pricing ed Hedging degli strumenti finanziari derivati

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1 pricing ed Hedging degli strumenti finanziari derivati Aspetti Teorici ed Operativi Marcello Minenna 1

2 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Risk Management Greche Marcello Minenna 2

3 Review Option Pricing Theory Cos e Cos e un opzione? un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Marcello Minenna 3

4 Call (Put) Option: diritto ad acquistare (vendere) un titolo ad un prezzo prefissato (c.d. Strike price) a seguito del pagamento di un premio Opzioni europee: esercizio del diritto = a scadenza Opzioni americane: esercizio del diritto = fino a scadenza Marcello Minenna 4

5 Posizioni Payoff Long Position in una Call Option: max(s T -K, 0) Long Position in una Put Option: max(k - S T, 0) Short Position in una Call Option: min(k - S T, 0) Short Position in una Put Option: min(s T -K, 0) Pay off Long Call K S T Pay off K Short Call S T Pay off Long Put K S T Pay off K Short Put S T Marcello Minenna 5

6 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il Modello di S-R-B Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Marcello Minenna 6

7 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter S UP Prezzo Azione = S S DOWN Marcello Minenna 7

8 esempio: Pr. Sottostante = $20 S UP = $22 S Down = $18 Marcello Minenna 8

9 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Prezzo Azione = S Pr. Opzione = O S UP O up = f(pay-off opzione) S DOWN O down = f(pay-off opzione) Marcello Minenna 9

10 esempio: Call Strike = $21 Tasso risk free Uniperiodale =12% Marcello Minenna 10

11 esempio: Pr. Azione = $20 Pr. Call = C S up =$22 C Up = max($22-21,0) S Down = $18 C down = max($18-21,0) Marcello Minenna 11

12 esempio: Pr. Azione = $20 Pr. Call = C S up =$22 C Up = $1 S Down = $18 C down = 0 Marcello Minenna 12

13 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo Long position: Short position: Azioni 1 Call Option Marcello Minenna 13

14 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo Long position: Short position: Azioni 1 Call Option Marcello Minenna 14

15 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo neutralita al rischio Long S up = + $22 Short C Up = - $1 = Long S Down = + $18 Short C Down = 0 22 * - 1 = 18 * = 0,25 Marcello Minenna 15

16 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo Non Arbitraggio Rendimento Atteso dell Opzione = Risk Free Rate Valore a Scadenza Attualizzato = Valore Iniziale 20 * -C = (22* - 1)/(1.04) Oppure 20 * -C = (18 * )/(1.04) Marcello Minenna 16

17 esempio: Il Pricing un approccio intuitivo neutralita al rischio = 0,25 Non Arbitraggio 20 * -C = (18 * )/(1.04) C = ((20 18)* )/(1.04) C = 0,673 Marcello Minenna 17

18 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Il Pricing L approccio Formale Numerico Prezzo Azione = S Pr. Opzione = O S UP O up = f(pay-off opzione) S DOWN O down = f(pay-off opzione) Marcello Minenna 18

19 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Il Pricing L approccio Probabilistico Intuitivo Non Arbitraggio Rendimento Atteso dell Opzione = Risk Free Rate Prezzo dell Opzione = Pay-off a Scadenza scontati Marcello Minenna 19

20 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter O up = f(pay-off opzione) Pr. Opzione = O O down = f(pay-off opzione) O 0 = (1+r) -1 (p*o up +(1-p)*O down ) 1-p p O up O down p e detta misura di Martingala Marcello Minenna 20

21 Il Modello di Sharpe-Rendleman-Bartter Il Pricing L approccio Probabilistico Formale O 0 = (1+r) -1 E p (O T ) p 1-p O up O down Marcello Minenna 21

22 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il Modello di C-R-R Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Marcello Minenna 22

23 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Intuitivo S u S uu S uu..u S 0 S ud S d S dd S ud..d S dd..d t=0 t= t t=2* t t=t=n* t Marcello Minenna 23

24 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Intuitivo S u S uu O uu S uu..u O uu..u O u S 0 S ud O 0 S d f d S dd O dd O ud S O ud..d ud..d S dd..d O dd..d t=0 t= t t=2* t t=t=n* t Marcello Minenna 24

25 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Numerico Formale Marcello Minenna 25

26 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Probabilistico Intuitivo S 0 O 0 p 1-p S u O u S d f d p*p S uu O uu S ud O ud S dd O dd S uu..u O uu..u S O ud..d ud..d S dd..d O dd..d t=0 t= t t=2* t t=t=n* t Marcello Minenna 26

27 Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Il Pricing L approccio Probabilistico Formale p e detta misura di Martingala Marcello Minenna 27

28 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Opzioni Europee e Excel Marcello Minenna 28

29 Il Pricing L implementazione La Definizione delle Variabili x= (1+r) t u=f( t) p=[(1+r)-d]/(u-d) K= strike d=1/u q=1-p A B C D n 2n+1 Marcello Minenna 29

30 Il Pricing L implementazione Il Valore del Sottostante a Scadenza T S T A B C D n 2n+1 u n S 0 u n-1 S 0 u n-2 S 0... d n-1 S 0 d n S 0 Marcello Minenna 30

31 Il Pricing L implementazione Il Pay-off dell Opzione a Scadenza: es. Call A B C D n 2n+1 S T u n S 0 T MAX(A1-K,0) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) Marcello Minenna 31

32 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D n 2n+1 S T T T- T u n S 0 MAX(A1-K,0) x*(p*b1+q*b2) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*b2+q*b4) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) Marcello Minenna 32

33 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(A1-K,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 33

34 Il Pricing L implementazione x= (1+r) t u=f( t) p=[(1+r)-d]/(u-d) K= strike d=1/u q=1-p A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(A1-K,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(A2-K,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(A3-K,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(A2n-K,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(A2n+1-K,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 34

35 Il Pricing L implementazione Il Pay-off dell Opzione a Scadenza: es. Put A B C D n 2n+1 S T u n S 0 T MAX(K -A1,0) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) d n S 0 MAX(K -A2n+1,0) Marcello Minenna 35

36 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D n 2n+1 S T T T- T u n S 0 MAX(K -A1,0) x*(p*b1+q*b2) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) d n S 0 x*(p*b1+q*b3) x*(p*b2+q*b4) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) MAX(K -A2n+1,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) Marcello Minenna 36

37 Il Pricing L implementazione Il Prezzo come valore atteso scontato dei Pay-off A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(K -A1,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(K -A2n+1,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 37

38 Il Pricing L implementazione x= (1+r) t u=f( t) p=[(1+r)-d]/(u-d) K= strike d=1/u q=1-p A B C D S T T T- T T-2 T u n S 0 MAX(K -A1,0) x*(p*b1+q*b2) x*(p*c1+q*c2) u n-1 S 0 MAX(K -A2,0) x*(p*b1+q*b3) x*(p*c1+q*c3) u n-2 S 0 MAX(K -A3,0) x*(p*b2+q*b4) x*(p*c2+q*c4) 2n 2n+1 d n-1 S 0 MAX(K -A2n,0) x*(p*b2n-1+q*b2n+1) x*(p*c2n-1+q*c2n+1) d n S 0 MAX(K -A2n+1,0) x*(p*b2n+q*b2n+1) x*(p*c2n+q*c2n+1) Marcello Minenna 38

39 Il Pricing L implementazione S 0 = 100 r= 3% = 20% T= 1 x= u= p= steps= 4 K= 100 d= q= t= 0.25 S T T T-2 t T- t T-3 t T-4 t Marcello Minenna 39

40 Review Option Pricing Theory Cos e un opzione? Il modello di Sharpe-Rendlemann-Bartter Il Modello di Cox-Ross-Rubinstein Binomial Option Pricing Opzioni europee e Excel Risk Management Risk Management Greche Marcello Minenna 40

41 Risk management: le greche Definiti: S il processo dell azione B il processo del Bond f il processo del derivato Ove: f=f(s,t) Sia: V il portafoglio di replica del derivato Marcello Minenna 41

42 Risk management: le greche Il portafoglio di replica del derivato Ove: Numero di azioni Numero di Bond Marcello Minenna 42

43 Risk management: le greche Definizione dei processi Hp: Ove: Marcello Minenna 43

44 Risk management: le greche Definizione dei processi Hp: La cui soluzione: Marcello Minenna 44

45 Risk management: le greche Definizione dei processi Hp: Ove: Marcello Minenna 45

46 Risk management: le greche Utilizzando le definizioni dei processi di B e S Marcello Minenna 46

47 Risk management: le greche moltiplicando raccogliendo: Marcello Minenna 47

48 Risk management: le greche Definendo: il processo di ITO Marcello Minenna 48

49 Risk management: le greche La SDE associata a f=f(s,t) si trova utilizzando Il lemma di ITO (la regola di differenziazione per il moto browniano) Sostituendo la SDE associata a S si ha: Marcello Minenna 49

50 Risk management: le greche semplificando ricordando: Marcello Minenna 50

51 Risk management: le greche Dato che per hp: allora confrontiamo I termini stocastici: Marcello Minenna 51

52 Risk management: le greche vale a dire: = Marcello Minenna 52

53 Risk management: le greche Ricordando: Marcello Minenna 53

54 Risk management: le greche = Marcello Minenna 54

55 Risk management: le greche Sostituendo nella SDE di V = Marcello Minenna 55

56 Risk management: le greche Semplificando: Marcello Minenna 56

57 Risk management: le greche Dato che per hp: allora confrontiamo I termini deterministici: Marcello Minenna 57

58 Risk management: le greche = detta anche Black-Scholes PDE Marcello Minenna 58

59 Risk management: le greche considerato che il termine dv e df dz è uguale per La Black-Scholes PDE descrive nel tempo f=f(s,t) Il derivato è replicabile con Numero di azioni Numero di Bond Marcello Minenna 59

60 Risk management: le greche definiti dv = df Marcello Minenna 60

61 Risk management: le greche È importante osservare che la derivazione attraverso la formula di Taylor della espressione differenziale di f=f(s,t) conduce allo stesso risultato ottenuto con il lemma di ITO Marcello Minenna 61

62 Risk management: le greche Derivazione di df attraverso la formula di Taylor Considerato che è di ordine. Infatti ds L espansione di Taylor si può fermare a Marcello Minenna 62

63 Risk management: le greche Sostitendo in df la definizione di ds Marcello Minenna 63

64 Risk management: le greche Ci concentriamo su: o(dt) Marcello Minenna 64

65 Risk management: le greche semplificando Taylor vs ITO Marcello Minenna 65 c.v.d.

66 Risk management: le greche ma se l espansione in Taylor ma se il lemma di ITO ha mostrato che df=dv Conduce allo stesso risultato del lemma di ITO vale a dire che il valore di un derivato può essere studiato attraverso il valore di un portafoglio di Numero di azioni Numero di Bond Marcello Minenna 66

67 Risk management: le greche allora senza perdite di generalità utilizziamo l espansione in Taylor per studiare cosa succede quando f=f(s,t, Marcello Minenna 67

68 Risk management: le greche Derivazione di df attraverso la formula di Taylor L espansione di Taylor si può fermare a Marcello Minenna 68

69 Risk management: le greche definiti dv = df Marcello Minenna 69

70 Risk management: le greche poichè abbiamo dimostrato che dv = df Se voglio evitare variazioni nel portafoglio dv = df=0 Quindi, si dovrà operare sulle greche Marcello Minenna 70

71 Risk management: le greche L attività di hedging nel concreto Hp: mondo Black-Scholes Marcello Minenna 71

72 Risk management: le greche Per una call Per una Put Marcello Minenna 72

73 Risk management: le greche Marcello Minenna 73 S

74 Risk management: le greche Marcello Minenna 74 S

75 Risk management: le greche Marcello Minenna 75 S

76 Risk management: le greche Marcello Minenna 76 S

77 Risk management: le greche Marcello Minenna 77 S

78 Risk management: le greche Marcello Minenna 78 S

79 Risk management: le greche Le Greche sono additive Marcello Minenna 79

80 Risk management: le greche Il hedging Derivazione di df attraverso la formula di Taylor, ancorchè solo al primo termine Marcello Minenna 80

81 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Alla scadenza l opzione finisce IN the money Marcello Minenna 81

82 Il hedging - short 1 call - IN the money Marcello Minenna 82

83 Il hedging - short 1 call - IN the money Marcello Minenna 83

84 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Alla scadenza l opzione finisce OUT the money Marcello Minenna 84

85 Il hedging - short 1 call - OUT the money Marcello Minenna 85

86 Il hedging - short 1 call - OUT the money Marcello Minenna 86

87 Investor Education Il hedging Derivazione di df attraverso la formula di Taylor, arrivando al secondo termine Marcello Minenna 87

88 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Porto il mio portafoglio ad essere neutrale? Come faccio a rendere il mio portafoglio anche neutrale Marcello Minenna 88

89 Il hedging un intuizione è di seguire una logica iterativa Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Portafoglio Neutral Marcello Minenna 89

90 Il hedging questa logica è corretta dato che il di un azione è 0 per rendere il mio portafoglio anche neutrale ho bisogno di un altra opzione Marcello Minenna 90

91 Il hedging che tipo di opzione? un opzione che mi pareggi il della opzione shortata Marcello Minenna 91

92 Il hedging che tipo di opzione? un opzione che mi pareggi il della opzione shortata e che non mi crei troppe deformazioni sul delta della opzione shortata Marcello Minenna 92

93 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il di un opzione è maggiore per le ATM Marcello Minenna 93

94 Investor Education Marcello Minenna 94 S

95 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Marcello Minenna 95

96 Investor Education Marcello Minenna 96

97 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il subisce deformazioni al variare del tempo in relazione alla moneyness Marcello Minenna 97

98 Investor Education Marcello Minenna 98 S

99 Il di un opzione è maggiore per le ATM Il hedging Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Il subisce deformazioni al variare del tempo in relazione alla moneyness Scegliere opzioni a breve durata e ATM = Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM Marcello Minenna 99

100 Il hedging Scegliere opzioni a breve durata e ATM Trade-off: Costi di transazione Strategie di trading Risk limit Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM Marcello Minenna 100

101 Il hedging in formule Al tempo t=0 short 1 call (w) Definisco un portafoglio neutrale A Long 1 opzione (z) A =0 A = n * w Marcello Minenna 101

102 Il hedging in formule Al tempo t=0 Portfolio B = Portfolio A + n * z le greche di B? Marcello Minenna 102

103 Il hedging in formule Al tempo t=0 = B A + N Z = B N Z Marcello Minenna 103

104 Il hedging in formule Al tempo t=0 = B A + N Z = N + N B Z w w z Marcello Minenna 104

105 Il hedging in formule da qui che per avere =0 B = N B Z w w + N z = N w w + Nz Z N z = -- N w w Z Marcello Minenna 105

106 Il hedging in formule in altri termini per avere un portafoglio neutrale Si dovranno comprare Opzioni z N z = -- w Z Marcello Minenna 106

107 Il hedging in formule ma non è finita qui. Il nuovo portafoglio B non sarà neutrale = B N Z Ri-bilanciare il portafoglio a tal fine: = 0 c Marcello Minenna 107

108 Il hedging Kurpiel & Roncalli (1998) Il hedging su orizzonti di 5, 1, ½ giorni Non dà vantaggi sostanziali rispetto al hedging Marcello Minenna 108

109 Il hedging un esempio Al tempo t=0 short 1 call (w) Definisco un portafoglio neutrale A Long 1 call (z) con T z > T w ; K z > K w Marcello Minenna 109

110 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce IN the money Marcello Minenna 110

111 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 111

112 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 112

113 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 113

114 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 114

115 Il hedging - short 1 call - In the money Marcello Minenna 115

116 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce OUT the money Marcello Minenna 116

117 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 117

118 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 118

119 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 119

120 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 120

121 Il hedging - short 1 call - out the money Marcello Minenna 121

122 Il hedging Il hedging Derivazione di df attraverso la formula di Taylor, arrivando al secondo termine e prendendosi cura della volatilità Marcello Minenna 122

123 Il hedging Al tempo t=0 short 1 call Porto il mio portafoglio ad essere neutrale? Come faccio a rendere il mio portafoglio anche neutrale Marcello Minenna 123

124 Il hedging un intuizione è di seguire una logica iterativa Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Portafoglio Neutral Portafoglio Neutral Marcello Minenna 124

125 Il hedging questa logica NON è corretta? se il di un azione è 0 purtroppo il dell opzione NON è 0 ho bisogno di un altra opzione Marcello Minenna 125

126 Il hedging e poi dovrò far si che il portafoglio sia congiuntamente neutrale altrimenti entro in un loop senza soluzione Marcello Minenna 126

127 Il hedging il loop vizioso è il seguente Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Portafoglio Neutral Portafoglio Neutral Marcello Minenna 127

128 Il hedging il loop virtuoso è il seguente Portafoglio Neutral Ricomposizione per la Neutrality Utilizzo congiunto Delle 2 opzioni Portafoglio Neutral Marcello Minenna 128

129 Il hedging che tipo di opzioni? opzioni che mi pareggino il della opzione shortata Marcello Minenna 129

130 Il hedging che tipo di opzioni? un opzione che mi pareggi il della opzione shortata e che non mi crei troppe deformazioni sul delta della opzione shortata Marcello Minenna 130

131 Il hedging che tipo di opzioni? alcune considerazioni Il di un opzione è maggiore per le ATM Marcello Minenna 131

132 Il hedging Marcello Minenna 132 S

133 Il hedging che tipo di opzione? alcune considerazioni Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Marcello Minenna 133

134 Il hedging Marcello Minenna 134 S

135 Il hedging Il di un opzione è maggiore per le ATM Il di un opzione fondamentalmente si riduce al passare del tempo Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM Marcello Minenna 135

136 Il hedging Ri-comporre dinamicamente il portafoglio con opzioni a lunga durata ATM considerare Costi di transazione Strategie di trading Risk limit.. Marcello Minenna 136

137 Il hedging in formule Al tempo t=0 short 1 call (w) Definisco un portafoglio neutrale A Long 1 opzione (z) Long 1 opzione (y) A =0 A = n * w Marcello Minenna 137

138 Il hedging in formule Al tempo t=0 Portfolio B = Port. A + n * z + n * y le greche di B? Marcello Minenna 138

139 Il hedging in formule Al tempo t=0 = B A + N Z Z N y + y = B NZ Z+ N y y Marcello Minenna 139

140 Il hedging in formule Al tempo t=0 Dato che: A = N w w Marcello Minenna 140

141 Il hedging in formule Al tempo t=0 Dato che: A = N w w Marcello Minenna 141

142 Il hedging in formule da qui che per avere = =0 B b cioè un portafoglio neutrale Marcello Minenna 142

143 Il hedging in formule Marcello Minenna 143

144 Il hedging in formule Marcello Minenna 144

145 Il hedging in formule Marcello Minenna 145

146 Il hedging in formule Marcello Minenna 146

147 Il hedging in formule Marcello Minenna 147

148 Il hedging in formule Marcello Minenna 148

149 Il hedging in formule Marcello Minenna 149

150 Il hedging in formule da qui che per avere = =0 B b Si dovranno negoziare Opzioni z Opzioni Y Marcello Minenna 150

151 Il hedging ma non è finita qui. Il nuovo portafoglio B non sarà neutrale = B NZ Z+ N y y Ri-bilanciare il portafoglio a tal fine: = 0 c Marcello Minenna 151

152 Il hedging Kurpiel & Roncalli (1998) Il hedging su orizzonti di 5, 1, ½ giorni dà vantaggi sostanziali soprattutto in contesti a volatilità stocastica Marcello Minenna 152

153 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce OUT the money Marcello Minenna 153

154 Il hedging Marcello Minenna 154

155 Il hedging Marcello Minenna 155

156 Il hedging Marcello Minenna 156

157 Il hedging Marcello Minenna 157

158 Il hedging Marcello Minenna 158

159 Il hedging un esempio Manterrò la scelta dell opzione z fino a scadenza Alla scadenza l opzione w finisce IN the money Marcello Minenna 159

160 Il hedging Marcello Minenna 160

161 Il hedging Marcello Minenna 161

162 Il hedging Marcello Minenna 162

163 Il hedging Marcello Minenna 163

164 Il hedging Marcello Minenna 164

165 L hedging di un intermediario Risk Management Di un intermediario PROBLEMI Limiti di rischio Opzioni prive di formule chiuse Funzionamento del mercato Utilizzo di greche numeriche Marcello Minenna 165

166 L hedging di un intermediario Cos è una greca numerica? si tralasciano volutamente le altre perché di scarso rilievo Marcello Minenna 166

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