Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.

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1 Teoria dei Sitemi Teoria dei Sitemi e del Controllo Compito A del 24 Giugno 2 Domande ed eercizi Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.. Nel cao di itemi lineari continui tempo-varianti, la matrice di tranizione dello tato Φ(t,t ) è oluzione di quale equazione differenziale matriciale (indicare anche la condizione iniziale)? d dt Φ(t,t ) = A(t)Φ(t,t ), Φ(t,t ) = I 2. Un itema dinamico caratterizzato dalla funzione di tato x(k + ) = f(x(k),u(k)) è un itema lineare; è un itema tempo-dicreto; è un itema tempo-invariante; è un itema raggiungibile; 3. Scrivere la oluzione generale dell equazione differenziale matriciale x(k +) = Ax(k)+Bu(k) a partire dalla condizione iniziale x() all itante k = : k x(k) = A k x() + A (k j+) Bu(j) 4. Scrivere la definizione di eponenziale di matrice: e At (At) n = n! j= n= 5. Applicando al itema (A, B, C) una traformazione lineare x = Tx i ottiene un itema traformato (A, B, C) caratterizzato dalle eguenti matrici A, B e C: e tale per cui le matrici A e A hanno gli tei autovalori; A = T - AT, B = T - B, C = CT hanno gli tei autovettori; hanno lo teo polinomio caratteritico; hanno lo teo determinante; 6. Sia λ un autovalore della matrice A con grado di molteplicità r. L autopazio U λ è un ottopazio vettoriale; ha empre dimenione uguale ad r; è compoto da tutti e oli gli autovettori della matrice A aociati all autovalore λ; 7. Una matrice A di dimenione n è diagonalizzabile e è invertibile; e ha n autovalori reali ditinti; e ha n autovettori linearmente indipendenti; e i miniblocchi di Jordan hanno tutti dimenione unitaria;

2 8. Scrivere la matrici di traferimento H(z) di un itema lineare tempo-dicreto in funzione delle matrici A, B, C e D che caratterizzano il itema lineare: H(z) = C(zI A) B + D 9. Nel cao di itemi tempo-continui lineari invarianti ẋ = A x(t)+b u(t), crivere la condizione che deve eere oddifatta affinché ia poibile far paare il itema dallo tato iniziale x() allo tato finale x(t) nell intervallo di tempo [, t]: x(t) e At x() X +. Una matrice N nilpotente di ordine ν è una matrice tale per cui N ν = I; tale per cui N ν = ; che ha tutti gli autovalori unitari; che ha tutti gli autovalori nell origine;. Calcolare, in funzione della condizione iniziale x() = [x (), x 2 (), x 3 ()] T, l evoluzione libera del eguente itema autonomo tempo-continuo: ẋ(t) = 2 2 x(t) x(t) = e2t te 2t e 2t x () x 2 () 2 e 2t x 3 () 2. Dato il itema dinamico otto riportato in forma canonica di oervabilità, crivere la funzione di traferimento G() che lega l ingreo u(t) all ucita y(t): 6 2 G() = ẋ(t) = 3 4 x(t) + 5 u(t) y(t) = [ ] x(t) 3. Diegnare lo chema a blocchi aociato al eguente itema tempo-continuo poto in forma canonica di controllo dove x c = T x x 2 x 3 x 4. ẋ c (t) = x c(t) + u(t) α α α 2 α 3 y(t) = β β β 2 β 3 xc (t) β 3 β 2 β u(t) x 4 x 3 x 2 x y(t) α 3 α 2 α β α 2

3 4. Coniderato un itema dinamico tempo continuo del econdo ordine caratterizzato da due autovalori reali λ = + 2j, λ 2 = 2j, ripondere alle eguenti domande e indicare qual è l andamento qualitativo delle traiettorie nell intorno dell origine: gli autovettori del itema v e v 2 ono reali e ditinti. gli autovettori del itema v e v 2 ono FS complei coniugati. per t tutte le traiettorie tendono ad appiattiri ull autovettore v. per t tutte le traiettorie tendono ad appiattiri ull autovettore v 2. x x Quale nome viene tipicamente utilizzato per indicare il tipo di traiettorie opra indicato: Nodo? Fuoco? Sella? Degenere? Stabile? Intabile? 5. Sia dato un itema lineare tazionario a tempo dicreto di dimenione n: x(k + ) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) mediante una retroazione tato ingreo è poibile allocare a piacimento gli autovalori della parte oervabile del itema; la retroazione tato ingreo non conente di modificare la dimenione del ottopazio di raggiungibilità; è empre poibile tabilizzare il itema mediante retroazione tato ingreo e gli autovalori della parte non raggiungibile hanno modulo inferiore all unità. 6. Sia (A, c) una coppia di matrici oervabile. Scrivere la formula di Ackerman (in forma compatta) relativa al vettore dei guadagni l di un oervatore aintotico dello tato che poiziona ad arbitrio gli autovalori della matrice A + lc: l = p(a) (O ) -. } {{ } q = p(a)q dove q è l ultima colonna dell invera della matrice di oervabilità e dove p(a) è la matrice che i ottiene dal polinomio arbitrario p(λ) otituendo in eo la matrice A al poto del parametro λ. 7. Scrivere la truttura del polinomio deiderato p(λ) nel cao in cui i voglia poizionare gli autovalori di un itema del 4 o ordine in λ = 2, λ = 2, λ = 5 e λ = 6: p(λ) = (λ + 2) 2 (λ + 5)(λ + 6) 8. Enunciare il Lemma di Heymann: Se (A, B) è raggiungibile e e b i è una colonna non nulla di B, allora eite una matrice M i R m n tale che (A + BM i, b i ) è raggiungibile. 3

4 9. Sia dato un itema lineare tempo-dicreto x(k + ) = Ax(k) + Bu(k), a) crivere la truttura dello timatore aintotico dello tato in catena chiua di ordine pieno: ˆx(k + ) = (A + LC)ˆx(k) + Bu(k) Ly(k) b) crivere l andamento temporale dell errore di tima e(k) = x(k) ˆx(k) a partire dalla condizione iniziale e(): e(k) = (A + LC) k e() 2. Scrivere la truttura della matrice di traformazione P - c che porta un itema S = (A, b, c) oervabile in forma canonica di oervabilità (x = P c x c ): P - c = (O c ) - O = α α 2 α 3... α n α 2 α α α n c ca ca 2... ca n dove i coefficienti α i ono i coefficienti del polinomio caratteritico della matrice A. 2. a) Scrivere la truttura a blocchi di un itema S tempo-continuo non completamente raggiungibile poto in forma tandard di raggiungibilità S: A A A = 2 B, B =, C = C O A 22 C 2 b) Scrivere la forma emplificata della matrice di traferimento H() del itema S in funzione delle ottomatrici che caratterizzano il itema S = (A, B, C) in forma tandard i raggiungibilità: H() = C (I A ) - B 22. Uno timatore aintotico dello tato in catena aperta può eere utilizzato e e olo e il itema è oervabile; e e olo e il itema è aintoticamente tabile; e e olo e la parte intabile del itema è oervabile; e e olo e la parte non oervabile del itema è aintoticamente tabile; 23. Sia S D il itema duale del itema dicreto S = (A, B, C, D): Se S è raggiungibile SD è oervabile; Se S è oervabile SD è controllabile; Se S è controllabile S D è oervabile; Se S è ricotruibile SD è controllabile; 4

5 24. Indicare la truttura del itema duale S D aociato ad un itema dato S = (A, B, C, D): S D = (A T, C T, B T, D T ) 25. Un itema (A, B, C) è empre tabilizzabile mediante retroazione tatica della tima dello tato fornita da un oervatore aintotico e il itema è tabile; e e olo e il itema è raggiungibile ed oervabile; e e olo e la parte non raggiungibile e non oervabile del itema è tabile; 26. Enunciare la Proprietà di eparazione del regolatore: La intei del blocco di retroazione (A +BK) e del blocco di tima (A +LC) può eere fatta in modo indipendente: det[zi Ā] = det[zi (A + BK)] det[zi (A + LC)] 27. Scrivere la relazione necearia e ufficiente che garantice la completa controllabililità in k pai del itema lineare dicreto x(k + ) = Ax(k) + Bu(k): ImA k Im[B,AB,...,A k B] = X + (k) 28. Relativamente ad un itema lineare tazionario dicreto x(k + ) = Ax(k) + Bu(k) che ha almeno un autovalore nell origine, è poibile affermare che: e il itema è completamente controllabile allora è anche completamente raggiungibile; e il itema è completamente raggiungibile allora è anche completamente controllabile; e il itema è completamente oervabile allora è anche completamente ricotruibile; e il itema è completamente ricotruibile allora è anche completamente oervabile; 29. Un itema dinamico dicreto lineare tazionario è caratterizzato da matrici A, B e C aventi la eguente truttura: A B A = B = A 22 B 2 C = [ C ] Il itema non è completamente raggiungibile; Il itema non è completamente oervabile; Il itema può eere raggiungibile; 3. Sia dato un itema non lineare tempo dicreto x(k + ) = f(x(k),ū) ollecitato da un ingreo cotante u(k) = ū. Scrivere la relazione tatica da riolvere per determinare i punti di equilibrio x(k) = x e : x e = f(x e,ū) 3. Si conideri ora il eguente itema non lineare tempo continuo ẋ(t) = f(x(t),u(t)), y(t) = g(x(t),u(t)) e ia x un punto di equilibrio del itema per ingreo cotante u. Indicare come i calcolano le matrici del itema linearizzato: A = f(x, u) x, B = f(x, u) u C = g(x, u) x, D = g(x, u) u 5

6 32. Scrivere all interno della eguente tabella i imboli e i nomi delle variabili energia e della variabili di potenza che caratterizzano l ambito energetico meccanico tralazionale. Indicare inoltre la relazione cotitutiva dei ingoli elementi e l equazione differenziale che caratterizza gli elementi dinamici: D Simboli M Maa Rel. Cotititutiva Cao Lineare Eq. Differenzile q P quantità di moto P = Φ M (ẋ) P = M ẋ v ẋ velocità D 2 E Elaticità q 2 x potamento x = Φ E (F) x = E F v 2 F forza R b Diipatore F = Φ b (ẋ) F = b ẋ dp dt = F dx dt = ẋ 33. Il itema che i ottiene quando i utilizza un regolatore (cioè la erie di uno timatore aintotico dello tato e dell elemento tatico di retroazione K) per tabilizzare in retroazione un itema dinamico aegnato è un itema raggiungibile; è un itema oervabile; è un itema raggiungibile ed oervabile; 34. Si conideri il eguente chema P.O.G. di un Boot Converter: V g I g B m B T m L - m I I m = I 2 R m S T m S m V C R I dove [ B m =, S ] m =, 2 L M L m = 2, M 2 L 2 R R m = R 2 Sia x = [ I I 2 V ]T il vettore di tato (compoto dalle variabili di potenza in ucita degli elementi dinamici) e ia u = T V g I il vettore degli ingrei. Scrivere il corripondente itema dinamico nello pazio degli tati: L M 2 I R I M 2 L 2 I V g 2 = R 2 2 I 2 + I C V 2 R }{{} }{{} V }{{} }{{}}{{}}{{} u L ẋ A x B 6