Alcune Tracce dei Precedenti Esami del Dottorato di Siena in Logica Matematica ed Informatica Teorica

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1 Alcune Tracce dei Precedenti Esami del Dottorato di Siena in Logica Matematica ed Informatica Teorica Raccolti e curati da Luca Spada Indice 1 Temi Logica Matematica Informatica Teorica Misti Esercizi Teoria della Calcolabilità Risoluzione Grammatiche e automi Logica Proposizionale Teoria dei Modelli Algoritmi Vari Temi 1.1 Logica Matematica Scelto un linguaggio (o logico o di programmazione), discutere, in generale e relativamente al linguaggio scelto, i concetti di sintassi e semantica ed i rapporti tra questi Il teorema di compattezza e sue conseguenze. Categoricità in teoria dei modelli Il problema della soddisfacibilità nella logica preposizionale o nella logica dei predicati del primo ordine. Si discutano alcuni aspetti significativi della teoria dei numeri cardinali infiniti con particolare attenzione al ruolo svolto dall assioma della scelta Si discutano i concetti di teoria completa, categorica, decidibile e indecidibile, illustrando le eventuali relazioni tra queste nozioni, e fornendo qualche esempio significativo. Limiti delle capacità espressive dei linguaggi dal punto di vista dei modelli 1

2 Tematiche costruttivistiche nel problema dei fondamenti Il concetto di continuo nei fondamenti della matematica Il rapporto tra sintassi e semantica in Logica Si discutano i teoremi di completezza e compattezza per il calcolo dei predicati dandone qualche applicazione significativa Il teorema di completezza Teoremi di incompletezza di Gödel il concetto di dimostrazione in logica matematica Sistemi di deduzione per il calcolo dei predicati e loro confronto problemi di complessità nella deduzione 1.2 Informatica Teorica La tesi di Church-Turing Il concetto di funzione calcolabile Principali definizioni di funzione calcolabile e loro equivalenze Il concetto di funzione effettivamente computabile e sue esplicitazioni formali. Discutere i concetti di induzione, ricorsione e iterazione, evidenziandone le differenze e le relazioni. Si discutano alcuni risultati significativi della teoria della complessità algoritmica con particolare riferimento alla classe NP. Problemi NP completi: definizione, proprietà ed alcuni esempi Si descriva un paradigma di programmazione evidenziandone vantaggi e svantaggi. Programmazione orientata ad oggetti. Programmazione funzionale. Programmazione logica. Confronto fra paradigmi di programmazione. Approfondimento di una/alcune problematica/che di particolare interesse in uno dei paradigmi descritti. Si illustrino alcuni aspetti significativi della teoria dei linguaggi formali e delle grammatiche generative. Il ruolo della strutture di dati nella progettazione degli algoritmi Semantiche di linguaggi di programmazione Linguaggi di programmazione basati sui paradigmi logici La tecnica del divide et impera tipi astratti di dati: specifica e realizzazione 2

3 1.3 Misti Il candidato scelga un argomento di suo interesse in una delle seguenti aree: algoritmi e complessità teoria della dimostrazione teoria degli insiemi semantica linguaggi di programmazione formalismi per la calcolabilità Il candidato scelga un argomento in un area di interesse fondamentale della logica matematica o dell informatica teorica. Ne discuta la rilevanza (anche rispetto ad eventuali applicazioni o ricadute su altre aree), i risultati più interessanti e le possibili prospettive di ricerca. Logica e complessità in informatica teorica Il ruolo della teoria della complessità in Logica e Informatica Il ruolo della logica nei fondamenti della matematica ed informatica 2 Esercizi 2.1 Teoria della Calcolabilità Esercizio 1 Fornire un esempio di un problema indecidibile e dimostrarne l indecidibilità. Esercizio 2 Sia φ 0, φ 1,... una enumerazione effettiva delle funzioni parziali ricorsive. Dimostrare che {i range(φ i ) contiene almeno un numero pari} è un insieme ricorsivamente enumerabile. Esercizio 3 Descrivere una macchina di Turing, sull alfabeto {b, 0, 1} che accetta tutte e sole le parole (in 0, 1) in cui il numero degli 1 è maggiore o uguale del doppio del numero degli 0. Esercizio 4 Descrivere un automa che riconosca il linguaggio L = (01) (0(10) ). Esercizio 5 Descrivere una macchina di Turing, sull alfabeto {b, 0, 1} che ricevendo come input una qualunque parola (in 0, 1) restituisca la parola rovesciata. Esercizio 6 Si fissi una biiezione effettiva n M n tra numeri naturali e macchine di Turing sull alfabeto {1}. Si provi che l insieme dei naturali {n M n converge sull input 1} è ricorsivamente enumerabile ma non ricorsivo. Esercizio 7 Dimostrare l indecidibilità del problema dell arresto per le macchine di Turing. 3

4 2.2 Risoluzione Esercizio 8 Sia Γ = { x y(r(x, y) R(y, x)), x y(r(x, y) R(y, x))} dove R è un simbolo predicativo binario. Dimostrare che Γ xr(x, y). Sono xr(x, x) e x(r(x, y) R(y, x)) conseguenze logiche di Γ? Ha Γ modelli finiti? 2.3 Grammatiche e automi Esercizio 9 Dare un esempio di un linguaggio generato da una grammatica context-free ma che non sia regolare; costruirne la grammatica ed argomentare la risposta. Esercizio 10 Sia A = {0, 1}. Dire se l insieme delle parole su A che contengono un numero pari di 0 è regolare. Esercizio 11 Sia A = {0, 1} dire se l insieme delle parole su A che se non contengono due 0 allora contengono tre 1 è regolare. Esercizio 12 Costruire due grammatiche non ambigue che generino i linguaggi L 1 = {a k b n c n n, k > 0} L 2 = {a n b n c k n, k > 0}. Costruire una grammatica che generi l unione di L 1 e L 2 e dimostrare che è ambigua. Spiegare intuitivamente perché l unione è inerentemente ambigua (ovvero che non può essere generata da grammatiche non ambigue). Dimostrare che l intersezione di L 1 e L 2 non è un linguaggio context-free. Esercizio 13 Si dia una grammatica che generi tutte e sole le stringhe di simboli della forma a 2n b m c k con n + m = k. 2.4 Logica Proposizionale Esercizio 14 Sia A una formula del linguaggio preposizionale in cui compaiono solo le variabili p, q e B una formula ottenuta da A sostituendo ogni occorrenza di p con p p. Dimostrare o confutare le seguenti asserzioni: se B è una tautologia allora A è una tautologia. se B è una tautologia allora A non è una contraddizione. se A è una tautologia allora B è una tautologia. se B non è una contraddizione allora B non è una contraddizione Esercizio 15 Fornire un esempio di un insieme minimale di connettivi proposizionali che sia adeguato a generare tutti i connettivi del calcolo proposizionale classico. Argomentare la risposta. Esercizio 16 Mostrare o confutare le seguente asserzione: nessuna formula proposizionale in cui oltre le variabili proposizionali occorrono solo i connettivi ed è una tautologia. Esercizio 17 Dare un esempio di un insieme minimale di connettivi proposizionali che sia sufficiente a generare tutti i connettivi del calcolo proposizionale classico. Argomentare a risposta. 4

5 2.5 Teoria dei Modelli Esercizio 18 Si consideri un linguaggio del primo ordine numerabile L. Una teoria in L consistente si dice essenzialmente indecidibile se ogni sua estensione in L consistente è indecidibile. Mostrare che una teoria consistente non è essenzialmente indecidibile se e solo se ha un modello la cui teoria è decidibile. Esercizio 19 Sia L un linguaggio del primo ordine. Mostrare che non esiste alcun enunciato di L vero in tutti e soli i modelli finiti di L. Esercizio 20 Mostrare che la teoria dell Aritmetica di Peano al 1 ordine ha un numero non numerabile di modelli numerabili a due a due non isomorfi. Esercizio 21 Sia L = {+,,,, 0, 1} il linguaggio per i campi ordinati. E noto che la teoria dei campi ordinati è assiomatizzabile al primo ordine in L. E noto che il campo reale R è l unico campo ordinato in cui: ogni elemento positivo è un quadrato, ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice, ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha un minimo inferiore. Si provi che le prime due si possono esprimere con un insieme di enunciati del primo ordine in L, ma l ultima no.(facoltativo: la terza si può esprimere con un enunciato nella logica del 2 ordine. Mostrarlo.) Esercizio 22 Sia φ un enunciato del 1 ordine del linguaggio della teoria dei campi. Si supponga che per ogni primo p ci sia un campo di caratteristica prima q > p che soddisfa φ. Si dimostri che ci sono campi di caratteristica 0 che soddisfano φ. Se ne deduca che la teoria dei campi di caratteristica 0 non è finitamente assiomatizzabile. Esercizio 23 Sia Z/2Z il gruppo additivo degli interi modulo 2, considerata come struttura nel linguaggio predicativo del 1 ordine comprendente il solo simbolo di funzione + (oltre al simbolo di =). Si trovi una formula vera in Z/2Z e tale che ogni altra struttura che la verifica è isomorfa a Z/2Z. Esercizio 24 Si dimostri che ogni ordine parziale finito è estendibile ad un ordine totale. Si generalizzi ad ordini parziali infiniti (Suggerimento: si può usare il teorema di compattezza per il calcolo dei predicati). 2.6 Algoritmi Esercizio 25 Un array N-dimensinale A è un heap se, per ogni i con 2 i A, A[ i 2 ] A[i]. Scrivere il codice (in un linguaggio imperativo a scelta) che trasforma un vettore N-dimensionale dato A in un heap. Esercizio 26 Si consideri il problema di dare un resto di n lire con il minor numero possibile di monete del valore di 81, 27, 9, 3. Si descriva un algoritmo greedy che risolva il problema, dimostrando che l algoritmo trova una soluzione ottima. Si fornisca poi un insieme di monete per cui l algoritmo non restituisce la soluzione ottima. 5

6 Esercizio 27 Data la successione X = {R 1,..., R n } di rettangoli, rappresentati da coppie di numeri naturali R i = (a i, b i ) (altezza, larghezza), si dia un algoritmo efficiente per la determinare la successione di tutti i rettangoli massimali di X, dove per rettangolo massimale si intende un rettangolo R i = (a i, b i ) tale che per nessun altro rettangolo R j = (a j, b j ) si abbia a i a j e b i b j. Si determini la complessità dell algoritmo in funzione di n. Si può assumere che il confronto tra due numeri naturali avvenga in tempo unitario. 2.7 Vari Esercizio 28 Sia R una relazione binaria su A. Stabilire eventuali rapporti di implicazione o di equivalenza tra i seguenti asserti: R è simmetrica; < A, R > < A, R 1 >; l identità è un isomorfismo tra < A, R > e < A, R 1 >. Esercizio 29 Sia B l algebra di Boole contenuta nell insieme delle parti di [0, 1) generata dagli intervalli chiusi-aperti [a, b) inclusi in [0, 1). Sia A = { {[a i, b i ) i < n} : a i, b i Q [0, 1), n N} Dire se A è sostegno di una algebra di B e se sì dire se contiene atomi e se è completa. Esercizio 30 Una funzione f : R R si dica continua a tratti se esistono a 0 < a 1 <... < a n in R tali che f sia continua in ciascuno degli intervalli aperti (, a 0 ), (a 0, a 1 ),..., (a n, + ). Qual è la cardinalità dell insieme delle funzioni f : R R continue a tratti? Esercizio 31 Definire le regole associate a REPEAT I UNTIL E e WHILE E DO I nella semantica operazionale strutturale. 6