INTRODUZIONE. Le opzioni rappresentano una classe molto importante di derivati. Esse negli ultimi anni hanno riscosso notevole successo presso gli

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1 INTRODUZIONE Le opzioni rappresentano una classe molto importante di derivati. Esse negli ultimi anni hanno riscosso notevole successo presso gli investitori. Tra le opzioni in generale, quelle che hanno avuto maggiore popolarità, sono quelle esotiche, ossia non standard. Esse hanno, infatti un payoff più complesso di quelle ordinarie. In questa tesi, si vuole presentare una peculiare categoria di opzioni esotiche, che sono tra quelle che hanno riscosso maggiore successo: le opzioni con barriera. Più che il funzionamento e la struttura dell opzione, quel che si ritiene interessante analizzare è la modalità con la quale queste opzioni vengono prezzate. Questo problema è stato studiato in letteratura da numerosi studiosi, i quali hanno presentato diverse soluzioni. Si procederà all analisi di alcune di queste, e quando possibile al confronto delle stesse. Nel primo capitolo, vengono presentate in maniera dettagliata i vari tipi di opzione, e il primo modello per la valutazione delle stesse (Black & Scholes). Questo modello, che non è altro che una formula chiusa, rappresenta la base per poter comprendere le altre formule chiuse per la valutazione di opzioni dal payoff più complesso. 1

2 Nel secondo capitolo, infatti, vengono presentate le formule chiuse per la valutazione di un particolare tipo di opzioni : le opzioni con barriera. Il primo autore che arrivò a determinare una formula chiusa per la valutazione di queste opzioni fu Merton [1973]. Vi sono opzioni che per vari motivi, non possono essere prezzate con formule chiuse di valutazione. Gli studiosi hanno proposto diverse soluzioni a questo problema, alcune delle quali molto efficaci. Nel terzo capitolo, viene presentata una prima soluzione al problema, proposta da Broadie e Glasserman [1997]. Essa consiste sostanzialmente in una correzione delle formule chiuse di valutazione al fine di poterle applicare anche per la valutazione di quei derivati per cui esse non esistono. Nel quarto capitolo vengono presentate le procedure che più generalmente si utilizzano per valutare queste opzioni. Esse consistono in delle procedure numeriche che consentono di approssimare il valore teorico delle opzioni con barriera. Alcune di esse, che vengono utilizzate anche per valutare opzioni di tipo diverso, opportunamente modificate riducono l errore di approssimazione. Il problema principale riguardo questi modelli è la velocità di calcolo. Nel corso del capitolo viene presentato un modello, oggi il più 2

3 utilizzato in pratica, che consente di ridurre in maniera sostanziale il numero e quindi il tempo di calcolo delle procedure numeriche, mantenendo basso l errore di approssimazione. 3

4 CAPITOLO 1 Le opzioni con barriera 1. Le opzioni finanziarie. Il settore finanziario ha subito negli ultimi venti anni una forte evoluzione. Di fianco ai progressi derivanti dall introduzione di nuove tecnologie e al rinnovamento organizzazionale dell intero settore si è assistito ad un aumento degli strumenti finanziari offerti dalle varie istituzioni. Tra i nuovi strumenti finanziari, un posto di grande rilievo è occupato sicuramente dai derivati. Un derivato è uno strumento il cui valore dipende da quello di altre più fondamentali variabili sottostanti. I derivati più popolari sono i futures, i forward, gli swaps e le opzioni. I forwrd, gli swaps e alcuni tipi di opzioni, vengono regolarmente trattati in mercati over the counter, mentre i futures e altri tipi di opzioni vengono trattati in molte Borse. I contratti di opzione su azioni sono stati trattati in borsa per la prima volta nel Da allora c è stata una fortissima crescita. Oggi 4

5 vengono trattati in tutto il mondo. Le opzioni sono contratti finanziari per cui il compratore ha il diritto, ma non il dovere, di comprare, nel caso di opzioni call, o di vendere, nel caso di opzioni put, una quantità determinata di un attività finanziaria o reale sottostante (titoli azionari e obbligazionari, indici azionari, tassi d interesse, futures, valute, crediti,, ), ad un prezzo determinato, ad una data specifica (opzioni di tipo europeo) oppure entro una data specifica (opzioni di tipo americano). In Italia le opzioni finanziarie sono trattate sia nel mercato regolamentato IDEM, in cui vi è una standardizzazione del sottostante, dello stile, dello strike e della scadenza, che in mercati non regolamentati (Over The Counter). Nel nostro mercato, le opzioni regolamentate, sono scritte sul MIB30 e sui titoli di alcune aziende tra le più importanti. Le opzioni, come i titoli, possono essere utilizzate per prendere posizioni sull indice di mercato o su singoli titoli, beneficiando, quindi, di un eventuale movimento al rialzo o al ribasso del prezzo del titolo o dell indice considerato. In particolare, se si acquista un opzione call o si vende un opzione put si assume una posizione lunga (di acquisto, quindi, rialzista) rispetto al titolo/indice sottostante. 5

6 Viceversa se si vende un opzione call oppure si acquista una put, si assume una posizione corta (di vendita, quindi, ribassista) rispetto al mercato sottostante. A differenza delle azioni, le opzioni danno all investitore la possibilità di beneficiare dell effetto leva sulla posizione lunga o corta assunta: con un investimento contenuto, pari al costo dell opzione, si può ottenere una partecipazione alla performance di un titolo o di un indice di mercato, superiore a quanto, a parità di investimento, si potrebbe ottenere da una posizione analoga sul mercato sottostante. Le opzioni offrono all investitore la possibilità di prendere posizioni speculative o di coprire investimenti in essere, di costruire strategie e posizioni di investimento appropriate al profilo di rischio desiderato: è l investitore colui che decide quanto rischio è disposto ad assumere. È importante ricordare che le società, i cui titoli costituiscono il sottostante di opzioni quotate sull IDEM, non sono in alcun modo coinvolte nell emissione delle opzioni, ma è la Borsa Italiana a gestire la quotazione e a regolare la negoziazione di questi strumenti. Le opzioni possono avere stile europeo o americano: 6

7 1) Opzioni di stile americano, in cui il diritto di esercitare l opzione, ovvero acquistare il sottostante nel caso di opzione call e di venderlo nel caso di opzioni put, può essere esercitato in ogni momento, prima della scadenza (è il caso delle opzioni su azioni quotate sull IDEM). 2) Opzioni di stile europeo, dove l acquirente può esercitare l opzione solo alla scadenza del contratto (è il caso delle opzioni sull indice MIB 30 quotate sull IDEM). Se si riporta sull asse delle ascisse il prezzo del sottostante alla scadenza e sull asse delle ordinate il guadagno, il profitto di una posizione corta su un opzione call americana può essere così rappresentato: G(S T ) m(t,t) K S T 7

8 Dove S T indica il prezzo del sottostante alla scadenza, G(S T ) indica la funzione guadagno al variare di S T, e K indica il prezzo strike. Come si vede dalla figura, se S T è minore di K, allora l investitore perde l importo del premio pagato per l acquisto dell opzione. L investitore continua a perdere anche quando S T è maggiore di K, fino a quando la differenza (positiva) tra essi non eguagli l importo del premio. Dopo questo punto, l investitore comincia ad avere un guadagno positivo, che può essere infinitamente lungo. La funzione guadagno per una posizione corta su call può quindi essere così rappresentata: G(S T ) = n Max (S T K, 0) n m(t,t) Dove n è il numero di call, Max è la funzione Massimizzante, ed m(t,t) rappresenta il fattore di capitalizzazione ad un tasso privo di rischio, supposto costante, del premio alla scadenza T. Ovviamente per l investitore che ha una posizione lunga sull opzione, il grafico della funzione guadagno sarà perfettamente opposto a quello della posizione corta, in quanto egli guadagnerà soltanto il premio, se il prezzo del sottostante a scadenza è minore dello strike mentre perderà (e la perdita può essere infinita) qualora S T 8

9 sia maggiore dello strike. La sua funzione guadagno, sarà così espressa, utilizzando la consueta notazione. G(S T ) = n Max (S T K, 0) + n m(t,t) Per quanto riguarda le opzioni put, il grafico della funzione guadagno per l investitore che ha una posizione corta, può essere cosi rappresentato: G(S T ) K-m(t,T) K S T L investitore guadagnerà (K S T m(t,t)) quando il prezzo d esercizio è maggiore a quello finale del sottostante, mentre perderà m(t,t) quando il prezzo finale S T supera lo strike. La funzione guadagno è è quindi: G(S T ) = n Max (K S T, 0) n m(t,t) 9