pricing ed Hedging degli strumenti finanziari derivati
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- Salvatore Frigerio
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1 pricing ed Hedging degli strumenti finanziari derivati Aspetti Teorici ed Operativi Marcello Minenna 1
2 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Risk Management Greche Marcello Minenna 2
3 Review Option Pricing Theory Cos e Cos e un opzione? un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Marcello Minenna 3
4 Call (Put) Option: diritto ad acquistare (vendere) un titolo ad un prezzo prefissato (c.d. Strike price) a seguito del pagamento di un premio Opzioni europee: esercizio del diritto = a scadenza Opzioni americane: esercizio del diritto = fino a scadenza Marcello Minenna 4
5 Posizioni Payoff Long Position in una Call Option: max(s T -K, 0) Long Position in una Put Option: max(k - S T, 0) Short Position in una Call Option: min(k - S T, 0) Short Position in una Put Option: min(s T -K, 0) Pay off Long Call K S T Pay off K Short Call S T Pay off Long Put K S T Pay off K Short Put S T Marcello Minenna 5
6 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il Modello di S-R-B Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Marcello Minenna 6
7 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter S UP Prezzo Azione = S S DOWN Marcello Minenna 7
8 esempio: Pr. Sottostante = $20 S UP = $22 S Down = $18 Marcello Minenna 8
9 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Prezzo Azione = S Pr. Opzione = O S UP O up = f(pay-off opzione) S DOWN O down = f(pay-off opzione) Marcello Minenna 9
10 esempio: Call Strike = $21 Tasso risk free Uniperiodale =12% Marcello Minenna 10
11 esempio: Pr. Azione = $20 Pr. Call = C S up =$22 C Up = max($22-21,0) S Down = $18 C down = max($18-21,0) Marcello Minenna 11
12 esempio: Pr. Azione = $20 Pr. Call = C S up =$22 C Up = $1 S Down = $18 C down = 0 Marcello Minenna 12
13 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo Long position: Short position: Azioni 1 Call Option Marcello Minenna 13
14 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo Long position: Short position: Azioni 1 Call Option Marcello Minenna 14
15 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo neutralita al rischio Long S up = + $22 Short C Up = - $1 = Long S Down = + $18 Short C Down = 0 22 * - 1 = 18 * = 0,25 Marcello Minenna 15
16 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo Non Arbitraggio Rendimento Atteso dell Opzione = Risk Free Rate Valore a Scadenza Attualizzato = Valore Iniziale 20 * -C = (22* - 1)/(1.04) Oppure 20 * -C = (18 * )/(1.04) Marcello Minenna 16
17 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo neutralita al rischio = 0,25 Non Arbitraggio 20 * -C = (18 * )/(1.04) C = ((20 18)* )/(1.04) C = 0,673 Marcello Minenna 17
18 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Il Pricing L approccio Formale Numerico Prezzo Azione = S Pr. Opzione = O S UP O up = f(pay-off opzione) S DOWN O down = f(pay-off opzione) Marcello Minenna 18
19 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Il Pricing L approccio Probabilistico Intuitivo Non Arbitraggio Rendimento Atteso dell Opzione = Risk Free Rate Prezzo dell Opzione = Pay-off a Scadenza scontati Marcello Minenna 19
20 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter O up = f(pay-off opzione) Pr. Opzione = O O down = f(pay-off opzione) O 0 = (1+r) -1 (p*o up +(1-p)*O down ) 1-p p O up O down p e detta misura di Martingala Marcello Minenna 20
21 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Il Pricing L approccio Probabilistico Formale O 0 = (1+r) -1 E p (O T ) p 1-p O up O down Marcello Minenna 21
22 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il Modello di C-R-R Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Marcello Minenna 22
23 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Intuitivo S u S uu S uu..u S 0 S ud S d S dd S ud..d S dd..d t=0 t= t t=2* t t=t=n* t Marcello Minenna 23
24 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Intuitivo S u S uu O uu S uu..u O uu..u O u S 0 S ud O 0 S d f d S dd O dd O ud S O ud..d ud..d S dd..d O dd..d t=0 t= t t=2* t t=t=n* t Marcello Minenna 24
25 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Numerico Formale Marcello Minenna 25
26 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Probabilistico Intuitivo S 0 O 0 p 1-p S u O u S d f d p*p S uu O uu S ud O ud S dd O dd S uu..u O uu..u S O ud..d ud..d S dd..d O dd..d t=0 t= t t=2* t t=t=n* t Marcello Minenna 26
27 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Probabilistico Formale p e detta misura di Martingala Marcello Minenna 27
28 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Opzioni Europee e Excel Marcello Minenna 28
29 Il Pricing L implementazione La Definizione delle Variabili x= (1+r) t u=f( t) p=[(1+r)-d]/(u-d) K= strike d=1/u q=1-p A B C D n 2n+1 Marcello Minenna 29
30 Il Pricing L implementazione Il Valore del Sottostante a Scadenza T S T A B C D n 2n+1 u n S 0 u n-1 S 0 u n-2 S 0... d n-1 S 0 d n S 0 Marcello Minenna 30
31 Il Pricing L implementazione Il Pay-off dell Opzione a Scadenza: es. Call A B C D n 2n+1 S T u n S 0 T MAX(A1-K,0) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) Marcello Minenna 31
32 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D n 2n+1 S T T T- T u n S 0 MAX(A1-K,0) x*(p*b1+q*b2) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*b2+q*b4) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) Marcello Minenna 32
33 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(A1-K,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 33
34 Il Pricing L implementazione x= (1+r) t u=f( t) p=[(1+r)-d]/(u-d) K= strike d=1/u q=1-p A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(A1-K,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 34
35 Il Pricing L implementazione Il Pay-off dell Opzione a Scadenza: es. Put A B C D n 2n+1 S T u n S 0 T MAX(K -A1,0) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) d n S 0 MAX(K -A2n+1,0) Marcello Minenna 35
36 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D n 2n+1 S T T T- T u n S 0 MAX(K -A1,0) x*(p*b1+q*b2) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) d n S 0 x*(p*b1+q*b3) x*(p*b2+q*b4) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) MAX(K -A2n+1,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) Marcello Minenna 36
37 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(K -A1,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(K -A2n+1,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 37
38 Il Pricing L implementazione x= (1+r) t u=f( t) p=[(1+r)-d]/(u-d) K= strike d=1/u q=1-p A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(K -A1,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(K -A2n+1,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 38
39 Il Pricing L implementazione S 0 = 100 r= 3% = 20% T= 1 x= u= p= steps= 4 K= 100 d= q= t= 0.25 S T T T-2 t T- t T-3 t T-4 t Marcello Minenna 39
40 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Risk Management Risk Management Greche Marcello Minenna 40
41 Risk management: le greche Definiti: S il processo dell azione B il processo del Bond f il processo del derivato Ove: f=f(s,t) Sia: V il portafoglio di replica del derivato Marcello Minenna 41
42 Risk management: le greche Il portafoglio di replica del derivato Ove: Numero di azioni Numero di Bond Marcello Minenna 42
43 Risk management: le greche Definizione dei processi Hp: Ove: Marcello Minenna 43
44 Risk management: le greche Definizione dei processi Hp: La cui soluzione: Marcello Minenna 44
45 Risk management: le greche Definizione dei processi Hp: Ove: Marcello Minenna 45
46 Risk management: le greche Utilizzando le definizioni dei processi di B e S Marcello Minenna 46
47 Risk management: le greche moltiplicando raccogliendo: Marcello Minenna 47
48 Risk management: le greche Definendo: il processo di ITO Marcello Minenna 48
49 Risk management: le greche La SDE associata a f=f(s,t) si trova utilizzando Il lemma di ITO (la regola di differenziazione per il moto browniano) Sostituendo la SDE associata a S si ha: Marcello Minenna 49
50 Risk management: le greche semplificando ricordando: Marcello Minenna 50
51 Risk management: le greche Dato che per hp: allora confrontiamo I termini stocastici: Marcello Minenna 51
52 Risk management: le greche vale a dire: = Marcello Minenna 52
53 Risk management: le greche Ricordando: Marcello Minenna 53
54 Risk management: le greche = Marcello Minenna 54
55 Risk management: le greche Sostituendo nella SDE di V = Marcello Minenna 55
56 Risk management: le greche Semplificando: Marcello Minenna 56
57 Risk management: le greche Dato che per hp: allora confrontiamo I termini deterministici: Marcello Minenna 57
58 Risk management: le greche = detta anche Black-Scholes PDE Marcello Minenna 58
59 Risk management: le greche considerato che il termine dv e df dz è uguale per La Black-Scholes PDE descrive nel tempo f=f(s,t) Il derivato è replicabile con Numero di azioni Numero di Bond Marcello Minenna 59
60 Risk management: le greche definiti dv = df Marcello Minenna 60
61 Risk management: le greche È importante osservare che la derivazione attraverso la formula di Taylor della espressione differenziale di f=f(s,t) conduce allo stesso risultato ottenuto con il lemma di ITO Marcello Minenna 61
62 Risk management: le greche Derivazione di df attraverso la formula di Taylor Considerato che è di ordine. Infatti ds L espansione di Taylor si può fermare a Marcello Minenna 62
63 Risk management: le greche Sostitendo in df la definizione di ds Marcello Minenna 63
64 Risk management: le greche Ci concentriamo su: o(dt) Marcello Minenna 64
65 Risk management: le greche semplificando Taylor vs ITO Marcello Minenna 65 c.v.d.
66 Risk management: le greche ma se l espansione in Taylor ma se il lemma di ITO ha mostrato che df=dv Conduce allo stesso risultato del lemma di ITO vale a dire che il valore di un derivato può essere studiato attraverso il valore di un portafoglio di Numero di azioni Numero di Bond Marcello Minenna 66
67 Risk management: le greche allora senza perdite di generalità utilizziamo l espansione in Taylor per studiare cosa succede quando f=f(s,t, Marcello Minenna 67
68 Risk management: le greche Derivazione di df attraverso la formula di Taylor L espansione di Taylor si può fermare a Marcello Minenna 68
69 Risk management: le greche definiti dv = df Marcello Minenna 69
70 Risk management: le greche poichè abbiamo dimostrato che dv = df Se voglio evitare variazioni nel portafoglio dv = df=0 Quindi, si dovrà operare sulle greche Marcello Minenna 70
71 Risk management: le greche L attività di hedging nel concreto Hp: mondo Black-Scholes Marcello Minenna 71
72 Risk management: le greche Per una call Per una Put Marcello Minenna 72
73 Risk management: le greche Marcello Minenna 73 S
74 Risk management: le greche Marcello Minenna 74 S
75 Risk management: le greche Marcello Minenna 75 S
76 Risk management: le greche Marcello Minenna 76 S
77 Risk management: le greche Marcello Minenna 77 S
78 Risk management: le greche Marcello Minenna 78 S
79 Risk management: le greche Le Greche sono additive Marcello Minenna 79
80 Risk management: le greche Il hedging Derivazione di df attraverso la formula di Taylor, ancorchè solo al primo termine Marcello Minenna 80
81 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Alla scadenza l opzione finisce IN the money Marcello Minenna 81
82 Il hedging - short 1 call - IN the money Marcello Minenna 82
83 Il hedging - short 1 call - IN the money Marcello Minenna 83
84 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Alla scadenza l opzione finisce OUT the money Marcello Minenna 84
85 Il hedging - short 1 call - OUT the money Marcello Minenna 85
86 Il hedging - short 1 call - OUT the money Marcello Minenna 86
87 Investor Education Il hedging Derivazione di df attraverso la formula di Taylor, arrivando al secondo termine Marcello Minenna 87
88 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Porto il mio portafoglio ad essere neutrale? Come faccio a rendere il mio portafoglio anche neutrale Marcello Minenna 88
89 Il hedging un intuizione è di seguire una logica iterativa Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Portafoglio Neutral Marcello Minenna 89
90 Il hedging questa logica è corretta dato che il di un azione è 0 per rendere il mio portafoglio anche neutrale ho bisogno di un altra opzione Marcello Minenna 90
91 Il hedging che tipo di opzione? un opzione che mi pareggi il della opzione shortata Marcello Minenna 91
92 Il hedging che tipo di opzione? un opzione che mi pareggi il della opzione shortata e che non mi crei troppe deformazioni sul delta della opzione shortata Marcello Minenna 92
93 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il di un opzione è maggiore per le ATM Marcello Minenna 93
94 Investor Education Marcello Minenna 94 S
95 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Marcello Minenna 95
96 Investor Education Marcello Minenna 96
97 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il subisce deformazioni al variare del tempo in relazione alla moneyness Marcello Minenna 97
98 Investor Education Marcello Minenna 98 S
99 Il di un opzione è maggiore per le ATM Il hedging Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Il subisce deformazioni al variare del tempo in relazione alla moneyness Scegliere opzioni a breve durata e ATM = Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM Marcello Minenna 99
100 Il hedging Scegliere opzioni a breve durata e ATM Trade-off: Costi di transazione Strategie di trading Risk limit Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM Marcello Minenna 100
101 Il hedging in formule Al tempo t=0 short 1 call (w) Definisco un portafoglio neutrale A Long 1 opzione (z) A =0 A = n * w Marcello Minenna 101
102 Il hedging in formule Al tempo t=0 Portfolio B = Portfolio A + n * z le greche di B? Marcello Minenna 102
103 Il hedging in formule Al tempo t=0 = B A + N Z = B N Z Marcello Minenna 103
104 Il hedging in formule Al tempo t=0 = B A + N Z = N + N B Z w w z Marcello Minenna 104
105 Il hedging in formule da qui che per avere =0 B = N B Z w w + N z = N w w + Nz Z N z = -- N w w Z Marcello Minenna 105
106 Il hedging in formule in altri termini per avere un portafoglio neutrale Si dovranno comprare Opzioni z N z = -- w Z Marcello Minenna 106
107 Il hedging in formule ma non è finita qui. Il nuovo portafoglio B non sarà neutrale = B N Z Ri-bilanciare il portafoglio a tal fine: = 0 c Marcello Minenna 107
108 Il hedging Kurpiel & Roncalli (1998) Il hedging su orizzonti di 5, 1, ½ giorni Non dà vantaggi sostanziali rispetto al hedging Marcello Minenna 108
109 Il hedging un esempio Al tempo t=0 short 1 call (w) Definisco un portafoglio neutrale A Long 1 call (z) con T z > T w ; K z > K w Marcello Minenna 109
110 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce IN the money Marcello Minenna 110
111 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 111
112 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 112
113 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 113
114 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 114
115 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 115
116 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce OUT the money Marcello Minenna 116
117 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 117
118 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 118
119 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 119
120 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 120
121 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 121
122 Il hedging Il hedging Derivazione di df attraverso la formula di Taylor, arrivando al secondo termine e prendendosi cura della volatilità Marcello Minenna 122
123 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Porto il mio portafoglio ad essere neutrale? Come faccio a rendere il mio portafoglio anche neutrale Marcello Minenna 123
124 Il hedging un intuizione è di seguire una logica iterativa Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Portafoglio Neutral Portafoglio Neutral Marcello Minenna 124
125 Il hedging questa logica NON è corretta? se il di un azione è 0 purtroppo il dell opzione NON è 0 ho bisogno di un altra opzione Marcello Minenna 125
126 Il hedging e poi dovrò far si che il portafoglio sia congiuntamente neutrale altrimenti entro in un loop senza soluzione Marcello Minenna 126
127 Il hedging il loop vizioso è il seguente Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Portafoglio Neutral Portafoglio Neutral Marcello Minenna 127
128 Il hedging il loop virtuoso è il seguente Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Utilizzo congiunto Delle 2 opzioni Portafoglio Neutral Marcello Minenna 128
129 Il hedging che tipo di opzioni? opzioni che mi pareggino il della opzione shortata Marcello Minenna 129
130 Il hedging che tipo di opzioni? un opzione che mi pareggi il della opzione shortata e che non mi crei troppe deformazioni sul delta della opzione shortata Marcello Minenna 130
131 Il hedging che tipo di opzioni? alcune considerazioni Il di un opzione è maggiore per le ATM Marcello Minenna 131
132 Il hedging Marcello Minenna 132 S
133 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Marcello Minenna 133
134 Il hedging Marcello Minenna 134 S
135 Il hedging Il di un opzione è maggiore per le ATM Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM Marcello Minenna 135
136 Il hedging Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM considerare Costi di transazione Strategie di trading Risk limit.. Marcello Minenna 136
137 Il hedging in formule Al tempo t=0 short 1 call (w) Definisco un portafoglio neutrale A Long 1 opzione (z) Long 1 opzione (y) A =0 A = n * w Marcello Minenna 137
138 Il hedging in formule Al tempo t=0 Portfolio B = Port. A + n * z + n * y le greche di B? Marcello Minenna 138
139 Il hedging in formule Al tempo t=0 = B A + N Z Z N y + y = B NZ Z+ N y y Marcello Minenna 139
140 Il hedging in formule Al tempo t=0 Dato che: A = N w w Marcello Minenna 140
141 Il hedging in formule Al tempo t=0 Dato che: A = N w w Marcello Minenna 141
142 Il hedging in formule da qui che per avere = =0 B b cioè un portafoglio neutrale Marcello Minenna 142
143 Il hedging in formule Marcello Minenna 143
144 Il hedging in formule Marcello Minenna 144
145 Il hedging in formule Marcello Minenna 145
146 Il hedging in formule Marcello Minenna 146
147 Il hedging in formule Marcello Minenna 147
148 Il hedging in formule Marcello Minenna 148
149 Il hedging in formule Marcello Minenna 149
150 Il hedging in formule da qui che per avere = =0 B b Si dovranno negoziare Opzioni z Opzioni Y Marcello Minenna 150
151 Il hedging ma non è finita qui. Il nuovo portafoglio B non sarà neutrale = B NZ Z+ N y y Ri-bilanciare il portafoglio a tal fine: = 0 c Marcello Minenna 151
152 Il hedging Kurpiel & Roncalli (1998) Il hedging su orizzonti di 5, 1, ½ giorni dà vantaggi sostanziali soprattutto in contesti a volatilità stocastica Marcello Minenna 152
153 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce OUT the money Marcello Minenna 153
154 Il hedging Marcello Minenna 154
155 Il hedging Marcello Minenna 155
156 Il hedging Marcello Minenna 156
157 Il hedging Marcello Minenna 157
158 Il hedging Marcello Minenna 158
159 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce IN the money Marcello Minenna 159
160 Il hedging Marcello Minenna 160
161 Il hedging Marcello Minenna 161
162 Il hedging Marcello Minenna 162
163 Il hedging Marcello Minenna 163
164 Il hedging Marcello Minenna 164
165 L hedging di un intermediario Risk Management Di un intermediario PROBLEMI Limiti di rischio Opzioni prive di formule chiuse Funzionamento del mercato Utilizzo di greche numeriche Marcello Minenna 165
166 L hedging di un intermediario Cos è una greca numerica? si tralasciano volutamente le altre perché di scarso rilievo Marcello Minenna 166
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