ome il rapporto tra la massa del soluto s e quella della soluzione s + S, dove S è la massa del solvente. Nel aso dello siroppo si ha = 20% e s = 45 grammi, quindi la massa S dell aqua vale = s s + S S = 1 s S = 80/ = 180 grammi 20/100 Se la onentrazione dello siroppo è nota a meno di un errore assoluto del 5% si ha 15% 25%. Nel aso la onentrazione assuma il valore minimo del 15% la massa S dell aqua assume il valore massimo S max = 1 s S max = 85/ = 255 grammi 15/100 Nel aso la onentrazione assuma il valore massimo del 25% la massa S dell aqua assume il valore minimo S min = 1 s S min = 75/ = 135 grammi 25/100 1

2 3. Sia data la funzione f(x) = x2 + 7 x 12 x Trovare per quali x R la funzione è negativa. La funzione proposta è una funzione razionale fratta, on il polinomio a denominatore strettamente positivo per ogni valore x reale. Il segno della funzione è allora determinato dal numeratore: f(x) < 0 x x 12 < 0 x < 3 x > 4 4. Sia data una funzione polinomiale di terzo grado f(x) tale he: f(x) è dispari; f(1) = 1; f(2) = 4. a) Trova l espressione analitia della funzione f(x). b) Trova gli zeri della funzione f(x) e rappresentala grafiamente. ) Trova l espressione analitia della funzione g(x) il ui grafio è ottenuto traslando di un unità verso sinistra e di due unità verso il basso il grafio di f(x). a) La forma generale di una funzione polinomiale di terzo grado è f(x) = a x 3 + b x 2 + x + d a, b,, d R Il fatto he la funzione sia dispari i porta a dire he nella sua espressione sono presenti solo i monomi di grado dispari, quindi si ha f(x) = a x 3 + x a, R Imponendo le ondizioni f(1) = 1, f(2) = 4 si ottiene un sistema di due equazioni lineare nelle due inognite a e : { a + = 1 8 a + 2 = 4 Risolvendo tale sistema si ottiene a = 1 e = 2, quindi la funzione erata è f(x) = x 3 2 x b) La funzione trovata può essere sritta ome I suo zeri sono x = 0, x = ± 2. ) L espressione di g(x) è f(x) = x (x 2 2) g(x) = f(x + 1) 2 = (x + 1) 3 2 (x + 1) 2 = x x 2 + x 3 2

3 5. Un test diagnostio per una erta malattia M fornise un risultato positivo nel 95% dei asi in ui la malattia M è davvero presente e nel 5% dei asi in ui M non è presente (falsi positivi). È noto he la malattia M ha un inidenza nella popolazione del 2%. a) Calola la probabilità he in un individuo preso a aso il test risulti positivo. b) Calola la probabilità he un individuo preso a aso nella popolazione sia affetto da M sapendo he il test ha dato risultato negativo. Supponiamo adesso he la probabilità un individuo risulti positivo al test sia il 15%. ) Calola l inidenza della malattia M nella popolazione. Sappiamo he P (M) = 2/100 (inidenza della malattia nella popolazione), quindi P ( M) = 98/100. Inoltre P (+ M) = 95/100 (test positivo quando la malattia è presente, quindi 3

4 P ( M) = 5/100) e P (+ M) = 5/100 (test positivo quando la malattia non è presente, quindi P ( M) = 95/100). 2% 98% M M 95% 5% 5% 95% + + a) Dobbiamo alolare P (+): P (+) = P (M) P (+ M) + P ( M) P (+ M) = (2/100) (95/100) + (98/100) (5/100) = 68/1000 b) Dobbiamo alolare P (M ): P (M ) = P (M ) P ( ) = P (M) P ( M) 1 P (+) = (2/100) (5/100) 932/1000 = ) Dobbiamo alolare P (M) (he indiherò on x) sapendo he P (+) = 15/100: da ui P (+) = P (M) P (+ M) + P ( M) P (+ M) = x (1 x) = x + 5 (1 x) = x = 10 x = Una ditta di elettrodomestii produe due modelli di frigorifero, uno di lasse A e l altro di lasse A+. Analisi di merato prevedono una vendita di almeno 60 modelli di lasse A e 80 modelli di lasse A+ al giorno. La ditta è in grado di produrre al massimo 130 modelli di lasse A e 120 modelli di lasse A+ al giorno; il ontratto di distribuzione prevede la spedizione di almeno 210 frigoriferi al giorno. La ditta fissa i prezzi vendendo sottoosto il modello di lasse A on una perdita di 15 euro al pezzo, ma guadagnando 30 euro al pezzo sul modello A+. Supponi he la ditta riesa a vendere tutto iò he produe e india on x il numero di frigoriferi di lasse A prodotti(=venduti) al giorno e on y il numero di frigoriferi di lasse A+ prodotti(=venduti) al giorno. 4

5 a) Imposta il sistema di disequazioni he definise la regione ammissibile e disegna tale regione nel piano artesiano. b) Espliita la funzione he definise il profitto giornaliero della ditta. ) Trova quanti frigoriferi di lasse A e quanti di lasse A+ devono essere prodotti al giorno per massimizzare il profitto. d) Trova quanti frigoriferi di lasse A e quanti di lasse A+ devono essere prodotti al giorno per minimizzare il profitto. Indihiamo on x il numero di frigoriferi di lasse A prodotti(=venduti) al giorno e on y il numero di frigoriferi di lasse A+ prodotti(=venduti) al giorno. a) Il sistema he definise la regione ammissibile è il seguente 60 x y 120 x + y 210 La regione è omposta dal triangolo di vertii A (90, 120), B (130, 120), C (130, 80) e dalla sua parte interna. b) La funzione he definise il profitto giornaliero della ditta è G(x, y) = 30 y 15 x )+d) Per massimizzare e minimizzare il profitto (ovvero la funzione G) valutiamo G(x, y) nei vertii della regione ammissibile: G(90, 120) = 2250 G(130, 120) = 1650 G(130, 80) = 450 Quindi si otterrà il profitto massimo produendo/vendendo 90 frigoriferi di lasse A e 120 di lasse A+, mentre si otterrà il profitto minimo produendo/vendendo 130 frigoriferi di lasse A e 80 di lasse A+. 5