Cenni sulle dimostrazioni dei teoremi di Gödel

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1 Cenni sulle dimostrazioni dei teoremi di Gödel Alberto Zanardo Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata Università di Padova 30 ottobre 2007 Linguaggio e dimostrazioni nella teoria assiomatica dei Numeri Naturali Il primo problema considerato nei teoremi di Gödel riguarda la possibilità di definire una teoria assiomatica in grado di dimostrare tutte le formule vere nella struttura dei numeri naturali che d ora in avanti indicheremo con N = N, +,, σ, 0, dove σ è la funzione successore. Dovendo trattarsi di un risultato generale riguardante tutte le possibili dimostrazioni in ogni possibile teoria assiomatica, dobbiamo dare una definizione rigorosa di entrambe queste nozioni. Ciò significa in particolare definire formalmente il linguaggio in cui vengono espresse formule che possono essere vere o false nella struttura N, dire quali tra queste formule sono gli assiomi, dire quali sono le regole di inferenza (o regole di deduzione) che permettono di dimostrare nuovi teoremi. Il linguaggio L N che considereremo dovrà contenere i simboli necessari per poter esprimere formule interpretabili nella struttura N. Dovremo quindi avere due simboli, f1 2 e f 2 2 per funzioni binarie 1 (da interpretarsi in + e ); un simbolo per funzione unaria, f1 1, che verrà interpretato nella funzione successore; una costante, a, che verrà interpretata nello 0, e infine il simbolo = di uguaglianza. Oltre a questi simboli avremo poi un insieme numerabile {x 1, x 2,... } di variabili (che rappresenteranno arbitrari numeri naturali), i simboli logici,, 2, la virgola e le parentesi. Le formule di L N saranno quindi formate usando esclusivamente i simboli elencati sopra. Per esempio, ( x 3 (f 2 1 (x 3, a) = x 3 )) è una formula di L N e la sua interpretazione nella struttura N risulterà falsa perché tale formula asserisce: non è vero che, per ogni numero naturale n, n+0 = n. Scriveremo A(x 1,..., x n ) per indicare una formula in cui compaiono libere le variabili x 1,..., x n, in cui cioè compaiono queste variabili e nessuna di esse viene quantificata. La formula considerata sopra, per esempio, non ha variabili libere. Invece la formula x 3 (f 2 1 (x 3, x 2 ) = f 2 2 (x 1, x 4 )) ha x 1, x 2, x 4 come variabili libere ed è quindi del tipo A(x 1, x 2, x 4 ). Queste note sono tratte essenzialmente dai due libri in bibliografia, selezionando i passaggi tecnici più significativi per poter cogliere le idee principali delle dimostrazioni di Gödel. 1 L arietà di una funzione viene spesso indicata da un esponente. 2 Si ricordi che con questi simboli sono definibili anche gli altri simboli logici,,,. 1

2 I termini di L N sono intuitivamente le espressioni che indicano dei numeri naturali. Avremo quindi che la costante a e tutte le variabili sono termini. Osserviamo poi che i risultati di operazioni su numeri naturali sono ancora numeri naturali. Sono quindi termini anche il risultato dell applicazione dei simboli f 2 1, f 2 2, f 1 1 ad altri termini. Per esempio f 2 1 (a, f 1 1 (x 3)) è un termine (che, se x 3 viene interpretata nel numero n, indica il numero 0 + σ(n)). La notazione A(x 1,..., x n ) introdotta sopra risulta utile quando vogliamo indicare la formula che si ottiene da A(x 1,..., x n ) dopo aver sostituito x 1,..., x n rispettivamente con i termini t 1,..., t n. Tale formula viene indicata con A(t 1,..., t n ). Una volta stabilito quali siano le formule che verranno usate per esprimere proprietà dei numeri naturali, dobbiamo dire in modo rigoroso quali siano gli assiomi e cosa sia una dimostrazione. Per gli scopi di questa nota non è tuttavia indispensabile enunciare esplicitamente gli assiomi. Ci basta sapere che essi costituiscono un insieme decidibile di formule di L N, deve cioè esistere una procedura effettiva (un algoritmo) che permetta di concludere con un numero finito di operazioni se una qualsiasi formula sia un assioma oppure no. 3 Il lettore interessato può vedere per esempio gli assiomi considerati nel Capitolo 3 di (Mendelson, 1981), oppure nel quinto paragrafo della nota Teorie Assiomatiche - I Numeri Naturali (per quanto riguarda gli assiomi propri che stabiliscono le proprietà delle operazioni sui naturali). 4 È invece importante chiarire cosa si debba intendere per dimostrazione. Intuitivamente, una dimostrazione è una successione finita di passaggi da formule ad altre formule. Le formule che possono intervenire in una dimostrazione sono innanzitutto gli assiomi, oppure formule che possono essere dedotte logicamente da altre già dimostrate. Per quanto riguarda la logica del primo ordine, una scelta possibile per dedurre logicamente formule da altre sono le seguenti due regole: il Modus Ponens, che permette di dedurre la formula B dalle formule A e A B, e la Generalizzazione, che permette di dedurre la formula xa dalla formula A. 5 Possiamo ora dare la definizione rigorosa di dimostrazione. Una dimostrazione è una successione A 1,..., A n di formule di L N tali che, per 1 i n, A i è un assioma, oppure esistono j, k < i tali che A j = A k A i, oppure esiste j < i e una variabile x tali che A i = xa j. 3 Questo concetto verrà precisato in seguito, dopo aver presentato le funzioni ricorsive, e dopo aver considerato i numeri di Gödel delle formule di L N. 4 In quella nota gli assiomi sono scritti usando i simboli usuali +,, σ, dobbiamo però pensarli nella loro formalizzazione in L N. 5 È molto importante non confondere la regola di Generalizzazione con l implicazione A xa che è generalmente falsa. La regola di Generalizzazione dice che, se abbiamo dimostrato A, allora possiamo anche concludere xa. Tale regola non è altro che la formalizzazione di un procedimento molto frequente in matematica che consiste nel dimostrare che una certa proprietà vale per un oggetto matematico non precisato, per esempio: se n è numero naturale multiplo di 4 allora n è multiplo di 2 e successivamente, data l arbitrarietà di n, concludere che: per ogni n, se n è numero naturale multiplo di 4 allora n è multiplo di 2. D altra parte, l implicazione n = 0 n(n = 0) è falsa. 2

3 In questo caso diremo che A 1,..., A n è una dimostrazione di A n e che A n è un teorema (della teoria considerata). 6 Indichiamo con T N la teoria basata sul linguaggio L N, avente come assiomi quelli del Capitolo 3 di (Mendelson, 1981) e come regole il Modus Ponens e la Generalizzazione. Scriveremo inoltre TN A intendendo che la formula A è un teorema di T N. Funzioni rappresentabili - Funzioni ricorsive Nel linguaggio L N possiamo rappresentare i numeri naturali. Dobbiamo tuttavia tener presente che l unico simbolo che in effetti indica un numero naturale è la costante a, che viene interpretata in 0. Tutti gli altri numeri naturali vengono rappresentati tramite iterazioni del simbolo f1 1 (interpretato nella funzione successore) applicato alla costante a. Il numero 1 sarà quindi rappresentato da f1 1(a), 2 da f 1 1(f 1 1 (a)), e così via. Chiameremo numerali i simboli f1 1(... f 1 1 (a)... ) ed scriveremo n per indicare l espressione ottenuta applicando n volte f1 1 alla costante a. Sia f una funzione totale 7 da N k in N. Diciamo che f è rappresentabile se esiste una formula A(x 1,..., x k, x k+1 ), tale che, per ogni k-upla n 1,..., n k di numeri naturali, se f(n 1,..., n k ) = n allora TN A(n 1,..., n k, n) TN! x k+1 A(n 1,..., n k, x k+1 ) dove il simbolo! viene definito da! xa(x) def = x(a(x) y(a(y) x = y)) e (1) È chiaro quindi che! xa(x) può essere letta come: esiste un unico x che verifica A(x), e quindi, in base a (1), la teoria T N riesce a descrivere completamente il comportamento della funzione f. Il problema che si pone immediatamente è ora quello di sapere quali funzioni siano rappresentabili. Dobbiamo prima dare una definizione. Diciamo che una funzione f : N k N è ricorsiva se può essere costruita sulla base delle seguenti clausole. 1. La funzione costante Z : N N tale che Z(n) = 0 per ogni n, è ricorsiva; 2. la funzione successore σ è ricorsiva; 3. per ogni k > 0 e 0 < i k, la funzione proiezione Ui k : N k N tale che Ui k(n 1,..., n k ) = n i, è ricorsiva; 6 In particolare, possiamo avere n = 1, per cui A 1 deve essere un assioma. Gli assiomi sono quindi particolari teoremi. 7 Con funzione totale da X in Y intendiamo una funzione definita su tutto X. In genere questa proprietà è implicita nella definizione di funzione, ma nella Teoria della Ricorsione si preferisce precisare esplicitamente se si stiano considerando funzioni definite su tutto X, che in genere è N k per qualche k, o funzioni parziali, che possono non essere definite su qualche elemento di X. Per quanto riguarda le dimostrazioni dei teoremi di Gödel è sufficiente considerare funzioni totali. 3

4 4. se F : N m N è una funzione ricorsiva e, per i = 1,..., m, g i : N k N è una funzione ricorsiva, allora la funzione f : N k N definita da f(n 1,..., n k ) = F (g 1 (n 1,..., n k ),..., g m (n 1,..., n k )) (2) è ricorsiva e diciamo che f è ottenuta da F, g 1,..., g m per composizione; 5. se g : N k N e F : N k+2 N sono funzioni ricorsive, allora è ricorsiva anche la funzione f : N k+1 N definita dalle seguente clausole f(n 1,..., n k, 0) = g(n 1,..., n k ) f(n 1,..., n k, σ(n)) = F (n 1,..., n k, n, f(n 1,..., n k, n)) (3) In tal caso diremo che f è ottenuta da g e F per ricorsione. Se k = 0, le clausole precedenti diventano f(0) = n 0 (3 ) f(σ(n)) = F (n, f(n)) dove n 0 è un numero naturale fissato; 6. se g : N k+1 N è una funzione ricorsiva tale che, per ogni k-upla n 1,..., n k esiste almeno un n tale che g(n 1,..., n k, n) = 0, allora è ricorsiva la funzione f : N k N tale che f(n 1,..., n k ) è il minimo n tale che g(n 1,..., n k, n) = 0. Tale funzione viene anche indicata con (µn) g(n 1,..., n k, n). 8 L insieme delle funzioni ricorsive include molte funzioni, sostanzialmente tutte le principali funzioni che vengono usate in aritmetica. Il risultato principale sulla rappresentabilità di funzioni è il seguente. Teorema 1 Ogni funzione f : N k N è ricorsiva se e solo se è rappresentabile. Per le relazioni tra numeri naturali vale un risultato analogo. La nozione corrispondente alla rappresentabilità è la nozione di esprimibilità: una relazione k-aria R è esprimibile se esiste una formula A(x 1,..., x k ) tale che, per ogni k-upla n 1,..., n k di numeri naturali 9 se n 1,..., n k R allora TN A(n 1,..., n k ) se n 1,..., n k R allora TN A(n 1,..., n k ) (4) Data una relazione R N k, la sua funzione caratteristica è la funzione C R : N k {0, 1} che, per ogni n 1,..., n k, verifica l equivalenza C R (n 1,..., n k ) = 1 n 1,..., n k R Diciamo che R è ricorsiva se tale è la sua funzione caratteristica. Dal Teorema 1 segue facilmente che 8 In Teoria della Ricorsione la clausola che per ogni k-upla n 1,..., n k esista almeno un n tale che g(n 1,..., n k, n) = 0 viene omessa. In questo modo otteniamo anche funzioni ricorsive parziali. Si veda anche la nota 7. 9 Si ricordi che una relazione k-aria su N è un insieme k-uple di numeri naturali, abbiamo cioè R N k : R(n 1,..., n k ) è verificata se e solo se n 1,..., n k R. 4

5 Teorema 2 Ogni relazione R N k è ricorsiva se e solo se è esprimibile. Possiamo ora anticipare il primo passo verso i risultati di Gödel. Come vedremo nel prossimo paragrafo possiamo associare dei numeri alle formule e alle successioni finite di formule, come le dimostrazioni. Il fatto quindi che una certa successione di formule costituisca una dimostrazione di una certa formula viene a corrispondere ad una relazione tra numeri e, se si dimostra che si tratta di una relazione ricorsiva, per il Teorema 2 abbiamo che ciò corrisponde alla dimostrabilità in T N di una opportuna formula di L N. In questo modo la nozione di dimostrabilità in T N verrà ad essere esprimibile internamente alla stessa teoria. Numeri di Gödel - Teorema di Incompletezza Ad ogni simbolo s di L N possiamo associare un numero naturale che indicheremo con #(s) e chiameremo numero di Gödel di s. Per esempio, possiamo porre #( ( ) = 3 #( ) ) = 5 #(, ) = 7 #( ) = 9 #( ) = 11 #( ) = 13 #(=) = 15 #(a) = 17 #(f 1 1 ) = 19 #(f 2 1 ) = 21 #(f 2 2 ) = 23 #(x i) = i Possiamo poi assegnare un numero alle successioni s 1,..., s n di simboli ponendo #(s 1,..., s n ) = 2 #(s 1) 3 #(s 2)... p #(sn) n dove le basi delle potenze sono i primi n numeri primi. È chiaro che da #(s 1,..., s n ) possiamo risalire a s 1,..., s n per l unicità della fattorizzazione in fattori primi. Tra le successioni di simboli ci sono in particolare le formule e quindi potremo parlare del numero di Gödel, #(A), della formula A. In modo analogo, possiamo assegnare un numero di Gödel anche a successioni di formule ponendo #(A 1,..., A k ) = 2 #(A 1)... p #(A k) k. Abbiamo visto precedentemente che le dimostrazioni nella teoria T N sono successioni finite di formule e quindi potremo parlare del numero di Gödel di una dimostrazione. Abbiamo quindi che a proprietà e relazioni relative a simboli, formule, successioni di formule, possiamo far corrispondere proprietà di numeri e relazioni tra numeri. Il problema a questo punto far vedere che le relazioni e le proprietà (viste come relazioni unarie) che effettivamente ci interessano sono ricorsive, da cui, per i teoremi del paragrafo precedente, seguirà che sono esprimibili in T N. Parte del Capitolo 3 di (Mendelson, 1981) è dedicata appunto a mostrare, seguendo la dimostrazione originale di Gödel, che sono ricorsive particolari funzioni e relazioni tra numeri naturali che rappresentano termini, o formule, o successioni di formule di L N. Si dimostra per esempio che è ricorsiva la proprietà (relazione unaria) Fm che è verificata dal numero n se e solo se n è il numero di Gödel di una formula. Analogamente, è ricorsiva la proprietà Ax che è verificata da tutti e soli i numeri di Gödel degli assiomi di T N. Il fatto che la proprietà Ax sia ricorsiva deriva dalla assunzione che T N sia una teoria assiomatica, cioè che esista una procedura effettiva per determinare se una arbitraria formula di L N sia un assioma oppure no. Nel caso particolare di questa teoria, gli assiomi, 5

6 pur essendo infiniti, hanno un numero finito di possibili strutture, e quindi la procedura consiste nel verificare che la formula abbia una di queste possibili strutture. In generale, la decidibilità degli assiomi di una arbitraria teoria T, che finora abbiamo spiegato intuitivamente in termini di esistenza di una procedura effettiva, può essere ora definita rigorosamente come l esistenza di una codifica delle formule di T nei numeri naturali e l esistenza di una funzione ricorsiva da N in {0, 1} che vale 1 su tutte e sole le codifiche di un assioma. Dal fatto che la proprietà Ax sia ricorsiva, si arriva al risultato cruciale che è ricorsiva la relazione binaria Dim definita da: Dim(n, m) n è il numero di Gödel di una dimostrazione della formula con numero di Gödel m Dal Teorema 2 segue quindi che esiste una formula Dim(x 1, x 2 ) tale che: se n è il numero di Gödel della dimostrazione della formula con numero di Gödel m, allora TN Dim(n, m) se n non è il numero di Gödel della dimostrazione della formula con numero di Gödel m, allora TN Dim(n, m) da cui si vede che la nozione di dimostrabilità in T N viene ad essere espressa in T N stessa. A questo punto, seguendo principalmente (Nagel and Newman, 1974), considereremo solo i passi più importanti delle dimostrazioni di Gödel. Deve tuttavia essere chiaro che dietro i risultati che useremo c è un accurato e spesso difficile lavoro di verifica che le nozioni più importanti relative alla dimostrabilità in T N corrispondono a relazioni ricorsive tra numeri naturali. Consideriamo il seguente semplice procedimento che dipende da tre numeri naturali, m, n, k, dove supponiamo che m sia il numero di Gödel della formula A e n il numero di Gödel della variabile x: sostituiamo il numerale k alle occorrenze libere della variabile x nella formula A. Il risultato sarà una nuova formula che indichiamo con A. Supponiamo per esempio m = , n = 37, e k = 3. In tal caso A è x 1 = x 7, x è x 7, e il numerale k è f1 1(f 1 1(f 1 1(a))). La formula A sarà quindi x 1 = f1 1(f 1 1(f 1 1 (a))). La formula A ha ovviamente un suo numero di Gödel e quindi abbiamo identificato una funzione da N 3 in N che alla terna m, n, k associa #(A ) nel modo visto sopra. Si dimostra che questa funzione è ricorsiva, e quindi rappresentabile. 10 La funzione definita nel capoverso precedente, che indicheremo con Sost, diventa particolarmente significativa quando m e k coincidono. Conviene inoltre mantenere un valore fissato per n: 27, che è il numero di Gödel della variabile x 2. Useremo quindi la seguente definizione: Sost(m, 27, m) = il numero di Gödel della formula ottenuta sostituendo il numerale m alla variabile x 2 nella formula con numero di Gödel m 10 In questo caso si tratta di una funzione parziale, che cioè non è definita su tutto N 3. Si ovvia facilmente a questo problema ponendo per esempio che la funzione valga 0 ogniqualvolta m non è il numero di Gödel di una formula o n non è il numero di Gödel di una variabile. (5) (6) 6

7 Dal fatto che questa funzione sia ricorsiva, segue che è ricorsiva anche la relazione ottenuta componendo la relazione Dim con la funzione Sost. Possiamo cioè considerare la relazione ricorsiva Dim(n, Sost(m, 27, m)) che risulta verificata se e solo se n è il numero di Gödel della dimostrazione della formula con numero di Gödel Sost(m, 27, m). Esisterà quindi una formula A(x 1, x 2 ) che verifica le condizioni (4) con R espressa da Dim(n, Sost(m, 27, m)). Conviene, per la formula A(x 1, x 2 ), usare una notazione che ne ricordi il significato. Scriveremo quindi Dim(x 1, Sost(x 2, 27, x 2 )) anziché A(x 1, x 2 ). Consideriamo ora la formula x 1 ( Dim(x 1, Sost(x 2, 27, x 2 ))) (7) Tendendo presente il significato (5) della relazione Dim e in base al fatto che la formula Dim(x 1, Sost(x 2, 27, x 2 )) esprime la relazione Dim(n, Sost(m, 27, m)), il significato della formula (7) è che nessun numero è il numero di Gödel di una dimostrazione della formula con numero di Gödel Sost(x 2, 27, x 2 ), cioè che tale formula non è dimostrabile. Ovviamente l espressione la formula con numero di Gödel Sost(x 2, 27, x 2 ) serve solo a chiarire intuitivamente il significato di (7) perché Sost(x 2, 27, x 2 ) non indica nessun numero fino a quando x 2 non viene sostituito con un valore numerico. Questo appunto è il passo successivo della dimostrazione di Gödel. La formula (7) è una formula di L N e in quanto tale avrà un numero di Gödel. Sia m = #( x 1 ( Dim(x 1, Sost(x 2, 27, x 2 )))) (8) Consideriamo ora la formula G ottenuta sostituendo x 2 con il numerale m in (7), poniamo cioè G def = x 1 ( Dim(x 1, Sost(m, 27, m))) (9) In base alle osservazioni fatte sopra, la formula G può essere letta come la formula con numero di Gödel Sost(m, 27, m) non è dimostrabile. Questa volta non compaiono variabili in Sost(m, 27, m) che quindi indica un numero ben preciso. Per (6), si tratta del numero di Gödel della formula ottenuta da quella con numero di Gödel m, cioè (7), sostituendo x 2 con m. Ma la formula G è stata ottenuta da (7) proprio facendo questa sostituzione. Possiamo dunque concludere Sost(m, 27, m) = #(G), e che quindi questa formula esprime il fatto che essa stessa non è dimostrabile. È impossibile non vedere l analogia di questa conclusione con i vari paradossi basati sull autorifermento: abbiamo costruito una formula che afferma di non essere dimostrabile. A differenza dei paradossi, tuttavia, la conclusione sarà pienamente accettabile e non avrà niente di paradossale visto che non si tratta di non dimostrabilità in senso assoluto, ma della non dimostrabilità all interno della teoria T N. Per il momento comunque abbiamo solo ottenuto una formula che può essere letta in modo molto suggestivo. Il lavoro viene completato dalla dimostrazione che G non è effettivamente un teorema di T N e che G è vera nella struttura N. In ciò consiste il Teorema di Incompletezza di Gödel: nella costruzione di una formula vera, ma non dimostrabile. Gödel dimostra sostanzialmente che G è dimostrabile se e solo se la sua negazione G è dimostrabile e quindi, assumendo la coerenza della teoria T N, possiamo concludere che 7

8 G non è dimostrabile. 11 Non possiamo quindi dire che dal Teorema di Incompletezza, che asserisce l esistenza di una formula non dimostrabile, segua la coerenza di T N. Tale proprietà viene infatti usata nella dimostrazione stessa. Anzi, come vedremo più avanti, una conseguenza del Teorema di Incompletezza è che T N non è in grado di dimostrare la propria coerenza. Quando una teoria assiomatica non è in grado di dimostrare una formula vera nelle strutture che vogliamo descrivere con tale teoria, la cosa più naturale è aggiungere quella formula, o una formula equivalente, agli assiomi. Per esempio, se volessimo descrivere la struttura dei Numeri Reali con la teoria dei Campi Ordinati, ci accorgeremmo presto che la mancanza di lacune non è dimostrabile in tale teoria (perché i Razionali ne sono un modello) e quindi aggiungiamo l Assioma di Completezza. Si potrebbe pensare di fare qualcosa di analogo anche con la formula G, considerando la teoria T N ottenuta aggiungendo G agli assiomi di T N. Non è difficile però rendersi conto che la costruzione vista sopra potrebbe essere ripetuta. Ovviamente la relazione Dim risulterebbe diversa da quella costruita per T N, ma alla fine si arriverebbe comunque ad una formula G vera nella struttura N, ma non dimostrabile in T N. Dal Teorema di Incompletezza segue immediatamente un altro importante risultato. Supponiamo di considerare una teoria TN assumendo che i suoi assiomi siano tutte e solo le formule di L N vere nella struttura N. È chiaro che il Teorema di Incompletezza non si applica a tale teoria perché ogni formula vera in N è banalmente dimostrabile in TN essendone un assioma. La risposta a questa apparente contraddizione è banalmente che TN non è una teoria assiomatica, visto che la nostra fiducia nella teoria degli insieme ci porta a ritenere che TN sia coerente perché N, costruito per esempio in ZF, ne è un modello. Dire che TN non è una teoria assiomatica equivale a dire che non esiste un algoritmo che permetta di decidere se una arbitraria formula di L N sia un assioma di TN oppure no, o, come abbiamo osservato sopra, non esiste una funzione ricorsiva da N in {0, 1} che vale 1 su tutti e soli i numeri di Gödel di assiomi di TN. Ma per come è stata definita questa teoria, ciò significa che l insieme delle formule vere nella struttura dei Numeri Naturali non è decidibile. Coerenza di T N L ultima conseguenza del Teorema di Incompletezza che consideriamo in questa nota riguarda la coerenza della teoria assiomatica T N. L osservazione che la struttura N sia un modello di questa teoria non porta molto avanti, perché sposta solo il problema dalla coerenza di T N alla coerenza della teoria (per esempio la teoria degli insiemi) in cui la struttura N viene definita. La sfida lanciata da Hilbert riguardava la dimostrazione della coerenza dell aritmetica internamente all aritmetica stessa, cioè esclusivamente con i mezzi forniti dall aritmetica, senza ricorrere ad altre teorie. Per quanto visto nel paragrafo precedente, sappiamo già come esprimere la coerenza di T N nel linguaggio L N. Abbiamo visto che tramite l assegnazione dei numeri di Gödel a formule 11 Nella dimostrazione originale Gödel usa in effetti la nozione di ω-coerenza che non è il caso di approfondire in questa nota. 8

9 e a dimostrazioni è possibile costruire la relazione ricorsiva Dim che risulta verificata da tutte e sole le coppie m, n tali che n è il numero di Gödel di una formula e m è il numero di Gödel di una sua dimostrazione. Abbiamo inoltre osservato che esiste una proprietà ricorsiva Fm verificata da tutti e soli i numeri di Gödel di formule. Per il Teorema 2 sappiamo infine che esistono le formule Dim e Fm per le quali vale (4) con con Dim e Fm rispettivamente al posto di R. Consideriamo la formula: C def = x 1 (Fm(x 1 ) x 2 ( Dim(x 2, x 1 ))) (10) La formula C può essere letta come: esiste un numero x 1 che è il numero di Gödel di una formula e tale che nessun numero x 2 è il numero di Gödel di una dimostrazione della formula con numero x 1. In altri termini, C afferma che esiste una formula di L N non dimostrabile in T N. Ma sappiamo che una teoria è coerente se e solo se esiste una formula non dimostrabile, e quindi C esprime proprio la coerenza di T N. Successivamente Gödel dimostra che C G è teorema di T N, e ciò avviene proprio ripercorrendo in T N il ragionamento visto sopra che porta al Teorema di Incompletezza: se T N è coerente, allora G non è dimostrabile (si ricordi che G afferma la propria indimostrabilità). A questo punto basta un applicazione del Modus Ponens per arrivare alla conclusione: se C fosse dimostrabile, allora, dato che C G lo è, anche G sarebbe dimostrabile. Possiamo dunque concludere che T N non può dimostrare la propria coerenza. Per concludere, possiamo chiederci a quali teorie si possano applicare i risultati visti nella nota. A rigore, si potrebbe osservare che i risultati sono solo stati dimostrati per una ben precisa teoria assiomatica, che è quella considerata in (Mendelson, 1981). Da un analisi delle dimostrazioni tuttavia è immediatamente evidente che il punto cruciale è il Teorema 1, e che quindi i risultati valgono per ogni teoria assiomatica per cui tale teorema sia dimostrabile. Un analisi più approfondita porta alla conclusione che sono tali le teorie in grado di dimostrare le proprietà delle funzioni somma, prodotto e successore. Riferimenti bibliografici Mendelson, E. (1981). Introduzione alla Logica Matematica. Boringhieri. Nagel, E. and Newman, J. (1974). La prova di Gödel. Boringhieri. 9