ELLISSI E PROBLEMI ISOPERIMETRICI
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- Lucia Quaranta
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1 ELLISSI E PROBLEMI ISOPERIMETRICI Testo del prolem Si dt un ellisse di semisse mggiore e semisse minore. Riuscite determinre un curv chius pin che i l stess lunghezz dell ellisse e che rcchiud un superficie l cui re superi quell dell ellisse di un quntità pri ( ) 2? Se sì, come? Soluzione Tglimo l ellisse in quttro prti seguendo esttmente i suoi ssi di simmetri, riltimo due di questi pezzi e poi ricomponimoli come in figur, in modo tle che i corrispondenti rchi formino un curv chius. Così fcendo, viene circondto un qudrto, il cui lto è lungo proprio. - Osservimo che quest costruzione è vlid non solo per l ellisse, m nche per un qulsisi curv chius che i lmeno due ssi di simmetri ortogonli tr loro, come d esempio per l curv qui sotto rppresentt. -
2 Come spesso succede in mtemtic, differenti possono essere i modi con cui risolvere un prolem e qui ne illustrimo un ltro: colleghimo ordintmente i vertici dell ellisse con quttro segmenti, determinndo così un romo, tglimo lungo questi segmenti, eliminimo il romo e posizionimo i quttro pezzi rimsti in modo che individuino un qudrto, il cui lto c coincid con quello del romo. c c L curv così ottenut rcchiude un superficie formt di quttro pezzetti di ellisse e dl qudrto di lto c. Il qudrto h re c 2, il romo 2, ed essendo c 2 = 2 + 2, l re dei due qudrilteri differisce per c 2 2 = = ( ) 2. Osservimo che, contrrimente ll costruzione precedente, in questo cso i 4 pezzi di ellisse differiscono di pezzi inizili per un isometri DIRETTA; e quindi, se relizzimo fisicmente l costruzione con crt e forici, non imo isogno di riltmenti. Che cos succede se quest costruzione (oppure quell precedentemente espost) viene effettut su un circonferenz?
3 Mtemtic coinvolt Prolemi isoperimetrici. Per prolemi isoperimetrici si intendono quei prolemi che coinvolgono un insieme di figure pine dello stesso perimetro, e che eventulmente hnno un ltr crtteristic in comune, tr le quli si cerc quell (o quelle) che soddisfi un cert proprietà. Il prolem isoperimetrico per eccellenz consiste nel trovre fr tutte le figure pine di ugul perimetro quell di re mssim. Il suo corrispondente nello spzio chiede di determinre fr tutti i solidi di ugule superficie quello di volume mssimo. L soluzione del primo prolem è il cerchio, quell del secondo l sfer. L cos può semrre ovvi: in fondo qundo gonfimo un scchetto, mn mno che l ri entr, l su superficie si f sempre più tond... M l dimostrzione non è fftto semplice, tutt ltro! e si è dovuto spettre il XIX secolo per verne un. Il prolem dule del prolem isoperimetrico chiede di determinre fr tutte le figure pine di ugule re quell di perimetro minimo e fr tutti i solidi di ugule volume quello di superficie minim. Anche in questo cso le soluzioni sono, rispettivmente, il cerchio e l sfer. In effetti si può dimostrre che il prolem isoperimetrico e il suo dule sono sostnzilmente equivlenti. Nel cso dell sfer, un ellissimo modello concreto del prolem è fornito d un semplice oll di spone. Dipinto eseguito in crilico dll pittrice Rossell Lur Consonni Inftti in condizione d equilirio un oll di spone rcchiude un determinto volume d ri in un involucro dell più piccol estensione possiile, e il ftto che così fcendo l form dell oll si sferic f proprio pensre che l sfer si l soluzione del prolem.
4 Commento Il prolem d cui simo prtiti mi pice perché l su soluzione può essere immgint nche fcendo riferimento d un modello concreto: sono sufficienti un po di crt e delle forici, nell fntsi o concretmente, per giungere in mnier piuttosto semplice ll soluzione. Inoltre, mi pice perché h dei risvolti storici interessnti. Avete risposto ll domnd finle l termine dell soluzione? Sicurmente vi srete ccorti che le due costruzioni cdono in difetto nel cso dell circonferenz e questo corrisponde proprio l ftto che il cerchio rppresent l soluzione del prolem isoperimetrico (ovvero l figur che rcchiude l mssim re prità di perimetro). Jco Steiner ( ), grnde mtemtico che mv principlmente i metodi dell geometri sintetic, pulicò 5 diverse dimostrzioni dell proprietà isoperimetric del cerchio, un delle quli si sv proprio sull second costruzione che imo qui descritto (e sul ftto che quest fllisce per l circonferenz). Se cercte sui liri o sui siti internet che si occupno di tle questione, potete trovre scritto che tli dimostrzioni furono incomplete, o nche sglite, e su questo ftto ci sono stte in pssto vivci polemiche tr geometri e nlisti. Il punto per cui le dimostrzioni di Steiner sono incomplete è l questione dell esistenz (di un curv che relizzi l proprietà isoperimetric); le dimostrzioni sintetiche di Steiner provno che, dndo per uon quest esistenz, tle curv è necessrimente un cerchio. E, senz entrre nell polemic se questo si stto un errore voluto o meno, possimo in ogni cso dire che si è trttto di un errore prezioso perché permette di mettere in rislto l ellezz dell rgomentzione sintetic (vedi dossier sull errore, sul n. 19 di XlTngente). Tlvolt inftti per voler dre un dimostrzione troppo giust, si rischi, con un eccesso di dettgli, di distogliere l ttenzione d ciò che è essenzile, nscondendo l ide fondmentle che è ll se dell dimostrzione. E quest è un questione cui doimo prestre prticolre ttenzione in qunto insegnnti! In tl senso può essere interessnte presentre questo prolem e i suoi ddentellti studenti che si stnno occupndo dei prolemi di mssimo e di minimo. In reltà, mio prere, il prolem si potree proporre nche in clssi del iennio dell scuol superiore; se ci preoccup il ftto di introdurre i termini di ellisse e di semissi, si può osservre che
5 l prim costruzione us soltnto le crtteristiche di simmetri dell ellisse, sicché si può nche in prim ttut fre riferimento soltnto un figur con lo stesso tipo di simmetri. Tr l ltro, se qulche rgzzo giungesse ll second risoluzione d noi espost, ci sree un ell ggncio nche con l lger e i suoi fmigerti prodotti notevoli! Divgzioni sul tem... Testo del prolem. Fr tutti i tringoli di ugule perimetro e di se ssegnt, qul è quello di re mssim? Commenti. I tringoli in questione hnno tutti l stess se (AB), quindi essi vrino l vrire del terzo vertice C e, dl momento che l somm delle lunghezze degli ltri due lti è costnte (k), C vri lungo un ellisse che h per fuochi i punti A e B, estremi dell se, e sse mggiore di lunghezz k. (Vedi nimzione Fissimo il filo ll pgin ) Ancor un volt un ellisse! Quest volt però un po nscost. Spreste proseguire fino d rrivre ll soluzione del prolem? Un figur potree iutre... C A B Potete trovre tnti ltri prolemi isoperimetrici l seguente indirizzo: Biliogrfi Il prolem inizile è stto trtto dl volume: H. Steinhus, Cento prolemi di mtemtic elementre, cur di Frnco Conti, Boringhieri, Torino, 1987 Altri liri e rticoli consultti: C. Boyer, Stori dell mtemtic, Mondtori, Milno, 1990 R. Cournt H. Roins, Che cos è l mtemtic?, Boringhieri, Torino, 1971 Modesto Dedò, Il rigore nell insegnmento preuniversitrio, L insegnmento dell mtemtic e delle scienze integrte, Vol. 16, n. 5-6, mggio - giugno 1993
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