Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni."

Transcript

1 Politecnico di Torino. Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Sottospazi. Generatori. Confrontando sottospazi: intersezione. Somma e somma diretta. Complemento e sottospazi complementari. Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali. Esercizi: 20dimensione Sottospazi Sia V uno spazio vettoriale e sia W V un sottoinsieme non vuoto di V. W e un sottospazio di V se e chiuso rispetto alle combinazioni lineari. Essere chiuso rispetto alle combinazioni lineari significa che per qualsiasi vettori v, v 2,, v n W qualsiasi combinazione lineare c v + c 2 v c n v n e un vettore di W. Criterio del sottospazio. Sia W V un sottoinsieme. Per sapere se W e un sottospazio di V basta verificare: ) che il vettore nullo 0 di V appartenga a W; 2) che se due vettori v, w appartengono a W allora la loro somma v + w appartenga a W; 3) che se il vettore v appartiene a W allora qualsiasi moltiplo r v appartiene a W. Nota Uno spazio vettoriale e sempre sottospazio di se stesso. Inoltre, l insieme { 0 } e sempre un sottospazio di V e si chiama sottospazio banale ed e l unico sottospazio di dimensione zero. Esempio.. I sottospazi di R 2 di dimensione sono le rette passante per l origene. I sottospazio di R 3 di dimensione 2 sono i piani passanti per l origene. Invece una retta Sottospazi Vettoriali Geometria

2 . Generatori o equazioni? Politecnico di Torino. di R 3 che passa per l origene e un sottospazio di dimensione. Una retta di R 2 o R 3 che non passa per l origene non e un sottospazio. Esercizio.2. Fare il disegno del sottospazio che contiene il vettore (, ) nel piano R 2. Esercizio.3. Fare il disegno approssimato del sottospazio di dimensione che contiene il vettore (,, ) nello spazio R 3. Quanti sottospazi di R 3 di dimensione 2 contengono il vettore (,, )?. Generatori o equazioni? Siccome un sottospazio W e in particolare un sottoinsieme dello spazio vettoriale V ci sono due modi per determinare i suoi elementi: ) Esplicitamente mediante un sistema di generatori, cioe si danno esplicitamente k vettori w, w 2 w k e W e l insieme di tutte le loro combinanzioni lineari: W = {c w + c 2 w c k w k : c, c 2,, c k R} spesso si scrive L( w, w 2,, w k ) per il sottospazio generato da questi k vettori. Nota: Un sottospazio potrebbe essere definito come L( w,, w k ) in molti modi diversi. Esempio.4. Ecco un sottospazio definito in due modi diversi : uno usando 4 generatori e l altro con soltanto 2 generatori: L(,, 2, ) = L( 2, 3 ) ) Implicitamente mediante le equazioni che devono soddisfare i sui elementi. Ad esempio, i sottospazi W di R n spesso vengo definiti dando una matrice A R n,m dicendo che W e l insieme di tutte le soluzioni del sistema omogeneo AX = 0, cioe W = {X : AX = 0} = ker(a) Se un sottospazio W R n e definito dando le sue equazione allora per trovare un sistema di generatori bisogna risolvere il sistema AX = 0. Reciprocamente e anche possibile trovare l equazioni che definiscono un sottospazio L( w, w 2,, w k ) di R n. Ecco due esempi. Sottospazi Vettoriali 2 Geometria

3 . Generatori o equazioni? Politecnico di Torino. 5 Esempio.5. Sia W = L( 2, 0 ). Per trovare un sistema di equazioni che 3 2 defina W si osserva che una equazione omogenea ax + by + cz = 0 si puo interpretare x a come il prodotto scalare E X tra le colonna X = y e E = b. Dunque tutte z c le colonne E che pensate come equazioni valgono zero su i vettori di W soddisfano il sistema ( ) 2 3 E = L insieme soluzione e L( 7 ) e quindi W e definito implicitamente dalla equazione: 0 4x 7y + 0z = 0 Esempio.6. Il sottospazio L( ) di R4 e anche definito implicitamente dal sistema omogeneo MX = 0, cioe L( ) = ker(m), dove M e la matrice M = Esempio.7. Il sottospazio del esempio precedente si puo anche ricavare tramite la la matrice 0 0 N = cioe L( ) = ker(m) = ker(n) Sottospazi Vettoriali 3 Geometria

4 . Generatori o equazioni? Politecnico di Torino. Questi esempi fanno vedere che anche la definizione implicita di un sottospazio puo essere fatta di piu di un modo. Dunque un sottospazio W di R n normalmente se specifica dando una matrice A e indicando W = ker(a) oppure dando un matrice B e indicando che W = im(b) Se il sottospazio W se define mediante W = ker(a) in generale non e vero che W = im(a). Quello che e vero e che si puo trovare una matrice B tale che W = ker(a) = im(b). Infatti data A tale che W = ker(a) una matrice B si ottiene risolvendo il sistema AX = 0, cioe le colonne della matrice B devono essere un sistema di generatori di W. Invece se si conosce la matrice B tale che W = im(b) e possibile trovare una matrice A tale che W = ker(a) = im(b). Infatti una matrice A si ottiene risolvendo il sistema B X = 0, cioe le colonne di A devono essere un sistema di generatori di W = ker(b ). ( ) Esercizio.8. Sia W R 2 dato da W = ker. Trovare una matrice B tale 3 3 che W = im(b). Esercizio.9. Sia W R 3 dato da W = im che W = ker(a) Trovare una matrice A tale Osservazione: Se W = ker(a) = { 0 } R n allora come B si puo prendere la colonna nulla B = 0. Se invece W = im(b) = { 0 } allora come A si puo prendere la matrice identica, cioe W = ker() = { 0 }. In questo caso la matrice B e per forza la matrice nulla, poiche le sue colonne generano soltanto il vettore nullo e dunque sono tutte colonne nulle. Sottospazi Vettoriali 4 Geometria

5 Politecnico di Torino. 2 Confrontando sottospazi Dati due sottospazi W e W 2 di R n spesso e necessario rispondere a domande del tipo: Sono W e W 2 uguali? oppure e W contenuto in W 2?. Supponiamo che entrami W e W 2 sono dati usando generatori, cioe W = im(b ) W 2 = im(b 2 ). Calcolando il rango delle tre matrici B, B 2 e (B B 2 ) se determina se i sottospazi W e W 2 sono uguali, cioe W = W 2 se e soltanto se rango(b ) = rango(b 2 ) = rango(b B 2 ) dove (B B 2 ) e la matrice che si ottiene mettendo B 2 a destra della matrice B. Invece se soltanto sucede che rango(b ) = rango(b B 2 ) questo dice che W 2 e contenuto in W. Naturalmente se otteniamo che W e contenuto in W 2. rango(b 2 ) = rango(b B 2 ) La giustificazione di queste affermazione segue dal Teorema di Rouche- Capelli. ( ) 2 Esercizio 2.. Sia W = im 2 o W 2 W o W = W 2 o W W 2. Esercizio 2.2. Sia W = im ( 3 4 e sia W 2 = im Decidere se W W 2 o W 2 W o W = W 2 o W W 2. Il sottospazio intersezione W W 2 ). Decidere se W W 2 e sia W 2 = im puo essere utile per rispondere alle precedenti domande. Anzitutto, si nota che l intersezione e infatti un sottospazio di entrambi sottospazi W, W 2 e anche dello spazio vettoriale Sottospazi Vettoriali 5 Geometria

6 2. Somma e somma diretta Politecnico di Torino. V di cui W e W 2 sono sottospazi. Dunque confrontando dim(w W 2 ) con la dimensione dei sottospazi W, W 2 possiamo concludere se i sottospazio sono uguali o contenuti eventualmente uno in un altro. Ad esempio, se allora W 2 W. dim(w W 2 ) = dim(w 2 ) Se i sottospazi W e W 2 sono definiti come W = ker(a ) e W 2 = ker(a 3 ) allora : ( ) A W W 2 = ker dove A A 2 e la matrice ottenuta mettendo A 2 sotto di A. In parole povere, i vettori della interesezione W W 2 soddisfano contemporaneamente l equazioni di W e W 2. Nota: L intersezione W W 2 non e mai l insieme vuoto poiche il vettore nullo 0 appartiene ad entrambi sottospazi, cioe 0 W W 2. Puo capitare che 0 sia l unico vettore nella intersezione W W 2 in questo caso di dice che l interesezione e banale. Dunque l intersezione e banale se dim(w W 2 ) = 0. A 2 2. Somma e somma diretta La somma W + W 2 di due sottospazi e l insime ottenuto sommando tutti i vettori di W con tutti i vettori di W 2 : W + W 2 = { v + w : v W, w W 2 }. Si se sa che l intersezione W W 2 e banale allora si dice che la somma e somma diretta e si usa il simbolo W W 2 anziche W + W 2. Spesso si chiede o si ha bisogno di sapere se una somma e somma diretta. Dunque bisogna controllare se dim(w W 2 ) = 0. Ecco la Formula di Grassmann dim(w + W 2 ) = dim(w ) + dim(w 2 ) dim(w W 2 ) Sottospazi Vettoriali 6 Geometria

7 Politecnico di Torino. Esercizio 2.3. Calcolare dim(w + W 2 ) e dim(w W 2 ): ( ) ( ) (i) W = ker( ), W = ker (ii) W = im , W 2 = ker ( 2 3 ) (iii) W = im , W 2 = im Complemento e sottospazi complementari Due sottospazi W e W 2 dello spazio vettoriale V si dicono complementari se W W 2 = V. Si dice anche che W 2 e un complemento di W, che W e un complemento di W 2, che W 2 complementa W, ecc. Dunque due sottospazi W e W 2 sono complemetari se : ) Qualsiasi vettore v V si puo scrivere come v = w + w 2 con w W e w 2 W 2 2) w e w 2 sono unici. In parole povere, i vettori v di V hanno un pezzo w in W e un pezzo w 2 W 2 e questi pezzi sono unici.. Esempio 3.. Sia W = L((, )) il sottospazio di R 2 generato dal vettore (, ). Allora L(, 0) e un complemento di W. Ma anche L(, ) e un complemento di W. Cioe un sottospazio ha molti complementi. Se un sottospazio W R n e definito dai generatori, cioe come il sottospazio generato dalle colonne di una matrice A allora per trovare un complemento bisogna trovare una matrice B tale che : rango(a B) = rango(a) + rango(b) = n Una il sottospazio generato dalle colonne di B e dunque un complemento di W. Questa procedura e facile se la trasposta A e ridotta per righe. Sottospazi Vettoriali 7 Geometria

8 3. Piu di due sommandi Politecnico di Torino. Esempio 3.2. Sia W il sottospazio di R 5 generato dalle colonne di A = ( ) Siccome la trasposta A = e ridotta per righe basta completare A ad una matrice quadrata ridotta per righe: Dunque un complementare di W e il sottospazio L(e, e 4, e 5 ). generato dalle 3 colonne canoniche e, e 4, e 5. Osservare che anche il sottospazio L(e 3, e 4, e 5 ) complementa W. 3. Piu di due sommandi Se invece W, W 2, W 3 somma sono tre sottospazi dello spazio vettoriale V possiamo fare la W + W 2 + W 3 = { w V : w = w + w 2 + w 3 ; w i W i, i =, 2, 3} cioe un vettore della somma si sprime come somme di tre pezzi uno in ciascuno dei sottospazi W, W 2 e W 3. Esempio 3.3. Lo spazio R 3 e somma W +W 2 +W 3 dove W e l asse x, W 2 e l asse y e W 3 e l asse z. Il vettore v = (5, 3, ) e somma di tre vettori ciascuno in un asse: (5, 3, ) = (5, 0, 0) + (0, 3, 0) + (0, 0, ) Sottospazi Vettoriali 8 Geometria

9 Politecnico di Torino. La somma si puo anche fare con qualsiasi numero di sottospazi, cioe se W,, W n sono sottospazi di uno spazio vettoriale V allora la somma W + + W n e il sottospazio di V ottenuto sommando tutti i vettori dei W i tra di loro. Dunque se v W + + W n allora v e somma di vettori v i W i : v = v + + v n. Se il modo di scrivere v come somma di vettori in W i e unica, cioe se i pezzi v, v 2,, v n sono determinati unici allora si dice che la somma W + + W n e diretta e se usa il simbolo, cioe si scrive W W n. I pezzi v i che formano il vettore v si chiamano proiezioni del vettore v. Esempio 3.4. Siano W, W 2, W 3 i seguenti sottospazi di R 4 W = L(e, e 2 ) W 2 = L(e 3 ) W 3 = L(e 4 ) Allora R 4 = W W 2 W 3. Le proizioni del vettore v = (8, 7, 4, 3) sono v = (8, 7, 0, 0) v 2 = (0, 0, 4, 0) v 3 = (0, 0, 0, 3) 4 Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali Per i sottospazi W di R n c e sempre un complemento privilegiato: il complemento ortogonale W : W = {X R n : X Y = 0 Y W} dove le lettere X, Y indicano i vettori di R n come colonne e X Y e il loro prodotto scalare. Dunque un vettore X di R n appartiene ad W se e perpendicolare a tutti i vettori di W. La somma W + W e diretta, cioe R n = W W. Infatti, l unico vettore v nella intersezione W W e il vettore nullo poiche se v W W il vettore v e perpendicolare a se stesso e dunque v = 0. Spesso interessa trovare le proiezioni ortogonali Y, Y 2 di un vettore Y R n rispetto alla somma diretta R n = W W, cioe dato Y trovare Y W e Y 2 W tale che Y = Y + Y 2. Talvolta serve soltanto trovare Y e non ci interessa Y 2. Sottospazi Vettoriali 9 Geometria

10 Politecnico di Torino. Esempio 4.. Sia W = L(X, X 2 ) R dove e sia X = ( 3, 3,,, 0, 0, 0,, 2, 2, 3) X 2 = ( 4, 2, 3, 0, 2,, 2,, 0, 3, 4) Y = (5, 6, 5, 0, 3,, 2, 3, 2, 5, 6). Per trovare la proiezione ortogonale Y di Y su W si raggiona come segue: ) si osserva che Y = ax + bx 2 dove a, b sono due numeri incogniti che dovremmo trovare. 2) questi numeri a, b sodisfanno un sistema non omogeneo 2 2. Infatti, faccendo prodotto scalare prima con X e dopo con X 2 otteniamo Y.X = a(x.x ) + b(x 2.X ) Y.X 2 = a(x.x 2 ) + b(x 2.X 2 ) dunque { Y.X = a38 + b40 Y.X 2 = a40 + b64 inoltre siccome la proiezione Y 2 e perpendicolare ad entrambi X, X 2 risulta che Y.X = Y.X = 73 Y.X 2 = Y.X 2 = 00 e cioe i numeri a, b sono soluzioni del sistema { 73 = a38 + b40 dunque a = 2 26, b = ed ecco Y : 00 = a40 + b64 Y = 2 55 X X2 = ( , 59 3, , 2 26, 55 26, 55 52, 55 26, 97 52, 2 3, , ) Osservare che in realta quello che conta e trovare i numeri a, b poiche sono loro che determinano Y. 2 Esercizio 4.2. Sia W = im(b) R 5 dove B = 0 e sia Y = (, 2, 3, 4, 5). 2 Calcolare la proiezione ortogonale Y di Y su W. Sottospazi Vettoriali 0 Geometria

Esercizi svolti. delle matrici

Esercizi svolti. delle matrici Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa

Dettagli

1 Indipendenza lineare e scrittura unica

1 Indipendenza lineare e scrittura unica Geometria Lingotto. LeLing7: Indipendenza lineare, basi e dimensione. Ārgomenti svolti: Indipendenza lineare e scrittura unica. Basi e dimensione. Coordinate. Ēsercizi consigliati: Geoling. Indipendenza

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2 Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA A del 27 giugno 2011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra

Dettagli

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n 2 Trapani Dispensa di Geometria, Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n Un sottospazio affine Σ di R n e il traslato di un sottospazio vettoriale. Cioe esiste un sottospazio vettoriale

Dettagli

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?

dipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2,

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Applicazioni Lineari. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Applicazioni Lineari. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Politecnico di Torino. Applicazioni Lineari. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Basi e coordinate. Applicazioni lineari. Matrici come applicazioni

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire

Dettagli

Geometria analitica: rette e piani

Geometria analitica: rette e piani Geometria analitica: rette e piani Equazioni del piano Intersezioni di piani. Rette nello spazio Fasci di piani e rette Intersezioni fra piani e rette Piani e rette ortogonali Piani di forma parametrica

Dettagli

Esercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3.

Esercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3. Esercizi. Soluzioni.. Siano dati i vettori,, R. (i) Far vedere che formano una base di R. (ii) Ortonormalizzarla col metodo di Gram-Schmidt. (iii) Calcolare le coordinate del vettore X = 5 Sol. (i) Usiamo

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari In questa lezione ci dedicheremo a studiare a fondo quali proprietà della matrice dei coefficienti di un sistema (e della

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n

NOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo. Geometria Lingotto LeLing: Sistemi lineari non-omogenei Ārgomenti svolti: Sistemi lineari non-omogenei Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei Scrittura della soluzione generale Soluzione generale

Dettagli

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)

Dettagli

Geometria analitica I supplementi sulle rette. (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Geometria analitica I supplementi sulle rette. (M.S. Bernabei & H. Thaler) Geometria analitica I supplementi sulle rette (M.S. Bernabei & H. Thaler) Siano dati un vettore v = li + mj = (l, m) non nullo e un punto P 0 = x 0, y 0. Cerchiamo la retta r che passa per il punto P 0

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

Inversa di una matrice

Inversa di una matrice Geometria Lingotto. LeLing: La matrice inversa. Ārgomenti svolti: Inversa di una matrice. Unicita e calcolo della inversa. La inversa di una matrice. Il gruppo delle matrici invertibili. Ēsercizi consigliati:

Dettagli

La retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.

La retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. La retta nel piano Equazioni vettoriale e parametriche di una retta Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. Condizione

Dettagli

Note sui sistemi lineari

Note sui sistemi lineari Note sui sistemi lineari Sia K un campo e siano m e n due numeri interi positivi. Sia A M(m n, K) e sia b K m. Consideriamo il sistema lineare Ax = b nell incognita x K n (o, se preferite, nelle incognite

Dettagli

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO ,

VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO , VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto

Dettagli

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =

LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n = LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono

Dettagli

1 Combinazioni lineari.

1 Combinazioni lineari. Geometria Lingotto LeLing5: Spazi Vettoriali Ārgomenti svolti: Combinazioni lineari Sistemi lineari e combinazioni lineari Definizione di spazio vettoriale Ēsercizi consigliati: Geoling 6, Geoling 7 Combinazioni

Dettagli

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.

Per le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile. COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2.

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Distanze Siano P e Q punti di R n con P di coordinate allora la distanza tra P e Q e P Q = x 1 x 2 x n (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2 e Q di coordinate Siano Σ 1 e Σ

Dettagli

Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale 2011-2012 Michel Lavrauw Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Università di Padova Lezione 19 Capitolo

Dettagli

Forme bilineari simmetriche

Forme bilineari simmetriche Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P

Dettagli

Esercizi di Geometria - 2

Esercizi di Geometria - 2 Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Matematica per Analisi dei Dati,

Matematica per Analisi dei Dati, Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo

Dettagli

1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali?

1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali? Geometria I lezione del 30 settembre 2013 Presentazione del corso. Nozioni e notazioni: concetti primitivi di insieme, elemento ed appartenenza. Insiemi numerici: i numeri naturali ℕ, gli interi ℤ, i numeri

Dettagli

Il teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un

Dettagli

Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari

Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari 1. Sottospazi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso rispetto alla

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3

x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3 Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando

Dettagli

Somma diretta di sottospazi vettoriali

Somma diretta di sottospazi vettoriali Capitolo 8 Somma diretta di sottospazi vettoriali 8.1 Introduzione Introduciamo un caso particolare di somma di due sottospazi vettoriali: la somma diretta. Anche questo argomento è stato visto nel corso

Dettagli

ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III

ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III ESERCIZI MATEMATICA GENERALE - Canale III Vettori Prof. A. Fabretti 1 A.A. 009/010 1 Dati in R i vettori v = (1,,, u = (,, 1 e w = (,, calcolare: a la combinazione lineare u + v + 4 w b il prodotto scalare

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016. Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 F.Pugliese January 25, 2009 Abstract In queste note svolgerò alcuni esercizi sulla parte del corso che mi riguarda; si tenga presente che si tratta solo

Dettagli

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Prodotto scalare. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Diagonalizzazione

Dettagli

A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare

A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare Stampato integrale delle lezioni Massimo Gobbino Indice Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero,

Dettagli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da

Dettagli

Corso di Matematica II

Corso di Matematica II Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica

Dettagli

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo)

Prodotto interno (prodotto scalare definito positivo) Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi

Dettagli

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4 Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 9/ ESERCITAZIONE. (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Proposizione Vera Falsa Per due punti distinti di R passa un unica

Dettagli

Esame di geometria e algebra

Esame di geometria e algebra Laurea Ing. 26 febbraio 2007 Traccia I COG 1 In R 3 sono assegnati i vettori: u 1 = (2, h, 0), u 2 = (1, 0, h), u 3 = (h, 1, 2). Stabilire se esistono valori reali del parametro h per cui S = {u 1, u 2,

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1 APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari tra spazi R n spazi di matrici spazi di polinomi e matrice associata rispetto ad una coppia di basi Endomorismi e matrice associata rispetto

Dettagli

Sistemi d equazioni lineari

Sistemi d equazioni lineari Introduzione Introduzione Sia dato il seguente sistema d equazioni: S S S S Come si risolve un sistema... come si risolve? Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 1 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 2 Introduzione

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

Vettori del piano. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto

Vettori del piano. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto 0.1 Vettori applicati e liberi Politecnico di Torino. Vettori del piano Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto 0.1 Vettori applicati e liberi P P Q Q Il simbolo

Dettagli

Definizione 1 Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari:

Definizione 1 Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari: Applicazioni lineari Definizione Una applicazione f : V W, con V, W spazi vettoriali sul campo K si dice lineare se conserva le combinazioni lineari: f(αv + βv 2 ) = αf(v ) + βf(v 2 ) v, v 2 V, α, β K.

Dettagli

Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare,

Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, 050308-2 1 Ortogonalita nel piano Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico, con origine in O Tranne avviso contrario,

Dettagli

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali

Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

Esercizi di geometria analitica negli spazi affini Giorgio Ottaviani

Esercizi di geometria analitica negli spazi affini Giorgio Ottaviani Esercizi di geometria analitica negli spazi affini Giorgio Ottaviani Percorse a cavallo duemila chilometri di steppa russa, superó gli Urali, entró in Siberia, viaggió per quaranta giorni fino a raggiungere

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari

Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

ESERCIZI sui VETTORI

ESERCIZI sui VETTORI ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di

Dettagli

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008

Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Algebra lineare Geometria 1 11 luglio 2008 Esercizio 1. Si considerino la funzione: { R f : 3 R 3 (α, β, γ) ( 2β α γ, (k 1)β + (1 k)γ α, 3β + (k 2)γ ) dove k è un parametro reale, e il sottospazio U =

Dettagli

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria

Dettagli

Geometria Analitica nello Spazio

Geometria Analitica nello Spazio Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015 Equazione della retta - forma parametrica Se sono dati il punto A(x 0, y 0, z 0 ) e il vettore v (v x, v y, v z ), il generico punto P (x, y,

Dettagli

Parte 10. Geometria dello spazio I

Parte 10. Geometria dello spazio I Parte 10. Geometria dello spazio I A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Lo spazio vettoriale V 3 O, 1 2 Dipendenza e indipendenza lineare in V 3 O, 2 3 Sistema di riferimento

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 20 Giugno 2012 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio 1. Siano dati, al variare del parametro k R, i piani: π 1 : x 2y + 2z = 2, π 2 : z =

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Esercitazione di Analisi Matematica II

Esercitazione di Analisi Matematica II Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare

Dettagli