Supponiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguente problema: in quanti modi quattro persone possono sedersi l una accanto all altra?

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1 CALCOLO COMBINATORIO 1.1 Necessità del calcolo combiatorio Accade spesso di dover risolvere problemi dall'appareza molto semplice, ma che richiedoo calcoli lughi e oiosi per riuscire a trovare delle coclusioi valide. Suppoiamo, ad esempio, di voler risolvere il seguete problema: i quati modi quattro persoe possoo sedersi l ua accato all altra? Risolvere il problema, el migliore dei casi, richiede disciplia e la scelta di ua strategia per arrivare a cotare effettivamete tutti i modi possibili. Decidiamo, allora, di procedere sistematicamete per esaurire tutte le possibilità esisteti: fissiamo la prima persoa, seza cambiargli di posto, e cotiamo i quati modi le tre rimaeti possoo sederglisi accato. Poi fissiamo la secoda e così via fio alla quarta. Se chiamiamo A, B, C e D le quattro persoe, avremo: ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA Dallo schema precedete, si vede subito che ci soo 24 modi diversi per far sedere quattro persoe l'ua accato all'altra, i fila. Il ostro problema é risolto, diremmo. Ma quata fatica per arrivarci! I effetti, a oi iteressa solo cotare il umero dei diversi modi e o elecarli esplicitamete l'uo dopo l'altro. Suppoiamo ora di voler complicare il problema. Possiamo riteere che le lettere, che rappresetao le quattro persoe, elecate l'ua dopo l'altra, siao le lettere dell alfabeto di ua certa ligua. Allora, se o ci soo ripetizioi di lettere, ci soo 24 parole diverse che si possoo formare co le quattro lettere dell'alfabeto. Ma quate parole si possoo formare se vogliamo cosiderare ache le ripetizioi di ciascua lettera? Per rispodere potremmo pesare di seguire la strategia precedete. Ma ci vorrebbe molto tempo e riuciamo a farlo, dado soltato il risultato: 256. Il risultato di sopra l'abbiamo dato o perché, i separata sede ci siamo messi a fare il lavoro per elecare prima e cotare poi le parole che si possoo formare. Abbiamo soltato

2 2 Cap. 1: Calcolo combiatorio cotato il umero del modi possibili i cui le quattro lettere si possoo scrivere l'ua accato all'altra co tutte le ripetizioi possibili. Vediamo come. I quati modi possiamo scegliere la prima lettera? I 4 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere la secoda lettera? I 4 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere la terza lettera? I 4 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere la quarta lettera? I 4 modi diversi. Allora il umero delle parole possibili (cotado le ripetizioi) é: 4x4x4x4=256. Per il primo problema la situazioe è differete i quato o possiamo avere ripetizioi; e duque: I quati modi possiamo scegliere la prima lettera? I 4 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere la secoda lettera? I 3 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere la terza lettera? I 2 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere la quarta lettera? I 1 modo. Allora il umero dei modi i cui possiamo scrivere, seza ripetizioi, parole co le quattro lettere A, B, C e D é: 4x3x2x1=24. A quali coclusioi ci portao le cosiderazioi precedeti? Iaziturro possiamo fare astrazioe dalla atura degli oggetti cosiderati (persoe o lettere dell'alfabeto). I secodo luogo, la scelta di ua buoa strategia di calcolo può farci evitare elechi lughi e oiosi che, i casi più complessi, sarebbero addirittura impesabili. Scopo del calcolo combiatorio é evitare, apputo, elechi iutili e oiosi ed arrivare al risultato richiesto co l'ausilio di calcoli molto semplici (le classiche 4 operazioi!) e di forire ache, se ecessario, gli elechi di tutti i casi possibili. Nel resto del capitolo vedremo, i modo sistematico, le teciche del calcolo combiatorio da applicare, ei capitoli segueti, al calcolo delle probabilità. 1.2 Disposizioi semplici e co ripetizioe U problema molto ricorrete, i diverse situazioi (o ecessariamete di tipo matematico), é quello del calcolo del umero dei modi i cui u certo umero di elemeti, presi da u determiato isieme fiito, possoo essere disposti, riteedo che due cofigurazioi soo diverse o per la atura degli elemeti o per l'ordie i cui gli elemeti soo sistemati. Per redere le idee più chiare, suppoiamo di avere u isieme di cique lettere: A, B, C, D ed E. Vogliamo sapere quate parole diverse, ciascua formata da tre lettere, si possoo formare a partire dalle cique lettere date. Ogi parola prede il ome di disposizioe dei cique elemeti presi tre alla volta. E' chiaro che la prima lettera può essere scelta, tra le cique, i cique modi diversi; la secoda lettera, tra le quattro rimaeti, i quattro modi diversi; ifie, la terza lettera, tra le tre rimaeti, i tre modi diversi. Quidi otteiamo 5x4x3=60 modi diversi di disporre tre lettere da scegliere i u isieme di cique lettere.

3 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità 3 La cosa può essere geeralizzata, cosiderado u isieme di elemeti e voledo calcolare il umero di modi i cui possiamo scegliere ua cofigurazioe di k elemeti, tra gli dispoibili, cosiderado diverse due cofigurazioi che hao elemeti diversi o che, pur avedo gli stessi elemeti, questi soo disposti i ordie diverso. Si parla i questo caso di disposizioi semplici di elemeti presi k alla volta, il cui umero viee idicato simbolicamete co D(,k) o co D k. Per calcolare questo umero possiamo procedere come ell'esempio precedete: I quati modi possiamo scegliere il 1 elemeto? I modi diversi. I quati modi possiamo scegliere il 2 elemeto? I - 1 modi diversi. I quati modi possiamo scegliere il 3 elemeto? I - 2 modi diversi.... I quati modi possiamo scegliere il k-esimo elemeto? I - k + 1 modi diversi. Allora avremo: D = ( - 1) ( - 2)...( - k + 1 ) (1) k La (1), che ci dà il umero di disposizioi semplici di elemeti presi k alla volta, può essere letta come il prodotto di k fattori aturali decresceti a partire da. Mediate la (1), o abbiamo più bisogo di elecare tutte le cofigurazioi possibili e poi cotarle. Tutto si riduce ad u calcolo meccaico per il problema specifico. Esempio 1 Calcolare i quati modi 10 pallie umerate da 1 a 10 possoo essere estratte da u'ura prededoe 4 alla volta. Il calcolo é semplice ed abbiamo: D(10,4) = = Notare che abbiamo il prodotto di 4 fattori decresceti a partire da 10. Esempio 2 Calcolare il umero dei modi i cui uo studete può scegliere, ell'ordie, 5 domade tra u questioario di 8 domade. Abbiamo facilmete: D(8,5) = = Notare che abbiamo il prodotto di 5 fattori decresceti a partire da 8. Ma cosa succede se i k elemeti che dobbiamo scegliere tra gli dispoibili possoo essere ripetuti? I questo caso si parla di disposizioi co ripetizioe di elemeti presi k alla volta, il cui umero viee idicato co D'(,k) o co D' k. Il calcolo del umero di queste disposizioi é acora più semplice che el caso delle disposizioi semplici, i quato, ogi volta, possiamo scegliere tutti gli elemeti dell'isieme dato. Avremo allora: I quati modi possiamo scegliere il 1 elemeto? I modi diversi. I quati modi possiamo scegliere il 2 elemeto? I modi diversi. I quati modi possiamo scegliere il 3 elemeto? I modi diversi....

4 4 Cap. 1: Calcolo combiatorio I quati modi possiamo scegliere il k-esimo elemeto? I modi diversi. Duque: D' = k k (2) Esempio 3 Esempio 4 Esempio 5 Omettedo il loro discutibile sigificato, quate parole di 3 lettere si possoo formare co 5 lettere? Abbiamo immediatamete: D'(5,3) = 5 3 = 125. Dispoedo di badiere di 7 colori diversi, quati messaggi differeti si possoo formare usado 4 badiere alla volta? Si tratta evidetemete di disposizioi co ripetizioe di 7 elemeti presi 4 alla volta. Quidi avremo: D'(7,4) = 7 4 = Calcoiamo il umero delle coloe che é mecessario giocare, el gioco del Totocalcio, per fare co certezza u tredici. I questo gioco, molto popolare i Italia, bisoga fare dei proostici su tredici partite di calcio dei campioati di serie A, serie B e serie C. Per dare la vittoria alla squadra che gioca i casa bisoga idicare '1' sulla schedia, per dare u pareggio 'X' e per dare la scofitta alla squadra di casa '2'. Allora si tratta di calcolare il umero delle disposizioi co ripetizioe di tre elemeti (1, X e 2) presi 13 alla volta: D'(3,13) = 3 13 = Come si vede il umero delle coloe da giocare per fare certamete u tredici é molto grade e bisogerebbe ivestire delle somme cosiderevoli (co 800 lire a coloa, be lire) per riuscire u tredici che essuo assicura, a priori, essere miliardario! 1.3 Permutazioi semplici e co ripetizioe Se il umero di elemeti da predere i cosiderazioe é uguale al umero degli elemeti dell'isieme cosiderato o si parla più di disposizioi di elemeti presi alla volta ma piuttosto di permutazioi di elemeti. Per calcolare il umero di permutazioi semplici di elemeti,p(), possiamo applicare la (1) del paragrafo precedete; solo che, i questo caso, dovremo avere il prodotto di fattori decresceti a partire da fio a 1: P( ) = P = ( - 1) ( - 2) =! (3)

5 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità 5 dove abbiamo ache ua uova otazioe (!, da leggere fattoriale), apputo per idicare il prodotto suddetto. Co la uova otazioe, possiamo riscrivere la (1) i questa uova forma (la facile dimostrazioe si lascia per esercizio al lettore): D k =! ( - k)! (1') A proposito di fattoriale, metre risulta immediato che 1!=1, dobbiamo ammettere, per covezioe e per dare u seso alla (1') quado = k, che 0!=1. Esempio 6 Esempio 7 Calcoliamo il umero di permutazioi di 6 elemeti. Abbiamo: P(6) = 6! = = 720. I quati modi 4 persoe possoo sedersi i fila? (ricordate l'esempio del paragrafo 1.1?) Abbiamo: P(4) = 4! = = 24. Il fattoriale di u umero cresce rapidamete al cresce del umero, come si può vedere dalla tabella della pagia seguete che forisce il fattoriale di alcui umeri:!! I fattoriali della tabella precedete soo stati calcolati co ua ormale calcolatrice scietifica, il che comporta due limitazioi: - a partire da 14!, si perde i precisioe; questa limitazioe può essere evitata ad esempio co u programma per computer capace di effettuare calcoli i multiprecisioe - è possibile calcolare, co l'ausilio della fuzioe predefiita x!, il fattoriale di u umero x fio ad u valore di x uguale a 69 (la calcolatrice può forire risultati fio all'ordie di gradezza ); ache questa limitazioe può essere evitata sia co u opportuo programma per computer, sia utilizzado la formula approssimata di Stirlig: -! = e 2 p

6 6 Cap. 1: Calcolo combiatorio che forisce u valore approssimato del fattoriale di u umero per valori abbastaza gradi di. 1 Ache per le permutazioi possiamo cosiderare la possibilità della ripetizioe di tutti gli elemeti; i questi casi la formula (2) é acora applicabile,sostituedo, al posto di k,. Esempio 8: Dispoedo di badiere di cique tipi differeti, quati messaggi si possoo formare co queste badiere, se possiamo avere ache la ripetizioe delle stesse? Abbiamo: D'(5,5) = 5 5 = Suppoiamo ora di voler calcolare il umero delle permutazioi delle lettere coteute ella parola LOLLO, parola i cui la lettera L é ripetuta 3 volte e la lettera O due volte. I casi come questi, si parla di permutazioi co ripetizioi (el ostro esempio, di 5 elemeti di cui uo presete 3 volte ed uo presete due volte). Per calcolare il umero di queste permutazioi suppoiamo, i u primo mometo, che le lettere ripetute o siao uguali ma diverse e le distigueremo co u idice (provvisorio!). Così, delle segueti permutazioi: (12 i tutto: 6x2 = 3!x2!, otteute dalla permutazioe delle tre L e delle due O) dobbiamo predere i cosiderazioe solo ua, i quato gli idici soo solo fittizi. Quidi possiamo calcolare le permutazioi delle lettere della parola LOLLO, calcolado prima le permutazioi di tutte e cique le lettere supposte diverse e dividedo il risultato per 12=3!x2!: P(5,3,2) = 5! 3!2! = = 10. Possiamo geeralizzare il risultato e cosiderare il caso i cui vogliamo calcolare il umero delle permutazioi co ripetizioe di elemeti, fra cui k 1, k 2,..., k r soo uguali fra loro (ma tali che k k... k ) e scrivere che tale umero é uguale a: 1 2 r 1 L'applicazioe della formula di Stirlig comporta la coosceza delle fuzioi espoeziali e logaritmiche. Gli studeti che o cooscoo acora queste fuzioi possoo applicarla successivamete per calcolare, ad esempio, u valore approssimato di 150! e 2500!.

7 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità 7 P(, k, k,..., k ) = 1 2 r! k! k!... k! 1 2 r (4) Esempio 9 Vogliamo fare ua ripartizioe di 15 studeti i 3 classi: 5 ella classe A, 4 ella classe B e 6 ella classe C. I quati modi possiamo fare questa ripartizioe? Possiamo risolvere il problema proposto suppoedo che la ripartizioe sia già fatta e che i 5 studeti della classe A siao paragoabili a cique A ripetute, i 4 studeti della classe B siao paragoabili a quattro B ripetute ed ifie che i 6 studeti della classe C siao paragoabili a 6 C ripetute. Quidi il umero cercato é: 15! P( 15; 5, 4, 6) ! 4! 6! 1.4 Combiazioi semplici Suppoiamo che ua classe di 15 alui debba madare ua delegazioe di tre studeti ad u certo cogresso. I quati modi diversi é possibile scegliere gli studeti della delegazioe? Il problema somiglia molto ad u problema di disposizioi semplici, solo che, i questo caso, l'ordie co cui vegoo scelti i 3 studeti o ha alcua importaza. Allora se A, B e C soo tre studeti scelti, le permutazioi semplici dei tre studeti coducoo sempre alla stessa scelta. Duque dobbiamo calcolare le disposizioi semplici di 15 elemeti presi 3 alla volta e dividere il risultato per 3!; avremo quidi che il umero richiesto é: ! = 455 I casi come questi, i cui due raggruppameti soo diversi soltato se hao almeo u elemeto diverso, si parla di combiazioi semplici di elemeti presi k alla volta: il cui umero idicheremo co C(,k) o co C k. Da quato visto sopra abbiamo facilmete che: C(, k) = D(, k). k! Duque, combiado la formula precedete co la (1'), avremo: C(, k) =! k!( - k)! (5) Esempio 10 Gioco del Lotto. Ache questo é u gioco molto popolare i Italia. I u ura ci soo 90 pallie umerate da 1 a 90. Vegoo estratte, ua dopo l'altra e seza reimbussolameto, 5 pallie. Si vice se si riesce ad idoviare, i ua giocata precedete l'estrazioe, ua coppia di umeri (ambo), ua tera di umeri

8 8 Cap. 1: Calcolo combiatorio (tero), ua quatera di umeri (quatera), i 5 umeri (ciquia). Calcolare il umero di ambi, teri, quatere, ciquie possibili. I tutti i casi si tratta di combiazioi semplici di 90 elemeti presi 2, 3, 4 o 5 alla volta, rispettivamete. Quidi possiamo scrivere: 90 90! ( ambi) = C 2 = = = !88! 90 ( teri) = C = 3 90! 3!87! = 6 = ( quatere) = C = 4 90! 4!86! = 24 = ( quitie) = C = 5 90! 5!85! = 120 = Come si vede dal calcolo precedete, se da ua parte é relativamete semplice realizzare u ambo, diveta sempre più difficile realizzare u tero, ua quatera, ua quitia (quasi 44 milioi di quitie possibili!). Sarebbe iteressate ache esamiare come lo Stato, gestore del gioco, ricompesa (si fa per dire...) le evetuali vicite. Esempio 11 Nella figura sottostate é rappresetato u reticolato formato da 36 quadrati; ciascu vertice dei quadrati viee idividuato da ua coppia di umeri (che potrebbero essere le coordiate cartesiae dei vertici stessi), da 0 a 9 i orizzotale e da 0 a 4 i verticale. I quati modi diversi si può adare, seguedo i lati dei quadrati, dal puto (0,0) al puto (9,4)? (0,4) (9,4) (0,0) (9,0) Possiamo rappresetare i diversi spostameti usado il simbolo d per idicare uo spostameto orizzotale verso destra, il simbolo a per idicare uo spostameto verticale verso l'alto. Allora uo dei possibili itierari (rappresetato i figura) é: dddaadddaddad.

9 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità 9 Evidetemete bisoga percorrere, i orizzotale o i verticale, tredici cammii uitari e possiamo scegliere 9 o 4 di questi cammii come é immediato redersi coto. Quidi avremo che il umero dei cammii richiesto é dato da: C = C = 13! = = 2860, 9!3! 6 oppure da: C = C = 13! !9! = Dall'esempio precedete abbiamo visto che: C9 C13 9 C4 Il risultato dell'esempio precedete é del tutto geerale e può essere dimostrato i modo diretto a partire dalla (5). Possiamo allora cocludere che:. C k C (6) k 1.5 Coefficieti biomiali e biomio di Newto. Teedo coto delle covezioi fatte sul fattoriale di u umero, possiamo facilmete verificare che, fissato e facedo variare k da k = 0 fio a k =, abbiamo la seguete tabella dei valori di C k per i primi 8 valori di : C k \k La tabella precedete ci suggerisce alcue osservazioi: a) Per ogi : C C. 0 1 b) Per ogi : Ck Ck C 1 1 k 1 ; questa circostaza é stata messa i evideza ella tabella, dove si può otare, ad esempio, che: C(5,1)+C(5,2) = = 15 = C(5+1,1+1) = C(6,2) C(7,4)+C(7,5) = = 56 = C(7+1,4+1) = C(8,5).

10 10 Cap. 1: Calcolo combiatorio c) Se guardiamo i umeri di ogi riga, ci viee subito da pesare ai coefficieti umerici dello sviluppo di (x + y) (poteza -esima di u biomio). Per esempio, lo sviluppo: (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 ha i coefficieti umerici 1, 4, 6, 4 e 1, corrispodeti ai valori foriti dalla tabella precedete per = 4. Per questo motivo i umeri foriti dalla tabella precedete si chiamao ache coefficieti biomiali e si idicao co k da leggere ' su k' (seza alcua relazioe co la divisioe!). E' evidete che utilizzado il uovo simbolo per i coefficieti biomiali, risulta: C k k. Utilizzado il uovo simbolo, la poteza -sima di u biomio si può esprimere mediate la formula: k= - ( x + y) = k x k y k (7) k= 0 formula che che usa ache u uovo simbolo (, sigma maiuscolo, simbolo di sommatoria i matematica, da leggere sommatoria per k uguale a 0 fio a k uguale a di...). La (7) si chiama ache formula del biomio di Newto e la tabella precedete prede il ome di triagolo di Tartaglia (i fracesi la chiamao triagolo di Pascal). Esempio 12: Calcoliamo lo sviluppo di x 2y 6. Utilizzado i coefficieti foriti dal triagolo di Tartaglia o la formula di Newto abbiamo: x 2y 6 = = x (-2 y) + x (-2 y) + x (-2 y) + 3 x (-2 y) (-2 ) + (-2 ) + (-2 ) 4 5 x y x y 6 x y = = x 12x y 60x y 160x y 230x y 192xy 64y. 1.6 Diagrammi ad albero A volte diveta difficile classificare u determiato problema combiatorio e quidi applicare la formula delle disposizioi o quella delle combiazioi, semplici o ripetute. I alcui di questi casi (ma ache i altri di facile classificazioe) risulta utile schematizzare il

11 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità 11 problema co u diagramma ad albero (così chiamato a causa della sua struttura ramificata) per eumerare tutti i possibili esiti di ua serie di esperimeti, ciascuo dei quali può avere solo u umero fiito di esiti. Altre volte é ache ecessario cooscere, oltre al umero, ache la lista completa di tutti gli esiti possibili: pure i questi casi, u diagramma ad albero é di grade aiuto. Esempio 13 Laciamo ua moeta 3 volte. Quati risultati diversi (successioi di testa e croce) possiamo avere? Osserviamo lo schema seguete, dove possiamo otare che per oguo dei laci soo rappresetati i due risultati possibili: T (testa) e C (croce). T C T C T C T TTT C T C T C T C TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC Dallo schema precedete o solo abbiamo la possibilità di cotare tutti i possibili esiti, 8, del ostro esperimeto ripetuto tre volte, ma abbiamo ache l'eleco completo degli esiti possibili, che soo quelli scritti alla fie di ciascu ramo. Esempio 14 Laciamo due dadi per studiare la somma dei risultati delle due facce 'viceti'. Vogliamo calcolare il umero delle cofigurazioi che geerao u determiato risultato della somma, dal 2 al 12. Primo dado Secodo dado Cof.razioi: Dallo schema precedete (dove le cofigurazioi soo da leggere i verticale) deduciamo facilmete i segueti risultati per ciascua somma possibile: Somma N. cofigurazioi

12 12 Cap. 1: Calcolo combiatorio 1.7 Problema risolto e sua geeralizzazioe Suppoiamo di voler disporre 3 oggetti i tre cassetti diversi. Vogliamo calcolare il umero dei modi differeti i cui l operazioe puó essere effettuata. La prima soluzioe che viee i mete è quella di shematizzare tutte le possibili cofigurazioi e quidi cotarle, come ello schema seguete (dove gli oggetti soo rappresetati da piccole clessidre): Dallo schema il coto è facile: ci soo 10 modi diversi di sistemare i tre oggetti ei tre cassetti. Peró la soluzioe trovata è molto artigiaale e poco razioale e o siamo soddisfatti. I pratica siamo ella stessa situazioe del paragrafo 1: suppoedo che i umeri siao molto piú gradi, ua soluzioe del geere (mediate elecazioe completa di tutti i casi possibili) sarebbe semplicemete impesabile. Razioalmete possiamo pesare agli oggetti e alle separazioi dei cassetti () come ad uiche etità (articoli). Se trascuriamo la prima e l ultima barretta verticale (poste sempre elle stesse posizioi), ci soo da sistemare tre oggetti e due barrette verticali (5 articoli). Ad esempio, per la cofigurazioe 3, abbiamo:. Duque, il umero delle possibili cofigurazioi è uguale a: 5 2 = 10 (umero dei modi di scegliere due barrette fra 5 articoli), oppure 5 3 =10 (umero dei modi di scegliere tre oggetti fra 5 articoli). Il risultato raggiuto puó essere geeralizzato al caso di oggetti da sistemare i k cassetti diversi: abbiamo k + 1 barrette verticali per formare k cassetti, ma due di queste soo sempre alle due estremità; allora i tutto abbiamo k = k - 1 barrette verticali e oggetti. Duque il umero delle cofigurazioi possibili è uguale al umero di combiazioi di + k - 1 elemeti presi k - 1 alla volta, oppure al umero di combiazioi di + k - 1 elemeti presi alla volta: k 1 k 1. k 1

13 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità Esercizi 1. I quati modi 8 persoe possoo sedersi su ua pachia che ha 5 posti? 2. Ua comitiva di 7 uomii e 6 doe devoo sedersi i fila i modo che gli uomii abbiao solo posti dispari. Quate sistemazioi diverse esistoo? 3. Quati umeri di quattro cifre possoo essere formati co le 10 cifre 0,1,2,...9 se: a) si ammettoo delle ripetizioi; b) le ripetizioi o soo ammesse; c) l'ultima cifra deve essere 2 e o si ammettoo ripetizioi? 4. Attoro ad u tavolo circolare voglioo sedersi 5 uomii e 5 doe. I quati modi diversi possoo sedersi se: a) o ci soo prefereze di alcu tipo; b) se i due sessi devoo alterarsi? c) se, oltre a b), ua coppia vuole restare uita? 5. Si voglioo sistemare 15 libri, 5 rossi, 3 verdi e 7 gialli, su uo scaffale di ua libreria. I quati modi diversi é possibile sistemarli se: a) possoo stare i u ordie qualuque; b) i libri di uguale colore devoo stare uo accato all'altro; c) u determiato libro rosso deve essere al primo posto e gli altri i u ordie qualuque; d) u determiato libro rosso deve essere al primo posto e gli altri dello stesso colore l'uo accato all'altro. 6. Dimostrare la formula (1'). 7. Nel gioco del Totocalcio, alcui giocatori, chiamati sistemisti, selezioao u certo umero di partite a cui dare u risultato fisso e lasciao variare i tutti i modi possibili tutti gli altri risultati. Quate coloe bisoga giocare (per fare il '13') col sistema el caso i cui ci siao: a) 4 risultati fissi; b) 5 risultati fissi; c) 4 risultati fissi e due co '1' oppure 'X'. 8. Dimostrare, i modo diretto, la formula: k = - k 9. Dimostrare la formula (detta di Stiefel): k + k + alla base della formazioe del triagolo di Tartaglia). 1 = k (questa formula è 10. Dimostrare la formula del calcolo di C k a partire dalla formula (4) del paragrafo Gioco della tombola. Questo gioco, molto diffuso i Italia, cosiste ell'estrazioe di 90 pallie umerate. Si partecipa al gioco co delle cartelle, sulle quali soo segati 15 dei

14 14 Cap. 1: Calcolo combiatorio 90 umeri. Due cartelle si distiguoo per almeo u umero diverso. Quate cartelle diverse é possibile costruire? 12. Co la formula del biomio di Newto, calcolare lo sviluppo delle segueti poteze: a) x y b) x y 8 ; c) 3x ; 5 y Seza effettuare lo sviluppo completo di x 3y termie x 8 y 7 dello sviluppo. 14. Teorema del poliomio. Lo sviluppo di termii del tipo:! x!!...! x... x 1 2 r 1 2 r, co r. Dimostrare il teorema. 15, calcolare il coefficiete umerico del x x... x r si ottiee sommado tutti i Co l'ausilio del teorema del poliomio calcalare gli sviluppi di: a) x y z 4 ; 5 b) 2x y z ; c) x y z t Calcolare il coefficiete umerico del termie x y z 7, apparteete allo sviluppo di x y z 16, seza effettuare lo sviluppo completo. 17. I quati modi distiti si possoo distribuire 8 mele tra quattro bambii? Ed i quati se ad ogi bambio deve toccare almeo ua mela? 18. Dimostrare che: = Dimostrare che il cardiale dell'isieme delle parti di u isieme fiito A (isieme di tutti gli isiemi, compresi l'isieme vuoto e l'isieme A) é 2, dove é il cardiale di A. 20. I quati modi diversi u gruppo di 12 persoe può essere suddiviso i: a) due gruppi di 9 e 3 persoe; b) tre gruppi di 4, 5 e 3 persoe; c) quattro gruppi di 3, 2, 2 e 5 persoe?

15 R. SANTORO: Elemeti di calcolo delle probabilità Abbiamo pallie e k scatolette, co > k. Dimostrare che il umero dei modi distiti i cui si possoo distribuire le pallie elle scatolette é uguale a C 1 k 1 se ogi scatoletta deve avere almeo ua pallia. 22. Per il calcolo dei cofficieti biomiali é molto utile la relazioe: k = - k + k 1 k - 1 che é ua relazioe ricorrete da dimostrare. 23. Dimostrare la relazioe: 2 2 ( 2-1) ( 2-3) =! 24. E' data la parola LOLLOBRIGIDA. a) Calcolare il umero di permutazioi distite che si possoo avere co le lettere della parola data. b) Calcolare il umero di permutazioi distite che comiciao co la lettera D. c) Calcolare il umero delle permutazioi distite che termiao co ua vocale. d) Calcolare il umero delle permutazioi distite che si ottegoo permutado ai primi 5 posti le lettere L e O. 25. Costruire il diagramma ad albero per le permutazioi semplici degli elemeti dell isieme {1,2,3,4,5}. 26 Per ua lotteria vegoo veduti biglietti. Di questi 100 vicoo u premio, gli altri biglietti o vicoo iete. Ua persoa compra 10 biglietti. I quati modi diversi questa persoa puó vicere esattamete u premio?

16 16 Cap. 1: Calcolo combiatorio Tavola riassutiva sul calcolo combiatorio Disposizioi semplici di elemeti presi k alla volta: D k Disposizioi co ripetizioi di elemeti presi k alla volta : D k ' Permutazioi semplici di elemeti: P Permutazioi co ripetizioi di elemeti Combiazioi semplici di elemeti presi k alla volta: C k Defiizioe Calcolo Esempi Raggruppameti diversi di k elemeti fra gli dispoibili. Due raggruppameti soo diversi: per la atura degli elemeti per l ordie degli elemeti Come sopra, solo che gli elemeti D ( 1) K ( k 1) D k k! ( k)! D k 6 2 possoo essere ripeturi da 2 a k volte. D' k D' Disposizioi semplici di elemeti presi alla volta: P D Permutazioi co ripetizioi di elemeti di cui k 1 soo uguali fra di loro, k 2 soo uguali fra di loro,..., k r soo uguali fra di loro (k 1 + k k r = ) Raggruppameti diversi di k elemeti fra gli dispoibili. Due raggruppameti soo diversi: per la atura degli elemeti P ( 1) K 2 1! P 4 4! P k, k, K k C k ! = 1! P 7 k! k! K kr! 2, 2, r 1 2 Dk k!! k k!( )! k k k 1 k k 1 k 1 7! 210 2! 2! 3! 5 C 5! 3 3! 2! 10 C C 0 1

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