A = Quindi > b=a(:) b =

Transcript

1 Una breve digressione. Se si vuole uscire da Matlab, occorre digitare ( come già riferito)il comando >> quit Se si vogliono utilizzare le variabili create per una successiva sessione di lavoro, prima di digitare tale comando conviene far eseguire il comando >> save Il Matlab salva nel file matlab.mat tutte le variabile create. Oppure si può digitare >> save nome cioè scrivere dopo save un nome qualsiasi. Le variabili saranno salvate nel file nome.mat. Nella successiva sessione di lavoro le variabili possono essere recuperate con il comando >>load, se le variabili si trovano nel file matlab.mat, o con il comando >>load nome, se è stato creato un file nome.mat contenente variabili. Se si vuole si possono creare vari file contenenti variabili, digitando dopo >>save nome. un elenco di variabili separate da uno spazio ( o semplicemente ) >>save. con l elenco se le si vogliono conservare in matlab.mat). Le variabili di questi file si possono recuperare ogni volta che lo si desidera, ma si può anche eliminare uno di questi file col comando >>delete nome.mat. Incolonnamento e trasposta di una matrice. Matrice vuota. Come già riferito se racchiudiamo tra parentesi la digitazione che definisce la matrice e concludiamo con l apice vuol dire che la variabile contiene il trasposto della matrice. Se dopo il segno = si trova una variabile contenente una matrice Invece il simbolo (:) ( una parentesi tonda aperta, :, una parentesi tonda chiusa) sta a significare che vogliamo incolonnare la matrice, cioè formare un vettore colonna prendendo nell ordine tutte le colonne della matrice. Per esempio, formiamo la matrice >> A=[:;:2] 2 2 Quindi > b=a(:) b = 2

2 2 Per formare il trasposto di un vettore riga, cioè trasformarlo in vettore colonna, possiamo, indifferentemente, o usare il simbolo di trasposto, oppure il simbolo di incolonnamento (:). Il risultato è sempre lo stesso. Ma, l operazione di incolonnamento di un vettore ( riga o colonna che sia) produce sempre un vettore colonna. Infatti se il vettore in questione è un vettore colonna si ottiene lo stesso vettore, altrimenti viene trasformato in vettore colonna. Naturalmente questo operatore di incolonnamento può applicarsi a matrici logiche e matrici carattere Infine per la programmazione in ambiente Matlab, può essere utile, per inizializzare, la nozione di matrice vuota, cioè priva di elementi. Se vogliamo, ad esempio, che la matrice mv sia vuota, basta il comando >>mv=[] Sullo schermo appare mv = [] Questa è una matrice con zero righe e zero colonne. Ma, in ambiente Matlab possono nascere matrici vuote, con zero righe è più colonne e viceversa, come abbiamo già visto Matrici estratte Abbiamo visto che si accede agli elementi di una matrice usando il doppio indice. Si accede agli elementi di un vettore usando un solo indice. Per esempio, cominciamo coll aggiornare A aggiungendovi una riga >>A=[A;:] Poi aggiorniamola ancora facendola precedere da un vettore colonna >> A=[[ - ]' A] Quindi modifichiamo l elemento (2,) ( che è ) >> A(2,)=(A(,)-b())*A(2,)-

3 Da notare che abbiamo anche utilizzato il vecchio A(2,) e che abbiamo usato l indice per la settima componente di b. Il risultato riguarda l intera matrice. Modifichiamo ( aggiornandolo) il vettore b >> b(2) = b()-a(,) b = Il solo indice si usa anche per vettori riga. Ma, volendo, si può usare il doppio indice anche per vettori, sapendo che sono matrici a una colonna e più righe o a una riga e più colonne >> c=b';x=b(,);y=c(,); Ma è meglio >> x =b(),>> y=c(), ecc. Se si usa un indice che non definisce elementi viene commesso errore, perché l indice eccede la dimensione della matrice. Per esempio invocare b(2) dà errore. Invece se l elemento con indice fuori dal range è in variabile, viene ampliata la matrice o il vettore aggiungendo opportuni zero. Per esempio >> b(2) = b = - 2

4 2 Oppure >> A(,2)=A(,) Oppure >> T(2,2)= T = Cosa succede se la coppia di indici è tale che ogni indice è un vettore ( riga o colonna)? Per esempio >> i=[ 2 ];j=[ ]'; >> B=A(i,j) B = Viene presa la matrice estratta da A selezionando prima seconda e quarta riga, terza quinta e undicesima colonna In sostanza della riga uno si prendonoa(,), A(,) e A(,), della riga 2 si prendono A(2,),A(2,) e A(2,), della riga si prendono A(,), A(,), A(,), o ragionando per colonne. Ma non necessariamente gli indici in ordine crescente! >> Z=A([ ],i) Z =

5 Se si vogliono selezionare tutte le righe si mette come primo indice :, e se si vogliono selezionare tutte le colonne si mette come secondo indice :. > W=A(:,[ ]) W = 2 Oppure >> M=A(:,:) M = Si puà anche selezionare una sola riga, una sola colonna, ecc. Ma anche due o più volte la stessa riga o colonna. La chiave end La chiave end si usa se si vuole arrivare alla fine senza sapere quale essa sia. Per esempio A(end,end) è l ultimo elemento di riga e colonna, oppure >> v=b(::end) v = Prende gli elementi,, di b e sa quando fermarsi Vogliamo scrivere un vettore da b ordinando dall ultimo al primo? >> bnuovo=b(end:-:) bnuovo = 2

6 2 - Aggiorniamo A permutando le righe > perm=[ 2];A=A(perm,:) Aggiornamenti a blocchi E possibile aggiornare una matrice ( o un vettore) aggiornando direttamente un blocco. Per esempio, se vogliamo cambiare di A il blocco formato dalle prime tre righe e dalle colonne, si puoò digitare >> A(:,:2:) =???. La matrice a secondo membro deve essere una matrice a tre righe e tre colonne, altrimenti viene segnalato errore. Ma abbiamo nel workspace una matrice siffatta. Allora, per esempio, >> A(:,:2:)=B Naturalmente non è necessario che gli indici sono in ordine crescente. Il programma fa l aggiornamento elemento per elemento >> camb=[x x y- A(,)]' camb = >> bnuovo(:-:)=camb bnuovo =

7 2 - Nell aggiornamento a blocchi, se le dimensioni non sono le stesse viene segnalato errore. Ma se il secondo membro è uno scalare il Matlab, assegna lo scalare ad ogni elemento. Per esempio >> B(:2,:2)= B = 2 Viene aggiornato con ogni elemento. Eliminazione di gruppi di righe e gruppi di colonne Si usa la matrice vuota []. Per esempio > camb()=[] camb = Elimina la quarta componente di camb. >> A(:,:2:end)=[] 2

8 elimina le colonne indicate W = 2 >> W([ ],:)=[] W = 2 elimina riga e di W Operazioni tra matrici Per la somma si usa il classico + e le dimensioni devono essere le stesse. Per il prodotto il numero delle righe della prima deve essere uguale al numero delle colonne della seconda. Se, però, una delle due matrici è uno scalare il programma capisce che deve moltiplicare lo scalare per ogni elemento della matrice. La moltiplicazione per -, si può semplificare facendo precedere la matrice da -. Per esempio A+(-)*B, sarebbe A-B. Se nella somma una delle matrici è uno scalare lo scalare si aggiunge ad ogni elemento della matrice. >> AA=A*A' A è una matrice quadrata di ordine >> A'*A ans = è una matrice quadrata di ordine. >> AA(:,:)*camb; ans = 2 è un vettore colonna a quattro componenti.

9 Esercizio Creare due matrici quadrate Q,Q2 di ordine tre e controllare che il prodotto Q*Q2 non è commutativo. Fare in modo che nessuna sia la matrice nulla o l identità. Se Q è il prodotto controllare coinvolgendo Q le varie proprietà associative, distributive rispetto alla somma, e le proprietà del trasposto di un prodotto. Controllare l eseguibilità del prodotto con scalari. Operazioni elemento per elemento. Esistono tra matrici le operazioni elemento per elemento ottenibili facendo precedere l operatore * e /dal punto. Per esempio > mat=[2 ;- ;2 ] mat = 2-2 >> mat2=[ ; -;2 ] mat2 = - 2 Allora >> mat=mat.*mat2 mat = 2 - esegue il prodotto tra gli elementi corrispondenti. In modo analogo >> mat./mat2 ans = Inf Da notare le divisioni per zero. Per quanto riguarda l intervento di uno scalare, questo viene diviso per tutti gli elementi >> 2./mat ans = Inf Inf...

10 Esercizio Mostrare con degli esempi che il trasposto del prodotto elemento per elemento è il prodotto elemento per elemento delle matrici trasposte.