1 Esercizi di Matlab. L operatore : permette di estrarre sottomatrici da una matrice assegnata. Vediamo alcuni esempi.

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1 Esercizi di Matlab L operatore : permette di estrarre sottomatrici da una matrice assegnata. Vediamo alcuni esempi. Esempio Consideriamo la matrice A formata da n = righe e m = colonne M = Il comando Matlab C = A(:, ) estrae dalla matrice A la prima colonna (che è un vettore di tre righe) e la assegna al vettore C: >> A= [ ; ; 9 0 ] A = >> C = A(:,) C = >> 5 9 Osserviamo che il Matlab ha automaticamente creato il vettore C delle dimensioni corrette, ossia un vettore colonna formato da righe dato che n =. Allo stesso modo, per estrarre la colonna basta scrivere A(:, ). Per estrarre la riga di A ed assegnarla alla variabile R scriviamo, invece, A(, :): >> R = A(,:) R = >> Allo stesso modo, per estrarre la riga scriviamo A(, :). Anche in questo caso il Matlab si preoccupa di creare il vettore C delle dimensioni opportune ossia una riga e colonne (dato che m = ).

2 Il comando Matlab A(:, : ) estrae dalla matrice A le colonne i cui indici sono espressi da : (ossia, gli indici,, ): >> C = A(:,:) C = Per estrarre colonne non adiacenti è sufficiente specificare gli indici delle colonne da estrarre in un vettore. Ad esempio, l istruzione A(:, [ ]) estrae da A la sottomatrice i cui indici di colonna sono specificati nel vettore [ ] ossia estre le colonne, e : >> C = A(:, [ ]) C = L uso delle parentesi quadre è essenziale perché definisce il vettore degli indici delle colonne da estrarre. Nel caso in esame si sarebbe potuto anche scrivere A(:, [ : ]). In questo caso, il Matlab crea il vettore :, ossia [ ], e lo concatena al successivo vettore formato, in questo caso, dal solo elemento [ ] per creare il vettore finale degli indici delle colonne da estrarre. Dunque, si ottiene ancora il vettore [ ]. L ordine degli indici nel vettore è importante; ad esempio, A(:, [ ]) dà come risultato >> C = A(:, [ ]) C = La colonna è la prima colonna della matrice estratta perché il numero è il primo indice del vettore degli indici. Quindi, seguono le colonne e perché sono i successivi de indici specificati nel vettore [ ]. Le righe vengono estratte in modo perfettamente analogo. Ad esempio, la sottomatrice formata dalle righe e della matrice A si ottiene specificando in un vettore gli indici di queste righe come [ ] ed utilizzando l istruzione A([ ], :) >> A([ ],:) ans = 9 0

3 Anche in questo caso, l ordine degli indici nel vettore è importante. L istruzione A([ ], :) crea una matrice di righe e colonne formata dalla riga di A seguita dalla riga: >> A([ ],:) ans = 9 0 Si possono specificare sia gli indici di riga che di colonna. Ad esempio, abbiamo A([ ], [ ]) crea la matrice seguente [ ] [ ] a a a 0 9 = a a a >> A([ ],[ ]) ans = 0 9 Esercizio Scrivere l istruzione Matlab che permette di creare la sottomatrice formata dalla colonna seguita dalla e poi dalla quarta della matrice A dell esempio. Basta scrivere A(:, [ ]): >> C = A(:, [ ]) C = Esercizio Consideriamo la matrice A formata da n = righe e m = 6 colonne. 5 6 M = (i) Costruire la matrice B formata dalle colonne di A disposte in ordine inverso (ossia, la colonna di B è la 6 di A, la di B è la 5 di A e così via). (ii) Costruire la matrice formata dalle sole colonne pari di A. (iii) Costruire la matrice A formata dalle sole righe dispari di A. (iv) Costruire la matrice formata dalle righe,, e dalle colonne 5,. (v) Costruire il vettore formato dagli elementi diagonali a kk, k =,, n

4 Il seguente codice, scritto in file Matlab chiamato es risolve l esercizio % definisco la matrice A A= [ ] % domanda (i) B=A(:,6:-:) % domanda (ii) B=A(:,::6) % domanda (iii) B=A(::,:) % domanda (iv) B = A([ ],[5 ]) % domanda (v) B = diag(a) Il risultato prodotto è il seguente: >> es_ A = B = B =

5 B = B = B = 6 8 >> Esercizio Disegnare in una figure Matlab il poligono di vertici V j = [x j, y j ] T, j =,, n. I vertici sono contenuti nella matrice di righe e k colonne vtx che contiene nella colonna j-esima il vertice V j : [ ] x x x j x n. y y y j y n Osserviamo che l istruzione plot(vtx(,:),vtx(,:), k ) congiunge il vertice V j col vertice V j+ mediante un segmento di retta di colore nero (opzione k ). Pertanto, basta far si che il vertice V n venga congiunta al vertice V aggiungendo in coda al vettore delle ascisse dei punti ed al vettore delle corrispondenti ordinate l ascissa e l ordinata del primo vertice. Due possibili codici sono i seguenti. xvtx = [vtx(,:) vtx(,)] % ascisse dei vertici V, V,..., Vn, V yvtx = [vtx(,:) vtx(,)] % ordinate dei vertici V, V,..., Vn, V plot(xvtx,yvtx, k ) % disegno il poligono vtx = [vtx vtx(:,)]% accodo il primo vertice ai precedenti plot(vtx(,:),vtx(,:), k ) % disegno il poligono Esercizio I termini di una successione sono calcolati iterativamente mediante la relazione x n+ = y n z n y n+ = y n z n+ = x n + y n z n a partire dai valori inziali x =, y =, z =. 5

6 (i) Posto W n = x n y n z n, n =,,, esprimere in forma matriciale il legame tra W n+ e W n. (ii) Scrivere l algoritmo per calcolare e memorizzare in una matrice W di tre righe e due colonne i primi 0 vettori W n. La colonna j-esima di questa matrice contiene il vettore W j, j =,,, 0. (i) Osserviamo che per le usuali operazioni tra matrici si può scrivere x n+ y n+ = x n y n z n+ z n da cui segue W n+ = M W n dove M = e W = x y z che rappresenta la relazione cercata. (ii) Si tratta di un procedimento iterativo che può essere eseguito mediante l algoritmo = W zeros(n, 0) % W è una matrice di zeri W (:, ) W % la prima colonna di W contiene W for n=:0 W n M W % W n+ = M W n W (:, n) W n % memorizzo Wn nella n-esima colonna della matrice W W W n % W n+ diventa il nuovo punto di partenza per calcolare W n+ end L esercizio mostra una caratteristica importante della programmazione in Matlab: i problemi vanno formulati in termini matriciali. Esercizio 5 Scrivere un programma Matlab che effettua la somma di tutti i numeri memorizzati nel vettore V che occupano le posizioni pari (ossia, calcolare V ()+V ()+V (6)+ ). Ripetere il codice per effettuare la somma di tutti i numeri in posizione dispari. E sufficiente scrivere sum(v(::end)). Per il secondo caso, sum(v(::end)). Questi sono due esempi di istruzioni vettoriali (provarle in Matlab con vari esempi di V!! Studiare la function sum con il comando doc sum). Esercizio 6 Calcolare il prodotto di tutti gli elementi di una matrice A. E sufficiente scrivere prod(a(:)). Verificare, con degli esempi Matlab, l effetto dell istruzione A(:) e studiare la function prod con doc prod. E vero che prod(a(:)) = prod(prod(a))? Ad esempio, si ha >> A=[ ; 5 6] A = 6

7 >> A(:) ans = >> Esercizio 7 Calcolare il prodotto di tutti gli elementi di una matrice A che hanno indice di colonna pari. Ad esempio, per la matrice si deve ottenere E sufficiente scrivere prod(prod(a(:,::end))). Esercizio 8 Si devono valutare le equazioni { f (x, x, x, x ) = x + x x + x nell insieme di punti f (x, x, x, x ) = x x + x 5x P n = = Fornire un codice Matlab idoneo allo scopo. E sufficiente osservare che si può scrivere [ f (x, x, x, x ) f (x, x, x, x ) P = ] [ = n n n + n, n =,, 5 5 ] e che i punti possono essere scritti tutti insieme in una matrice come x () x () x () x () x () x () x () x () 7. x x x x

8 Pertanto, risulta subito n = 5; M = [ ] P = :n; % prima riga di P P = [P; -P; P+ ; P-] F = M*P che produce il risultato M = P = F = Esercizio 9 Modificare il codice Matlab precedente per valutare le stesse funzioni sull insieme di punti n P n = = n log(n) +, n =,, 5. sin(n ) Esercizio 0 Si consideri il vettore di interi V = [ ] Scrivere un codice Matlab (basta una linea...) per determinare quanti sono i numeri maggiori di zero. Quali sono questi elementi? In quale posizione si trovano nel vettore V? (Suggerimento: utilizzare e studiare la funzione Matlab find) Abbiamo V = [ ] length(find(v>0)) % numero di elementi e... V(find(V>0)) %... gli elementi e... find(v>0) %... le loro posizioni 8

9 Esercizio Sia V un vettore di numeri interi. Determinare quanti sono i numeri maggiori di oppure inferiori di -. (Suggerimento: vedere gli operatori logici con help >) E sufficiente scrivere length(find(v> V<-)). 9